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第08講 拓展二：直線與平面所成角的傳統(tǒng)法與向量法(含探索性問(wèn)題）
知識(shí)點(diǎn)一：直線與平面所成角
1、斜線在平面上的射影：過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足及斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影.
注意：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的射影上.
如圖，直線是平面的一條斜線，斜足為，斜線上一點(diǎn)在平面上的射影為，則直線是斜線在平面上的射影.
2、直線和平面所成角：（有三種情況）
（1）平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個(gè)平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為；
（2）直線與平面垂直時(shí)，它們的所成角為；
（3）直線與平面平行（或直線在平面內(nèi)）時(shí)，它們的所成角為0.
結(jié)論：直線與平面所成角的范圍為.
3、傳統(tǒng)法之定義法（如右圖）：具體操作方法：
①在直線上任取一點(diǎn)（通常都是取特殊點(diǎn)），向平面引（通常都是找+證明）垂線；
②連接斜足與垂足；
③則斜線與射影所成的角，就是直線與平面所成角.
4、傳統(tǒng)法之等體積法求垂線段法(如右圖）
①利用等體積法求垂線段的長(zhǎng)；
②
5、利用向量法求線面角
設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
題型01求直線與平面所成角（定值）（傳統(tǒng)法）
【典例1】（23-24高一下·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖，已知，在平面內(nèi)，OA是平面的斜線，且，，則直線與平面所成的角的大小為 ．
【典例2】（23-24高一下·吉林·期中）已知在正方體中，P為中點(diǎn)，，若平面繞旋轉(zhuǎn)，則與在平面所成角的余弦值最小值為 .
【典例3】（23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）如圖，直四棱柱中，底面ABCD為菱形，，，P，M，N分別為CD，，的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面；
(2)求與平面所成角的正弦值.
【變式1】（2024·浙江溫州·二模）如圖，在等腰梯形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折到，將沿翻折到，使得二面角等于，等于，則直線與平面所成角的余弦值等于 ．

【變式2】（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）在三棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為 .
【變式3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，分別為，的中點(diǎn).
(1)求三棱錐的體積；
(2)求直線與平面所成線面角的正弦值.
題型02求直線與平面所成角（定值）（向量法）
【典例1】（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，平面平面，∥，，，．
(1)證明：；
(2)若為等邊三角形，求直線PC與平面PBD所成角的正弦值．
【典例2】（2024·安徽合肥·三模）如圖一：等腰直角中且，分別沿三角形三邊向外作等腰梯形使得，沿三邊折疊，使得，重合于，如圖二
(1)求證：．
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【典例3】（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，多面體是由一個(gè)正四棱錐與一個(gè)三棱錐拼接而成，正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為，且．
(1)在棱上找一點(diǎn)，使得平面平面，并給出證明；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．
【變式1】（23-24高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，.

(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【變式2】（23-24高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，兩兩垂直，是線段AD的中點(diǎn)，是線段BM的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段AC上，且.

(1)求證:平面BCD;
(2)若點(diǎn)G在平面ABC內(nèi)，且平面BMC，求直線MG與平面ABC所成角的正弦值.
分別是線段，上的點(diǎn)，滿足平面，則與平面所成角的范圍是 ．
【變式1】（23-24高二上·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)M在棱BC上，滿足，點(diǎn)N在棱BD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線MN與平面ABC所成角為，則的最小值為 .
【變式2】（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·期末）正四棱柱中，，，點(diǎn)為側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)（不含邊界），且滿足.記直線與平面所成的角為，則的取值范圍為 .
【變式3】（23-24高三上·浙江紹興·期末）如圖，在三棱錐中，，，E，F(xiàn)，O分別為棱，，的中點(diǎn)，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是 .
題型04已知直線與平面所成角求參數(shù)
【典例1】（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，，，．

(1)求三棱臺(tái)的高；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求．
【典例2】（2024·山東濰坊·二模）如圖1，在平行四邊形中，，，E為的中點(diǎn)，將沿折起，連結(jié)，，且，如圖2．

