資源簡介

§2　古典概型
2.1　古典概型的概率計算公式
【學習目標】
理解古典概型,能計算古典概型中隨機事件的概率.
◆ 知識點一　古典概型的概念
1.概率
對于一個隨機事件A,我們通常用一個數P(A)(0≤P(A)≤1)來表示該事件發生的可能性的大小,這個數就稱為隨機事件A的概率.概率度量了隨機事件發生的可能性的大小.
2.古典概型
一個試驗是否為古典概型,在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——　　　　和　　　　.
(1)有限性:試驗E的樣本空間Ω的樣本點　　　　　　,即樣本空間Ω為　　　　樣本空間;
(2)等可能性:每次試驗中,樣本空間Ω的各個樣本點出現的可能性　　　　.
【診斷分析】 下列概率模型是古典概型的打“√”,不是的打“×”.
(1)從6名同學中選出4人參加數學競賽,每人被選中的可能性大小. (　 )
(2)同時擲兩枚質地均勻的骰子,擲出的點數之和為7的概率. (　 )
(3)近三天中有一天降雨的概率. (　 )
(4)10人站成一排,其中甲、乙相鄰的概率. (　 )
◆ 知識點二　古典概型的概率公式
對古典概型來說,如果樣本空間Ω包含的樣本點總數為n,隨機事件A包含的樣本點個數為m,那么事件A發生的概率為P(A)=　　　　　　　　　　=　　　　.
注:(1)利用古典概型的概率公式求值時,關鍵是求出m,n,并且求n時應注意這n種結果必須是等可能的.
(2)在求古典概型的樣本空間Ω時,可結合圖形,采用列舉法,列舉出所有的樣本點,列舉時要注意做到不重不漏.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
【診斷分析】 從甲、乙、丙三人中任選兩人擔任課代表,甲被選中的概率為 (　 )
A. B.
C. D.1
◆ 探究點一　古典概型的判斷
例1 (多選題)下列概率模型不屬于古典概型的是 (　 )
A.在平面直角坐標系內,從橫坐標和縱坐標都是整數的所有點中任取一點
B.某小組有男生5人,女生3人,從中任選1人做演講
C.觀測一只使用中的燈泡的壽命
D.中秋節前夕,某市工商部門調查轄區內某品牌月餅的質量,給該品牌月餅評“優”或“差”
變式 下列概率模型屬于古典概型的是 (　 )
A.口袋中有2個較小的白球和3個較大的黑球,從中任取一球,觀察取出球的顏色
B.在區間[-1,5]上任取一個實數x,使x2-3x+2>0
C.拋擲一枚質地均勻的硬幣,觀察其向上的面出現正面還是反面
D.某人射擊中靶或不中靶
◆ 探究點二　樣本點的計數問題
例2 擲質地相同的紅、藍兩枚骰子,用(x,y)表示結果,其中x表示紅色骰子向上的點數,y表示藍色骰子向上的點數.
(1)寫出這個試驗的樣本空間;
(2)寫出這個試驗包含的樣本點的個數;
(3)用樣本點表示事件A“兩枚骰子出現的點數之和大于8”,事件B“兩枚骰子出現的點數相同”.
變式 從1,2,3,5,6,7中任意取三個數.
(1)寫出這個試驗的樣本空間;
(2)用樣本點表示事件A“三個數的和為偶數”.
[素養小結]
確定樣本空間的方法:
要確定樣本空間必須明確試驗的條件,根據題意,按一定的次序列出樣本點.寫樣本點時,一定要注意樣本點出現的機會是均等的,并且要按一定的規律去寫,這樣能做到既不重復也不遺漏.
◆ 探究點三　古典概型概率的計算
[提問] 先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣,求出現兩個正面的概率.


