資源簡介

§2　對數的運算
2.1　對數的運算性質
【學習目標】
1.掌握對數的運算性質.
2.理解對數運算性質的推導過程.
3.通過推導對數運算性質的過程,提升數學運算的核心素養.
◆ 知識點　對數的運算性質
若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,則有
(1)loga(M·N)=　　　　　　　;
(2)loga=　　　　　　　;
(3)logaMb=blogaM.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)loga(M·N)=logaM·logaN,其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. (　 )
(2)loga(M±N)=logaM±logaN,其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. (　 )
(3)logaM·logaN=loga(M+N),其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. (　 )
(4)log2=-2. (　 )
◆ 探究點一　對數的運算性質
例1 已知a>0且a≠1,x>0,y>0,z>0,用logax,logay,logaz表示下列各式:
(1)loga(xyz);　　(2)loga;
(3)loga;　　(4)loga.
變式 [2024·廣東兩陽中學高一月考] 若2a=log28,b=log2,則+= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.2 C.4 D.8
[素養小結]
利用對數的運算性質解題時,一定要注意真數的取值范圍是(0,+∞).公式可以逆用.
◆ 探究點二　利用對數運算性質求值
例2 計算:(1)4lg 2+3lg 5-lg;
(2);
(3)2log32-log3+log38-.
變式 計算:
(1)lg-lg+lg;
(2)+;
(3)lg 5·(lg 8+lg 1000)+(lg )2+lg+lg 0.06.
[素養小結]
利用對數的運算性質求值時,一般有兩個思路:
(1)正用公式:將式中真數的積、商、冪運用對數的運算性質化為對數的和、差、積,然后化簡求值;
(2)逆用公式:將式中對數的和、差、積運用對數的運算性質化為真數的積、商、冪,然后化簡求值.
拓展 已知m>0,且10x=lg(10m)+lg ,求實數x的值.
◆ 探究點三　條件求值與化簡
例3 (1)已知lg 2=m,lg 3=n,求100m-2n的值.
(2)已知log32=a,3b=5,用a,b表示log3.
變式 (1)設5m=9,則log53= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C.m D.
(2)已知log53=a,log54=b,則log5270可表示為 (　 )
A.ab B.3a++1
C.3a+ D.a3++1
[素養小結]
條件求值與化簡的基本原則和方法:①正用或逆用對數運算性質;②對真數進行處理,要么把已知條件的真數化簡,要么化簡所求對數的真數.
§2　對數的運算
2.1　對數的運算性質
【課前預習】
知識點
(1)logaM+logaN　(2)logaM-logaN
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)loga(xyz)=logax+logay+logaz.
(2)loga=loga(xy2)-logaz=logax+logay2-logaz=logax+2logay-logaz.
(3)loga=loga(y)-loga=loga+logay-loga=logax+logay-logaz.
(4)loga=loga(x5y3)-logaz2=logax5+logay3-2logaz=5logax+3logay-2logaz.
變式　A　[解析] 由2a=log28得2a=3,所以a=log23,又b=log2,所以a+b=log23+log2=log21=0,所以+==0.故選A.
探究點二
例2　解:(1)原式=lg=lg 104=4.
(2)原式===.
(3)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=5log32-(5log32-2)-3=-1.
變式　解:(1)原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=lg 2+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=.
(2)原式=+()-1=1-1=0.
(3)原式=3lg 5·(1+lg 2)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2=3lg 2·(lg 5+lg 2)+3lg 5-2=3-2=1.
拓展　解:10x=lg(10m)+lg =lg=lg 10=1,所以x=0.
探究點三
例3　解:(1)∵lg 2=m,lg 3=n,∴10m=2,10n=3,
∴100m-2n=(102)m-2n=102m-4n====.
(2)∵3b=5,∴b=log35.又log32=a,∴log3=log3(2×3×5)=(log32+log33+log35)=(a+b+1).
變式　(1)D　(2)B　[解析] (1)由5m=9得m=log59=log532=2log53,∴log53=.故選D.
(2)log5270=log527+log510=3log53+log52+1=3a++1.故選B.

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