資源簡介

第09講 拓展三：二面角的傳統(tǒng)法與向量法(含探索性問題）
1、定義法
在二面角的棱上任取一點(diǎn)（通常都是取特殊點(diǎn)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)），過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作二面角棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角.
2、三垂線法
三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.
三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.
具體操作步驟（如圖在三棱錐中）求二面角：
①第一垂：過點(diǎn)向平面引垂線（一般是找+證，證明）
②第二垂：在平面中，過點(diǎn)作,垂足為
③第三垂：連接（解答題需證明）
3、射影面積法（）
凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（）求出二面角的大小.
4、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角
如圖，若于，于，平面交于，則為二面角的平面角，.
若分別為面，的法向量
①
②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；
若二面角為銳二面角（取正），則；
若二面角為鈍二面角（取負(fù)），則；
題型01求二面角（傳統(tǒng)法）
【典例1】（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）在三棱柱中，，若，則二面角的余弦值為 ．
【典例2】（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，四邊形為正方形.
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【變式1】（23-24高一下·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.
(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)求二面角的正切值.
【變式2】（23-24高一下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，底面，點(diǎn)E在棱上.
(1)求證：平面；
(2)若，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.
【變式3】（2024·四川成都·二模）如圖，在正四面體中，是棱的兩個(gè)三等分點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)求出二面角的平面角中最大角的余弦值．
題型02利用面積投影法求二面角（定值）
【典例1】（23-24高一下·河南安陽·階段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體所得截面面積為 ；平面與底面ABCD所成銳二面角的余弦值為 ．
【典例2】（23-24高一下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）如圖，已知直角三角形ABC的斜邊平面，A在平面上，AB，AC分別與平面成和的角，．
(1)求BC到平面的距離；
(2)求平面與平面的夾角．(提示：射影面積公式 ）
【典例3】（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)若，且底面為正方形，求平面與平面夾角的余弦值．
【變式1】（23-24高一下·浙江紹興·期中）如圖，已知直角三角形ABC的斜邊平面，A在平面上，AB，AC分別與平面成和的角，．
(1)求BC到平面的距離；
(2)求平面與平面的夾角．
題型03利用向量法求二面角（定值）
【典例1】（23-24高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，四棱錐內(nèi)，平面，四邊形為正方形，，．過的直線交平面于正方形內(nèi)的點(diǎn)，且滿足平面平面．
(1)求點(diǎn)的軌跡長度；
(2)當(dāng)點(diǎn)到面的距離為時(shí)，求二面角的余弦值．
【典例2】（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）在三棱柱中，側(cè)面平面，，側(cè)面為菱形，且為中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【變式1】（23-24高二下·云南保山·階段練習(xí)）如圖，三棱錐中，正三角形所在平面與平面垂直，為的中點(diǎn)，是的重心，，，．
(1)證明：∥平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
【變式2】（2024·河北秦皇島·三模）如圖，在三棱柱中，，四邊形為菱形，，.
(1)證明：.
(2)已知平面平面，求二面角的正弦值.
【變式3】（23-24高二下·甘肅武威·階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是正方形，是的中點(diǎn)，在線段上，且.
(1)求證：
(2)求平面與平面所夾二面角余弦值.
題型04利用向量法求二面角（最值或范圍）
【典例1】（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，，.
(1)當(dāng)時(shí)，求證：平面；
(2)設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍.
【典例2】（23-24高二下·浙江金華·期中）在如圖所示的直三棱柱中，分別是線段上的動點(diǎn)．
(1)若平面，求的值；
(2)若三棱柱是正三棱柱，是的中點(diǎn)，求二面角余弦值的最小值．
【典例3】（2024·福建南平·二模）如圖，在四棱錐中，平面，，，.，分別為棱，上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且.

(1)求證：平面；
(2)若，設(shè)平面與平面所成的角為，求的最大值.
【變式1】（2024·江蘇南通·三模）如圖，在直三棱柱中，，．
(1)當(dāng)時(shí)，求證：平面；
(2)設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍．
【變式2】（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，.
