資源簡介

第07講 拓展一：異面直線所成角（傳統法與向量法）
1、（傳統法）核心技巧：平移使相交
具體操作，通過平移一條（或2條），使異面直線轉化為相交直線，然后在三角形中利用余弦定理求角
2、（向量法）用向量運算求兩條直線所成角
已知，為兩異面直線，，與，分別是，上的任意兩點，，所成的角為，則
①
②.
題型01求異面直線所成角（定值）(傳統法）
【典例1】（23-24高一下·山東煙臺·階段練習）已知在長方體中，，直線與平面所成角的正弦值為為線段的中點，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一下·浙江·階段練習）在正三棱柱中，面ABC，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2024·重慶·模擬預測）如圖，已知四邊形是平行四邊形，分別是的中點，點P在平面內的射影為與平面所成角的正切值為2，則直線與所成角的余弦值為（ ）
題型02求異面直線所成角（定值）(向量法）
【典例1】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三上·廣西·開學考試）正多面體被古希臘圣哲認為是構成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學、藝術、哲學靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個高為4的正八面體，G為的中點，則異面直線與所成角的正弦值為 ．

【典例3】（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知是圓柱下底面圓的圓心，為圓柱的一條母線，為圓柱下底面圓周上一點，，，為等腰直角三角形，則異面直線與所成角的余弦值為 ．
【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預測）已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高三下·四川德陽·期末）正四面體中，、分別是和的中點，則和所成角的大小是 .
【變式3】（23-24高二上·廣東茂名·期末）長方體中，，，點F是底面的中心，則直線與直線所成角的余弦值為 ．
題型03求異面直線所成角（最值或范圍）
【典例1】（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）如圖，在邊長為1的正方體中，點在上，點在平面內，設直線與直線所成角為.若直線到平面的距離為，則的最小值為 .
【典例2】（23-24高二上·浙江金華·階段練習）如圖，在多面體中，平面，平面平面，是邊長為的等邊三角形，，．
(1)求點B到平面的距離；
(2)若M為的中點，N為線段上的動點，設異面直線與所成角為，求的最大值及此時的值
【變式3】（23-24高二上·吉林通化·期末）如圖，在正四棱錐中，二面角為60°，E為的中點.已知F為直線上一點，且F與A不重合，若異面直線與所成角為60°，則= .
題型05易錯題型求異面直線所成角忽略角的取值范圍
【典例1】（23-24高二上·遼寧·期末）直三棱柱中，，則直線與夾角的余弦是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高二上·黑龍江齊齊哈爾·期末）中國古代數學瑰寶《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上下底面均為扇環形的柱體（扇環是指圓環被扇形截得的部分）．現有一個如圖所示的曲池，其中底面，底面扇環所對的圓心角為，扇環對應的兩個圓的半徑之比為1∶2，在上且為靠近的三等分點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知兩條異面直線的方向向量分別是，則這兩條異面直線所成的角滿足（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24高二上·山東棗莊·階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為上一點，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
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第07講 拓展一：異面直線所成角（傳統法與向量法）
1、（傳統法）核心技巧：平移使相交
具體操作，通過平移一條（或2條），使異面直線轉化為相交直線，然后在三角形中利用余弦定理求角
2、（向量法）用向量運算求兩條直線所成角
已知，為兩異面直線，，與，分別是，上的任意兩點，，所成的角為，則
①
②.
題型01求異面直線所成角（定值）(傳統法）
【典例1】（23-24高一下·山東煙臺·階段練習）已知在長方體中，，直線與平面所成角的正弦值為為線段的中點，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結合條件根據線面角的定義求得，連接，根據異面直線夾角的定義，利用余弦定理求解即可.
【詳解】連接，因為平面，所以為直線與平面所成角，
設，則，
所以，所以，
連接連接，由長方體的性質知，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，則或其補角即為直線與直線所成角，
在中，，
所以由余弦定理得，
即直線與直線所成角的余弦值為.
故選：A

