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第10講 拓展四：空間中距離問題（等體積法與向量法）
知識點01：用向量法求空間距離
1、點到直線的距離
已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、點到平面的距離
如圖，已知平面的法向量為，是平面內的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.
題型01利用向量法求點到直線的距離
【典例1】（2024·廣西來賓·一模）棱長為3的正方體中，點E，F滿足，，則點E到直線的距離為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高二下·北京·開學考試）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高二上·安徽亳州·期末）如圖，在三棱柱中，所有棱長都為2，且，平面平面，點為的中點，點為的中點．
(1)點到直線的距離；
(2)求點到平面的距離．
【變式1】（2024·全國·模擬預測）已知在空間直角坐標系中，直線經過，兩點，則點到直線的距離是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高二上·貴州畢節·期末）在空間直角坐標系中，已知三點，則點到直線的距離為 .
【變式3】（23-24高二上·廣東韶關·階段練習）如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點為的中點，.
(1)求二面角的正弦值；
(2)求點到直線的距離；
題型02點到平面的距離等體積法
【典例1】（23-24高一下·天津武清·階段練習）如圖，若正三棱柱的底面邊長為，對角線的長為，點為的中點，則點到平面的距離為 ．
【典例2】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）如圖，在三棱柱中，側面為矩形，，
【典例1】（廣西貴百河2023-2024學年高一下學期5月新高考月考測試數學試卷）如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，分別是的中點，是邊長為2的等邊三角形，．
(1)證明：；
(2)求點到平面的距離．
【典例2】（23-24高二下·甘肅武威·期中）如圖，在直三棱柱中，為的中點，點分別在棱和棱上，且．
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
【典例3】（2024·吉林·模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，為中點，點在梭上（不包括端點）.
(1)證明：平面平面；
(2)若點為的中點，求直線到平面的距離.
【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：；
(2)若三棱柱的體積為3，且直線與平面ABC所成角為60°，求點到平面的距離.
【變式2】（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，E，F分別為，的中點，點G在棱上，，直線與平面相交于點H.
分別為和的中點，則平面上任意一點到底面中心距離的最小值為 .
【典例2】（23-24高三上·北京昌平·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點.

(1)證明：∥平面；
(2)若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在線段上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【變式1】（23-24高二上·湖北宜昌·期中）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，P為棱AD的中點，且，，若點M到平面SBC的距離為，則實數的值為 ．
【變式2】（23-24高二上·重慶黔江·階段練習）正方體中，，點在線段上.
(1)當時，求異面直線與所成角的取值范圍；
(2)已知線段的中點是，當時，求三棱錐的體積的最小值.
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第10講 拓展四：空間中距離問題（等體積法與向量法）
知識點01：用向量法求空間距離
1、點到直線的距離
已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、點到平面的距離
如圖，已知平面的法向量為，是平面內的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.
題型01利用向量法求點到直線的距離
【典例1】（2024·廣西來賓·一模）棱長為3的正方體中，點E，F滿足，，則點E到直線的距離為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用向量法求點到直線的距離.
【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，根據條件可得，，，
，，設向量與的夾角為，
，
所以點到直線的距離為.
故選：A.
【典例2】（23-24高二下·北京·開學考試）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求出點到直線距離的函數關系，再求其最小值即可.
【詳解】以題意，以點為原點，所在直線為軸，
建立如圖所示空間直角坐標系，
因為正方體棱長為1，，
所以,,
設,
則,
而,
所以點到直線的投影數量的絕對值為
,
所以點到直線的距離為
，
當時，等號成立，即點到直線的距離最小值為，
故選：C.
【典例3】（23-24高二上·安徽亳州·期末）如圖，在三棱柱中，所有棱長都為2，且，平面平面，點為的中點，點為的中點．
(1)點到直線的距離；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面面垂直性質定理證明線面垂直，再得線線垂直，由此建立空間直角坐標系，利用向量方法求點到直線的距離；
（2）利用法向量求解點面距.
【詳解】（1）由三棱柱中，所有棱長都為2，
則四邊形為平行四邊形，且棱長都相等，即為菱形，
又都為等邊三角形，連接，
所以為等邊三角形，
取中點，連接，則，
又平面面，平面平面，面，
所以平面，則，
又因為，所以兩兩垂直.
則以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如下圖示，
，
由
則，
所以，
則，
所以點到直線的距離為.
（2）由（1）知，
設是平面的一個法向量，
則，取，則，
又，
所以點到平面的距離.