(1)求證：圖2中的平面平面；
(2)在圖2中，若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．
【變式1】（23-24高二下·江蘇徐州·期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，，，分別在棱，
分別為，的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【變式1】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）在空間四邊形ABCD中，.
(1)求證:平面平面ABC;
(2)對(duì)角線BD上是否存在一點(diǎn)，使得直線AD與平面ACE所成角為.若存在求出的值，若不存在說(shuō)明理由.
【變式2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，在三棱柱中，，，側(cè)面是正方形，為的中點(diǎn)，二面角的大小是．

(1)求證：平面平面；
(2)線段上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為．若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型06易錯(cuò)題型利用向量法求直線與平面所成角的余弦值
（忽視最后正弦轉(zhuǎn)余弦）
【典例1】（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）在三棱錐中，平面，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，，，則直線與平面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·四川雅安·一模）如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，設(shè)與平面所成角為，則的最小值是（ ）21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
第08講 拓展二：直線與平面所成角的傳統(tǒng)法與向量法(含探索性問(wèn)題）
知識(shí)點(diǎn)一：直線與平面所成角
1、斜線在平面上的射影：過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足及斜足的直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影.
注意：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的射影上.
如圖，直線是平面的一條斜線，斜足為，斜線上一點(diǎn)在平面上的射影為，則直線是斜線在平面上的射影.
2、直線和平面所成角：（有三種情況）
（1）平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個(gè)平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為；
（2）直線與平面垂直時(shí)，它們的所成角為；
（3）直線與平面平行（或直線在平面內(nèi)）時(shí)，它們的所成角為0.
結(jié)論：直線與平面所成角的范圍為.
3、傳統(tǒng)法之定義法（如右圖）：具體操作方法：
①在直線上任取一點(diǎn)（通常都是取特殊點(diǎn)），向平面引（通常都是找+證明）垂線；
②連接斜足與垂足；
③則斜線與射影所成的角，就是直線與平面所成角.
4、傳統(tǒng)法之等體積法求垂線段法(如右圖）
①利用等體積法求垂線段的長(zhǎng)；
②
5、利用向量法求線面角
設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
題型01求直線與平面所成角（定值）（傳統(tǒng)法）
【典例1】（23-24高一下·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖，已知，在平面內(nèi)，OA是平面的斜線，且，，則直線與平面所成的角的大小為 ．
【答案】
【分析】取線段的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)，作，證明平面，找到線面角，利用余弦定理求解即可.
【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)，作，如圖，
因，，，
則由余弦定理得，即，
同理可得，
∵，D是的中點(diǎn)，，，
而，即，因此，，
∵，，平面，
平面，又平面，
∴，又∵，平面，
∴平面，是直線OA與平面所成的角，，
∵線面角的范圍為，∴，
所以直線OA與平面所成的角的大小為．
故答案為：
【典例2】（23-24高一下·吉林·期中）已知在正方體中，P為中點(diǎn)，，若平面繞旋轉(zhuǎn)，則與在平面所成角的余弦值最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)面面平行，結(jié)合線線垂直可證明平面,即可根據(jù)線面角的定義求解為與平面所成的角，由三角形的邊角關(guān)系即可求解.
【詳解】設(shè)過(guò)的一個(gè)平面,（不與平面重合）與正方體相交于,
取的中點(diǎn)，過(guò)作,過(guò)作，連接,
故平面平面，
過(guò)作于，由于平面，平面，故,
平面，故平面,
所以為與平面所成的角，故也為為與平面所成的角，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，
,
要使最小，則需要最大即可，
由于,
故當(dāng)時(shí)，此時(shí)取最大值，
此時(shí)的最小值為，
故答案為：

【典例3】（23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）如圖，直四棱柱中，底面ABCD為菱形，，，P，M，N分別為CD，，的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面；
(2)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)面面平行的定理，轉(zhuǎn)化為證明兩組線面平行，即證明兩組線線平行；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)公式，求線面角的正弦值.
【詳解】（1）因?yàn)椋謩e為線段，的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?
因?yàn)椋謩e為線段，的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?
因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面平面.
（2）由題知平面，平面，故，故，
因?yàn)樗倪呅问橇庑危遥?br/>則，所以.
而，故.
設(shè)為點(diǎn)到平面的距離，與平面所成的角為，
故.
又，
而，故，故.
故，即與平面所成角的正弦值為.
【變式1】（2024·浙江溫州·二模）如圖，在等腰梯形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折到，將沿翻折到，使得二面角等于，等于，則直線與平面所成角的余弦值等于 ．

