資源簡(jiǎn)介

2.2　換底公式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.通過(guò)對(duì)數(shù)換底公式的推導(dǎo),提升邏輯推理的核心素養(yǎng).
2.通過(guò)用對(duì)數(shù)換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
◆ 知識(shí)點(diǎn)　對(duì)數(shù)換底公式
1.換底公式
logab=　　　　(a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1).
2.幾個(gè)重要結(jié)論
lobm=　　　　logab(a>0,b>0,且a≠1,n≠0);
logab=　　　　(a>0,b>0,且a≠1,b≠1).
【診斷分析】 對(duì)數(shù)換底公式中底數(shù)a是特定數(shù)還是任意數(shù)
◆ 探究點(diǎn)一　用換底公式化簡(jiǎn)計(jì)算
例1 (1)log45·log56·log64= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.1
C.2 D.3
(2)化簡(jiǎn):(log43+log83)·(log32+log92)=　　　　.
變式 (1)(log32+log23)2--的值為 (　 )
A.log26 B.log36
C.2 D.1
(2)計(jì)算下列各式的值:
①lg 20+log10025;
②(log2125+log425+log85)·(log1258+log254+log52).
[素養(yǎng)小結(jié)]
在解題方向尚不明確的情況下,一般統(tǒng)一將對(duì)數(shù)換成常用對(duì)數(shù)(當(dāng)然也可以換成以其他非1正數(shù)為底數(shù)的對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)),然后再化簡(jiǎn)計(jì)算.
◆ 探究點(diǎn)二　用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)
例2 (1)已知log189=a,18b=5,試用a,b表示log3645;
(2)已知2a=3b=5,用a,b表示lg 15的值.
變式 已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示log1815=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)時(shí),常用換底公式,把其他對(duì)數(shù)化成和已知對(duì)數(shù)底數(shù)相同的形式,從而進(jìn)行表示.
◆ 探究點(diǎn)三　利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化解題
例3 已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足3x=4y=6z,求證:-=.
變式 若實(shí)數(shù)a,b,c滿足25a=404b=2020c=2022,則 (　 )
A.+= B.+=
C.+= D.+=
[素養(yǎng)小結(jié)]
求解此類問(wèn)題,通常先把指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式,然后根據(jù)已知條件,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.
2.2　換底公式
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)
1.　2.　
診斷分析
解:底數(shù)a是大于0,且不等于1的任意數(shù).
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)B　(2)　[解析] (1)由換底公式得log45·log56·log64=··=1,故選B.
(2)原式===×××=.
變式　(1)C　[解析] 原式=(log32)2+2log32·log23+(log23)2-=(log32)2+2×1+(log23)2-=2.故選C.
(2)解:①lg 20+log10025=1+lg 2+=1+lg 2+lg 5=2.
②(log2125+log425+log85)·(log1258+log254+log52)=(log253+lo52+lo5)·(lo23+lo22+log52)=×log25×(1+1+1)×log52=×3=13.
探究點(diǎn)二
例2　解:(1)方法一:∵18b=5,∴l(xiāng)og185=b,
又log189=a,∴l(xiāng)og3645=====.
方法二:∵18b=5,∴l(xiāng)og185=b,又log189=a,∴l(xiāng)og3645===.
方法三:∵log189=a,18b=5,∴l(xiāng)g 9=alg 18,lg 5=blg 18,
∴l(xiāng)og3645====.
(2)∵2a=3b=5,∴a=log25,b=log35,∴l(xiāng)g 15====.
變式　　[解析] ∵lg 2=a,lg 3=b,∴l(xiāng)og1815====.
探究點(diǎn)三
例3　證明:令3x=4y=6z=m,由x,y,z均為正實(shí)數(shù),
得m>1,x=log3m,y=log4m,z=log6m,
∴=logm3,=logm4,=logm6,
∴-=logm6-logm3=logm2=.故得證.
變式　A　[解析] 由已知,得52a=404b=2020c=2022,得2a=log52022,b=log4042022,c=log20202022,所以=log20225,=log2022404,=log20222020,又5×404=2020,所以+=,即+=.故選A.

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