【典例2】（23-24高一下·浙江·階段練習）在正三棱柱中，面ABC，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別取的中點，可得是異面直線與所成角即為與所成角（或其補角），在中，由余弦定理求解即可.
【詳解】分別取的中點，
連接，所以，
所以異面直線與所成角即為與所成角（或其補角），
即，設，所以，
，
所以在中，所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：A.
【變式1】（2024·重慶·模擬預測）如圖，已知四邊形是平行四邊形，分別是的中點，點P在平面內的射影為與平面所成角的正切值為2，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，由條件可證，則直線與所成的角為，然后結合條件以及余弦定理代入計算，即可得到結果.
【詳解】
如圖，取的中點E，連接．因為分別是的中點，
所以．
因為四邊形是平行四邊形，所以．
因為N為的中點，所以，所以．
故四邊形為平行四邊形，所以，
所以直線與所成的角為．
連接，因為點P在平面內的射影為N，所以平面，
所以與平面所成的角為，所以．
不妨令，則，所以，
所以，
在中，
由余弦定理得．
故選：A．
【變式2】（23-24高一下·安徽阜陽·期中）如圖，在正方體中，M，N分別為C1D1和CC1的中點，則異面直線AM與BN所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別為的中點，或其補角為AM與BN所成的角，設正方體的邊長為，余弦定理求解即可.
【詳解】取AB的中點，的中點，連接，
又M，N分別為和的中點，正方體中，，，
四邊形為平行四邊形，有，
同理有，則或其補角為AM與BN所成的角，
連接EF，設正方體的邊長為，則，
，，
所以，
即異面直線AM與BN所成角的余弦值為.
故選：A．
【變式3】（23-24高三上·河南鶴壁·期中）如圖，在正三棱柱中，，，則直線與直線所成角的正切值為 ．
【答案】/
【分析】根據給定條件，作出直線與直線所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解.
【詳解】在正三棱柱中，連接交于O點，取的中點F，連接OF，
顯然是的中點，則，是與所成的角或其補角，
在中，，，，
，，
所以直線與直線所成角的正切值為.
故答案為：
【變式4】（2024·全國·模擬預測）在三棱錐中，，，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是 ．
【答案】
【分析】先根據異面直線所成角的定義確定為異面直線與所成的角或其補角；再根據勾股定理求出，余弦定理求出.，進而得出；最后在中，利用余弦定理即可求出.
【詳解】取的中點，連接，如圖所示：
因為為的中點，為的中點，
則根據三角形的中位線定理可得，且.
所以為異面直線與所成的角或其補角．
因為在中，，，，
所以，則.
又，所以．
又在中，，,
所以由余弦定理可得：.
又因為在中，，
所以由余弦定理可得：.
則在中，由余弦定理可得，，
所以異面直線與所成角的余弦值為．
故答案為：.
題型02求異面直線所成角（定值）(向量法）
【典例1】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據空間向量法求線線角解決即可.
【詳解】以為原點，在平面過作的垂線交于，
以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，
因為直三棱柱中，，，，
所以，
所以，
設異面直線與所成角為，
所以.
故選：C.
【典例2】（23-24高三上·廣西·開學考試）正多面體被古希臘圣哲認為是構成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學、藝術、哲學靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個高為4的正八面體，G為的中點，則異面直線與所成角的正弦值為 ．

【答案】
【分析】依題意，求出棱長，建立空間直角坐標系，借助向量求出異面直線夾角的余弦值，再轉換為正弦值即可.
【詳解】

連接交于點，連接，
因為該幾何體是一個高為4的正八面體，
所以，，，
設棱長為，則，，
所以在中，，即，解得，
以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，
所以，
設異面直線與夾角為，
則，
因為，
所以異面直線與所成角的正弦值，
故答案為：.
【典例3】（2024高一下·全國·專題練習）如圖，已知是圓柱下底面圓的圓心，為圓柱的一條母線，為圓柱下底面圓周上一點，，，為等腰直角三角形，則異面直線與所成角的余弦值為 ．
【答案】
【分析】可借助等角定理得到或其補角即異面直線與所成的角，結合余弦定理計算；或借助空間向量的線性運算得到，再利用夾角公式計算.
【詳解】方法一 ：
如圖，過點作交圓柱的上底面于點，連接，，
則由圓柱的性質易證四邊形為矩形，所以，
所以或其補角即異面直線與所成的角，
在中，，所以，
因為為等腰直角三角形，且，所以，
所以，又，
所以，
即異面直線與所成角的余弦值為.
方法二 ：
在中，，
所以，，
因為為等腰直角三角形，且，所以，
易知，所以，，，
所以，
所以，
則異面直線與所成角的余弦值為.
故答案為：.
【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預測）已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】當三棱錐的體積最大時，平面平面，以E為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，求出向量的坐標，根據向量夾角的坐標表示可解.
【詳解】記的 中點分別為，因為，所以，
同理，，記，
因為，所以，
所以，，
易知，當平面平面時，三棱錐的體積最大，此時，
以E為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，
則
所以，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：C
【變式2】（23-24高三下·四川德陽·期末）正四面體中，、分別是和的中點，則和所成角的大小是 .
【答案】/
【分析】構造輔助線，利用中位線定理得到是和所成角，然后結合向量數量積的變形即可求解.
【詳解】取中點，連接，令棱長為，
因為、分別是和的中點，
所以，，，，
所以是和所成角，
又，
，
，
所以 ，
，，
所以，
所以，即和所成角的大小為.

