資源簡介

§3　對數函數
3.1　對數函數的概念
3.2　對數函數y=log2x的圖象和性質
【學習目標】
1.理解對數函數的概念以及對數函數與指數函數的關系.
2.了解指數函數與對數函數互為反函數,并會求指數函數或對數函數的反函數.
3.掌握對數函數y=log2x的圖象和性質.
◆ 知識點一　對數函數
1.概念:
函數y=logax(a>0,且a≠1)叫作對數函數,其中a叫作對數函數的　　　　.
2.對數函數的基本性質:
(1)定義域是　　　　　;
(2)圖象過定點　　　　.
3.兩個特殊的對數函數:
(1)以10為底的對數函數為常用對數函數,記作　　　　;
(2)以無理數e為底的對數函數為自然對數函數,記作　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)y=loga(x+1)(a>0且a≠1)是對數函數. (　 )
(2)y=logax+1(a>0且a≠1)是對數函數. (　 )
(3)y=logx5是對數函數. (　 )
◆ 知識點二　反函數
指數函數y=ax(a>0,且a≠1)和對數函數y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數y=log3x的反函數是y=3x. (　 )
(2)y=2x與y=2log4x互為反函數. (　 )
◆ 知識點三　對數函數y=log2x的圖象和性質
函數 y=log2x
圖象
性質 定義域 (0,+∞)
值域 R
單調性 在(0,+∞)上為　　　　函數
過定點 (1,0)
函數值 變化 當x>1時,　　　
當0【診斷分析】 1.畫對數函數y=log2x的簡圖時,應抓住哪三個關鍵點
2.函數y=log3x與函數y=log2x的性質一樣嗎
◆ 探究點一　對數函數的概念及其應用　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)(多選題)[2024·江西撫州金溪一中高一月考] 下列函數中是對數函數的是 (　 )
A.y=x B.y=log2(x+1)
C.y=ln x D.y=lg x+1
(2)若函數y=log(a-1)x+(a2-2a-3)是對數函數,則a=　　　　.
變式 函數f(x)=(m2-1)logmx是以m為底的對數函數,則m的值是　　　　.
[素養小結]
判斷一個解析式僅含對數符號“log”的函數是對數函數的方法
◆ 探究點二　反函數
例2 求下列函數的反函數:
(1)y=log3x;(2)y=4x.
變式 [2024·福建福州永泰一中高一月考] 已知函數f(x)=log5x,g(x)是f(x)的反函數,則f(1)+g(1)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.10 B.8
C.5 D.2
[素養小結]
求函數反函數的一般步驟:①反解x;②交換x,y,然后驗證此時y是否為關于x的函數;③注明定義域(原函數的值域).
◆ 探究點三　比較大小
例3 比較下列各組數的大小:
(1)log2與log2;
(2)log2(a2+1)與log2(2a).
變式 [2024·江西贛州南康中學高一月考] 已知a=,b=log2,c=lo,則 (　 )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.c>a>b
[素養小結]
比較對數的大小,主要依據對數函數的單調性.底數相同時,應先弄清相應的對數函數及其單調性,再通過自變量的大小關系得到相應函數值的大小關系.
拓展 已知a=log23,b=log2,c=0.4-1.2,則(　 )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.c>b>a
◆ 探究點四　解與對數函數y=log2x有關的不等式或方程
例4 (1)不等式log2(x2-4)>3的解集為　　　　　　　　.
(2)方程log2(x+4)+log2(x-1)=1+log2(x+1)的解為　　　　.
變式 (1)函數f(x)=的定義域為 (　 )
A.[-2,0] B.(-2,0)
C.(-2,0] D.(0,+∞)
(2)滿足2(3)方程log2(x-3)+log2(x+4)=3的解為　　　　.
[素養小結]
對于log2f(x)>log2g(x)的求解,常利用函數y=log2x的單調性,將不等式轉化為f(x)>g(x)來求解,但一定要注意f(x)>0,g(x)>0的限制條件.對于方程log2f(x)=log2g(x)的求解,一般通過方程f(x)=g(x)來求解,同樣方程的解要保證f(x)>0,g(x)>0.
§3　對數函數
3.1　對數函數的概念
3.2　對數函數y=log2x的圖象和性質
【課前預習】
知識點一
1.底數　2.(1)(0,+∞)　(2)(1,0)
3.(1)y=lg x　(2)y=ln x
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×
知識點二
診斷分析
(1)√　(2)√
知識點三
增　y>0　y<0
診斷分析
1.解:三個關鍵點是(2,1),(1,0),.
2.解:性質一樣.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)AC　(2)3　[解析] (1)根據對數函數的定義,可得y=x和y=ln x都是對數函數,y=log2(x+1)和y=lg x+1不是對數函數.故選AC.
(2)若y=log(a-1)x+(a2-2a-3)是對數函數,則解得a=3.
變式　　[解析] 由函數f(x)=(m2-1)logmx是以m為底的對數函數,可得解得m=.
探究點二
例2　解:(1)∵對數函數y=log3x的底數是3,∴它的反函數是指數函數y=3x.
(2)∵指數函數y=4x的底數是4,∴它的反函數是對數函數y=log4x(x>0).
變式　C　[解析] 因為函數f(x)=log5x,g(x)是f(x)的反函數,所以g(x)=5x,故f(1)+g(1)=log51+51=5.故選C.
探究點三
例3　解:(1)方法一:因為對數函數y=log2x在(0,+∞)上是增函數,且<,所以log2方法二:因為log2<0,log2>0,所以log2(2)因為對數函數y=log2x在(0,+∞)上是增函數,
且a2+1-2a=(a-1)2≥0,即a2+1≥2a,
所以log2(a2+1)≥log2(2a).
變式　D　[解析] ∵y=2x在R上為增函數,y=log2x在(0,+∞)上為增函數,∴0log22=1,∴c>a>b.故選D.
拓展　C　[解析] ∵函數y=log2x在(0,+∞)上為增函數,∴b=log2>2,∴c>a>b.故選C.
探究點四
例4　(1){x|x>2或x<-2}　(2)2　[解析] (1)由log2(x2-4)>3,得x2-4>23=8,所以x2-12>0,解得x>2或x<-2,故原不等式的解集為{x|x>2或x<-2}.
(2)由已知可得則解得x=2,所以原方程的解為2.
變式　(1)C　(2){x|-1(2)由2(3)由log2(x-3)+log2(x+4)=3,得log2(x2+x-12)=log28,∴x2+x-12=8,即x2+x-20=0,解得x=4或x=-5.當x=-5時,原方程無意義,舍去,∴方程log2(x-3)+log2(x+4)=3的解為4.

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