【答案】/
【分析】根據(jù)圖象可得直線與平面所成角的余弦值等于的正弦值，設(shè)，利用余弦定理求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度再進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)，取的中點(diǎn),連接,
由題知平面平面,
平面平面,
又平面,
所以平面，

則直線與平面所成角的余弦值等于的正弦值，
易求得，
,
又,
解得，
,
則,
所以直線與平面所成角的余弦值等于，
故答案為：.
【變式2】（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）在三棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為 .
【答案】/
【分析】構(gòu)建正四面體模型，從而可求直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】
如圖，在射線上截取，在射線截取，得到如下圖所示的幾何體.

因?yàn)椋蕿榈缺热切危?br/>故，同理，
而，故為等比三角形，故，
故幾何體為正四面體.
過(guò)作平面的垂線，垂足為，則為的中心，
連接，則為與平面（即平面）所成的角，
設(shè)，則，
故，故.
所以線與平面所成角的正弦值為.
故答案為：.
【變式3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，分別為，的中點(diǎn).
(1)求三棱錐的體積；
(2)求直線與平面所成線面角的正弦值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)，再根據(jù)棱錐的體積計(jì)算公式，求解即可；
（2）根據(jù)（1）中所求棱錐的體積，求得點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合的長(zhǎng)度，利用公式，直接求解即可.
【詳解】（1）面面，故，故，
又在直角梯形中，，；
又為中點(diǎn)，故
.
（2）因?yàn)?/，故，又面面，故，
又面，
故面面，則，則△為直角三角形；
易知，
故，
設(shè)點(diǎn)到面的距離為，
由（1）可得，解得；
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故//，
則面，又面，則，
故△為直角三角形，則，
設(shè)直線與平面所成角為，則.
題型02求直線與平面所成角（定值）（向量法）
【典例1】（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，平面平面，∥，，，．
(1)證明：；
(2)若為等邊三角形，求直線PC與平面PBD所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)幾何知識(shí)分析可知，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可知平面PAD，即可得結(jié)果；
（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求平面PBD的法向量，利用空間向量求線面夾角.
【詳解】（1）因?yàn)椋芍?br/>則，即．
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫遥?br/>可知平面PAD，
且平面PAD，所以．
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別，的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)槠矫嫫矫妫芍獄軸在平面內(nèi)，
則，，，，
可得，，．
設(shè)平面PBD的法向量為，則，
令，則，可得．
設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為，
則，
所以直線PC與平面PBD所成角的正弦值為．
【典例2】（2024·安徽合肥·三模）如圖一：等腰直角中且，分別沿三角形三邊向外作等腰梯形使得，沿三邊折疊，使得，重合于，如圖二
(1)求證：．
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）補(bǔ)全圖形得到三棱錐，由線面垂直證得；
（2）思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量求解線面角；
思路二：等體積法求得到平面的距離，再用幾何法求得線面角.
【詳解】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)過(guò)作于，過(guò)作于，
又四邊形為等腰梯形，則，則，
又，所以，為的中點(diǎn)，
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，為的中點(diǎn)，則，
與重合于點(diǎn)，為三棱錐，
設(shè)為中點(diǎn)，等腰直角中，
又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，∴，
，又平面平面，
又平面，.
（2）方法一：
為中點(diǎn)，，
又，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
， ，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，所以.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
方法二：
為中點(diǎn)，，，
又，
又，平面，∴平面，
，為等邊三角形，設(shè)到平面的距離為，
∴，
.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【典例3】（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，多面體是由一個(gè)正四棱錐與一個(gè)三棱錐拼接而成，正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為，且．
(1)在棱上找一點(diǎn)，使得平面平面，并給出證明；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面平面，依題意可得，從而得到，再由，即可證明平面，從而得證；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的空間向量求法即可.
【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面平面，
證明如下：因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以，所以.
在正方形中，，所以，
在正方形中，，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槊妫?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
（2）因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐且所有棱長(zhǎng)均為，所以，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，則，
設(shè)，則，因?yàn)椋?br/>所以，則，解得，所以，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則有，
取，則，故，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【變式1】（23-24高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，.

