資源簡(jiǎn)介

第五章　函數(shù)應(yīng)用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.結(jié)合學(xué)過(guò)的函數(shù)圖象,了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系.
2.結(jié)合具體函數(shù)及其圖象的特點(diǎn),了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　函數(shù)的零點(diǎn)
使得f(x0)=0的數(shù)x0稱為方程f(x)=0的解,也稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).f(x)的零點(diǎn)就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y=x+1的零點(diǎn)是(-1,0). (　 )
(2)函數(shù)y=x2-2x-3有兩個(gè)零點(diǎn). (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　零點(diǎn)存在定理
若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)的曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一正一負(fù),即　　　　　　,則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn),即在區(qū)間(a,b)內(nèi)相應(yīng)的方程f(x)=0　　　　　　解.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)滿足f(a)·f(b)>0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)無(wú)零點(diǎn). (　 )
(2)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),則f(a)·f(b)<0. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　由圖象確定函數(shù)的零點(diǎn)
例1 (1)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在[a,d]內(nèi)有　　　　個(gè)零點(diǎn).
(2)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中正確的是 (　 )
A.a>0
B.c<0
C.(-1,0)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)
D.3是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)
(3)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)=x2-2x(x≥0),則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.1
C.2 D.3
[素養(yǎng)小結(jié)]
由圖象確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)主要有兩種方法:
1.直接畫出函數(shù)的圖象,通過(guò)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).
2.將函數(shù)f(x)寫成f(x)=h(x)-g(x)的形式,畫出函數(shù)y=h(x)與y=g(x)的圖象,根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方程h(x)=g(x)的根的個(gè)數(shù),即可確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
◆ 探究點(diǎn)二　由方程的解求函數(shù)的零點(diǎn)
[提問(wèn)] 當(dāng)方程易得出解時(shí),可通過(guò)　　　　得到對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn).
例2 求函數(shù)f(x)=(ax-1)(x-1)(a∈R)的零點(diǎn).
變式 函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)通常有兩種方法:其一是令y=0,由對(duì)應(yīng)方程的根求得函數(shù)的零點(diǎn);其二是畫出函數(shù)的圖象,圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).
◆ 探究點(diǎn)三　函數(shù)零點(diǎn)的綜合問(wèn)題
角度1　判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)
例3 求函數(shù)f(x)=3x- lox的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
變式 (1)函數(shù)f(x)=2x+x3-2在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=若f(-2)=f(0),f(-3)=1,則函數(shù)y=f(x)-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
[素養(yǎng)小結(jié)]
確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法:
(1)因式分解法:可轉(zhuǎn)化為一元n次方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,一般采用因式分解法來(lái)解決.
(2)判別式法:可轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,通常用判別式法來(lái)判斷根的個(gè)數(shù).
(3)圖象法:將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,可用圖象法解決.
(4)單調(diào)性法:如果能夠確定函數(shù)在所給區(qū)間上有零點(diǎn),且是單調(diào)函數(shù),那么函數(shù)在所給區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn).
角度2　判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間
例4 (1)函數(shù)f(x)=ln x+x-4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 (　 )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(5,6)
(2)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6
不求a,b,c的值,判斷方程ax2+bx+c=0的兩根所在的區(qū)間是 (　 )
A.(-3,-1)和(2,4)
B.(-3,-1)和(-1,1)
C.(-1,1)和(1,2)
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
變式 (1)根據(jù)下表中的數(shù)據(jù),可以判斷方程ex-x-2=0的一個(gè)根所在的區(qū)間為 (　 )
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
(2)若x0是函數(shù)f(x)=-的零點(diǎn),則x0屬于區(qū)間 (　 )
A. B.
C. D.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn),首先看函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),其次判斷f(a)·f(b)<0是否成立,若成立,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).
(2)已知函數(shù)f(x)在[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,若存在f(a)·f(b)<0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),若只有一個(gè)零點(diǎn),則稱此零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn).反過(guò)來(lái),若f(a)與f(b)不變號(hào),而是同號(hào),即不滿足f(a)·f(b)<0,也不能說(shuō)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)無(wú)零點(diǎn),如f(x)=x2在[-1,1]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,且f(-1)·f(1)=1>0,但0是f(x)的零點(diǎn).
角度3　由函數(shù)零點(diǎn)(或方程的解)的個(gè)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題
例5 (1)函數(shù)f(x)=ax2-x-1僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a=　　　　.
(2)已知函數(shù)f(x)=的圖象與直線y=k有三個(gè)不同的交點(diǎn),則k的取值范圍是 (　 )
A.(-4,-3) B.[-4,-3)
C.[-4,-3] D.(-4,-3]
變式 若函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是 　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
解此類題的關(guān)鍵是將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.求解時(shí)首先根據(jù)已知條件構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,最后結(jié)合函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍.
