資源簡介

§3　用樣本估計總體分布
3.1　從頻數(shù)到頻率
3.2　頻率分布直方圖
【學習目標】
1.了解頻數(shù)與頻率的關系.
2.掌握頻率分布直方圖的畫法.
3.會用頻率分布直方圖或頻率折線圖估計總體分布.
4.會利用頻率分布直方圖或頻率折線圖解決實際問題.
◆ 知識點一　頻數(shù)與頻率
1.頻數(shù):在統(tǒng)計學中,將樣本按照一定的方法分成若干組,每個組內(nèi)含有這個樣本的個體的　　　　叫作頻數(shù).
2.頻率:某個組的頻數(shù)與總數(shù)的比值叫作這個組的頻率,即=頻率.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)總數(shù)不變的情況下,某個組的頻數(shù)越大,則該組的頻率也越大. (　 )
(2)每個組的頻數(shù)之比與頻率之比是一樣的. (　 )
◆ 知識點二　頻率分布直方圖
1.概念
圖中每個小矩形的底邊長是該組的　　　　,每個小矩形的高是該組的頻率與組距的比,從而每個小矩形的面積等于該組的　　　　,即每個小矩形的面積=組距×=頻率.我們把這樣的圖叫作頻率分布直方圖.頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大小.
2.繪制頻率分布直方圖的步驟
(1)計算極差
極差即一組數(shù)據(jù)中　　　　　　的差.
(2)確定組距與組數(shù)
①組距與組數(shù)的確定沒有固定的標準,常常需要一個嘗試與選擇的過程.
②組距和樣本容量有關,一般樣本容量越大,分的組也越多,當樣本容量不超過120時,按照數(shù)據(jù)的多少,常分為5組~12組.
③極差、組距、組數(shù)之間有如下關系:
設k=　　　　　　,若k∈Z,則組數(shù)為k;若k Z,則組數(shù)為大于k的最小整數(shù).
(3)將數(shù)據(jù)分組
按組距將數(shù)據(jù)分組,分組時,各組一般均為左閉右開區(qū)間,最后一組全是閉區(qū)間.
(4)列頻率分布表
(5)畫頻率分布直方圖
畫圖時,應以橫軸表示分組,縱軸表示各組頻率與組距的比值,其相應組距上的頻率應該等于　　　　　　　　.
◆ 知識點三　頻率折線圖
在頻率分布直方圖中,按照分組原則,再在左邊和右邊各加一個區(qū)間,從所加的左邊區(qū)間的　　　　開始,用線段依次連接各個矩形的　　　　　　,直至右邊所加區(qū)間的中點,就可以得到一條折線,稱之為頻率折線圖.
【診斷分析】 樣本容量越大,頻率折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線嗎
◆ 探究點一　頻數(shù)與頻率
例1 (1)某班學生在一次數(shù)學考試中各分數(shù)段以及人數(shù)為:[0,80),2人;[80,90),6人;[90,100),4人;[100,110),10人;[110,120),12人;[120,130),5人;[130,140),4人;[140,150],2人.那么分數(shù)在[100,130)內(nèi)的頻數(shù)以及頻率分別為 (　 )
A.27,0.56
B.20,0.56
C.27,0.6
D.13,0.29
(2)某高校進行自主招生,先從報名者中篩選出400人參加筆試,再按筆試成績擇優(yōu)選出100人參加面試.現(xiàn)隨機抽取了24名筆試者的成績,統(tǒng)計結果如下表所示:
分數(shù)段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90]
人數(shù) 2 3 4 9 5 1
據(jù)此估計允許參加面試的分數(shù)線是 (　 )
A.90 B.85 C.80 D.75
(3)一個容量為n的樣本,將其觀測數(shù)據(jù)分成若干組,已知甲組的頻數(shù)和頻率分別為36和,則n=　　　　,頻率為的乙組的頻數(shù)x=　　　　.
[素養(yǎng)小結]
要解決頻數(shù)與頻率的問題,首先要明確幾個關系,即各組的頻數(shù)之和等于樣本容量,各組的頻率之和為1,頻率=.
◆ 探究點二　畫頻率分布直方圖和頻率折線圖
例2 已知一組樣本數(shù)據(jù):30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28,25,21,23,25,27,29,25,28.按[20.5,22.5),[22.5,24.5),[24.5,26.5),[26.5,28.5),[28.5,30.5]分成5組.
(1)列出樣本的頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖和頻率折線圖;
(3)根據(jù)頻率分布直方圖,估計總體中的數(shù)據(jù)出現(xiàn)在[23,28]內(nèi)的頻率.
[素養(yǎng)小結]
繪制頻率分布直方圖的關鍵點
(1)在畫頻率分布直方圖時,橫軸表示隨機變量的取值,縱軸表示,這樣每一組的頻率都可以用該組的組距為底,為高的小矩形的面積來表示,其中,矩形的高==×頻數(shù);
(2)同一組數(shù)據(jù),如果組距不同,得到的頻率分布直方圖也會不同.
◆ 探究點三　頻率分布直方圖的應用
[提問] 在頻率分布直方圖中,各小矩形的高度之比、面積之比都等于對應頻率之比嗎


