資源簡介

§2　實際問題中的函數模型
2.1　實際問題的函數刻畫
2.2　用函數模型解決實際問題
【學習目標】
1.理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具.
2.在實際情境中,會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規律.
◆ 知識點一　實際問題的函數刻畫
根據實際問題提供的兩個變量間的關系是否確定,可把構建函數模型問題分為兩類:
一是構建確定的函數模型,因為變量間的關系確定,所以一般通過對變量的分析,尋求相等關系來建立函數模型;
二是構建最佳的函數模型,因為實際問題中的變量間的關系并不完全確定,所以一般是通過兩個變量間的幾組對應值,找到一個最恰當的函數模型.
◆ 知識點二　用函數模型解決實際問題
1.解應用題的一般思路
2.求解應用題的一般步驟(四步法)
(1)讀題審題:讀懂和深刻理解題意,譯為數學語言,找出主要關系;
(2)建模:把主要關系近似化、形式化,抽象成數學問題;
(3)求解:化歸為常規數學問題,選擇合適的數學方法求解;
(4)評價:對結果進行驗證或評估,對錯誤加以修正,最后將結果應用于實際問題,作出解釋或驗證.
◆ 知識點三　常見的函數模型
許多實際問題,一旦認定是函數關系,就可以通過研究函數及其性質,使問題得到解決.
常見函數模型有:
①正比例函數模型:y=kx(k≠0);
②反比例函數模型:y=(k≠0);
③一次函數模型:y=kx+b(k≠0);
④二次函數模型:y=ax2+bx+c(a≠0);
⑤指數函數模型:y=m·ax+b(a>0,且a≠1,m≠0);
⑥對數函數模型:y=mlogax+c(m≠0,a>0,且a≠1);
⑦冪函數模型:y=k·xn+b(k≠0).
【診斷分析】 選擇函數模型時應注意什么問題
◆ 探究點一　通過圖象確定函數關系
例1 有一組數據如下表所示:
t 1.9 3.0 4.0 5.1 6.1
v 1.5 4.0 7.5 12.0 18.0
現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律,其中最合適的一個是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.v=2t-2 B.v=
C.v=log0.5t D.v=log3t
變式 (1)在某種新型材料的研制中,實驗人員獲得了下列一組數據.
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律,其中最接近的一個是 (　 )
A.y=2x B.y=log2x
C.y=(x2-1) D.y=2.61x
(2)(多選題)[2023·貴陽高一期末] 某公司總結了在30天內A商品的銷售價格P(單位:元)與時間t(單位:天)的關系,如圖所示,A商品的銷售量Q(單位:萬件)與時間t的關系是Q=40-t(0A.第15天的日銷售額最大
B.第20天的日銷售額最大
C.最大日銷售額為120萬元
D.最大日銷售額為125萬元
[素養小結]
通過圖象確定函數關系的一般步驟
(1)以所給數據作為點的坐標,在平面直角坐標系中繪出各點;
(2)依據點的整體特征,猜測這些點所滿足的函數關系,并設出其解析式;
(3)取特殊數據代入,求出函數的具體解析式;
(4)將其他點的坐標代入函數解析式,檢驗所得函數是否符合.
◆ 探究點二　用已知函數模型解決實際問題
例2 某化工企業探索改良工藝,使排放的廢氣中含有的污染物數量逐漸減少.已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數量r0=2 mg/m3,首次改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數量r1=1.94 mg/m3,第n次改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數量rn(單位:mg/m3)可由函數rn=r0-(r0-r1)·50.5n+p(p∈R,n∈N*)給出,其中n是指改良工藝的次數.
(1)試求改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數量rn的函數解析式.
(2)依據國家環保要求,企業所排放的廢氣中含有的污染物數量不能超過0.08 mg/m3.試問:至少改良多少次工藝后才能使企業所排放的廢氣中含有的污染物數量達標 (參考數據:lg 2≈0.301)
變式 某群體的人均通勤時間,是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當S中x%(0(1)當x在什么范圍內時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間
(2)求該地上班族S的人均通勤時間g(x)的表達式,討論g(x)的單調性,并說明其實際意義.
[素養小結]
應用已知函數模型解題,有兩種常見題型:(1)直接依據題中的函數解析式解決相關問題;(2)若函數解析式中含有參數,則將題中相應數據代入解析式,求得參數,從而確定函數解析式,最后解決問題.
◆ 探究點三　函數模型的選擇
例3 [2023·山西大同高一期末] 某科研小組對面積為8000平方米的某池塘內的一種生物的生長規律進行研究,開始時在此池塘投放了一定面積的該生物(假設該池塘投放前不含該生物),通過試驗得到該生物的覆蓋面積y(單位:平方米)與所經過的時間x(單位:月,x∈N)之間的一組數據,如下表:
x 0 2 3 4
y 4 25 62.5 156.3
為描述y與x的關系,提供了以下三種函數模型:y=k·ax(k>0,a>1);y=p+q(p>0);y=ax+b.