拓展 已知函數(shù)f(x)=logax-4x-1(a>0且a≠1)在上無(wú)零點(diǎn),在上有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (　 )
A. B.∪(1,+∞)
C. D.
第五章　函數(shù)應(yīng)用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
橫坐標(biāo)
診斷分析
(1)×　(2)√　[解析] (1)零點(diǎn)不是點(diǎn),是一個(gè)數(shù),是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
知識(shí)點(diǎn)二
f(a)·f(b)<0　至少有一個(gè)
診斷分析
(1)×　(2)×　[解析] (2)函數(shù)y=x2在區(qū)間(-2,2)內(nèi)有零點(diǎn),但f(-2)·f(2)>0.
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)3　(2)D　(3)D　[解析] (1)由題圖知函數(shù)f(x)在[a,d]內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn).
(2)由題圖可知a<0,c>0,∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=1,函數(shù)圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0),∴函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),∴3是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).故選D.
(3)根據(jù)題意可知x=2,x=0為f(x)的零點(diǎn),因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以x=-2也為f(x)的零點(diǎn),所以f(x)的零點(diǎn)共有3個(gè),故選D.
探究點(diǎn)二
提問(wèn) 解方程
例2　解:①當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=-x+1.令-x+1=0,得x=1,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為1.
②當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)=(x-1)2.令(x-1)2=0,得x=1,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為1.
③當(dāng)a≠0且a≠1時(shí),令(ax-1)(x-1)=0,得x=1或x=,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為1,.
綜上,當(dāng)a=0或a=1時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為1;當(dāng)a≠0且a≠1時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為1,.
變式　-2,e　[解析] 由f(x)=0,得或解得x=-2或x=e.所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為-2,e.
探究點(diǎn)三
例3　解:令f(x)=0得3x=lox.
作出y=3x(x>0)和y=lox的圖象,如圖所示,
由圖可知y=3x(x>0)和y=lox的圖象有1個(gè)交點(diǎn),
∴f(x)=3x-lox有1個(gè)零點(diǎn).
變式　(1)B　 (2)B　[解析] (1)因?yàn)閥=2x與y=x3-2在R上均為增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=2x+x3-2在R上是增函數(shù),因此函數(shù)f(x)=2x+x3-2在(0,1)上單調(diào)遞增,又f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以f(x)在(0,1)上有1個(gè)零點(diǎn).
(2)由f(-2)=f(0)得4-2b+c=c,所以b=2,由f(-3)=9-6+c=1,得c=-2,所以當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x-2.當(dāng)x≤0時(shí),由f(x)-x=x2+x-2=0,得x=-2或x=1(舍去).當(dāng)x>0時(shí),由f(x)-x=2-x=0,得x=2.因此方程f(x)-x=0只有兩個(gè)解,即函數(shù)y=f(x)-x有兩個(gè)零點(diǎn).故選B.
例4　(1)B　(2)A　[解析] (1)易知f(x)=ln x+x-4在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>0,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi).故選B.
(2)易知f(x)=ax2+bx+c的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,因?yàn)閒(-3)×f(-1)=6×(-4)=-24<0,所以f(x)在(-3,-1)內(nèi)有零點(diǎn),即方程ax2+bx+c=0在(-3,-1)內(nèi)有根.同理方程ax2+bx+c=0在(2,4)內(nèi)有根.故選A.
變式　(1)C　(2)B　[解析] (1)令f(x)=ex-x-2,則由表中數(shù)據(jù)知f(-1)=0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7.39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,因?yàn)閒(1)·f(2)<0,f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線,所以f(x)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),即方程ex-x-2=0的一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi).故選C.
(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì),可得>,<,所以f=->0,f=-<0,即f·f<0.又f(x)=-為R上的減函數(shù),所以由零點(diǎn)存在定理,可得函數(shù)f(x)=-有且只有一個(gè)零點(diǎn)且零點(diǎn)x0∈.故選B.
例5　(1)0或-　(2)D　[解析] (1)若a=0,則f(x)=-x-1,易知函數(shù)f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn).若a≠0,則f(x)為二次函數(shù),由f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn),得方程ax2-x-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,故Δ=1+4a=0,即a=-.綜上所述,當(dāng)a=0或a=-時(shí),函數(shù)f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn).
(2)作出f(x)=的圖象和直線y=k,如圖所示,由圖可知-4變式　(0,2)　[解析] 由|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b,由題意可知函數(shù)y=|2x-2|與y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合函數(shù)y=|2x-2|與y=b的圖象(如圖所示)可知0拓展　D　[解析] 函數(shù)f(x)在上無(wú)零點(diǎn),在上有零點(diǎn),即方程f(x)=0在上無(wú)實(shí)數(shù)根,在上有實(shí)數(shù)根,即方程logax=4x-1在上無(wú)實(shí)數(shù)根,在上有實(shí)數(shù)根.設(shè)g(x)=logax,h(x)=4x-1,則函數(shù)h(x)在R上為增函數(shù),且h(0)=,h=,h(1)=1,h(x)=4x-1>0恒成立.若a>1,則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)=logax<0,不滿足條件,故0

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