(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.
（2）利用（1）中坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線面角的向量求法求解即可.
【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

有，，，，，，，
則，，，，，
因此，，又，，平面，
所以平面.
（2）設(shè)平面的法向量為，由，，
有，取，得，
設(shè)直線與平面所成的角為，而
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【變式2】（23-24高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，兩兩垂直，是線段AD的中點(diǎn)，是線段BM的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段AC上，且.

(1)求證:平面BCD;
(2)若點(diǎn)G在平面ABC內(nèi)，且平面BMC，求直線MG與平面ABC所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）作，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，然后證明平面；
（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面，可設(shè)，，即可表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再由平面，由求出，從而確定點(diǎn)坐標(biāo)，再由空間向量法求出直線與平面所成角的正弦值．
【詳解】（1）作，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，
因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，
所以且，
，，所以且，
且，所以四邊形為平行四邊形，
，又平面，平面，平面；

（2）如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，則，，，，
設(shè)，則，，，
平面，可設(shè)，，
即，
則，即，則，
平面，又，，
，即，解得，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，得，
所以，
故直線與平面所成角的正弦值為．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：
（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；
（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.
【變式3】（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，PD垂直底面，E，F(xiàn)分別是棱PC，PA上的點(diǎn)，滿足已知

(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)1
【分析】（1）由線線垂直得到線面垂直，進(jìn)而證得面面垂直；
（2）思路一：用線面垂直的性質(zhì)判定及面面垂直的性質(zhì)證得平面，從而得解；
思路二：建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得、坐標(biāo)，算得平面的法向量，進(jìn)而求解線面角即可.
【詳解】（1）平面平面，
底面是矩形，，
平面，平面，
平面平面平面
（2）方法一：由（1）得平面平面平面
平面平面平面，
平面
平面平面，
底面是矩形，，
平面，平面，
∵平面，,
又， 平面，平面，
∵平面，∴
，平面，平面
直線與平面所成角為其正弦值為1．
方法二：如圖以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸
建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
，，，，
設(shè)，，
則，，
∴，∴，
，
設(shè)平面的法向量為
則，，可取，
設(shè)直線與平面所成角為

【點(diǎn)睛】
題型03求直線與平面所成角（最值或范圍）
【典例1】（2024·遼寧錦州）在中，，若空間點(diǎn)滿足，則的最小值為 ；直線與平面所成角的正切的最大值是 .
【答案】
【分析】以所在平面為，建立空間直角坐標(biāo)，求平面的法向量，
利用線面角結(jié)合換元法可得，又，則的最大值為，由此即可求出答案.
【詳解】
過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn)，
設(shè)，則，
又，則，
則點(diǎn)在以為旋轉(zhuǎn)軸，底面圓半徑為的圓柱上，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小；且最小值為；
如圖所示：以所在平面為，建立空間直角坐標(biāo)，則平面的法向量為：，
，
設(shè)，
則，