【變式1】（2024·全國·模擬預測）已知在空間直角坐標系中，直線經過，兩點，則點到直線的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意先求出直線的方向向量，然后依次求得，則到直線的距離為，求解即可.
【詳解】由題意可知直線的方向向量為：，
又，則，
，
點到直線的距離為：.
故選：C.
【變式2】（23-24高二上·貴州畢節·期末）在空間直角坐標系中，已知三點，則點到直線的距離為 .
【答案】
【分析】根據條件，求出，進而得出，再利用點到直線的距離的向量法即可求出結果.
【詳解】因為，所以，
所以，得到，
所以點到直線的距離為，
故答案為：.
【變式3】（23-24高二上·廣東韶關·階段練習）如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點為的中點，.
(1)求二面角的正弦值；
(2)求點到直線的距離；
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，用向量法求出二面角的余弦值，再求正弦值.
（2）用向量法求點到直線的距離.
【詳解】（1）因為平面平面，且平面平面，
平面，而，則平面，為正方形的中心，
有，平面，則平面，顯然直線兩兩垂直，
以點為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，
設平面的法向量為，則，令，得，
由平面，得平面的一個法向量為，
于是，所以二面角的正弦值為.
（2）由（1）知，，，
所以點到直線的距離.
題型02點到平面的距離等體積法
【典例1】（23-24高一下·天津武清·階段練習）如圖，若正三棱柱的底面邊長為，對角線的長為，點為的中點，則點到平面的距離為 ．
【答案】/
【分析】設與交于點O，連接，可證得平面，求點到平面的距離可以轉化為求點到平面的距離，然后利用進行計算求解；
【詳解】設與交于點，連接，
在正三棱柱中，顯然點為的中點，又點為的中點，
所以，又平面，平面，
所以平面，
所以求點到平面的距離可以轉化為求點到平面的距離，
因為，，
，
所以有，所以，
所以，
易得，所以，
設點到平面的距離為，
由，即，
所以有，解得，
即點到平面的距離為.
故答案為：
【典例2】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）如圖，在三棱柱中，側面為矩形，，，D是的中點，與交于點，且平面.若，則三棱柱的高為 .
【答案】/
【分析】連接，設三棱柱的高為，分別求出相關的邊和三角形面積，利用即可求得.
【詳解】
如圖，連接,設點到平面的距離為，
則即三棱柱的高.
因, D是的中點，
則,
由側面為矩形易得,可得，,
則又，
因平面，因平面，則,
故, ,
則的面積為,
的面積為,
由可得，
解得，即三棱柱的高為.
故答案為：.
【典例3】（2024·廣東·二模）將一個直角三角板放置在桌面上方，如圖，記直角三角板為，其中，記桌面為平面.若，且與平面所成的角為，則點到平面的距離的最大值為 .
【答案】
【分析】作出輔助線，判斷出當四點共面時，點A到的距離最大，進而算出，最后得到答案．
【詳解】如圖，過作⊥，交于，過A作⊥，交于，
因為在中，,，
則，當四點共面時，點A到的距離最大．
因為⊥，所以是BC與平面所成的角，則，則，
于是，，即A到的最大距離為．
故答案為：．
【變式1】（2024高一下·全國·專題練習）已知正方體的棱長為1，點O在線段上且，則點O到平面的距離是 .
【答案】/
【分析】證明出平面，故的長即為點到平面的距離，求出，根據比例關系得到答案.
【詳解】如圖，設，又正方體棱長為1，
所以，平面，又平面，所以，
因為，平面，所以平面，
的長即為點到平面的距離，所以，
因為點O在線段上，且，
所以點O到平面的距離．
故答案為：
【變式2】（23-24高二上·福建福州·期末）在正三棱柱中，，動點P在棱上，則點P到平面的距離為 .
【答案】
【分析】利用三棱錐的等積性，結合三棱錐的體積公式進行求解即可.
【詳解】在正三棱柱中，若，
平面，平面，
所以平面，動點P在棱上，
所以P到平面的距離等于到平面的距離，
由勾股定理可得，
在等腰三角形中，底邊上的高長為，
所以等腰三角形的面積為，
由正三棱錐性質可得，，
且平面平面，平面平面，
所以到平面的距離為到的距離，
設點B1到平面的距離為，
，
故答案為：
【變式3】（23-24高二上·上海松江·階段練習）在直三棱柱中，，則點B到平面的距離為 .
