資源簡介

§3　頻率與概率
【學習目標】
1.理解頻率與概率的關系.
2.會用頻率估計概率.
◆ 知識點一　隨機事件的頻率及特點
1.頻率是一個變化的量,但在大量重復試驗時,它又具有穩定性,頻率的值位于區間
　　　　之間.
2.隨著試驗次數的增加,隨機事件發生的頻率擺動的幅度具有越來越小的趨勢.
3.隨機事件發生的頻率也可能出現偏離“常數”較大的情形,但是隨著試驗次數的增加,頻率偏離“常數”的可能性會減小.
【診斷分析】 頻率與試驗次數有關嗎
◆ 知識點二　隨機事件的概率的定義
在相同條件下,大量重復進行同一試驗時,隨機事件A發生的頻率通常會在　　　　　附近擺動,即隨機事件A發生的頻率具有穩定性.這時,把這個常數叫作隨機事件A的概率,記作P(A).顯然0≤P(A)≤1.
【診斷分析】 拋一枚硬幣(質地均勻),連續出現5次正面向上,有人認為下次出現反面向上的概率大于,這種理解正確嗎
◆ 探究點一　頻率與概率的理解
例1 (1)下列說法正確的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.任何事件發生的概率總是在(0,1)內
B.頻率是客觀存在的,與試驗次數無關
C.隨著試驗次數的增加,頻率一般會越來越接近概率
D.概率是隨機的,在試驗前不能確定
(2)(多選題)下列說法錯誤的是 (　 )
A.某人的投籃命中率為40%,其含義是他每投100次球,一定能投中40次
B.某人將一枚質地均勻的硬幣連拋30次,出現正面朝上20次,則事件“正面向上”的概率為
C.天氣預報說某地明天下雪的概率為80%,是指明天此地下雪的可能性為80%
D.投擲一枚質地均勻的骰子10次,點數1向上出現了2次,則事件“點數1向上”的頻率為
[素養小結]
(1)事件A出現的頻數m與試驗總次數n的比值即為事件A發生的頻率,當事件A發生的頻率穩定在某個常數時,這個常數即為事件A的概率.
(2)概率實際上是頻率的科學抽象,求某事件的概率可以通過求該事件發生的頻率而得之.
◆ 探究點二　利用頻率與概率的關系求概率
例2 表一和表二分別表示從甲、乙兩個廠家隨機抽取的某批籃球產品的質量檢測情況:
表一
抽取球數n 50 100 200 500 1000 2000
優等品數m 45 92 194 470 954 1902
優等品頻率
表二
抽取球數n 70 130 310 700 1500 2000
優等品數m 60 116 282 637 1339 1806
優等品頻率
(1)分別計算表一和表二中籃球優等品的頻率(結果保留到小數點后兩位).
(2)若從兩個廠家生產的這批籃球產品中各任取一個檢測,則質量檢測結果為優等品的概率分別是多少
(3)若這兩個廠家的籃球價格相同,你打算從哪一個廠家購貨
變式 某工廠為檢測一批產品的質量,隨機抽取了100件產品,檢測結果如下表:
檢測產品總數(件) 優秀品(件) 合格品(件)
100 80 17
注:每件產品的檢測結果,要么是優秀品,要么是合格品,要么是不合格品.
現從這批產品中任取一件,記“該產品為優秀品”為事件A,“該產品為合格品”為事件B,“該產品為不合格品”為事件C,試用頻率估計P(A),P(B),P(C),P()的值.
[素養小結]
(1)概率可看作頻率在理論上的期望值,它從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小.當試驗的次數越來越多時,頻率越來越趨近于概率.當試驗次數足夠多時,所得頻率就近似地看作隨機事件的概率.
(2)通過公式fn(A)==計算出頻率,再由頻率估算概率.
拓展 對一批襯衣進行質量抽檢,檢驗結果如下表所示:
抽取件數 50 100 200 500 600 700 800
次品件數 0 20 12 27 27 35 40
次品頻率 0 0.20 0.06 0.054
(1)將上面統計表補充完整;
(2)記事件A表示“任取一件襯衣為次品”,試估計P(A);
(3)為了保證買到次品的顧客能夠及時更換,若銷售1000件襯衣,則至少需要進多少件襯衣 (計算結果保留整數)
§3　頻率與概率
【課前預習】
知識點一
1.[0,1]
診斷分析
解:頻率是事件發生的次數與試驗次數的比值,顯然與試驗次數有關.
知識點二
某個常數
診斷分析
解:不正確.拋一枚硬幣(質地均勻)1次,其結果是隨機的,但通過大量的試驗,其結果呈現出一定的規律性,即“正面向上”“反面向上”的可能性都為.連續5次正面向上這種結果是可能的,但對下一次試驗來說,其結果仍然是隨機的,所以出現“正面向上”和“反面向上”的可能性都是,不會大于.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　(2)ABD　[解析] (1)必然事件發生的概率為1,不可能事件發生的概率為0,所以任何事件發生的概率總在[0,1]內,排除A;B,D混淆了頻率與概率的概念,排除B,D.故選C.
(2)某人的投籃命中率為40%是指他每次投籃,投中的可能性是40%,投100次球相當于做了100次試驗,每次試驗可能投中也可能投不中,所以投100次球可能投中0次,也可能投中1次或10次或50次,故A中說法錯誤;將一枚質地均勻的硬幣連拋30次,出現正面朝上20次,說明正面向上的頻率是,而不是概率,B中說法錯誤;天氣預報說某地明天下雪的概率,就是指此地明天下雪的可能性大小,C中說法正確;投擲一枚質地均勻的骰子10次,點數1向上出現了2次,則事件“點數1向上”的頻率為=,D中說法錯誤.故選ABD.
探究點二
例2　解:(1)依據頻率公式,可得表一中籃球優等品的頻率依次為0.90,0.92,0.97,0.94,0.95,0.95;表二中籃球優等品的頻率依次為0.86,0.89,0.91,0.91,0.89,0.90.
(2)由(1)可知,抽取的籃球數量不同,籃球優等品的頻率也不同.表一中優等品的頻率在0.95附近擺動,則在甲廠隨機抽取一個籃球檢測時,質量檢測結果為優等品的概率P甲估計為0.95.表二中優等品的頻率在0.90附近擺動,則在乙廠隨機抽取一個籃球檢測時,質量檢測結果為優等品的概率P乙估計為0.90.
(3)根據概率的定義可知,概率從數量上反映了一個隨機事件發生的可能性的大小.因為P甲>
P乙,所以甲廠生產出來的籃球是優等品的可能性更大,所以應該選擇甲廠生產的籃球.
變式　解:因為=0.8,=0.17,用頻率估計概率,所以估計P(A)=0.8,P(B)=0.17.因為=A+B,而且A與B互斥,所以估計P()=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.97.
所以估計P(C)=1-P()=0.03.
拓展　解:(1)∵=0.045,=0.05,=0.05,
∴題表后三格中應依次填入0.045,0.05,0.05.
(2)由題意知,隨著抽取件數的增多,次品的頻率在0.05附近擺動,并趨于穩定,∴估計P(A)=0.05.
(3)設需要進x件襯衣,則(1-0.05)x≥1000,
解得x≥≈1053,∴至少需要進1053件襯衣.

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