資源簡(jiǎn)介

§4　事件的獨(dú)立性
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.結(jié)合有限的樣本空間,了解事件的獨(dú)立性的含義.
2.結(jié)合古典概型,利用事件的獨(dú)立性計(jì)算概率.
◆ 知識(shí)點(diǎn)　相互獨(dú)立事件
1.概念:
事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的　　　　沒有影響,這樣的兩個(gè)事件叫作相互獨(dú)立事件.
2.計(jì)算公式:
P(AB)=P(A)·P(B),這就是說,兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,等于這兩個(gè)事件發(fā)生的概率的積.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若事件A與B相互獨(dú)立,且P(A)=,P(B)=,則P(AB)=. (　 )
(2)若事件A與B相互獨(dú)立,則P(∩)=P()·P(). (　 )
(3)將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲2次,2次都出現(xiàn)正面向上的概率是. (　 )
(4)若事件A與B相互獨(dú)立,則事件B與也相互獨(dú)立. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　相互獨(dú)立事件的判斷
例1 判斷下列各對(duì)事件是否是相互獨(dú)立事件.
(1)甲組有3名男生和2名女生,乙組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從甲、乙兩組中各選出1名學(xué)生參加演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”;
(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球,“從8個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的仍是白球”.
變式 (1)下列事件中,A,B是相互獨(dú)立事件的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.把一枚均勻的硬幣拋擲兩次,A表示“第一次為正面向上”,B表示“第二次為反面向上”
B.袋中有2個(gè)白球和2個(gè)黑球,不放回地摸出兩個(gè)球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,A表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,B表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”
D.A表示“人能活到20歲”,B表示“人能活到50歲”
(2)[2023·浙江余姚中學(xué)期中] 袋內(nèi)裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球,從中不放回地摸球,每次摸1個(gè)球,設(shè)事件A表示“第一次摸到白球”,事件B表示“第二次摸到白球”,事件C表示“第一次摸到黑球”,則下列說法中正確的是 (　 )
A.A與B是互斥事件
B.A與B不是相互獨(dú)立事件
C.B與C是對(duì)立事件
D.A與C是相互獨(dú)立事件
[素養(yǎng)小結(jié)]
判斷事件是否相互獨(dú)立的方法.
(1)公式法:事件A,B相互獨(dú)立 P(AB)=P(A)·P(B).
(2)直接法:由事件本身的性質(zhì)直接判斷兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.
◆ 探究點(diǎn)二　相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率
例2 已知有甲、乙、丙三個(gè)獨(dú)立的研究機(jī)構(gòu)在一定的時(shí)間內(nèi)研制某種疫苗,且能研制出此種疫苗的概率分別是,,.
(1)求甲、乙、丙都研制出此種疫苗的概率;
(2)求甲、乙、丙都未研制出此種疫苗的概率;
(3)求此種疫苗能夠被研制出的概率.
變式 甲、乙兩人對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行射擊,甲擊中目標(biāo)的概率為,乙擊中目標(biāo)的概率為,兩人是否擊中互不影響.
(1)求目標(biāo)未被擊中的概率;
(2)求目標(biāo)被擊中的概率.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的一般步驟:
(1)確定各事件之間是相互獨(dú)立的;
(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生;
(3)求出每個(gè)相互獨(dú)立事件的概率,再求積.
拓展 甲、乙是某乒乓球隊(duì)的兩位隊(duì)員,他們進(jìn)行一局對(duì)抗賽,規(guī)定如下:依次輪流發(fā)球,贏一球得1分,輸一球不得分也不扣分,連續(xù)得2分者獲勝,比賽結(jié)束.通過分析甲、乙過去對(duì)抗賽的數(shù)據(jù)知,甲發(fā)球甲得分的概率為,乙發(fā)球乙得分的概率為,不同球的結(jié)果互不影響,已知某局對(duì)抗賽中甲先發(fā)球.
