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第四章　對數運算與對數函數
§1　對數的概念
【學習目標】
1.掌握對數式和對數運算的概念,靈活運用指數式與對數式的互化進行簡單的對數運算.
2.掌握常用對數和自然對數的概念.
3.掌握指數式與對數式的聯系,理解對數式的含義、熟練進行對數運算,通過對數運算的學習,提升數學抽象、數學運算等核心素養.
◆ 知識點一　對數的概念
1.對數定義
一般地,如果a(a>0且a≠1)的b次冪等于N,即　　　　,那么數b稱為以a為底N的　　　　,記作　　　　　　,其中a叫作對數的底數,N叫作　　　　.
2.兩類特殊的對數
當對數的底數a=10時,通常稱之為　　　　,并將log10N簡記為lg N;以無理數e=2.718 281…為底數的對數叫作　　　　,并將logeN簡記為ln N.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)負數和零沒有對數. (　 )
(2)loga1=0(a>0且a≠1). (　 )
(3)logaa=1(a>0且a≠1). (　 )
(4)loga=-1(a>0且a≠1). (　 )
(5)lg 10=1. (　 )
(6)(-2)3=-8可化為log(-2)(-8)=3. (　 )
◆ 知識點二　指數式與對數式的關系
【診斷分析】 依據指數式與對數式的關系,=N(a>0且a≠1)正確嗎
◆ 探究點一　指數式與對數式
例1 (1)在對數式b=log(a-2)(5-a)中,實數a的取值范圍是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.a>5或a<2 　B.2C.2(2)將下列指數式與對數式互化:
①log416=2;②lo9=-2;③lox=3;④44=256;⑤2-3=.
變式 (多選題)[2024·江西撫州金溪一中高一期中] 下列指數式與對數式的互化正確的是 (　 )
A.e0=1與ln 1=0
B.=與log27=-
C.log24=2與=2
D.log55=1與51=5
◆ 探究點二　利用指數式與對數式的關系求值
例2 求下列各式中x的值:
(1)logx3=;
(2)log64x=-;
(3)lo(2x2-4x+1)=1.
變式 (1)若log27x=-,則x=　　　　;
(2)若logx16=-4,則x=　　　　;
(3)若lg =x,則x=　　　　.
[素養小結]
利用指數式與對數式的關系求值時,關鍵是先根據對數的定義將對數式改為指數式,再利用指數運算得出相應的值.
◆ 探究點三　利用對數性質與對數恒等式求值
例3 求下列各式的值:
(1)log464=　　　　;(2)log530=　　　　;
(3)lg 0.01=　　　　;(4)log1212=　　　　;
(5)=　　　　.
變式 (1)①若=x,則x=　　　　.
②若log3[log4(log5x)]=0,則x=　　　　.
(2)計算:①=　　　　.
②=　　　　.
[素養小結]
利用對數的性質及恒等式求值時,關鍵是熟悉性質,如有多重對數式的求值應先由內到外或由外到內逐步脫去“log”后再求解,而對于不能直接利用對數恒等式=N的首先要借助指數冪的運算性質,將其變形為能直接運用對數恒等式的情況求值.
第四章　對數運算與對數函數
§1　對數的概念
【課前預習】
知識點一
1.ab=N　對數　logaN=b　真數　
2.常用對數　自然對數
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)×
知識點二
診斷分析
解:正確.若ab=N①,則b=logaN②,將②代入①得=N.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　[解析] 由題意得解得2(2)解:①log416=2,化為指數式是42=16.
②lo9=-2,化為指數式是=9.
③lox=3,化為指數式是()3=x.
④44=256,化為對數式是log4256=4.
⑤2-3=,化為對數式是log2=-3.
變式　ABD　[解析] 根據指數式與對數式的互化公式ab=N logaN=b(a>0且a≠1)可知,A,B,D正確;對于C,log24=2化為指數式是22=4,故C錯誤.故選ABD.
探究點二
例2　解:(1)由logx3=,得=3,所以x=9.
(2)由log64x=-,得x==(43=4-2=,所以x=.
(3)由lo(2x2-4x+1)=1,得2x2-4x+1=x2-2,解得x=1或x=3.當x=1時,x2-2=-1<0,舍去;
當x=3時,x2-2=7>0,2x2-4x+1=7>0,符合題意.
綜上,x=3.
變式　(1)　(2)　(3)-3　[解析] (1)因為log27x=-,所以x=2=(33=3-2=.
(2)因為logx16=-4,所以x-4=16,即x-4=24.
所以=24,又x>0,且x≠1,所以=2,即x=.
(3)因為lg =x,所以10x=10-3,所以x=-3.
探究點三
例3　(1)3　(2)0　(3)-2　(4)1　(5)　[解析] (1)設log464=x,則4x=64=43,得x=3,即log464=3.
(2)log530=log51=0.
(3)設lg 0.01=y,則10y=0.01=10-2,得y=-2,即lg 0.01=-2.
(4)設log1212=z,則12z=12,得z=1,即log1212=1.
(5)==.
變式　(1)①2　②625　(2)①4　②　[解析] (1)①x==2.
②∵log3[log4(log5x)]=0,∴log4(log5x)=30=1,∴log5x=4,∴x=54=625.
(2)①=(==4.
②原式=×=3×(3-1=3×()-1=3×2-1=.

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