當(dāng)，且時(shí)，最小，
即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小值為；
記直線與平面所成角為,
則，
因?yàn)椋?br/>所以，
令，則，
則，，
又，在上單調(diào)遞減。在上單調(diào)遞增，
則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
又，
所以直線與平面所成角的最大值為，
此時(shí)，
故答案為：；
【典例2】（23-24高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，，是側(cè)面（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，且，記與平面所成的角為，則與的重合時(shí) ；的最大值為 .
【答案】 1
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征及線面角的定義找到就是與平面所成的角，當(dāng)與的重合時(shí)，，一般情況時(shí)，，利用已知得到，進(jìn)而得出的最大值.
【詳解】以，，所在直線分別為，，軸，如圖建立坐標(biāo)系，
由已知，，則，，，
設(shè)，則，，
∵，，，，
∴，
連接，在正四棱柱中，面，
所以就是與平面所成的角，即，
，
當(dāng)與的重合時(shí)，，，
一般情況下：，∴，
∴的最大值為.
故答案為：1；
【典例3】（23-24高二上·福建三明·開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P，Q分別是線段，上的點(diǎn)，滿足平面，則與平面所成角的范圍是 ．
【答案】
【分析】以為原點(diǎn)，為軸、軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，且，其中，求得向量和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，求得的范圍，即可求解.
【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
易得不重合，設(shè)，其中，且，
所以，所以，，
因?yàn)槠矫妫裕傻茫裕?br/>因?yàn)槠矫妫缘囊粋€(gè)法向量為，
設(shè)與平面所成的角為，
則，
當(dāng)，可得，因?yàn)椋?br/>當(dāng)，可得，因?yàn)椋裕?br/>所以與平面所成的角的范圍是為.
故答案為：
【變式1】（23-24高二上·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)M在棱BC上，滿足，點(diǎn)N在棱BD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線MN與平面ABC所成角為，則的最小值為 .
【答案】
【分析】設(shè)中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，利用線面角的向量求法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】取中點(diǎn)，連接，
三棱錐各棱長(zhǎng)均為，
在底面內(nèi)的投影為的中心，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，作的平行線作為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
，
因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量，
設(shè)，，
，，
即，
，
；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，
，
；
綜上所述：的最小值為.
故答案為：.
【變式2】（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·期末）正四棱柱中，，，點(diǎn)為側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)（不含邊界），且滿足.記直線與平面所成的角為，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，得到，根據(jù)，得到或，然后利用線面角的向量求法求解.
【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
則，設(shè)，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
則，因?yàn)椋瑒t，
解得或，
易知平面的一個(gè)法向量為，
所以，
則，
所以，
故答案為：.
【變式3】（23-24高三上·浙江紹興·期末）如圖，在三棱錐中，，，E，F(xiàn)，O分別為棱，，的中點(diǎn)，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】易證得，引入輔助角變量，設(shè)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得線面角的正弦值，從而可判斷所求角的范圍.
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，
又，所以平面，
設(shè)，
如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則平面與平面重合，
不妨設(shè)，
則，
則，
，
則，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以即為平面的一條法向量，
因?yàn)橹本€與平面所成角為，，
所以
，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以.
故答案為：.
題型04已知直線與平面所成角求參數(shù)
【典例1】（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，，，．

(1)求三棱臺(tái)的高；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作于點(diǎn)O，利用面面垂直的性質(zhì)得即為三棱臺(tái)的高，再利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得答案；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，在面內(nèi)，作，以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)，利用線面角的空間向量求法可得答案．
【詳解】（1）作于點(diǎn)O，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>平面平面，平面，，
所以平面，即為三棱臺(tái)的高，
又因?yàn)槠矫妫裕B接，
因?yàn)椋裕?br/>，平面，所以平面，
又平面，所以，，，
所以，，所以三棱臺(tái)的高為；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，在面內(nèi)，作，以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，可取，
設(shè)，則，
設(shè)直線與平面所成角為，，
化簡(jiǎn)得，解得，或（舍去，因?yàn)椋瑒t，所以），
所以．
【典例2】（2024·山東濰坊·二模）如圖1，在平行四邊形中，，，E為的中點(diǎn)，將沿折起，連結(jié)，，且，如圖2．

(1)求證：圖2中的平面平面；
(2)在圖2中，若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）連接，利用勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）連接，
由題意，
則為等邊三角形，
由余弦定理得，所以，
則，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，
故，
，
因?yàn)檩S垂直平面，故可取平面的一條法向量為，
所以，
化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
所以點(diǎn)到平面的距離為．

