資源簡介

1.4　隨機事件的運算
【學習目標】
1.理解并掌握隨機事件的運算及事件的關系.
2.能夠將隨機事件的運算知識靈活運用到實際事件中.
◆ 知識點一　交事件與并事件
1.交事件
一般地,由事件A與事件B　　　　所構成的事件,稱為事件A與事件B的交事件(或積事件),記作　　　　(或AB).事件A∩B是由事件A和事件B所共有的樣本點構成的集合.用Venn圖表示,如圖中陰影部分所示.
2.并事件
一般地,由事件A和事件B　　　　　發生(即A發生,或B發生,或A,B都發生)所構成的事件,稱為事件A與事件B的并事件(或和事件),記作　　　　(或A+B).事件A與事件B的并事件是由事件A或事件B所包含的樣本點構成的集合.用Venn圖表示,如圖中陰影部分所示.
【診斷分析】 兩個事件的并也可推廣到n個事件的并,即A1∪A2∪…∪An,那么事件A1∪A2∪…∪An發生是什么意思呢
◆ 知識點二　互斥事件與對立事件
1.互斥事件
一般地,　　　　發生的兩個事件A與B(A∩B= )稱為互斥事件.用Venn圖表示,如圖所示.
2.對立事件
若A∩B= ,且　　　　,則稱事件A與事件B互為對立事件.事件A的對立事件記作　　　　.用Venn圖表示,如圖所示.
【診斷分析】 如果事件A與事件B互斥,事件B與事件C互斥,那么事件A與事件C互斥,對嗎
◆ 探究點一　交事件與并事件的理解
例1 (1)拋擲一枚質地均勻的骰子,“向上的點數是1或2”為事件A,“向上的點數是2或3”為事件B,則 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.A∪B表示向上的點數是1或2
B.A∩B表示向上的點數是1或2
C.A∪B表示向上的點數是1或2或3
D.A∩B表示向上的點數是1或2或3
(2)對同一目標連續射擊兩次,設事件A表示“兩次都擊中”,事件B表示“兩次都沒擊中”,事件C表示“恰有一次擊中”,事件D表示“至少有一次擊中”,下列關系不正確的是 (　 )
A.A∩D=A B.B∩C=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
變式 盒子里有除顏色外完全相同的6個紅球,4個白球,現從中任取3個球,設事件A表示“3個球中有1個紅球2個白球”,事件B表示“3個球中有2個紅球1個白球”,事件C表示“3個球中至少有1個紅球”,事件D表示“3個球中既有紅球又有白球”.
問:(1)事件D與A,B是什么運算關系
(2)事件C與A的交事件是什么
(3)設事件E表示“3個球中至少有1個白球”,那么事件C與E的交事件是什么
[素養小結]
進行事件的運算時,一要緊扣運算的定義,二要全面考慮同一條件下的試驗可能出現的全部結果.必要時可列出全部的試驗結果進行分析,也可類比集合的關系和運算用Venn圖分析.
◆ 探究點二　互斥事件與對立事件的判斷
例2 從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數都從1到10各10張)中任意抽取1張,判斷下列給出的每對事件是否是互斥事件和對立事件,并說明理由.
(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”;
(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”.
變式 從3名男生和2名女生中任選2名同學參加志愿者活動,判斷下列給出的每對事件是否是互斥事件和對立事件,并說明理由.
(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”與“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”與“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”.
[素養小結]
(1)判斷兩個事件是否為互斥事件,主要看它們在一次試驗中能否同時發生,若不能同時發生,則這兩個事件是互斥事件,否則不是互斥事件.
(2)判斷兩個事件是否為對立事件,主要看在一次試驗中這兩個事件是否同時滿足兩個條件:一是不能同時發生;二是必有一個發生.
拓展 袋中有紅、白兩種顏色的球各10個,某人做無放回地抽樣試驗,連續抽取2次,每次抽取一個球.設Ai表示“第i次抽到紅球”(i=1,2).試用Ai及表示下列事件:
(1)2次都抽到紅球;
(2)第1次抽到紅球,第2次抽到白球;
(3)至少有1次抽到紅球.
◆ 探究點三　事件運算的綜合應用
例3 有一紅一綠兩個正四面體的玩具,其四個面上分別標有數字1,2,3,4,下面做投擲這兩個正四面體玩具的試驗,觀察正四面體玩具朝下的點數,用(x,y)表示一次試驗的結果,其中x表示紅色正四面體玩具朝下的點數,y表示綠色正四面體玩具朝下的點數.設事件A表示“紅色正四面體玩具朝下的點數為4”,B表示“兩個正四面體玩具朝下的點數相等”,C表示“兩個正四面體玩具朝下的點數之差的絕對值小于2”,D表示“兩個正四面體玩具朝下的點數之和不大于4”,E表示“兩個正四面體玩具朝下的點數之和不小于5”,F表示“兩個正四面體玩具朝下的點數之和等于8”,G表示“兩個正四面體玩具朝下的點數為相鄰的整數”.