【答案】/
【分析】利用等體積法求點面距離即可.
【詳解】由題設為等邊三角形，各側面均為正方形，故，
所以中上的高為，則，若點B到平面的距離為，
又，由直棱柱的結構特征知：到面的距離是中邊上的高為，
所以，則，即點B到平面的距離為.
故答案為：
題型03點到平面的距離的向量法
【典例1】（廣西貴百河2023-2024學年高一下學期5月新高考月考測試數學試卷）如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，分別是的中點，是邊長為2的等邊三角形，．
(1)證明：；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由等邊三角形三線合一可得，再由側棱垂直于底面可得面即可得出結論；
（2）可由等體積法計算即可得出.
【詳解】（1）法一:是等邊三角形，且是中點
面，面
面，面，且 面
面
法二：取的中點，則面，可知兩兩垂直，
如圖以為軸，為軸，為軸，則，，，；
所以，，則，即；
（2）法一：由題可知：；
在中，，；
取中點，在中，，
邊上的高為；
；
設點到平面的距離為，則，
解得，即點到平面的距離為．
法二：，，，，
設面的法向量為，；
設點到面的距離為，
故點到平面的距離為.
【典例2】（23-24高二下·甘肅武威·期中）如圖，在直三棱柱中，為的中點，點分別在棱和棱上，且．
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接，即可得且，從而得到，再根據線面平行的判定定理得到平面；
（2）以為原點建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，利用點到平面的距離的向量計算公式即可求得點到平面的距離.
【詳解】（1）
取的中點，連接，則，
且，所以且，
則四邊形為平行四邊形，．
又平面平面，
平面．
（2）直三棱柱中，，
以為原點，以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，
則，
設平面的一個法向量為，則，
即令，則，得到平面的一個法向量，
又，，
所以點到平面的距離．
【典例3】（2024·吉林·模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，為中點，點在梭上（不包括端點）.
(1)證明：平面平面；
(2)若點為的中點，求直線到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直的性質與勾股定理，結合三線合一證得，，再線面垂直與面面垂直的判定定理即得證.
（2）由線面平行判定定理可證得平面，則點到平面的距離即為到平面的距離.方法一：以為原點建立空間直角坐標系，運用點到面的距離公式計算即可.方法二：運用等體積法計算即可.
【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，
平面，
，
，即，
又為中點，則，且，
四邊形為正方形，，
平面平面，
又，、平面，平面，
又平面平面平面.
（2）在中，分別為中點，，
又平面平面，平面，
點到平面的距離即為到平面的距離，
（方法一）
，
以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，
建立如圖所示空間直角坐標系，如圖所示，
則，
，
設是平面的法向量，
，
取，則是平面的一個法向量，
點到平面的距離為，
即直線到平面的距離為.
（方法二）
連接、，如圖所示，
為等腰直角三角形，，
又平面是三棱錐的高，
，
，
，
，
設到平面距離為，則，
，
即到平面的距離為.
【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：；
(2)若三棱柱的體積為3，且直線與平面ABC所成角為60°，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點，借助等邊三角形的性質結合線面垂直的判定定理可得平面，結合線面垂直的性質定理即可得證；
（2）建立適當空間直角坐標系，再利用體積公式與空間向量夾角公式，結合點到平面的距離公式計算即可得解.
【詳解】（1）如圖，取中點，連接，，因為是等邊三角形，所以，
又，所以，且，平面，
平面，所以平面，
因為平面，所以，
又，所以；

（2）在平面中，作，垂足為D，
由（1）知平面，平面，所以，
而，平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，由為中點，所以，
所以可過點O作Oz軸平行于，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為三棱柱的體積為3，
所以，故，
則，，，設，，
所以
平面ABC的一個法向量為，
所以，解得，
此時，，
所以，，
設平面的法向量為，
則，即，
令，解得，，所以，
又，
故點到平面的距離為.
【變式2】（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，E，F分別為，的中點，點G在棱上，，直線與平面相交于點H.
(1)從下面兩個結論中選一個證明：
①；②直線，，相交于一點；
注：若兩個問題均作答，則按第一個計分.
