資源簡介

3.3　對數函數y=logax的圖象和性質
第1課時　對數函數y=logax的圖象和性質
【學習目標】
1.掌握對數函數y=logax(a>0且a≠1)的圖象與性質.
2.會應用對數函數的圖象與性質識圖、比較大小、求定義域等.
◆ 知識點一　對數函數的圖象和性質
函數 y=logax(a>1) y=logax(0圖象
性 質 定義域 　　　
值域 　　　
過定點 　　　
單調性 在(0,+∞)上為　　　 在(0,+∞)上為　　　
函數值 變化 當x>1時,　　　 當x>1時,y<0
當0【診斷分析】 已知a>0且a≠1,則函數y=logax的圖象與y=lox的圖象關于什么對稱
◆ 知識點二　底數對對數函數圖象的影響
圖中的四條曲線分別為四個對數函數y=logax,y=logbx和y=logcx,y=logdx的圖象,則b>a>1>d>c>0.
【診斷分析】 1.將不同底數的對數函數的圖象畫在同一個平面直角坐標系中,若沿直線y=a(a<0)自左向右觀察能得到什么結論
2.當a>1時,函數y=logax是增函數,則對任意的x>0,一定有log2x◆ 探究點一　與對數函數有關的定義域與值域
[提問] 若函數y=log3(x-1)有意義,則x應滿足什么


例1 (1)函數y=log2的定義域為　　　　.
(2)函數y=lox,x∈(0,8]的值域為　　　　.
變式 (1)[2024·江西新余四中高一月考] 函數f(x)=的定義域為(0,10],則實數a的值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.10 C.1 D.
(2)若函數f(x)=logax(a>0且a≠1)在[2,3]上的最大值為1,則a=　　　　.
[素養小結]
與對數函數有關的定義域、值域問題在求解時要注意對數的性質,即真數大于0,底數大于0且不等于1,底數不確定時,還要對底數a按照a>1,0拓展 已知a>0且a≠1,若loga(3a-1)>0恒成立,求a的取值范圍.
◆ 探究點二　對數函數的圖象
[提問] 對數函數的圖象恒過點(1,0),利用對數函數的圖象過定點可以處理形如y=loga(x+b)+c(a>0且a≠1)的函數圖象過定點的問題嗎