(1)寫出試驗的樣本空間以及用樣本點表示上述各事件.
(2)事件A與D,D與E之間各有什么關系
(3)事件A與事件B的交事件與事件F有什么關系 事件B與事件G的并事件與事件C有什么關系
變式 設A,B,C表示三個隨機事件,試將下列事件用A,B,C表示出來.
(1)三個事件都發生;
(2)三個事件至少有一個發生;
(3)A發生,B,C不發生;
(4)A,B都發生,C不發生;
(5)A,B至少有一個發生,C不發生;
(6)三個事件至少有兩個發生.
1.4　隨機事件的運算
【課前預習】
知識點一
1.都發生　A∩B　2.至少有一個　A∪B
診斷分析
解:表示事件A1,A2,…,An中至少有一個發生.
知識點二
1.不能同時　2.A∪B=Ω　
診斷分析
解:不對.比如拋擲一枚骰子試驗,記事件A表示“向上的點數不大于3”,事件B表示“向上的點數不小于5”,事件C表示“向上的點數不大于4”,顯然事件A與B互斥,事件B與C互斥,而事件A與C并不互斥.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　(2)D　[解析] (1)因為A={1,2},B={2,3},所以A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A∩B表示向上的點數是2,A∪B表示向上的點數是1或2或3,故選C.
(2)事件D包括兩次都擊中和恰有一次擊中兩種情況,所以A∩D=A,所以選項A中關系正確;事件B是兩次都沒擊中,事件C是恰有一次擊中,所以B∩C= ,所以選項B中關系正確;事件D包括恰有一次擊中(事件C)和兩次都擊中(事件A),所以選項C中關系正確;事件A∪B包括兩次都擊中和兩次都沒擊中,事件B∪D包括兩次都擊中、恰有一次擊中和兩次都沒擊中,所以選項D中關系不正確.故選D.
變式　解:(1)事件D包括1個紅球2個白球和2個紅球1個白球這兩種情況,故D=A∪B.
(2)事件C包括1個紅球2個白球,2個紅球1個白球和3個均為紅球這三種情況,故C∩A=A.
(3)事件C包括1個紅球2個白球,2個紅球1個白球,3個均為紅球這三種情況.事件E包括1個白球2個紅球,2個白球1個紅球,3個均為白球這三種情況.所以C∩E表示“3個球中有1個紅球2個白球,或3個球中有2個紅球1個白球,”即C∩E=D.
探究點二
例2　解:(1)是互斥事件,不是對立事件.
理由:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出紅桃”與“抽出黑桃”是不可能同時發生的,所以是互斥事件,但是,不能保證其中必有一個發生,這是由于還有可能抽出“方塊”或者“梅花”,因此,二者不是對立事件.
(2)既是互斥事件,又是對立事件.
理由:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”這兩個事件不可能同時發生,但其中必有一個發生,所以它們既是互斥事件,又是對立事件.
(3)既不是互斥事件,也不是對立事件.
理由:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生,如抽出的牌點數為10,因此,二者不是互斥事件,當然也不是對立事件.
變式　解:從3名男生和2名女生中任選2名同學有2名男生,2名女生,1男1女三種結果.
(1)是互斥事件,不是對立事件.
理由:“恰有1名男生”與“恰有2名男生”不能同時發生,所以是互斥事件,但是當選取的結果是2名女生時,這兩個事件都不發生,所以二者不是對立事件.
(2)既不是互斥事件,也不是對立事件.
理由:“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女兩種結果,與事件“全是男生”可能同時發生,所以二者不是互斥事件,當然也不是對立事件.
(3)既是互斥事件,也是對立事件.
理由:“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發生,所以是互斥事件,又因為二者必有一個發生,所以二者是對立事件.
(4)既不是互斥事件,也不是對立事件.
理由:“至少有1名女生”包括1男1女與2名女生兩種結果,當選出的是1男1女時,“至少有一名男生”與“至少有一名女生”同時發生,所以不是互斥事件,當然也不是對立事件.
拓展　解:(1)A1A2.(2)A1.
(3)A1A2+A1+A2.
探究點三
例3　解:(1)這個試驗的樣本空間為Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
A={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)},C={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),
(3,4),(4,3),(4,4)},D={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)},E={(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},F={(4,4)},G={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}.
(2)因為A∩D= ,所以事件A與事件D互斥;因為D∩E= ,D∪E=Ω,所以事件D與事件E互為對立事件.
(3)因為A∩B={(4,4)},所以事件A與事件B的交事件和事件F是同一個事件,即事件F是事件A與事件B的交事件.因為B∪G=C,所以事件C是事件B與事件G的并事件.
變式　解:(1)A∩B∩C.
(2)A∪B∪C.
(3)A∩∩.
(4)A∩B∩.
(5)(A∪B)∩.
(6)ABC∪AB∪AC∪BC.

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