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第2課時(shí)　對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的性質(zhì)與應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.通過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用,體會(huì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
2.通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,提升直觀想象素養(yǎng).
◆ 知識(shí)點(diǎn)　與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的綜合
問(wèn)題
對(duì)于函數(shù)y=logaf(x),它是由t=f(x),y=logat兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的,其單調(diào)性由t=f(x),y=logat的單調(diào)性決定,當(dāng)兩個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)性相同(反)時(shí),函數(shù)y=logaf(x)在定義域內(nèi)是增(減)函數(shù),即“同增異減”.而值域則往往先求出t=f(x)的值域再根據(jù)y=logat的單調(diào)性求解.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y=log2(1-x)在R上單調(diào)遞減. (　 )
(2)函數(shù)y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
例1 (1)函數(shù)f(x)=lo(x2+2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(-1,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,-4) D.(-∞,-1)
(2)已知函數(shù)f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,4] B.(-∞,2]
C.(-4,4] D.(-4,2]
變式 (1)[2024·海南中學(xué)高一月考] 函數(shù)f(x)=lg(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (　 )
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
(2)若函數(shù)f(x)=ln(x2-2ax-a)在(-∞,-2]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (　 )
A. B.[-2,+∞) C. D.(-∞,-2]
[素養(yǎng)小結(jié)]
求形如y=logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先要求出函數(shù)的定義域,再研究函數(shù)t=f(x)和函數(shù)y=logat在定義域上的單調(diào)性,最后判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
◆ 探究點(diǎn)二　與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域和最值
[提問(wèn)] 求函數(shù)y=的定義域時(shí)要考慮哪些方面



例2 (1)求下列函數(shù)的值域:
①y=;②y=log0.5(x2+2x+5).
(2)求函數(shù)y=(lox)2-2lox+5在[2,4]上的最大值和最小值.
變式 (1)已知函數(shù)f(x)=log2x·log2(2x),x∈,則函數(shù)f(x)的最大值為　　　　　　,最小值為　　　　　　.
(2)若函數(shù)f(x)=lg(2x+2-x+a-1)的值域是R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí),要先求出函數(shù)的定義域,明確真數(shù)的取值范圍,再利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
◆ 探究點(diǎn)三　與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性
例3 已知函數(shù)f(x)=loga(a>0,且a≠1,b≠-2)是定義在(-2,2)上的奇函數(shù).
(1)求f(0)和實(shí)數(shù)b的值;
(2)若f(x)滿足f(t2-2)+f(3t-2)<0,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
變式 (1)(多選題)函數(shù)f(x)=ln(x+1)-ln(1-x),則下列說(shuō)法正確的是 (　 )
A.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
B.f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C.函數(shù)f(x)在定義域上為增函數(shù)
D.函數(shù)f(x)在定義域上為減函數(shù)
(2)若函數(shù)f(x)=lg|x+a|是偶函數(shù),則a=　　　　.
(3)已知函數(shù)f(x)=log5(-2x),實(shí)數(shù)m,n滿足f(4m-2)+f(n)=0,則4m+n=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
要判斷函數(shù)的奇偶性,首先應(yīng)求出定義域,看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.對(duì)于形如f(x)=logag(x)的函數(shù),利用f(-x)±f(x)=0來(lái)判斷奇偶性較簡(jiǎn)便.
◆ 探究點(diǎn)四　與指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題
例4 風(fēng)光秀麗的千島湖盛產(chǎn)鳙魚(yú),記鳙魚(yú)在湖中的游速為v m/s,鳙魚(yú)在湖中的耗氧量的單位數(shù)為x,已知鳙魚(yú)的游速v與log2(x≥100)成正比,當(dāng)鳙魚(yú)的耗氧量為200單位時(shí),其游速為 m/s.若某條鳙魚(yú)的游速提高了1 m/s,則它的耗氧量的單位數(shù)是原來(lái)的 (　 )
A.2倍 B.4倍
C.6倍 D.8倍
變式 某工廠產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放,規(guī)定排放時(shí)污染物的殘留含量不得超過(guò)原污染物總量的0.25%.已知在過(guò)濾過(guò)程中的污染物的殘留數(shù)量P(單位:毫克/升)與過(guò)濾時(shí)間t(單位:小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為P=P0·ekt,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k為常數(shù),P0為原污染物總量.若前4個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過(guò)濾掉了80%,則k=　　　　;要能夠按規(guī)定排放廢氣,還需要過(guò)濾n小時(shí),則正整數(shù)n的最小值為　　　　.(參考數(shù)據(jù):log52≈0.43)
[素養(yǎng)小結(jié)]
與指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,關(guān)鍵是要認(rèn)真審題,從中提煉出相應(yīng)的函數(shù)模型,再將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)問(wèn)題來(lái)求解,但要注意所得結(jié)果要符合實(shí)際情況.
第2課時(shí)　對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的性質(zhì)與應(yīng)用
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)令t=1-x>0,則x<1,y=log2t.因?yàn)閠=1-x在(-∞,1)上單調(diào)遞減,y=log2t在(0,+∞)上是增函數(shù),所以函數(shù)y=log2(1-x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減.
(2)令t=x+1>0,則x>-1,y=log0.5t.因?yàn)閠=x+1在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,y=log0.5t在(0,+∞)上是減函數(shù),所以函數(shù)y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)由x2+2x-8>0可得x<-4或x>2,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-4)∪(2,+∞).因?yàn)閒(x)=lo(x2+2x-8)是由y=lot和t=x2+2x-8復(fù)合而成,y=lot在(0,+∞)上是減函數(shù),t=x2+2x-8在(-∞,-4)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=lo(x2+2x-8)在(-∞,-4)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)=lo(x2+2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-4),故選C.
