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第3課時　指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用
◆ 知識點一　y=ax(a>0,且a≠1)的圖象與
y=的圖象之間的關系
函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象與y=的圖象關于y軸對稱.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y=3x,x∈[-1,1]的值域與函數(shù)y=,x∈[-1,1]的值域相同. (　 )
(2)函數(shù)y=a|x|(a>0且a≠1),x∈[-k,k](k>0)的圖象關于y軸對稱. (　 )
◆ 知識點二　與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題
1.定義域
函數(shù)y=af(x)(a>0,且a≠1)的定義域就是函數(shù)f(x)的定義域.
2.值域
求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函數(shù)的值域時,應先求u=f(x)的值域,再結(jié)合y=au的單調(diào)性求出y=af(x)的值域.
3.單調(diào)性
將函數(shù)y=af(x)(a>0,且a≠1)視為由u=f(x)與y=au復合而成,利用復合函數(shù)單調(diào)性的判定方法可判斷函數(shù)y=af(x)的單調(diào)性.類似地,可判斷函數(shù)y=f(ax)(a>0,且a≠1)的單調(diào)性.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y=2f(x)與函數(shù)y=f(x)有相同的定義域. (　 )
(2)函數(shù)y=af(x)(a>0,且a≠1)與函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性相同. (　 )
◆ 探究點一　與指數(shù)函數(shù)有關的定義域與值域問題
例1 求下列函數(shù)的定義域和值域:
(1)y=;(2)y=;(3)y=;
(4)y=4x+2x+1+1.
變式 (1)函數(shù)y=的定義域和值域分別為 (　 )
A.(0,2],(0,1]
B.(-∞,2],[0,1)
C.(0,2],[0,1)
D.(-∞,2],(0,1]
(2)函數(shù)y=(-3≤x≤1)的值域是　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
對于形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函數(shù)的值域的求解,可令t=ax,先求出t的取值范圍,再借助函數(shù)y=f(t)的單調(diào)性確定整個函數(shù)的值域.
拓展 已知函數(shù)y=(a>0,且a≠1)的定義域是(-∞,0],求實數(shù)a的取值范圍.
◆ 探究點二　與指數(shù)函數(shù)有關的單調(diào)性問題
例2 判斷函數(shù)y=的單調(diào)性.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (1)已知函數(shù)f(x)=,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (　 )
A.(4,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,2) D.(2,+∞)
(2)若函數(shù)f(x)=在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a≤-4 B.a≤-2 C.a≥-2 D.a>-4
[素養(yǎng)小結(jié)]
復合函數(shù)的單調(diào)性一般是看包含的兩個函數(shù)的單調(diào)性.若兩個函數(shù)均為增函數(shù)或均為減函數(shù),則復合函數(shù)為增函數(shù);若兩個函數(shù)一增一減,則復合函數(shù)為減函數(shù).簡記為“同增異減”.
拓展 [2024·江西師大附中高一期中] 已知函數(shù)f(x)=ax2+x+1(a≠0).
(1)若關于x的不等式f(x)<0的解集為(-3,b),求a,b的值;
(2)已知g(x)=4x+1-2x+2,當x∈[-1,1]時,f(2x)≤g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
第3課時　指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用
【課前預習】
知識點一
診斷分析
(1)√　 (2)√ 　[解析] (1)因為函數(shù)y=3x,x∈[-1,1]與函數(shù)y=,x∈[-1,1]的定義域相同,且圖象關于y軸對稱,所以值域相同.
(2)設y=f(x)=a|x|,x∈[-k,k](a>0且a≠1,k>0),因為f(-x)=a|-x|=a|x|=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),圖象關于y軸對稱.
知識點二
診斷分析
(1)√　(2)×　[解析] (2)當a>1時,函數(shù)y=af(x)與函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性相同;當0【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)由x-4≠0,得x≠4,
故y=的定義域為(-∞,4)∪(4,+∞).
由≠0,得≠1,
故y=的值域為(0,1)∪(1,+∞).
(2)由1-2x≥0,得2x≤1,∴x≤0,
∴y=的定義域為(-∞,0].
∵0<2x,∴-2x<0,∴1-2x<1,
又1-2x≥0,∴y=的值域為[0,1).
(3)易知y=的定義域為R.
∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
∴≤=16.
又>0,∴函數(shù)y=的值域為(0,16].
(4)易知y=4x+2x+1+1的定義域為R.
∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2×2x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1,故函數(shù)y=4x+2x+1+1的值域為(1,+∞).
變式　(1)B　(2)　[解析] (1)由1-6x-2≥0,得x-2≤0,即x≤2,故函數(shù)的定義域為(-∞,2].因為0<6x-2≤1,所以0≤1-6x-2<1,即0≤<1,故函數(shù)的值域為[0,1).故選B.
(2)設t=-2x2-8x+1=-2(x+2)2+9, 則y=.∵-3≤x≤1,∴當x=-2 時,t取得最大值9;當x=1 時,t取得最小值-9.∴-9≤t≤9,又函數(shù)y=(-9≤t≤9)是減函數(shù),∴原函數(shù)的值域是 .
拓展　解:由ax-1≥0,得ax≥1.
因為函數(shù)y=(a>0,且a≠1)的定義域是(-∞,0],
所以ax≥1的解集為(-∞,0],所以0探究點二
例2　解:設u=x2-2x,則y=,易知對任意的1≤x1因為y=是減函數(shù),設y1=,y2=,
所以y1>y2,所以y=在[1,+∞)上單調(diào)遞減.
易知對任意的x3u4,因為y=是減函數(shù),
設y3=,y4=,所以y3所以y=在(-∞,1]上單調(diào)遞增.
變式　(1)D　(2)C　[解析] (1)令u=x2-4x=(x-2)2-4,則該函數(shù)在(-∞,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,而函數(shù)y=2u在R上為增函數(shù),所以函數(shù)f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞).故選D.
(2)記u=x2+ax=-,其圖象為拋物線,對稱軸為直線x=-,且拋物線的開口向上.∵函數(shù)f(x)=在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,∴函數(shù)u=x2+ax在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,又u=x2+ax在區(qū)間上單調(diào)遞增,∴-≤1,解得a≥-2.
拓展　解:(1)f(x)=ax2+x+1<0的解集為(-3,b),則a>0,ax2+x+1=0的解為x=-3和x=b,
由解得
(2)由f(x)=ax2+x+1,f(2x)≤g(x),得a×(2x)2+2x+1≤4x+1-2x+2,
設t=2x,x∈[-1,1],因為t=2x在[-1,1] 上單調(diào)遞增,所以t∈,則at2+t+1≤4t2-t+2,
整理得a≤-+4=+3.
當t=1時,y=+3取得最小值3,故a≤3且a≠0,即a的取值范圍為(-∞,0)∪(0,3].

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