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第04講 第二章 一元二次函數、方程和不等式拓展提升
題型01一元二次不等式（根與系數的關系）
【典例1】（23-24高一上·重慶北碚·階段練習）已知不等式的解集是，則不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
【典例2】（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）已知不等式的解集為.
(1)若，且不等式有且僅有10個整數解，求的取值范圍；
(2)若為非零實數，解關于的不等式：.
【變式1】（多選）（23-24高一上·安徽蕪湖·階段練習）已知關于一元二次不等式的解集為（其中），關于一元二次不等式的解集為，則（ ）
A． B．
C． D．當時，的最小值為
【變式2】（多選）（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習）關于的不等式，下列說法正確的是（ ）
A．若關于的二次不等式的解集為或，則二次函數的零點為
B．若關于的二次不等式的解集為或，則的解集為
C．若關于的二次不等式的解集為則R，則且
D．若關于的二次不等式的解集與關于的二次不等式的解集相同，則
【變式3】（多選）（23-24高一上·山西太原·階段練習）已知集合有且僅有兩個子集，則下列選項中結論正確的是（ ）
A．
【變式2】（23-24高一下·湖北·階段練習）已知函數.
(1)解關于的不等式：；
題型04一元二次不等式（含參）的求解（首項系數含參從0開始討論）
【典例1】（23-24高一上·河南省直轄縣級單位·期末）
（1）當時，求關于x的不等式的解集．
【典例2】（23-24高一上·陜西渭南·期末）設.
(1)若不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍；
(2)解關于的不等式.
【變式1】（23-24高一上·江蘇常州·期中）已知函數．
(1)若關于x的不等式的解集為，求a，b的值；
(2)若，解關于x的不等式．
【變式2】（23-24高一上·天津·期末）函數.
【變式1】（23-24高一上·吉林長春·期末）函數（）的最小值為 ．
【變式2】（23-24高一上·上海嘉定·期末）當，則的最小值為 .
題型07基本不等式（分離法）
【典例1】（2024高一·全國·專題練習）已知，則的最大值是
【典例2】（23-24高一上·上海閔行·期中）已知，的最小值為 .
【變式1】（23-24高一上·遼寧沈陽·階段練習）（1）已知，求的最小值；
【變式2】（23-24高一上·四川成都·階段練習）
(1)求函數的最小值．
【變式3】（23-24高二上·江蘇淮安·階段練習）（1）已知，求函數的值域；
題型08 基本不等式（換元法）
【典例1】（23-24高二下·重慶·階段練習）已知，，，則的最小值為 .
【典例2】（23-24高一上·遼寧大連·期中）已知正數滿足，則的最小值為 .
【變式1】（2024高三·全國·專題練習）設為實數，若，則的最大值是 ．
【變式2】（23-24高一下·浙江衢州·階段練習）設x，y是正實數，且，則的最大值是 .
【變式3】（23-24高一上·山西·期中）若非零實數，滿足，則的最大值為 .
【變式4】（23-24高三上·重慶云陽·階段練習）已知且， 則的最小值為
題型09基本不等式（常數代換“1”的代換）
【典例1】（2024·廣西河池·模擬預測）若實數，且，則的最小值為 .
【典例2】（23-24高一上·山東菏澤·階段練習）若兩個正實數滿足，且不等式恒成立，則實數的取值范圍為 ．
【變式1】（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知且，則的最小值為 .
【變式2】（23-24高一上·湖南邵陽·階段練習）若，且，則的最小值為 ．
【變式3】（2024·四川成都·模擬預測）已知實數，若，則的最小值為 ．
題型10基本不等式（消元法）
【典例1】（2024·陜西西安·三模）已知，，則的最小值為 ．
【典例2】（23-24高一下·浙江寧波·開學考試）已知，，，則的最小值為 .
【變式1】（2024·陜西西安·三模）已知，，則的最小值為 ．
【變式2】（23-24高二下·上海金山·階段練習）已知正數、滿足，則的最小值為 .
題型11基本不等式（對鉤函數）
【典例1】（2024高三·全國·專題練習）當時，的最小值為 .
【變式1】（23-24高二上·河南鄭州·期中）函數的最小值為 .
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第04講 第二章 一元二次函數、方程和不等式拓展提升
題型01一元二次不等式（根與系數的關系）
【典例1】（23-24高一上·重慶北碚·階段練習）已知不等式的解集是，則不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】根據一元二次不等式解集和一元二次方程的根的關系，利用韋達定理可求得；將所求不等式變為，根據一元二次不等式的解法可求得結果.