【變式1】（23-24高二下·江蘇徐州·期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，，，分別在棱，，上，且滿足，是的重心，若直線與平面所成角為，則的值為 ．
【答案】/
【分析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.
【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
因?yàn)槭堑闹匦模裕?br/>所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)椋?br/>所以，令，則，
因?yàn)橹本€與平面所成角為，
所以（），
所以，化簡(jiǎn)得，
解得或（舍去）
故答案為：
【變式2】（23-24高三下·上海·期中）如圖所示，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，是等邊三角形，為線段的中點(diǎn)，．
(1)求證：平面平面；
(2)若為線段上的一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用線線垂直可得平面，進(jìn)而可證平面平面；
（2）過(guò)作，垂足為，
【詳解】（1）因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榫€段的中點(diǎn)，所以，又，
因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危允瞧矫嫔系膬蓷l相交直線，
所以平面，平面，所以平面平面；
（2）因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危?br/>所以，過(guò)作，垂足為，
由，得，所以，，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
又，設(shè)直線與平面所成角為，
則，解得，即.
題型05直線與平面所成角中的探索性問(wèn)題
【典例1】（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面為矩形，點(diǎn)在線段上，平面.
(1)求證：；
(2)若是等邊三角形，，平面平面，四棱錐的體積為，試問(wèn)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)存在，
【分析】（1）連接，設(shè)，連接，即可得到為的中點(diǎn)，再由線面平行的性質(zhì)得到，即可得證；
（2）作于，即可得到平面，根據(jù)錐體的體積求出，再建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）連接，設(shè)，連接.
因?yàn)闉榫匦危詾榈闹悬c(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫矫妫矫嫫矫妫?br/>所以.
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以.
（2）設(shè)，因?yàn)槭堑冗吶切危?
如圖，作于，則，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫妫矫嫫矫妫?br/>所以平面，所以是四棱錐的高，
因?yàn)闉榫匦危裕?br/>所以，解得.
因?yàn)闉榫匦危裕矫嫫矫妫矫妫?br/>平面平面，所以平面，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，
假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，
設(shè)，，
則，
所以，
化簡(jiǎn)得，解得（舍去）或，
因?yàn)椋藭r(shí)，
所以線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時(shí)的長(zhǎng)為.
【典例2】（2024·河北滄州·三模）如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)存在，1.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.
（2）由（1）中坐標(biāo)系，假定存在，利用線面角的向量求法列式計(jì)算即得.
【詳解】（1）在直三棱柱中，，則直線兩兩垂直，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，，
，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得 ，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得 ，
顯然，點(diǎn)平面，所以平面平面.
（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)滿足條件，，，
設(shè)直線與平面所成的角為，
設(shè)，則.
則.
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，即.
又,所以，
即，即，解得或（舍去），
因?yàn)椋?所以，
所以.
故.
【變式2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，在三棱柱中，，，側(cè)面是正方形，為的中點(diǎn)，二面角的大小是．

(1)求證：平面平面；
(2)線段上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為．若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)存在，
【分析】（1）先證明，得平面，即得平面平面；
（2）先由題意取中點(diǎn)，證明平面，建系，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，依題設(shè)，計(jì)算出平面的法向量，利用空間向量的夾角公式列出方程，求解即得.
【詳解】（1）因是正方形，則,因,故.
由,則.因,則平面，
又平面,故平面平面.
（2）

如圖，取的中點(diǎn)，連接,易得,因，
故即二面角的平面角，即，
易得,取中點(diǎn)，連接,過(guò)點(diǎn)作,交于，
因,故得正三角形，則,
由（1）得平面平面，且平面平面，平面，
故得平面.
因此可分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
則,
依題意，設(shè),，
則，
因，設(shè)平面的法向量為，
則，故可取.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，解得或，
因，故，即,
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，
綜上所述，的最小值是.
故選：A.
【變式1】（23-24高二上·廣東湛江·階段練習(xí)）直線的方向向量與共線，平面的一個(gè)法向量為，則直線和平面的夾角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量求出直線與平面夾角的正弦即可.
【詳解】設(shè)直線和平面的夾角為，則，
所以直線和平面的夾角的余弦值是.
故選：B
【變式2】（23-24高二上·全國(guó)·期中）PA，PB，PC是從點(diǎn)P引出的三條射線，每?jī)蓷l的夾角均為，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將放在正方體中進(jìn)行分析，結(jié)合空間向量法求解即可.
【詳解】如圖所示，把放在正方體中，的夾角均為．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，所以，
所以．
設(shè)直線與平面所成角為，所以，
所以．
故選：C．
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