(2)若函數(shù)f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),x2-ax+3a>0且函數(shù)y=x2-ax+3a單調(diào)遞增,則≤2,且4+a>0,解得-4變式　(1)D　(2)A　[解析] (1)對(duì)于函數(shù)f(x)=lg(x2-2x-8),需滿足x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,故函數(shù)f(x)=lg(x2-2x-8)的定義域?yàn)?-∞,-2)∪(4,+∞).函數(shù)y=x2-2x-8的圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為直線x=1,函數(shù)y=lg x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞).故選D.
(2)若函數(shù)f(x)=ln(x2-2ax-a)在(-∞,-2]上單調(diào)遞減,則解得即a>-,故選A.
探究點(diǎn)二
提問(wèn) 解:①真數(shù)要大于0;②偶次根式的被開(kāi)方數(shù)不小于0.
例2　解:(1)①要使函數(shù)有意義,需滿足
即解得x>1,所以函數(shù)y=的定義域?yàn)?1,+∞),值域?yàn)?0,+∞).
②因?yàn)閤2+2x+5=(x+1)2+4≥4,
所以函數(shù)y=log0.5(x2+2x+5)的定義域?yàn)镽.
又log0.5(x2+2x+5)≤log0.54=-2,
所以函數(shù)y=log0.5(x2+2x+5)的值域?yàn)?-∞,-2].
(2)設(shè)u=lox,因?yàn)?≤x≤4,所以-2≤u≤-1.
又y=(lox)2-+5=u2-u+5=+,且y=+在[-2,-1]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)u=-1時(shí),y取得最小值,ymin=+=7,
當(dāng)u=-2時(shí),y取得最大值,ymax=+=11.
變式　(1)2　-　(2)(-∞,-1]　[解析] (1)f(x)=log2x·log2(2x)=log2x·(log2x+1),x∈,令t=log2x,則t∈[-2,1],設(shè)g(t)=t(t+1),其中t∈[-2,1],則g(t)=t2+t=-,可得當(dāng)t=-時(shí),函數(shù)g(t)取得最小值,最小值為g=-;當(dāng)t=-2或t=1時(shí),函數(shù)g(t)取得最大值,最大值為g(1)=2.
(2)設(shè)g(x)=2x+2-x+a-1,則g(x)=2x+2-x+a-1≥2+a-1=a+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立,故g(x)的值域?yàn)閇a+1,+∞).由f(x)=lg(2x+2-x+a-1)的值域?yàn)镽知,[a+1,+∞) (0,+∞),所以a≤-1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1].
探究點(diǎn)三
例3　解:(1)根據(jù)題意可得f(0)=loga1=0.
因?yàn)閒(x)是定義在(-2,2)上的奇函數(shù),所以f(-x)=loga=-f(x)=-loga=loga,
可得=,所以16-4x2=16-b2x2,可得b=2.
(2)由(1)可知,f(x)=loga=loga=loga(a>0,a≠1),
易知函數(shù)y=-1在(-2,2)上單調(diào)遞減,
由奇函數(shù)性質(zhì)及f(t2-2)+f(3t-2)<0可得f(t2-2)<-f(3t-2)=f(2-3t),
當(dāng)0當(dāng)a>1時(shí),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)在(-2,2)上單調(diào)遞減,需滿足解得1所以當(dāng)01時(shí),t的取值范圍為.
變式　(1)BC　(2)0　(3)2　[解析] (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1).因?yàn)閒(-x)=ln(-x+1)-ln(1+x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,A錯(cuò)誤,B正確;因?yàn)閥=ln(x+1)在(-1,1)上單調(diào)遞增,y=ln(1-x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,所以f(x)=ln(x+1)-ln(1-x)在(-1,1)上為增函數(shù),C正確,D錯(cuò)誤.故選BC.
(2)依題意知lg|x+a|=lg|-x+a|,所以當(dāng)x≠±a時(shí),|x+a|=|-x+a|恒成立,所以a=0.
(3)因?yàn)?=|2x|≥2x,所以f(x)的定義域?yàn)镽,又f(x)+f(-x)=log5(-2x)+log5(+2x)=log5[(-2x)(+2x)]=log51=0,所以f(x)是奇函數(shù),由f(4m-2)+f(n)=0可得4m-2+n=0,則4m+n=2.
探究點(diǎn)四
例4　B　[解析] ∵鳙魚(yú)的游速v與log2(x≥100)成正比,∴不妨設(shè)v=klog2(x≥100),∵當(dāng)x=200時(shí),v=,∴=klog2,解得k=,∴v=log2(x≥100).設(shè)鳙魚(yú)開(kāi)始時(shí)的游速為v0 m/s,耗氧量的單位數(shù)為x0,提速后的游速為v1 m/s,提速后的耗氧量的單位數(shù)為x1,則v1=v0+1=log2+1==log2,又∵v1=log2,∴x1=4x0,故選B.
變式　-　11　[解析] ∵前4個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過(guò)濾掉了80%,∴(1-80%)P0=P0·e4k,得0.2=e4k,則k=-.由0.25%P0=P0·ekt,得ln 0.002 5=-t,∴t==4log5400=8(1+2log52)≈14.88.故正整數(shù)n的最小值為15-4=11.

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