(1)證明：；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面夾角的正弦值最小？
【變式3】（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面所成的二面角的正弦值最小
題型05已知二面角求參數(shù)
【典例1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)分別在棱，上，，若點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，則 ．
【典例2】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）四棱錐中，平面，，，，已知是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，且二面角的平面角大小為，則動點(diǎn)的軌跡的長度為 .
【變式1】（23-24高二上·寧夏·階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，分別是
都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，，若平面與平面所成的銳二面角的大小為，則線段的長度為 ．
題型06二面角中的探索性問題
【典例1】（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）如圖，已知四邊形為矩形，，，E為的中點(diǎn)，將沿進(jìn)行翻折，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，且．
(1)證明：；
(2)設(shè)，的延長線交于點(diǎn)N，則線段上是否存在點(diǎn)Q，使得平面與平面所成角的余弦值為．
【典例2】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）如圖，在正四棱錐中，已知平面，點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)在棱上．
(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面平面；
(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．
【典例3】（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，.
(1)求證：平面平面；
(2)若線段上存在點(diǎn)，滿足，且平面與平面的夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值.
【典例4】（2024·河北張家口·三模）如圖，在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角
于，，已知，，，．
(1)證明：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．
【變式3】（2024·山東聊城·三模）如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，其中.
(1)當(dāng)時(shí)，求證：∥平面；
(2)當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角的余弦值是？若存在，指出點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.
【變式4】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，三棱錐的體積為，平面與平面的交線為.

(1)求四棱錐的體積，并在答卷上畫出交線（注意保留作圖痕跡）；
(2)若，，且平面平面，在上是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，請說明理由.
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第09講 拓展三：二面角的傳統(tǒng)法與向量法(含探索性問題）
1、定義法
在二面角的棱上任取一點(diǎn)（通常都是取特殊點(diǎn)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)），過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作二面角棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角.
2、三垂線法
三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.
三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.
具體操作步驟（如圖在三棱錐中）求二面角：
①第一垂：過點(diǎn)向平面引垂線（一般是找+證，證明）
②第二垂：在平面中，過點(diǎn)作,垂足為
③第三垂：連接（解答題需證明）
3、射影面積法（）
凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（）求出二面角的大小.
4、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角
如圖，若于，于，平面交于，則為二面角的平面角，.
若分別為面，的法向量
①
②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；
若二面角為銳二面角（取正），則；
若二面角為鈍二面角（取負(fù)），則；
題型01求二面角（傳統(tǒng)法）
【典例1】（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）在三棱柱中，，若，則二面角的余弦值為 ．
【答案】
【分析】連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接,可證明平面平面，過點(diǎn)作有平面過點(diǎn)作于，連接，則即為二面角的平面角，過點(diǎn)分別作，計(jì)算可求二面角的余弦值.
【詳解】連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．
平面，又平面，
平面平面．
∵平面平面，∴過點(diǎn)作有平面；此時(shí)．
過點(diǎn)作于，連接，則即為二面角的平面角，
不妨設(shè)，經(jīng)計(jì)算可得：．
過點(diǎn)分別作．
∵是中點(diǎn)，且為中點(diǎn)，，
．
二面角的余弦值為.
故答案為：
【典例2】（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，四邊形為正方形.
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證明平面，然后結(jié)合面面垂直的判定定理即可得證；
（2）根據(jù)定義得出為二面角的平面角，結(jié)合解三角形知識即可得解.
【詳解】（1）由平面為正方形，因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)?，，所以?br/>所以，又，且，平面，
所以平面，
因?yàn)?，所以平面?br/>因?yàn)槠矫?，平面平?
（2）因?yàn)橹苯侨切沃校?
所以，所以為等邊三角形.
又因?yàn)闉榈妊切?
所以取得中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，
所以為二面角的平面角.
因?yàn)橹苯侨切沃校?
在等邊三角形中，
所以在三角形中，.
所以二面角的余弦值為.
【變式1】（23-24高一下·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.
(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等積法即可求解；
（2）構(gòu)造二面角的平面角并求出正切值即可.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且，即，面?br/>所以平面，而平面，所以，
又，所以，又，平面，
所以平面，面，即，
由面，則，
又，，，
所以，，
則，故，
所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>所以點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離；
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
所以，即，
解得，即點(diǎn)到平面的距離為.