(1)試判斷哪個函數模型更適合,并求出該模型的函數解析式;
(2)約經過幾個月,此生物能覆蓋整個池塘
(參考數據:lg 2≈0.301)
變式 蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物,不僅可美化居室、凈化空氣,又可美容保健,因此深受人們歡迎,在國內占有很大的市場.某人準備進軍蘆薈市場,栽培蘆薈,為了了解行情,進行了市場調研.調研得知,從4月1日起,蘆薈的種植成本Q(單位:元/千克)與上市時間t(單位:天)的數據情況如表:
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根據表中數據,從Q=at+b(a≠0),Q=at2+bt+c(a≠0),Q=a·bt(a≠0,b>0且b≠1),Q=alogbt(a≠0,b>0且b≠1)四個函數中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系,并說明理由;
(2)利用你選擇的函數,求蘆薈種植成本最低時的上市天數及最低種植成本.
[素養小結]
當一組數據所對應的函數關系不確定時,可根據題設條件,將這幾個函數模型求出來,再根據題中的其他條件,對這幾個函數模型的可靠性作出評估,選出與數據最吻合的函數模型.
§2　實際問題中的函數模型
2.1　實際問題的函數刻畫
2.2　用函數模型解決實際問題
【課前預習】
知識點三
診斷分析
解:選擇函數模型時,要讓函數的性質、圖象與所解決的問題基本吻合.先根據散點圖選取適當的函數模型,然后通過待定系數法求解析式,最后通過數據驗證.
【課中探究】
探究點一
例1　B　[解析] 根據所給數據,作出散點圖,如圖所示:
由圖可知,v=最合適.故選B.
變式　(1)B　(2)AD　[解析] (1)由表格數據可知隨著x的增大,y逐漸增大,且增長的速度越來越慢,只有B符合題意.
(2)當0≤t≤20時,設P=at+b,因為圖象過點(0,2),(20,6),所以解得所以P=t+2.當20≤t≤30時,設P=mt+n,因為圖象過點(20,6),(30,5),所以解得所以P=-t+8.綜上可得,P=設第t天的銷售額為g(t),
因為Q=-t+40(0所以g(t)=P·Q=
整理可得g(t)=
當0探究點二
例2　解:(1)由題意得r0=2,r1=1.94,
且r1=r0-(r0-r1)·50.5+p,
所以1.94=2-(2-1.94)×50.5+p,解得p=-0.5,
所以rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N*),
故改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數量rn的函數解析式為rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N*).
(2)由題意可得,rn=2-0.06×50.5n-0.5≤0.08,整理得50.5n-0.5≥,即50.5n-0.5≥32,兩邊同時取對數,得0.5n-0.5≥,整理得n≥2×+1≈5.306,
因為n∈N*,所以n≥6,故至少改良6次工藝后才能使企業所排放的廢氣中含有的污染物數量達標.
變式　解:(1)由題意知,當30f(x)=2x+-90>40,即x2-65x+900>0,
解得x<20或x>45,∴45∴當x∈(45,100)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間.
(2)當0當30∴g(x)=
y=0.02x2-1.3x+58的圖象的對稱軸為直線x=32.5,
當x=30時,y=0.02×302-1.3×30+58=37=g(30),
所以當0當32.5說明該地上班族S中有小于32.5%的人自駕時,人均通勤時間單調遞減;有大于32.5%的人自駕時,人均通勤時間單調遞增;有32.5%的人自駕時,人均通勤時間最少.
探究點三
例3　解:(1)函數y=k·ax(k>0,a>1)刻畫的是增長速度越來越快的變化規律,函數y=p+q(p>0)刻畫的是增長速度越來越慢的變化規律,
函數y=ax+b刻畫的是增長速度不變的規律,
根據表中的數據可知該生物增長的速度越來越快,
所以函數模型y=k·ax(k>0,a>1)更適合.
根據題意得可得所以y=4×,x∈N.經檢驗可知,當x=3時,y=4×=62.5,當x=4時,y=4×≈156.3,符合題意.故y=4×,x∈N.
(2)設約經過x個月,此生物能覆蓋整個池塘,則4×=8000,解得x=2000= = ≈8.294.顯然y=4×在定義域上是增函數,經過8個月此生物沒能覆蓋整個池塘,所以約經過9個月此生物能覆蓋整個池塘.
變式　解:(1)選擇Q=at2+bt+c(a≠0),由所提供的數據可知,刻畫蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數不可能是單調函數,函數Q=at+b(a≠0),Q=a·bt(a≠0,b>0且b≠1),Q=alogbt(a≠0,b>0且b≠1)均為單調函數,這與表格所提供的數據不符合,
所以應選用二次函數Q=at2+bt+c(a≠0)進行描述.
(2)將表格所提供的三對數據分別代入Q=at2+bt+c,
可得解得
所以蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數為Q=t2-t+.
故當t=-=150(天)時,蘆薈種植成本最低,最低為×1502-×150+=100(元/千克).

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