資源簡介

§4　指數函數、冪函數、對數函數增長的比較
*§5　信息技術支持的函數研究
【學習目標】
1.通過作圖,借助數學軟件體會并了解指數函數、冪函數、對數函數的增長特性,提升數據分析、直觀想象素養.
2.掌握冪函數與對數函數、指數函數的增長差異,并能解決相關問題.
3.能正確選擇函數模型解決實際問題,提升數學建模素養.
◆ 知識點　指數函數、冪函數、對數函數增長的比較
給定常數a,b,c,可知函數y=ax(a>1),y=logbx(b>1)和y=xc(x>0,c>1)都是增函數,但它們的函數值增長速度不同,而且不在同一個“級別”上.隨著自變量x的增大,y=ax(a>1)的函數值增長速度越來越快,會超過并遠遠大于y=xc(c>1)的函數值增長速度,而y=logbx(b>1)的函數值增長速度則會越來越慢.
【診斷分析】 1.當a>1,n>0時,對任意的x∈(0,+∞),是否總有logax2.判斷某個增函數增長快慢的依據是什么
◆ 探究點一　函數模型的增長差異
例1 (1)[2024·湖北崇陽二中高一月考] 下列函數中,隨著x的增大,增長速度最快的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=2023x B.y=2023 C.y=log2023x D.y=2023x
(2)四個變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數據如下表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
關于x呈指數函數變化的變量最可能是　　　　.
變式 (1)若函數y1=a·x2,y2=c·2x,y3=b·x3,則由表中數據確定f(x),g(x),h(x)依次對應 (　 )
x f(x) g(x) h(x)
1 2 0.2 0.2
5 50 25 3.2
10 200 200 102.4
A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2
(2)如圖是某市相關部門根據統計數據繪制的該市7歲以下女童身高的中位數的散點圖,給出下列函數模型,其中可近似刻畫身高y(單位:cm)隨年齡x(單位:歲)變化規律的是 (　 )
A.y=mx+n(m>0)
B.y=m+n(m>0)
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>1)
[素養小結]
三種函數(指數函數、冪函數、對數函數)都是增函數時,當自變量充分大時,指數函數的函數值最大,但必須滿足自變量的值大到一定程度,因此判斷一個增函數是否為指數型函數時,一般比較當自變量增加到一定程度時,自變量增加相同的量,函數值的增長量是否為最大,若是,則這個函數就可能是指數型函數.
◆ 探究點二　指數函數、對數函數與冪函數模型的增長比較
例2 函數f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖所示.設兩函數的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應的函數;
(2)結合函數圖象,判斷f(6),g(6),f(2021),g(2021)的大小關系.
變式 函數f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的圖象如圖所示.
(1)指出曲線C1,C2分別對應哪一個函數;
(2)比較兩函數的大小(以兩圖象交點的橫坐標x1,x2為分界,對f(x),g(x)的大小進行比較).
[素養小結]
根據圖象判斷函數是指數函數、對數函數或冪函數時,通常是觀察函數圖象上升的快慢,即隨著自變量的增長,圖象最“陡”的函數是指數型函數,圖象趨于平緩的函數是對數型函數.
◆ 探究點三　實際應用題
例3 [2024·浙江湖州高一期末] 隨著電動汽車研發技術的日益成熟,電動汽車的普及率越來越高.某型號電動汽車進行耗電量測試,限速80 km/h(不含80 km/h),經多次測試得到該汽車每小時的耗電量M(單位:Wh)與速度v(單位:km/h)之間的一組數據如下表所示.
v 0 10 30 70
M 0 1325 3375 9275
為了描述該汽車每小時的耗電量與速度的關系,現有以下三種函數模型供選擇:
M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=1000·+a,M(v)=300logav+b.
(1)當0≤v<80時,請選出一種你認為最符合表格中所列數據的函數模型,并求出相應的函數解析式.
(2)在本次測試中,該電動汽車的最長續航里程為400 km.若測試過程為勻速行駛,請計算本次測試時的車速為何值時,該電動汽車的總耗電量(單位:Wh)最小 并計算出該最小值.