【詳解】的解集為
且方程的兩根為：和
，解得：
即，解得：
的解集為
故選:
【點睛】本題考查一元二次不等式的求解，關鍵是能夠根據一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的關系求得的值.屬于中檔題.
【典例2】（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）已知不等式的解集為.
(1)若，且不等式有且僅有10個整數解，求的取值范圍；
(2)若為非零實數，解關于的不等式：.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由題意可得的解集為，利用一元二次不等式的解集與對應方程根的關系可得，；的解集為，利用一元二次不等式恒成立可得，進而解不等式，結合題意即可求解；
（2）由（1），結合含參一元二次不等式的求法，對a、b進行分類討論，即可求解.
【詳解】（1）因為，不等式的解集為，
故的解集為且的解集為，
所以的根為，，故，化簡得，，
又的解集為，即恒成立，
所以，解得，
不等式等價于，即，
所以，由題意得，解得，
綜上所述，的取值范圍為.
（2）若，由（1）得原不等式可化為，即，
當時，不等式解集為，
當時，不等式解集為，
當時，不等式解集為；
若，原不等式等價于的解集為且的解集為，
所以方程的根為2和3，
則，，所以，，
不等式恒成立，故，解得，
不等式，解得或，
綜上所述，當時，解集為或；
當時，不等式解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
【變式1】（多選）（23-24高一上·安徽蕪湖·階段練習）已知關于一元二次不等式的解集為（其中），關于一元二次不等式的解集為，則（ ）
A． B．
C． D．當時，的最小值為
【答案】BC
【分析】結合一元二次不等式與二次函數的關系及函數的平移得到，從而得到，即可判斷A、B、C，由韋達定理得到，利用基本不等式判斷D.
【詳解】因為關于一元二次不等式的解集為（其中），
所以二次函數與軸有兩個交點且，交點坐標分別為，，
又關于一元二次不等式的解集為，
即二次函數與軸有兩個交點且，交點坐標分別為，，，
又二次函數的圖象是由向上平移個單位得到的，
又開口向下，對稱軸為，
由于無法確的值，以下只能得到與圖象的大致情形如下（這里只列出其中一種）：
所以，
則，所以，，所以，故A錯誤，B正確；
又，，所以，故C正確；
因為、為關于的方程的兩根，
所以，，
又，所以，所以，
所以，
所以，當且僅當，即時取等號，
顯然，所以，故D錯誤.
故選：BC
【變式2】（多選）（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習）關于的不等式，下列說法正確的是（ ）
A．若關于的二次不等式的解集為或，則二次函數的零點為
B．若關于的二次不等式的解集為或，則的解集為
C．若關于的二次不等式的解集為則R，則且
D．若關于的二次不等式的解集與關于的二次不等式的解集相同，則
【答案】BC
【分析】對A，由零點的定義即可判斷；
對B，對由韋達定理可得，，則可化為，結合a的符號求解即可；
對C，解集為R，則拋物線圖象開口向上且與x軸無交點，即且
對D，解集相同可以都是空集、都是R、都是特定解，前兩種只需a及判別式的符號滿足即可
【詳解】對A，若關于的二次不等式的解集為或，則二次函數的零點為-3和1，A錯；
對B，由A得，，，，
故，解得，B對；
對C，關于的二次不等式的解集為R，則拋物線圖象開口向上且與x軸無交點，即且，C對；
對D，關于的二次不等式的解集與關于的二次不等式的解集相同，若解集均為，則只需且，以及且，則不一定成立，D錯；
故選：BC
【變式3】（多選）（23-24高一上·山西太原·階段練習）已知集合有且僅有兩個子集，則下列選項中結論正確的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集為，則
D．若不等式的解集為，且，則
【答案】AB
【分析】由題意，方程有且只有一個根，所以，即，再利用基本不等式和不等式的性質，即可求解.
【詳解】解：由題意，方程有且只有一個根，所以，即，
對A：等價于，顯然，所以A選項正確；
對B：，故B選項正確；
對C：因為不等式的解集為，所以，所以C選項錯誤；
對D：因為不等式的解集為，且，
則方程的兩根為，
所以，
所以，故D選項錯誤.
故選：AB.
【變式4】（23-24高一上·上海徐匯·階段練習）已知函數，設關于的方程的兩實根為，方程的兩實根為．
(1)若，求與的關系式；
(2)若均為負整數，且，求的解析式；
(3)若，求證：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）由題意得有兩個不等實根為，，根據韋達定理及可求解；
（2）由（1）得，結合均為負整數可求解；
（3）由韋達定理可得，結合即可證明.