例2 (1)(多選題)如圖所示的平面直角坐標系中有三個對數函數的圖象,則下列結論正確
的是 (　 )
A.a>1
B.0C.2b<2c<2a
D.c(2)函數y=ax與y=lox(a>0且a≠1)(a>0且a≠1)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是 (　 )
A B C D
變式 (1)函數f(x)=1+log2x與g(x)=21-x在同一個平面直角坐標系中的圖象大致是 (　 )
A B C D
(2)(多選題)函數y=bx+a與y=logax(a>0且a≠1)在同一平面直角坐標系中的圖象可能為 (　 )
A B C D
[素養小結]
處理對數函數圖象問題的3個注意點:
(1)明確圖象的分布區域.對數函數的圖象分布在第一、四象限.當x趨近于0時,函數圖象會越來越靠近y軸,但永遠不會與y軸相交.
(2)建立分類討論的思想.在畫對數函數圖象之前要先判斷對數的底數a的取值范圍是a>1,還是0(3)牢記特殊點.對數函數y=logax(a>0,且a≠1)的圖象經過點(1,0),(a,1)和.
◆ 探究點三　比較大小
[提問] 當a>1時,y=logax為　　　　,當0例3 (1)已知a=log32,b=log23,c=log0.23,則 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.aC.b(2)若loga2A.0C.a>b>1 D.b>a>1
變式 (1)已知a=log0.62,b=log67,c=0.23,則 (　 )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
(2)(多選題)下列各式中正確的是 (　 )
A.ln 0.83>ln 0.73
B.lg 1.6>lg 1.4
C.log0.50.4>log0.50.6
D. log23>log0.50.2
[素養小結]
比較對數式的大小,主要依據對數函數的單調性.
(1)若底數為同一常數,則可由對數函數的單調性直接比較.
(2)若底數不同,真數相同,則可以先用對數換底公式化為相同底數的對數后,再進行比較.也可以利用在第一象限內順時針方向底數增大的規律畫出函數的圖象,再進行比較.
(3)若底數與真數都不同,則常借助1,0等中間量進行比較.
◆ 探究點四　解對數不等式
例4 (1)不等式lox>lo (4-x)的解集為　　　　.
(2)解關于x的不等式loga(2x-1)0,且a≠1.
變式 (1)若loga<1,則實數a的取值范圍是(　 )
A.∪(1,+∞) B.
C. D.
(2)解不等式2+lo(5-x)+log2>0.
[素養小結]
解對數不等式的關鍵在于根據對數函數的單調性將其轉化為不含對數的不等式來求解.對于形如logaf(x)g(x)>0;當a>1時,可轉化為0ab;當a>1時,可轉化為03.3　對數函數y=logax的圖象和性質
第1課時　對數函數y=logax的圖象和性質
【課前預習】
知識點一
(0,+∞)　R　(1,0)　增函數　減函數　y>0　y>0
診斷分析
解:函數y=logax的圖象與y=lox的圖象關于x軸對稱.
知識點二
診斷分析
1.解:將不同底數的對數函數的圖象畫在同一個平面直角坐標系中,沿直線y=a(a<0)自左向右看,對數函數的底數逐漸減小.
2.解:不一定.當x>1時,有log2x>log3x;當x=1時,有log2x=log3x=0;當0【課中探究】
探究點一
提問 解:若函數y=log3(x-1)有意義,則x>1.
例1　(1)(-∞,0)　(2)[-3,+∞)　[解析] (1)要使函數有意義,需滿足>0,即1-3x>0,∴3x<1=30,∴x<0,∴函數y=log2的定義域為(-∞,0).
(2)因為函數y=lox在(0,8]上是減函數,所以lox≥lo8=-3,故函數的值域為[-3,+∞).
變式　(1)C　(2)3　[解析] (1)由已知得a-lg x≥0的解集為(0,10],由a-lg x≥0,得lg x≤a,又當0(2)當a>1時,f(x)在區間[2,3]上單調遞增,∴f(x)的最大值是f(3)=1,則loga3=1,∴a=3>1,∴a=3符合題意.當01,∴a=2不合題意.綜上,a=3.
拓展　解:若01,則由題意可得3a-1>1,所以a>1.
綜上,a>1或探究點二
提問 解:可以.只需將真數(x+b)看成一個整體,令x+b=1,得x=1-b,所以形如y=loga(x+b)+c(a>0且a≠1)的函數圖象過定點(1-b,c).
例2　(1)ABC　(2)A　[解析] (1)由題圖得a>1>c>b>0,即b(2)當0當a>1時,y=ax與y=lox的圖象如圖②所示,故選A.
① ②
變式　(1)C　(2)BC　[解析] (1)f(x)=1+log2x的圖象由函數y=log2x的圖象向上平移1個單位長度得到,所以函數f(x)的圖象過點(1,1),且f(x)為增函數.函數g(x)=21-x=2×,其圖象經過點(0,2),且g(x)為減函數.故選C.
(2)曲線為y=logax的圖象,直線為y=bx+a的圖象.對于A,由y=logax的圖象知a>1,由y=bx+a的圖象知01,由y=bx+a的圖象知a>1,所以B項正確.對于C,由y=logax的圖象知01,矛盾,所以D項錯誤.故選BC.
探究點三
提問 增函數　減函數
例3　(1)D　(2)B　[解析] (1)∵01,log0.23<0,∴log23>log32>log0.23,即b>a>c.
(2)方法一:結合題意,畫出函數y=logax,y=logbx的大致圖象,如圖所示.再由對數函數的圖象可知0方法二:由已知得<<0,則0>log2a>log2b,即log21>log2a>log2b.∵y=log2x在定義域上為增函數,∴0變式　(1)D　(2)ABC　[解析] (1)因為a=log0.62<0,b=log67>1,0c>a.故選D.
(2)因為y=x3是R上的增函數,0.8>0.7,所以0.83>0.73,又y=ln x在(0,+∞)上是增函數,所以ln 0.83>ln 0.73,故A正確;因為y=lg x是(0,+∞)上的增函數,1.6>1.4,所以lg 1.6>lg 1.4,故B正確;因為y=log0.5x是(0,+∞)上的減函數,0.4<0.6,所以log0.50.4>log0.50.6,故C正確;因為1探究點四
例4　(1)(0,2)　[解析] 由題意可得解得0(2)解:由題意,當01時,原不等式等價于解得即所以當0當a>1時,原不等式的解集為.
變式　(1)A　[解析] 當a>1時,loga(2)解:原不等式等價于解得所以原不等式的解集為{x|0

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