(2)求點A到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）選①，易知，從而得平面，再由線面平行的性質定理，即可得；選②，易知與不平行，設，根據點、線、面的位置關系，可證，從而得證；
（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，利用向量法求解點面距離即可．
【詳解】（1）證明：選①，因為，分別為，的中點，所以，
又平面，平面，所以平面，
因為平面，平面平面，所以．
選②，因為，是的中點，所以與不平行，
設，則，，
因為平面，平面，
所以平面，平面，
又平面平面，所以，
所以直線，，相交于一點．
（2）連接，，
因為與均為正三角形，且是的中點，
所以，，
又平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
故以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則,,0,，,,,，
所以,，故,,，
所以 ,,,,,,，
設平面的法向量為,,，則，
令，則，，所以,1,，
所以點到平面的距離為，
故點與平面的距離為．
【變式3】（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，二面角的大小為，點到底面的距離為．
(1)若是的中點，求證：平面；
(2)若，求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接、，即可證明，從而得證；
（2）取的中點，的中點，證明平面，建立空間直角坐標系，由條件求平面的法向量和，利用空間向量法求點到平面的距離．
【詳解】（1）取的中點，連接、，因為是的中點，
所以且，
又且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）取線段的中點為，線段的中點為，
連接，
因為為直角梯形，，
所以，又，
所以，
因為，所以，
又，平面，
所以平面，
過點在平面內作直線，
則直線兩兩垂直，
以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系，
過點作，交直線于點，
因為，平面，，
所以平面，故平面，
又點P到底面的距離為，所以，
因為，，
所以為二面角的平面角，
由已知可得，所以，
所以，
所以，
所以，，
因為，所以，
所以
設平面的法向量為，
則，所以，
令，則，
所以為平面的一個法向量，
所以點到平面的距離.
題型04點到平面的距離的探索性問題
【典例1】（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知四棱錐的底面為邊長為2的正方形，分別為和的中點，則平面上任意一點到底面中心距離的最小值為 .
【答案】
【分析】由面到點的距離的最小值轉化為點到面的距離的最小值，建立合適的空間直角坐標系，由點到面的距離即可求得平面上任意一點到底面中心距離的最小值.
【詳解】四棱錐的底面為邊長為2的正方形，連接且相交于點，則點是底面中心，，
取的中點，連接，則，
又，
又，
面
又面，
面面
又，為面與面的交線，平面
面
又面，面，
以點為原點，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則，，，設平面的法向量為，設到平面的距離為，
則
令，則，
代入距離公式得，

（2），，又，，
，則，
又平面平面，平面平面，
平面，
，又，
所以，，兩兩互相垂直，
如圖，以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，，
（i）設平面的一個法向量為，則
，即，令，可得，，
，
又平面的一個法向量為，
，
所以二面角的余弦值為.
（ii）假設線段上存在點，使得點到平面的距離為，
設，，，
，
由（i）知平面的一個法向量為，
所以點到平面的距離為，
則，解得或，
又，所以，
即存在點到平面的距離為，且.
【變式1】（23-24高二上·湖北宜昌·期中）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，P為棱AD的中點，且，，若點M到平面SBC的距離為，則實數的值為 ．
【答案】
【分析】建立合適的空間直角坐標系，寫出相關點坐標，得到，，利用求出，再利用點到平面距離公式，
代入相關向量坐標，解出即可.
【詳解】過點作，交于點，，為中點，
，又，且，平面，
平面，平面，則，
則易得兩兩垂直，所以以為原點，所在直線分別建立軸，如圖所示：
(1)當時，求異面直線與所成角的取值范圍；
(2)已知線段的中點是，當時，求三棱錐的體積的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意引入參數，建立適當的空間直角坐標系，將問題轉換為兩直線方向向量夾角的余弦的范圍，然后結合異面直線角的范圍即可得解.
（2）引入參數，利用等體積法轉換為求的體積，只需求到平面的距離以及即可得表達式，從而進一步得解.
【詳解】（1）由題意正方體的三條棱長兩兩互相垂直，故以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：
，由題意不妨設，
所以，
所以，
設異面直線與所成角為，
所以異面直線與所成角的余弦值為，
令，
當時，，
當時，，
綜上，，
所以異面直線與所成角的取值范圍為.
（2）如圖所示：
由題意線段的中點是，，不妨設，
所以，
取平面的一個法向量為，
所以點到平面的距離為，
而
，
所以三棱錐的體積為，
所以當且僅當時，三棱錐的體積取最小值.
【點睛】關鍵點睛：第一問關鍵是引入適當參數將問題先轉換為求方向向量夾角的余弦，第二問的關鍵是等體積轉換法，這樣大大減少了計算量.
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