故答案為：
【變式3】（23-24高二上·廣東茂名·期末）長方體中，，，點F是底面的中心，則直線與直線所成角的余弦值為 ．
【答案】/
【分析】建立空間直角坐標系，利用坐標進行計算即可.
【詳解】如圖所示，建立如下空間直角坐標系，
依題可得，,
則,
所以,
故直線與直線所成角的余弦值為,
故答案為：.
題型03求異面直線所成角（最值或范圍）
【典例1】（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）如圖，在邊長為1的正方體中，點在上，點在平面內，設直線與直線所成角為.若直線到平面的距離為，則的最小值為 .
【答案】
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法表示出到面的距離，進而求出點坐標，過作平面的平行平面，得到點的軌跡，再利用向量法求線線角，進而求其最值即可.
【詳解】因為直線到平面的距離為，
所以必有面，即點到平面的距離為，
如圖建立空間直角坐標系，設，又，
則，
設面的法向量為，
則，取得，
則，解得，即，
過作平面的平行平面，與正方體的截面為，
分別為線段和線段的中點，則
所以在直線上，
設，
又，則，
當時，，
當時，，
又，所以，
則的最小值為.
故答案為：
【典例2】（23-24高二上·浙江金華·階段練習）如圖，在多面體中，平面，平面平面，是邊長為的等邊三角形，，．
(1)求點B到平面的距離；
(2)若M為的中點，N為線段上的動點，設異面直線與所成角為，求的最大值及此時的值
【答案】(1)
(2)；
【分析】
（1）說明兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出平面的法向量，根據空間距離的向量求法，即可求得答案；
（2）設，表示出N點坐標，即可求得坐標，結合的坐標，根據空間角的向量求法，即可求得的最大值及此時的值.
【詳解】（1）設的中點為O，連接，而，則，
是邊長為的等邊三角形，故，則，
平面平面，平面平面，平面，
故平面，平面，故，
又是邊長為的等邊三角形，的中點為O，故，
故以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，
則，
，
設平面的一個法向量為，則，
令，則，又，
故點B到平面的距離為；
（2）M為的中點，即為O點；
N為線段上的動點，設，
而，即，故點,
故，而，
設異面直線與所成角為，則
,
令，則，
故，
令，則，即為，
當時，取得最小值，
即，即時，取得最大值，
即的最大值為，此時的值為.
【典例3】（23-24高三下·湖南長沙·開學考試）三棱錐中，平面，，.，點是面內的動點（不含邊界），，則異面直線與所成角的余弦值的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標系，由，可得，再利用線線角的向量求法求解即得.
【詳解】由平面平面，得，
又平面，則平面，
平面，則，又，平面，
因此平面，而平面，則，
如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向建立空間直角坐標系，
則，設，
，由，得，
，設異面直線與所成角為，
則，
令，則，
顯然函數在上單調遞增，此時，，
所以異面直線與所成角的余弦值的取值范圍為.
故選：A
【點睛】思路點睛：求空間角余弦的最值或范圍問題，根據給定條件，選定變量，將該角的余弦建立起變量的函數，求出函數最值或范圍即可.
【變式1】（23-24高二上·山東濰坊·期末）在直三棱柱中，，，平面經過點A，且直線與平面所成的角為30°，過點作平面的垂線，垂足為H，則點到平面的距離為 ，直線與BH所成角的范圍為 .
【答案】 2
【分析】利用，得出在以為直徑的球面上，其時可得出到平面的距離，由直線與平面所成的角為30°，得在以為軸，頂角為的圓錐面上，從而得出的軌跡是圓，然后建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量法求得與所成角的余弦值，角的范圍．
【詳解】如圖，連接，因為，，所以，
所以在以為直徑的球面上，又直線與平面所成角為，而即為直線與平面所成的角，因此，因此在以為軸，頂角為的圓錐面上，
過作于點，則，其中的長即為到平面的距離．
所以在圓錐的底面圓上，為圓心，半徑為，
以為軸，為軸，過與垂直的直線的為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，設，
，取的一個方向向量為，
，
又，所以，
所以直線與所成角的范圍是，即，
故答案為：；．
【變式2】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在長方體中，E是的中點，點F是AD上一點，，，，動點P在上底面上，且滿足三棱錐的體積等于1，則直線CP與所成角的余弦值的最大值為 ．
【答案】/
【分析】建立空間直角坐標系，設，通過向量法算出點P到平面BFE的距離，結合三棱錐的體積等于1可得到，再通過向量法計算直線CP與所成角的余弦值的范圍，繼而算出答案
【詳解】以D為坐標原點，分別以所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
，則，，
，
設平面的法向量為，則，令，得，
而，則點P到平面BFE的距離，
又，
在等腰中，到的高為，則
而，于是，
解得或，由，得，則，
設直線與所成的角為，則，，
，當且僅當時取等號，
所以的最大值為，
故答案為：
【點睛】方法點睛：求點到平面的距離可以利用幾何法，作出點到平面的垂線段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出這一點與平面內任意一點確定的向量在法向量的投影即可.
【變式3】（23-24高二上·河南洛陽·期中）如圖，四邊形和均為正方形，且，平面平面分別為的中點，為線段上的動點，則異面直線與所成角的余弦值最大時， .