例3 拋擲一枚質地均勻的骰子2次.求:
(1)2次點數之和為偶數的概率;
(2)第2次的點數比第1次大的概率;
(3)2次點數正好是連續的2個整數的概率.
變式 (1)甲、乙、丙三名同學站成一排,甲站在中間的概率是 (　 )
A. B. C. D.
(2)從甲、乙、丙、丁四個同學中選兩人分別當班長和副班長,其中甲、乙為男生,丙、丁為女生,則選舉結果中至少有一名女生當選的概率是　　　　.
[素養小結]
求解古典概型概率問題的一般步驟:(1)計算樣本空間的樣本點總數n;(2)計算事件A包含的樣本點的個數m;(3)代入公式P(A)=即可求出事件A發生的概率.
拓展 小敏和小慧利用“土”“口”“木”三個漢字設計了一個游戲,規則如下:將這三個漢字分別寫在背面都相同的三張卡片上,背面朝上,洗勻后抽出一張,放回洗勻后再抽出一張,若兩次抽出的漢字能構成一個上下結構的漢字(如“土”“土”構成“圭”),則小敏獲勝,否則小慧獲勝.你認為這個游戲規則對誰有利 請用列表的方法進行分析,并對構成的漢字進行說明.
§2　古典概型
2.1　古典概型的概率計算公式
【課前預習】
知識點一
2.有限性　等可能性　(1)總數有限　有限　(2)相等
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
知識點二
　
診斷分析
C
【課中探究】
探究點一
例1　ACD　[解析] 由古典概型的等可能性、有限性進行分析.對于A,樣本空間的樣本點的個數無限,不屬于古典概型;對于C,燈泡的使用壽命不能一一列舉出來,樣本空間中的樣本點個數無限,不屬于古典概型;對于D,對月餅質量的評價有主觀性,不符合等可能性,不屬于古典概型;對于B,每個人被選到的可能性相等且總共只有8個人,滿足古典概型的特征.故選ACD.
變式　C　[解析] A中,取到白球和取到黑球不是等可能的,故不是古典概型;B中,滿足條件的實數的個數是無限的,故不是古典概型;D中,“中靶”與“不中靶”不是等可能的,故不是古典概型;C符合古典概型的兩個特征,故是古典概型.故選C.
探究點二
例2　解:(1)這個試驗的樣本空間為Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),
(6,6)}.
(2)這個試驗包含36個樣本點.
(3)A={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),
(6,6)}.
變式　解:(1)試驗的樣本空間為Ω={(1,2,3),(1,2,5),(1,2,6),(1,2,7),(1,3,5),(1,3,6),(1,3,7),(1,5,6),(1,5,7),(1,6,7),(2,3,5),(2,3,6),
(2,3,7),(2,5,6),(2,5,7),(2,6,7),(3,5,6),(3,5,7),(3,6,7),(5,6,7)}.
(2)由題意知A={(1,2,3),(1,2,5),(1,2,7),(1,3,6),(1,5,6),(1,6,7),(2,3,5),(2,3,7),(2,5,7),(3,5,6),(3,6,7),(5,6,7)}.
探究點三
提問 解:樣本空間為Ω={正正,正反,反正,反反}.
樣本空間中的四個樣本點出現的可能性相等,故該試驗屬于古典概型.∵n=4,m=1,∴所求概率P=.
例3　解:連續拋擲一枚質地均勻的骰子2次,樣本空間中樣本點的個數n=6×6=36.
(1)2次點數之和為偶數,則兩個點數都是偶數或都是奇數,對應的樣本點有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18個,故2次點數之和為偶數的概率為=.
(2)第2次的點數比第1次大的樣本點有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15個,
故第2次的點數比第1次大的概率為=.
(3)2次點數正好是連續的2個整數的樣本點有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,5),(5,4),(4,3),(3,2),(2,1),共10個,故2次點數正好是連續的2個整數的概率為=.
變式　(1)C　(2)　[解析] (1)樣本空間為Ω={甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲},共6個樣本點,甲站在中間包括乙甲丙,丙甲乙,共2個樣本點,所以甲站在中間的概率P==.故選C.
(2)樣本空間為Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},共6個樣本點,其中至少有一名女生當選包含5個樣本點,故所求概率P=.
拓展　解:這個游戲對小慧有利.
每次游戲時,樣本空間中的樣本點如下:
第一張卡片 第二張卡片
土 口 木
土 (土,土) (土,口) (土,木)
口 (口,土) (口,口) (口,木)
木 (木,土) (木,口) (木,木)
總共有9個樣本點,其中能組成上下結構的漢字的樣本點有4個:(土,土)“圭”,(口,口)“呂”,(木,口)“杏”或“呆”,(口,木)“呆”或“杏”.所以小敏獲勝的概率為,小慧獲勝的概率為.所以這個游戲規則對小慧有利.

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