資源簡介

1.2　利用二分法求方程的近似解
【學習目標】
1.探索用二分法求方程近似解的思路,并會畫程序框圖.
2.能借助計算工具用二分法求方程的近似解,并知道用二分法求方程近似解具有一般性.
◆ 知識點一　二分法的概念
對于一般的函數(shù)y=f(x),x∈[a,b],若函數(shù)y=f(x)的圖象是一條　　　　　　,f(a)·f(b)<0,則每次取區(qū)間的　　　　,將區(qū)間一分為二,再經比較,按需要留下其中一個小區(qū)間的求方程近似解的方法叫作二分法.
【診斷分析】 區(qū)間(a,b)的中點是什么 它是點還是數(shù)
◆ 知識點二　用二分法求方程近似解的步驟
用二分法求方程f(x)=0近似解的步驟如圖所示.
(1)“初始區(qū)間”是一個兩端點函數(shù)值　　　　的區(qū)間.
(2)新區(qū)間的一個端點是原區(qū)間的　　　　,另一端點是原區(qū)間兩端點中的一個,并且新區(qū)間兩端點的函數(shù)值　　　　.
(3)方程的解滿足要求的精確度且選取區(qū)間內的　　　　數(shù)作為方程的近似解.
【診斷分析】 初始區(qū)間選的不同,會影響最終的計算結果嗎
◆ 探究點一　二分法應用條件的考查
例1 (1)下列圖象所對應的函數(shù)中,不能用二分法求零點的是 (　 )
　 　　　　 A　　　　　　　　B
　 　　　 C　　　　　　　　D
(2)設函數(shù)f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間(1,2)內近似解的過程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,則方程的根所在的區(qū)間是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能確定
(3)[2023·福州格致中學高一期中] 下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是 (　 )
A.f(x)=3x+1 B.f(x)=x3
C.f(x)=x2 D.f(x)=ln x
[素養(yǎng)小結]
運用二分法求函數(shù)的零點應具備的條件:
(1)函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷;
(2)在該零點附近,左、右兩側的函數(shù)值異號.
只有同時滿足上述兩個條件,才可用二分法求函數(shù)零點.
◆ 探究點二　利用二分法求方程的近似解
例2 用二分法求方程2x=6-3x的近似解.(精確度為0.1)
變式 (1)用二分法求方程2x3+3x-3=0的一個正實數(shù)近似解(精確度為0.1).
(2)用二分法求函數(shù)f(x)=2x3+3x-3在(0,1)上的一個零點,至少要經過多少次等分后精確度達到0.1
[素養(yǎng)小結]
利用二分法求方程的近似解時,取不同的初始區(qū)間,其計算就有繁簡之分,一般地,可用特殊值代入計算并結合估算尋找確定一個使計算最簡單的初始區(qū)間.
拓展 已知f(x)=ln x+x-2,用二分法求方程f(x)=0的一個近似解(精確度為0.5).
1.2　利用二分法求方程的近似解
【課前預習】
知識點一
連續(xù)的曲線　中點
診斷分析
解:我們把稱為區(qū)間(a,b)的中點,區(qū)間的中點是數(shù)不是點.
知識點二
(1)異號　(2)中點　異號　(3)任意一個
診斷分析
解:不會.初始區(qū)間的選定,往往需要通過分析函數(shù)的性質和試算,長度應盡可能的小.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)B　(2)B　(3)C　[解析] (1)用二分法求函數(shù)零點的近似值僅對函數(shù)的變號零點適用,對函數(shù)的不變號零點不適用.觀察所給的四個函數(shù)的圖象,它們與x軸都有交點,但B中的圖象在x軸上或x軸上方,即函數(shù)在零點附近的函數(shù)值不變號,無法用二分法.故選B.
(2)∵f(1.5)·f(1.25)<0,且f(x)在R上是增函數(shù),∴方程的根所在的區(qū)間是(1.25,1.5).
(3)易知選項C中的函數(shù)f(x)=x2的零點為x=0,而在零點左右兩側的函數(shù)值都為正數(shù),故不能用二分法求零點;選項A,B,D中的函數(shù),它們在各自的零點左右兩側的函數(shù)值符號相反,可以用二分法求函數(shù)的零點.故選C.
探究點二
例2　解:設f(x)=2x+3x-6,在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y=2x和y=6-3x的圖象,觀察圖象可以發(fā)現(xiàn),它們的圖象僅有一個交點,即方程2x=6-3x有唯一解,設為x0.因為f(1)=2+3-6=-1<0,f(2)=4+6-6=4>0,所以f(1)·f(2)<0,即方程2x=6-3x的解x0∈(1,2).利用二分法,可以得到下表:
區(qū)間(a,b) f(a) f(b) 區(qū)間中點 f
(1,2) f(1)<0 f(2)>0 1.5 f(1.5)≈1.33>0
(1,1.5) f(1)<0 f(1.5)>0 1.25 f(1.25)≈0.13>0
(1,1.25) f(1)<0 f(1.25)>0 1.125 f(1.125)≈-0.44<0
(1.125,1.25) f(1.125)<0 f(1.25)>0 1.187 5 f(1.187 5)≈-0.16<0
因為|1.187 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以當精確度為0.1時,方程的解x0∈(1.187 5,1.25),因此可選取這一區(qū)間上的任意一個數(shù)作為方程的近似解,如可取x0=1.2作為方程2x=6-3x的一個近似解.
變式　解:(1)令f(x)=2x3+3x-3,經計算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,
所以函數(shù)f(x)在(0,1)內存在零點,
即方程f(x)=0在(0,1)內有解.
取區(qū)間(0,1)的中點0.5,經計算f(0.5)=-1.25<0,
又f(1)>0,所以方程f(x)=0在(0.5,1)內有解.
如此下去,得到方程f(x)=0的正實數(shù)根所在的區(qū)間,如表:
區(qū)間(a,b) f(a) f(b) 區(qū)間中點 f
(0,1) f(0)<0 f(1)>0 0.5 f(0.5)<0
(0.5,1) f(0.5)<0 f(1)>0 0.75 f(0.75)>0
(0.5,0.75) f(0.5)<0 f(0.75)>0 0.625 f(0.625)<0
(0.625,0.75) f(0.625)<0 f(0.75)>0 0.687 5 f(0.687 5)<0
因為|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1,所以方程2x3+3x-3=0的一個精確度為0.1的正實數(shù)近似解可取為0.7.
(2)設至少需要n次等分,n∈N+,
由題意知,<0.1,即2n>10,n∈N+,
解得n≥4,所以至少需要4次等分.
拓展　解:由題意知f(x)在(0,+∞)上單調遞增,f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,
所以f(1)·f(2)<0,即方程f(x)=0在區(qū)間(1,2)內有解.
利用二分法,可得到下表:
區(qū)間(a,b) f(a) f(b) 區(qū)間中點 f
(1,2) f(1)<0 f(2)>0 1.5 f(1.5)<0
(1.5,2) f(1.5)<0 f(2)>0 1.75 f(1.75)>0
因為|1.75-1.5|=0.25<0.5,所以方程f(x)=0的一個精確度為0.5的近似解可取為1.6.

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