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4.2　分層隨機抽樣的均值與方差
【學習目標】
1.了解分層隨機抽樣的均值公式與方差公式的推導過程.
2.會求分層隨機抽樣的均值與方差.
◆ 知識點一　分層隨機抽樣的平均數
1.由兩層構成的樣本平均數
一般地,將樣本a1,a2,…,am和樣本b1,b2,…,bn合并成一個新樣本,則這個新樣本的平均數為=　　　　·+　　　·.
于是,當已知兩層構成的新樣本中每層的平均數分別為和時,可得這個新樣本的平均數為　　　　　　　.
記w1=,w2=,則這個新樣本的平均數為w1+w2,其中　　　　　　稱為權重.
2.含n層的樣本平均數
設樣本中不同層的平均數和相應權重分別為,,…,和w1,w2,…,wn,則這個樣本的平均數為w1+w2+…+wn.為了簡化表示,引進求和符號,記作w1+w2+…+wn=　　　　　　.
【診斷分析】 某次數學考試中,若高一(1)班的平均成績為106分,高一(2)班的平均成績為102分,則兩個班的平均成績是104分嗎
◆ 知識點二　分層隨機抽樣的方差
設樣本中不同層的平均數分別為,,…,,方差分別為,,…,,相應的權重分別為w1,w2,…,wn,則這個樣本的方差為s2=　　　　　　　　,其中為這個樣本的平均數.
◆ 探究點一　分層隨機抽樣的均值
例1 在一次演講比賽中,評委將從演講內容、演講能力、演講效果三個方面為選手打分,各項成績均按百分制打分,然后再按演講內容占50%、演講能力占40%、演講效果占10%的比例計算選手的綜合成績(百分制).已知進入決賽的前兩名選手的單項成績(單位:分)如下表所示:
選手 演講內容 演講能力 演講效果
A 85 95 95
B 95 85 95
請計算這兩名選手的綜合成績.
變式 在例1的條件下,兩名選手的單項成績都是兩個95分與一個85分,為什么他們的綜合成績不同 如果按演講內容占40%、演講能力占50%、演講效果占10%的比例計算選手的綜合成績,那么這兩名選手的綜合成績分別是多少分
[素養小結]
求分層隨機抽樣的均值一般有以下幾步:(1)確定樣本由幾層構成;(2)分別計算各層的平均數及對應的權重;(3)根據分層隨機抽樣的均值公式求解.
◆ 探究點二　分層隨機抽樣的方差
例2 在某項活動中,設計了由7名評委打分和8名熱心觀眾打分的環節,經統計計算得選手甲的得分情況如下:
平均數 方差
評委打分情況 8.7 0.01
熱心觀眾打分情況 9.0 1.40
(1)求選手甲得分的平均數;
(2)求選手甲得分的方差(結果保留兩位小數).
變式 已知某省二、三、四線城市的數量之比為1∶3∶6,且調查得知該省所有城市的房產均價為1.2萬元/平方米,房價方差為20,二、三、四線城市的房產均價分別為2.4萬元/平方米,1.8萬元/平方米,0.8萬元/平方米,三、四線城市房價的方差分別為10,8,則二線城市的房價的方差為　　　　.
[素養小結]
分層隨機抽樣的方差的計算通常有三步:(1)確定總平均數;(2)確定各層數據的平均數和方差;(3)根據公式求出樣本數據的方差.
4.2　分層隨機抽樣的均值與方差
【課前預習】
知識點一
1.　　+　w1,w2　2.wi
診斷分析
解:若兩個班人數相同,則兩個班的平均成績是104分;若兩個班人數不同,則兩個班的平均成績不是104分.
知識點二
wi[+(-)2]
【課中探究】
探究點一
例1　解:因為演講內容、演講能力、演講效果的權重分別是50%,40%,10%,所以選手A的綜合成績是85×50%+95×40%+95×10%=42.5+38+9.5=90(分),選手B的綜合成績是95×50%+85×40%+95×10%=47.5+34+9.5=91(分).
變式　解:選手A的85分是演講內容,選手B的85分是演講能力,根據題意可知,演講內容的權重比演講能力的權重大,所以兩名選手的綜合成績不同.如果按演講內容占40%、演講能力占50%、演講效果占10%的比例計算選手的綜合成績,那么選手A的綜合成績是85×40%+95×50%+95×10%=34+47.5+9.5=91(分),選手B的綜合成績是95×40%+85×50%+95×10%=38+42.5+9.5=90(分).
探究點二
例2　解:(1)由題意知,評委和熱心觀眾的權重分別為,,
則選手甲得分的平均數=×8.7+×9.0=8.86.
(2)選手甲得分的方差s2=×[0.01+(8.7-8.86)2]+×[1.40+(9.0-8.86)2]≈0.77.
變式　118.52　[解析] 設二線城市的房價的方差為s2,由題意可知20=[s2+(2.4-1.2)2]+×[10+(1.8-1.2)2]+×[8+(0.8-1.2)2],解得s2=118.52,即二線城市的房價的方差為118.52.

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