【詳解】（1）由題意得有兩個不等實根為，，
所以．
由得，即，
所以，即．
（2）由（1）得，因為均為負整數，
所以或或，
顯然后兩種情況不合題意，應舍去，從而有，解得，．
故所求函數解析式為．
（3）由題意得，
又由，得，故，
所以．
題型02分式不等式
【典例1】（23-24高一上·上海黃浦·期中）解關于的不等式：．
【答案】答案見解析
【分析】變換得到，考慮，，三種大情況，再考慮，，三種小情況，解不等式得到答案.
【詳解】因為，則，即，等價于，
當時，，解得；
當時，解得；
當時，，
①當，則，不等式解集為；
②當，則，不等式解集為；
③當，則，不等式解集為；
綜上所述：當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為
當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為；
【典例2】（23-24高一上·云南曲靖·階段練習）回答下列各題：
(1)求不等式的解集；
(2)求關于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案見解析.
【分析】（1）按照分式不等式的解法計算即可；
（2）對二次項系數的正負及根的情況進行分類討論，分別求得相應的解集.
【詳解】（1）可化為，
解得：，
所以原不等式的解集為：.
（2），
當，不等式為，不等式的解集為；
當時，不等式化為，不等式的解集為
當時，方程的兩個根分別為：.
當時，兩根相等，故不等式的解集為；
當時，，不等式的解集為或；
當時，，不等式的解集為或.
綜上：當時，不等式的解集為
當，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為或.
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為或；
【變式1】（23-24高一上·山東淄博·階段練習）求下列不等式的解集：.
【答案】
【詳解】由可得，
化簡得：，
即，
解得或，
所以不等式的解集為.
【變式2】（23-24高三上·山東菏澤·期中）解不等式：.
【答案】答案見解析
【分析】將分式不等式轉化為整式不等式，討論a的取值范圍，結合解一元二次不等式，即可得答案.
【詳解】原不等式等價轉化為，
當時，，解得.
當時，即，解得.
當時，，解得或.
當時，，解得或.
綜上，當時，原不等式的解集為，
當時，原不等式的解集為，
當時，原不等式的解集為，
當時，原不等式的解集為.
【變式3】（23-24高一上·廣西桂林·階段練習）求下列不等式的解集：
.
【答案】
【詳解】因為，
所以，則，即，
故，解得，
所以的解集為.
題型03一元二次不等式（含參）的求解
（兩根大小不確定從兩根相等開始討論）
【典例1】（23-24高一上·山東濟寧·期末）已知函數．
(1)若的解集為，求a，b的值；
(2)解關于x的不等式．
【答案】(1)，
(2)答案見解析
【分析】（1）根據題意分析可知的根為，利用韋達定理運算求解；
（2）根據題意整理得，分類討論的符號解不等式.
【詳解】（1）因為的解集為，
可知的根為，
所以，解得，
故，．
（2）由，可知，即，
當時，解得；
當時，，解得或；
當時，，解得或．
綜上：當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為或；
當時，不等式的解集為或．
【典例2】（23-24高一上·河南鄭州·期末）已知函數.
(1)若不等式對一切實數x恒成立，求a的取值范圍；
(2)解關于x的不等式.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）把恒成立問題轉化為對于一切實數x恒成立，用判別式法列式求解即可；
（2）分類討論解一元二次不等式即可.
【詳解】（1）由題意，不等式對于一切實數x恒成立，
等價于對于一切實數x恒成立，所以，
解得.
（2）不等式等價于．
當即時，不等式可化為，原不等式的解集；
當即時，不等式可化為，原不等式的解集為：；
當即時，不等式可化為，此時．
綜上所述：①當時，不等式的解集為；
②當時，不等式的解集為；
③當時，不等式的解集為.
【變式1】（23-24高一下·山東淄博·期中）（1）解關于x的不等式；
【答案】（1）答案見詳解
【分析】（1）原不等式可化為，分類討論解集；
【詳解】（1）原不等式可化為，
討論與的大小．
①當，即時，不等式的解為，或；
②當，即時，不等式的解為；
③當，即時，不等式的解為，或；
綜上：當時，不等式的解為，或；
當時，不等式的解為；
當時，不等式的解為，或；
【變式2】（23-24高一下·湖北·階段練習）已知函數.
(1)解關于的不等式：；
【答案】(1)答案見解析
【分析】（1）根據條件得到，利用含參的一元二次不等式的解法，對進行討論，即可求出結果；
【詳解】（1）由，得到，即，
當，即時，得到，
當時，得到，
當，即時，得到，
綜上所述，時，原不等式的解為，
當時，原不等式的解為，
當時，原不等式的解為.