【答案】
【分析】根據題意建立空間直角坐標系，求出異面直線與所成角的余弦值最大時點位置，進而求出大小.
【詳解】
由題可以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示：
則，設，
則，
設異面直線與所成角為，
則，
令，
則，
當時，，
當時，，
令，則，
因為，
當時，有最小值，
此時有最大值，
由得，，
則異面直線與所成角的余弦值最大時，
即，，
所以.
故答案為：
題型04已知線線角求參數
【典例1】（23-24高三上·河北唐山·期末）如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點，在上，在平面內運動（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為 .
【答案】/
【分析】連接交于點，推導出平面，然后以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設，其中，利用空間向量法可求得的值，求出點的坐標為，求出的最小值，即可求得的最大值.
【詳解】連接交于點，平面，平面，則，
因為四邊形為菱形，則，
，、平面，平面，
以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、、，
易知平面的一個法向量為，
因為平面，所以，，
設點，其中，則，
由已知可得，
因為，解得，即點，
設點，則，
因為，則，可得，且，可得，
所以，點，
因為平面，、平面，，，
且，
所以，.
故答案為：.
【典例2】（23-24高二上·遼寧大連·期中）已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長為2的正方形，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是線段PD上的動點（不含端點），若線段AB上存在點F（不含端點），使得異面直線PA和EF所成的角的大小為30°，則線段AF長的取值范圍是 .
【答案】
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法列方程，結合二次函數的性質求得長的取值范圍.
【詳解】設是的中點，則，
由于平面，平面，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面，
以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
，，
設；設，
則，
設與所成角為，則，
，
整理得，
函數的開口向下，對稱軸為，
已知為直線上一點，且與不重合，若異面直線與所成角為余弦值為，則 .
【答案】
【分析】連接、交于點，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，其中，利用空間向量法可得出關于實數的方程，結合可求得結果.
【詳解】連接、交于點，則，
因為四棱錐為正四棱錐，故底面，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、，
設，其中，
，則，
，由已知可得，
整理可得，因為，解得，即.
故答案為：
【變式3】（23-24高二上·吉林通化·期末）如圖，在正四棱錐中，二面角為60°，E為的中點.已知F為直線上一點，且F與A不重合，若異面直線與所成角為60°，則= .
【答案】11
【分析】由題意建立空間直角坐標系，由二面角的定義得出，從而寫出的坐標，由向量共線的性質設，利用向量的加法得出，由異面直線與所成角，利用向量法得出的值，從而得出的值.
【詳解】取的中點G，與的交點為，以O為坐標原點，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，設
因為二面角為60°，所以
則.
設，則
從而
整理得，解得(舍)，
故.
故答案為：
【點睛】本題主要考查了已知面面角，線線角求參數，屬于中檔題.
題型05易錯題型求異面直線所成角忽略角的取值范圍
【典例1】（23-24高二上·遼寧·期末）直三棱柱中，，則直線
，，
又兩條異面所成的角為，則，
故選：B.
【變式2】（23-24高二上·山東棗莊·階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為上一點，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用向量夾角公式求解.
【詳解】以為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
設，則，
，
，
則異面直線與所成角的余弦值為.
故選：B.
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