(1)求該局對(duì)抗賽中甲和乙共得4分且乙獲勝的概率;
(2)求該局對(duì)抗賽中甲和乙共得5分且比賽結(jié)束的概率.
§4　事件的獨(dú)立性
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)
1.概率
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　解:(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響,所以它們是相互獨(dú)立事件.
(2)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的是白球”的概率為.若這一事件發(fā)生了,則“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的仍是白球”的概率為;若前一事件沒有發(fā)生,則后一事件發(fā)生的概率為.可見,前一事件是否發(fā)生對(duì)后一事件發(fā)生的概率有影響,所以二者不是相互獨(dú)立事件.
變式　(1)A　(2)B　[解析] (1)把一枚均勻的硬幣拋擲兩次,對(duì)于每次而言都是相互獨(dú)立的,其結(jié)果不受先后影響,故A中所給事件是相互獨(dú)立事件;B中是不放回地摸球,顯然事件A與事件B不相互獨(dú)立;對(duì)于C,A,B應(yīng)為互斥事件,不相互獨(dú)立;D中事件A發(fā)生的概率會(huì)影響到事件B發(fā)生的概率.故選A.
(2)根據(jù)題意可知,事件A和事件B可以同時(shí)發(fā)生,不是互斥事件,故A錯(cuò)誤;不放回地摸球,第一次摸球?qū)Φ诙蚊蛴杏绊?所以事件A和事件B不是相互獨(dú)立事件,故B正確;事件B的對(duì)立事件為“第二次摸到黑球”,故C錯(cuò)誤;事件A與事件C為對(duì)立事件,不是相互獨(dú)立事件,故D錯(cuò)誤.故選B.
探究點(diǎn)二
例2　解:設(shè)事件A,B,C分別表示甲、乙、丙三個(gè)獨(dú)立的研究機(jī)構(gòu)能研制出此種疫苗,依題意可知,事件A,B,C相互獨(dú)立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)甲、乙、丙都研制出此種疫苗,即事件A,B,C同時(shí)發(fā)生,
則所求概率為P(ABC)=P(A)×P(B)×P(C)=××=.
(2)甲、乙、丙都未研制出此種疫苗,即事件,,同時(shí)發(fā)生,則所求概率為P( )=
P()×P()×P()=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=××=××=.
(3)“此種疫苗能夠被研制出”的對(duì)立事件為“甲、乙、丙都未研制出此種疫苗”,結(jié)合對(duì)立事件間的概率關(guān)系,可得所求事件的概率P=1-P( )=1-=.
變式　解:設(shè)事件A表示“甲擊中目標(biāo)”,事件B表示“乙擊中目標(biāo)”,則P(A)=,P(B)=,所以P()=,P()=.
(1)設(shè)事件C表示“目標(biāo)未被擊中”,
則P(C)=P( )=P()P()=×=.
(2)設(shè)事件D表示“目標(biāo)被擊中”,
方法一:P(D)=1-P(C)=1-=.
方法二:P(D)=P(AB+B+A)=×+×+×=.
拓展　解:(1)設(shè)“乙發(fā)球乙得分”為事件A,“甲發(fā)球乙得分”為事件B,“該局對(duì)抗賽中甲和乙共得4分且乙獲勝”為事件C,由題知,P(A)=,P(B)=,∴P(C)=P(BBA)=P(B)P()P(B)P(A)=×××=,
∴該局對(duì)抗賽中甲和乙共得4分且乙獲勝的概率為.
(2)設(shè)“該局對(duì)抗賽中甲和乙共得5分且甲獲勝”為事件D,“該局對(duì)抗賽中甲和乙共得5分且乙獲勝”為事件E,“該局對(duì)抗賽中甲和乙共得5分且比賽結(jié)束”為事件F,
易知D,E為互斥事件,且F=D∪E,
由(1)知D=BB ,E=AAB,∴P(D)=××××=,
P(E)=××××=,
∴P(F)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=+=,
∴該局對(duì)抗賽中甲和乙共得5分且比賽結(jié)束的概率為.

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