例3 為了了解高一年級學生的體能情況,某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試.將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖所示),圖中從左到右各小長方形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組的頻數(shù)為12.
(1)第二小組的頻率是多少 樣本容量是多少
(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為體能達標,則估計該校全體高一年級學生的體能達標率是多少
(3)樣本中體能不達標的學生人數(shù)是多少
變式 (多選題)[2023·江西銅鼓中學高一月考] 供電部門對某社區(qū)1000戶居民12月份人均用電情況進行統(tǒng)計后,按人均用電量(單位:kW·h)分為[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50]五組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖,則有關這1000戶居民,下列說法正確的是 (　 )
A.12月份人均用電量在[10,20)內(nèi)的戶數(shù)最多,有400戶
B.12月份人均用電量在[20,30)內(nèi)的有300戶
C.12月份人均用電量不低于20 kW·h的有500戶
D.在這1000戶居民中任選1戶做進一步調查,選到的居民的人均用電量在[30,40)內(nèi)的概率為
[素養(yǎng)小結]
頻率分布直方圖的性質:
(1)因為小矩形的面積=組距×=頻率,所以各小矩形的面積表示相應各組的頻率,這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小.
(2)在頻率分布直方圖中,各小矩形的面積之和等于1.
(3)=樣本容量.
拓展 為了解某市家庭用電量的情況,該市統(tǒng)計局調查了100戶居民去年一年的月均用電量(單位:kW·h),發(fā)現(xiàn)他們的月均用電量都在[50,350]內(nèi),按[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350]分組后,畫出頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求a的值;
(2)求在被調查的用戶中,月均用電量不少于250 kW·h的戶數(shù);
(3)為了既滿足居民的基本用電需求,又提高能源的利用效率,市政府計劃采用階梯定價,希望使80%的居民繳費在第一檔(費用最低),請給出第一檔用電標準(單位:kW·h)的建議,并簡要說明理由.(結果保留一位小數(shù))
§3　用樣本估計總體分布
3.1　從頻數(shù)到頻率
3.2　頻率分布直方圖
【課前預習】
知識點一
1.數(shù)目
診斷分析
(1)√　(2)√　[解析] (1)因為=頻率,總數(shù)不變,所以某個組的頻數(shù)越大,該組的頻率也越大.
(2)因為=頻率,總數(shù)不變,所以每個組的頻數(shù)之比與頻率之比相同.
知識點二
1.組距　頻率
2.(1)最大值和最小值　(2)③　(5)該組上的矩形的面積
知識點三
中點　頂端中點
診斷分析
解:隨著樣本容量越來越大,所劃分的區(qū)間個數(shù)也可以隨之增多,而每個區(qū)間的長度則會相應隨之減小,相應的頻率折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　(2)C　(3)144　24　[解析] (1)由題可得總人數(shù)為2+6+4+10+12+5+4+2=45,分數(shù)在[100,130)內(nèi)的人數(shù)為10+12+5=27,所以所求頻數(shù)為27,頻率為=0.6.故選C.
(2)由題意得,參加面試的人數(shù)占總人數(shù)的比例為=0.25.結合表中的數(shù)據(jù)可得,成績在[80,90]內(nèi)人數(shù)的頻率為=0.25,所以估計允許參加面試的分數(shù)線為80.故選C.
(3)由題意得=,所以n=36×4=144,同理=,解得x=24.
探究點二
例2　解:(1)頻率分布表如下:
分組 頻數(shù) 頻率
[20.5,22.5) 2 0.1 0.05
[22.5,24.5) 3 0.15 0.075
[24.5,26.5) 8 0.4 0.2
[26.5,28.5) 4 0.2 0.1
[28.5,30.5] 3 0.15 0.075
(2)由(1)中的頻率分布表可得頻率分布直方圖和頻率折線圖,如圖所示.
(3)由頻率分布表和頻率分布直方圖得,樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)在[23,28]內(nèi)的頻率為0.15+0.4+0.2=0.75,所以可以估計總體中的數(shù)據(jù)出現(xiàn)在[23,28]內(nèi)的頻率為0.75.
探究點三
提問 解:等于.
例3　解:(1)由題意可知,第二小組的頻率為=0.08,
又第二小組的頻數(shù)為12,所以樣本容量為=150.
(2)由頻率分布直方圖可估計該校高一年級學生的體能達標率為×100%=88%.
(3)由(1)(2)知體能達標率為88%,樣本容量為150,所以體能不達標的學生頻率為1-0.88=0.12,
所以樣本中體能不達標的學生人數(shù)為150×0.12=18.
變式　ABC　[解析] 根據(jù)頻率分布直方圖知,12月份人均用電量在[10,20)內(nèi)的戶數(shù)最多,有1000×0.04×10=400(戶),A正確;12月份人均用電量在[20,30)內(nèi)的戶數(shù)為1000×0.03×10=300,B正確;12月份人均用電量不低于20 kW·h的頻率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5,有1000×0.5=500(戶),C正確;人均用電量在[30,40)內(nèi)的有0.01×10×1000=100(戶),所以在1000戶居民中任選1戶,選到的居民的人均用電量在[30,40)內(nèi)的概率為=,D錯誤.故選ABC.
拓展　解:(1)因為(0.002 4+0.003 6+a+0.004 4+0.002 4+0.001 2)×50=1,所以a=0.006.
(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知月用電量不少于250 kW·h的頻率為(0.002 4+0.001 2)×50=0.18,所以月用電量不少于250 kW·h的戶數(shù)為100×0.18=18.
(3)設月用電量在[50,t)內(nèi)的頻率為0.8,即第一檔用電標準為t kW·h.
因為前三組的頻率之和為(0.002 4+0.003 6+0.006)×50=0.6<0.8,
前四組的頻率之和為(0.002 4+0.003 6+0.006+0.004 4)×50=0.82>0.8,所以t∈[200,250),
所以t=200+≈245.5(kW·h).

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