變式 某公司為了實現年銷售利潤1000萬元的目標,準備制訂一個激勵銷售人員的獎勵方案(該方案針對的銷售利潤范圍為10萬元~1000萬元):按銷售利潤進行獎勵,且獎金數額y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金數額不超過5萬元,同時獎金數額不超過銷售利潤的25%.現有三個獎勵模型:y=0.025x,y=1.003x,y=ln x+1.問其中是否有模型能完全符合公司的要求 請說明理由.
(參考數據:1.003538≈5,e3≈20,e8≈2981,參考結論:f(x)=2ln x+4-x在[10,1000]上單調遞減)
[素養小結]
函數模型的選取主要取決于實際問題中變量的變化規律:(1)指數函數模型適合于描述增長速度急劇的變化規律;(2)對數函數模型適合于描述增長速度平緩的變化規律;(3)冪函數模型適合于描述增長速度一般的變化規律.
§4　指數函數、冪函數、對數函數增長的比較
*§5　信息技術支持的函數研究
【課前預習】
知識點
診斷分析
1.解:不是,但總存在x0,使得當a>1,n>0,x>x0時,logax2.解:依據自變量增加相同的量,函數值增長量的大小判斷.增長量越大,增長速度越快.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)D　(2)y2　[解析] (1)選項A,B,C,D分別為一次函數,常數函數,對數函數,指數函數,且對數函數與指數函數的底數都大于1,則隨著x的增大,增長最快的是指數函數.故選D.
(2)以爆炸式增長的變量是呈指數函數變化的.從表格中可以看出,四個變量y1,y2,y3,y4均是從2開始變化的,變量y1,y2,y3,y4都是越來越大的,但是增長速度不同,其中變量y2的增長速度最快,可知變量y2最可能關于x呈指數函數變化.
變式　(1)D　(2)B　[解析] (1)因為=25=,=4=,所以f(x)=y1;因為=125=,=8=,所以g(x)=y3;因為=16=,=32=,所以h(x)=y2,故選D.
(2)由散點圖知,隨著x的增長,y的增長速度越來越慢,排除A,C;當x=0時,函數有意義,排除D,只有B符合題意.故選B.
探究點二
例2　解:(1)C1對應的函數為g(x)=x3,C2對應的函數為f(x)=2x.
(2)因為f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1從圖象可以看出,當x1所以f(6)當x>x2時,f(x)>g(x),所以f(2021)>g(2021).
又因為g(2021)>g(6),
所以f(2021)>g(2021)>g(6)>f(6).
變式　解:(1)由題圖知,C1對應的函數為g(x)=0.3x-1,C2對應的函數為f(x)=lg x.
(2)當x∈(0,x1)時,g(x)>f(x);
當x∈(x1,x2)時,g(x)當x∈(x2,+∞)時,g(x)>f(x).
探究點三
例3　解:(1)對于M(v)=300logav+b,當v=0時,它無意義,所以不符合題意;
對于M(v)=1000·+a,顯然該函數是減函數,所以不符合題意,故應選M(v)=v3+bv2+cv.
根據提供的數據,可得解得所以當0≤v<80時,M(v)=v3-2v2+150v.
(2)設車速為v km/h,則所用時間為 h,
總耗電量f(v)==10(v2-80v+6000)=10(v-40)2+44 000,
所以當測試時的車速為40 km/h時,
該電動汽車的總耗電量最小,最小值為44 000 Wh.
變式　解:由題意,符合公司要求的模型需同時滿足當x∈[10,1000]時,①函數單調遞增;②y≤5;③y≤x·25%.
(1)對于y=0.025x,易知滿足①,但當x>200時,y>5,故不滿足公司的要求.
(2)對于y=1.003x,易知滿足①,但當x>538時,y>5,故不滿足公司的要求.
(3)對于y=ln x+1,易知滿足①.
當x∈[10,1000]時,y≤ln 1000+1,
因為ln 1000+1-5=ln 1000-4=(ln 1000-8)≈(ln 1000-ln 2981)<0,所以y<5,滿足②.
下面證明ln x+1≤x·25%,
即2ln x+4-x≤0,x∈[10,1000].
設F(x)=2ln x+4-x,x∈[10,1000],
則由題意知F(x)在[10,1000]上單調遞減,
所以F(x)max=F(10)=2ln 10+4-10=2ln 10-6=2(ln 10-3)≈2(ln 10-ln 20)<0,
所以y≤x·25%,滿足③.
綜上,獎勵模型y=ln x+1能完全符合公司的要求.

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