題型04一元二次不等式（含參）的求解（首項系數含參從0開始討論）
【典例1】（23-24高一上·河南省直轄縣級單位·期末）
（1）當時，求關于x的不等式的解集．
【答案】（1）答案見解析
（1）含參討論解一元二次不等式即可.
【詳解】（1）由，
即，
若，則，
若，則，所以，
若，則，所以，
綜上，當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
【典例2】（23-24高一上·陜西渭南·期末）設.
(1)若不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍；
(2)解關于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）討論a是否為0，不為0時，結合一元二次不等式恒成立列出不等式組，即可求得答案；
（2）將化簡為，分類討論，比較的大小，即可得答案.
【詳解】（1）不等式對一切實數恒成立，即對一切實數恒成立，
當時，即，滿足題意；
當時，需滿足，解得；
故實數的取值范圍為；
（2）由可得，即，
即
當，即時，的解集為；
當，即時，的解集為；
當，即時，的解集為
故原不等式的解集為：當時，解集為；
當時，解集為；
當，時，解集為；
【變式1】（23-24高一上·江蘇常州·期中）已知函數．
(1)若關于x的不等式的解集為，求a，b的值；
(2)若，解關于x的不等式．
【答案】(1)，．
(2)答案見解析
【分析】（1）將不等式的解轉化為對應方程的解，根據根與系數的關系解得答案.
（2）變換得到，考慮，，，幾種情況，解不等式得到答案.
【詳解】（1）將代入，可得，
所以不等式即為不等式，可轉化為，
所以原不等式的解集為，
所以．
綜上，．
（2）不等式可化為，即．
因為，
所以當，即時，原不等式的解集為；
當，即時，；
當，即，原不等式的解集為．
【變式2】（23-24高一上·天津·期末）函數.
(1)若的解集是或，求不等式的解集；
(2)當時，求關于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）利用已知解集求出參數，解不含參數的不等式即可.
（2）分類討論求解不等式即可.
【詳解】（1）由題意得的解集是或，故的解是或，由韋達定理得，，解得，，故求的解集即可，解得，
（2）由得，故求的解集即可，
，開口向上，化簡得，
令，解得或，
當時，，此時解集為，
當時，解得，此時令，解得
當時，解得，此時令，解得，
綜上當時，，當時，.
題型05一元二次不等式（含參）的求解（不可因式分解型）
【典例1】（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習）回答下面兩題：
(1)解關于x的不等式．
【答案】(1)見解析
（1）當時，，得，
當時，，
的兩個根分別為，，，
此時不等式的解集為，
當時，，即，此時不等式的解集為，
當，得，此時不等式的解集為，
當，即時，
的兩個根分別為，，，
此時不等式的解集為，
綜上可知，時，不等式的解集為，
時，不等式的解集為，
時，不等式的解集為，
時，不等式的解集為，
時，不等式的解集為，
【典例2】（23-24高一上·重慶·期末）若函數，
1)當時，求的解集.
【答案】答案見解析
【分析】（1）利用含參的一元二次不等式的解法，分，，和三種情況討論，即可求出結果.
【詳解】（1），，所以，即，
又，
當，即時，的解集為；
當，即時，若，解集為，若，解集為；
當，即或時，的兩根為，，且有，
此時，的解集為或，
綜上所述，當時，的解集為；
當，解集為，當，解集為；
當或時，的解集為或.
題型06基本不等式（湊配法）
【典例1】（山東省威海市2021-2022學年高二下學期期末統考數學試題）成立的充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基本均值不等式求最值再結合充分必要條件與集合之間的關系即可求解.
【詳解】因為，，當且僅當時去等號，即時取等號；
所以使得，的充要條件為，而充分不要條件應該為的真子集，所以應選.
故選：A
【典例2】（23-24高一上·上海青浦·期末）設實數，當代數式取最小值時，的值為 .
【答案】/
【分析】根據題意，由基本不等式代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為，則，
所以，
當且僅當時，即時，等號成立.
故答案為：
【變式1】（23-24高一上·吉林長春·期末）函數（）的最小值為 ．
【答案】/
【分析】利用基本不等式求解.
【詳解】因為，所以，
所以，
當且僅當時，即時，等號成立，
故的最小值為.
故答案為：
【變式2】（23-24高一上·上海嘉定·期末）當，則的最小值為 .
【答案】/
【詳解】對原式變形后借助基本不等式即可得.
【點睛】時，，，
當且僅當，即時，等號成立.
故答案為：.
