資源簡介

4.3　百分位數
【學習目標】
1.理解百分位數的統計含義,會求總體的p分位數.
2.會求頻率分布直方圖中的p分位數.
◆ 知識點　百分位數
1.p分位數
一般地,當總體是連續變量時,給定一個百分數p∈(0,1),總體的p分位數有這樣的特點:總體數據中的任意一個數　　　　　　它的可能性是p.
2.四分位數
25%,50%,75%分位數是三個常用的百分位數.把總體數據按照從小到大排列后,這三個百分位數把總體數據分成了4個部分,在這4個部分取值的可能性都是.因此這三個百分位數也稱為總體的四分位數.
3.計算一組n個數據的p分位數的一般步驟如下:
第1步,按照　　　　排列原始數據.
第2步,計算i=　　　　.
第3步,若i不是整數,大于i的最小整數為j,則p分位數為第j項數據;若i是整數,則p分位數為第i項與第(i+1)項數據的平均數.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)下表記錄了某地區某天7時到18時的氣溫變化情況:
時間(時) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
氣溫(℃) 8 8 10 14 17 19 24 25 23 20 16 12
則這組數據的25%分位數是10 ℃. (　 )
(2)某8名病患的住院天數分別為2,3,3,4,7,8,10,18,則這組數據的50%分位數是7. (　 )
◆ 探究點一　百分位數的認識
例1 (1)(多選題)下列說法中正確的是 (　 )
A.50%分位數就是中位數
B.p分位數可以有單位
C.一個總體的四分位數有4個
D.樣本容量越大,用p分位數估計總體就越準確
(2)位于25%分位數與50%分位數之間的數據約占總體數據的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(3)已知一個總體的p分位數是x,則 (　 )
A.x一定是總體中的某一個數據
B.x一定不是總體中的某一個數據
C.x一定是總體中的某兩個數據的平均數
D.x要么是總體中的某個數據,要么是總體中某兩個數據的平均數
[素養小結]
掌握總體的p分位數的概念和總體的四分位數的概念是解決這類問題的關鍵,25%,50%,75%分位數是三個常用的百分位數.
◆ 探究點二　百分位數的計算
例2 某機構統計了12位應屆畢業生的起始月薪(單位:元),如下表:
畢業生編號 起始月薪 畢業生編號 起始月薪
1 2850 7 2890
2 2950 8 3130
3 3050 9 2940
4 2880 10 3325
5 2755 11 2920
6 2710 12 2880
計算這12位應屆畢業生的起始月薪的85%分位數.
變式 例2中12位應屆畢業生的起始月薪的50%分位數是多少
例3 [2024·河南南陽高一期末] 某高中對2023年高一上學期期中數學考試成績(單位:分)進行分析,隨機抽取100名學生,將成績按照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分成6組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求a的值,并估計該校高一上學期期中數學考試成績的平均數;
(2)估計該校高一上學期期中數學考試成績的80%分位數.
變式 一組樣本數據的頻率分布直方圖如圖所示,則估計此樣本數據的50%分位數為　　　　.
[素養小結]
1.計算一組n個數據的p分位數要注意兩點:一是要先將數據按從小到大重新排序;二是計算出i為整數時,所求p分位數為第i項與第(i+1)項數據的平均數,而不是第i項數據.
2.由頻率分布直方圖估計百分位數要注意頻率分布直方圖中各小矩形的面積,就是數據落在各組的頻率.一般采用方程的思想,設出p分位數,根據其意義列出方程并求解即可.
拓展 小明班上有15名女生,其身高(單位:cm)的25%分位數為155 cm,后來轉走了一位身高為165 cm的女生,則班上女生身高的25%分位數　　　　.(填“變大”“變小”或“不變”)
4.3　百分位數
【課前預習】
知識點
1.小于或等于　3.從小到大　np
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)把這組數據由小到大排序,得8,8,10,12,14,16,17,19,20,23,24,25,因為12×25%=3,所以這組數據的25%分位數為×(10+12)=11(℃).
(2)50%分位數即為中位數,則這組數據的50%分位數為×(4+7)=5.5.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)ABD　(2)B　(3)D　[解析] (1)一個總體的25%分位數,50%分位數,75%分位數是總體的四分位數,只有3個,所以C中說法錯誤.易知A,B,D中說法均正確.故選ABD.
(2)根據百分位數的定義可知選B.
(3)設總體中有n個數據,令i=np,若i是整數,則x是總體中的第i項與第(i+1)項數據的平均數;若i不是整數,大于i的最小整數為j,則x為總體中的第j項數據.故選D.
探究點二
例2　解:將這12位應屆畢業生的起始月薪(單位:元)按從小到大重新排序,得2710,2755,2850,2880,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325.
因為i=12×85%=10.2,所以這12位應屆畢業生的起始月薪的85%分位數是3130元.
變式　解:因為i=12×50%=6,所以這12位應屆畢業生的起始月薪的50%分位數是第6項和第7項數據的平均數,為=2905(元).
例3　解:(1)由0.005×20+0.005×20+0.007 5×20+0.02×20+a×20+0.002 5×20=1,解得a=0.01.
由頻率分布直方圖可知,數學成績在[30,50)內的頻率為0.005×20=0.1,在[50,70)內的頻率為0.005×20=0.1,在[70,90)內的頻率為0.007 5×20=0.15,在[90,110)內的頻率為0.02×20=0.4,在[110,130)內的頻率為0.01×20=0.2,在[130,150]內的頻率為0.002 5×20=0.05,
所以估計該校高一上學期期中數學考試成績的平均數是40×0.1+60×0.1+80×0.15+100×0.4+120×0.2+140×0.05=93(分).
(2)由(1)知樣本中數學考試成績在110分以下所占比例為0.1+0.1+0.15+0.4=0.75,在130分以下所占比例為0.75+0.2=0.95,
因此成績的80%分位數一定位于[110,130)內.
由110+20×=115,估計該校高一上學期期中數學考試成績的80%分位數為115分.
變式　　[解析] 樣本數據低于10的比例為(0.02+0.08)×4=0.4,樣本數據低于14的比例為0.4+0.09×4=0.76,所以此樣本數據的50%分位數在[10,14)內,所以估計此樣本數據的50%分位數為10+×4=.
拓展　不變　[解析] 當班上有15名女生時,由15×25%=3.75,知身高的25%分位數為第4項數據.當轉走1人,剩下14人時,由14×25%=3.5,知身高的25%分位數仍為第4項數據,又165>155,所以班上女生身高的25%分位數不變.

展開更多......

收起↑