題型07基本不等式（分離法）
【典例1】（2024高一·全國·專題練習）已知，則的最大值是
【答案】
【分析】將函數解析式變形為，利用基本不等式可求得原函數的最大值.
【詳解】，則，
所以，，
當且僅當時，因為，即當時，等號成立，
所以的最大值為.
故答案為：.
【典例2】（23-24高一上·上海閔行·期中）已知，的最小值為 .
【答案】
【分析】將所求代數式變形為，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】由，則，
當且僅當時，即時取等號，此時取得最小值．
故答案為：
【變式1】（23-24高一上·遼寧沈陽·階段練習）（1）已知，求的最小值；
【答案】（1）；
【分析】配湊法形成積定后即可用基本不等式求最值.
【詳解】（1），，，
，
當且僅當時，即時取得等號，
，即最大值為.
【變式2】（23-24高一上·四川成都·階段練習）
(1)求函數的最小值．
【答案】(1)
【分析】（1）將看作一個整體，對函數分子進行湊配化簡，再利用基本不等式即可求得函數的最小值.
【詳解】（1）因為，所以
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
故函數的最小值.
【變式3】（23-24高二上·江蘇淮安·階段練習）（1）已知，求函數的值域；
【答案】（1）；
【分析】（1）設，得到，且，化簡，結合基本不等式（對勾函數法），即可求解；
【詳解】（1）設，因為，可得，且，
故，
因為，可得，當且僅當時，即時，等號成立．
所以函數的值域為．
題型08 基本不等式（換元法）
【典例1】（23-24高二下·重慶·階段練習）已知，，，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】依題意可得且，從而將目標式化為，再換元，利用基本不等式計算可得.
【詳解】∵，，，∴，且，
則
令，
原式
，
當且僅當，即取等號，故的最小值為.
故答案為：
【典例2】（23-24高一上·遼寧大連·期中）已知正數滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】令，則且，即可得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值.
【詳解】因為，，令，則且，
因為，所以，
所以，即，所以，
又，當且僅當，即時取等號，
所以或（舍去），
所以的最小值為，當且僅當、時取等號.
故答案為：
【變式1】（2024高三·全國·專題練習）設為實數，若，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】設，將已知函數用表示，整理成關于的一元二次方程，根據方程有解，用求出判別式法的范圍即可.
【詳解】由化簡可得，
令，則，所以，即，
所以，解得，
所以的最大值是，此時，．
故答案為：.
【變式2】（23-24高一下·浙江衢州·階段練習）設x，y是正實數，且，則的最大值是 .
【答案】
【分析】令，進行換元可得，，結合基本不等式運算求解.
根據等式變形，利用常值代換法湊項，運用基本不等式求得即得.
【詳解】
因為兩個正實數 滿足，則，
故
，當且僅當時取等號，
因不等式恒成立，則，故.
故答案為：.
【變式1】（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知且，則的最小值為 .
【答案】
【分析】依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式計算可得.
【詳解】因為且，所以，
所以
，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
【變式2】（23-24高一上·湖南邵陽·階段練習）若，且，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據基本不等式的乘“1”法即可求解.
【詳解】由于，所以，
當且僅當，即時等號成立，
【分析】根據給定條件，用含y的式子表示x，再利用均值不等式求解作答.
【詳解】由得：，而，，則有，
于是，
當且僅當，即時取等號，
所以當時，取得最小值.
故答案為：
【變式1】（2024·陜西西安·三模）已知，，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】依題意可得，再由基本不等式計算可得.
【詳解】因為，且，
所以，
所以，
當且僅當，即，時，等號成立，
故的最小值為．
故答案為：．
【變式2】（23-24高二下·上海金山·階段練習）已知正數、滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】將題給條件轉化為，再利用二次函數在給定區間上的值域即可求得的最小值.
【詳解】正數、滿足，則
則，
又時，，則，
則的最小值為.
故答案為：
題型11基本不等式（對鉤函數）
【典例1】（2024高三·全國·專題練習）當時，的最小值為 .
【答案】3
【分析】根據對勾函數的單調性求最值.
【詳解】設，則，
又由得，
而函數在上是增函數，
因此時，取得最小值，
故答案為：.
【變式1】（23-24高二上·河南鄭州·期中）函數的最小值為 .
【答案】
【分析】先對函數進行化簡，然后利用對勾函數的單調性可求出有最小值.
【詳解】，
因為，
所以根據對勾函數在上單調遞增，可知當，即時，有最小值，故答案為：
【點睛】此題考查了對勾函數求最值，考查分析問題的能力，屬于基礎題.
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