（2）
如圖：取中點(diǎn)，連結(jié)BD，取中點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以，
又平面平面，平面平面，面，
所以平面，又，，
所以，，
由題設(shè)易知為正方形，則，且，
所以且，
則平面，
所以平面，平面，所以，
所以在直角三角形中，即為二面角的平面角，
.
【變式2】（23-24高一下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，底面，點(diǎn)E在棱上.
(1)求證：平面；
(2)若，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得，再結(jié)合菱形性質(zhì)利用線面垂直的判定定理證明即可.
（2）根據(jù)二面角的平面角定義作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以?br/>因?yàn)闉榱庑危裕?br/>又平面平面，
所以平面.
（2）如圖，連接，則平面，
由平面，平面，平面，得，
故即為二面角的平面角，
在菱形中，，
所以，
又，所以，
由點(diǎn)E為的中點(diǎn)，得，
所以為等腰三角形，在內(nèi)過點(diǎn)E作高，垂足為H，則，
所以，即二面角的余弦值為.
【變式3】（2024·四川成都·二模）如圖，在正四面體中，是棱的兩個(gè)三等分點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)求出二面角的平面角中最大角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理即可證明平面，從而證明；
（2）根據(jù)題意，由二面角的定義，結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）
取的中點(diǎn)為，連接．四面體為正四面體，
為正三角形．又為的中點(diǎn)，．同理可得．
平面，平面．
又平面．
（2）
取的中點(diǎn)為，連接，設(shè)．
由（1）得平面．平面．
為二面角的平面角，為二面角的平面角，
為二面角的平面角．由圖形對稱性可判斷．
易得．在中，．
在中，．同理可得．
．
．
二面角的平面角最大，其余弦值等于．
題型02利用面積投影法求二面角（定值）
【典例1】（23-24高一下·河南安陽·階段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體所得截面面積為 ；平面與底面ABCD所成銳二面角的余弦值為 ．
【答案】
【分析】設(shè)平面交于點(diǎn)，可知平面截正方體所得截面為，推導(dǎo)出點(diǎn)為的中點(diǎn)，計(jì)算得知四邊形是邊長為的菱形，并求出菱形的對角線長，由此可求得該截面的面積，再由二面角余弦公式求值即可.
【詳解】如圖，在正方體中，
平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可證，
四邊形是平行四邊形，
，，
又，，
，，則為的中點(diǎn)，，同理，
所以截面是邊長為的菱形，其對角線，，
故截面面積．
設(shè)平面與底面ABCD所成銳二面角為，
因?yàn)榻孛嬖诘酌娴纳溆盀檎叫危?br/>所以.
故答案為：；.
【典例2】（23-24高一下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）如圖，已知直角三角形ABC的斜邊平面，A在平面上，AB，AC分別與平面成和的角，．
(1)求BC到平面的距離；
(2)求平面與平面的夾角．(提示：射影面積公式 ）
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）過作平面的垂線，利用直角三角形邊角關(guān)系及勾股定理建立方程求解.
（2）作出二面角的平面角，利用余弦定理、三角形面積公式求解即得.
【詳解】（1）過作，垂足為，過作，垂足為，連、、，
則，，
設(shè)BC到平面的距離為，由平面，得 ，
在中，，則，在中， ，
在中，，則，所以.
（2）由（1）知，四邊形BCFE是矩形，過點(diǎn)A作直線l//EF，顯然l//BC，
在平面α內(nèi)過點(diǎn)A作于O，則，過O作交BC于G，連接AG，
則，有OG⊥l，而平面AOG，
于是l⊥平面AOG，又AG 平面AOG，則l⊥AG，即∠GAO為平面ABC與平面α的夾角，
由（1）知，，則,
在中，，則
于是,
因此，又，則
所以平面ABC與平面α的夾角為.
【典例3】（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)若，且底面為正方形，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，由線面平行的判定定理即可證明；
（2）方法一：以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果；方法二：根據(jù)題意，由面面角的定義可得即為平面與平面的夾角，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；方法三：由條件可得為的射影，代入 計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）如圖，連接，

因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，
所以．
又由長方體的性質(zhì)知，，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以．
又平面平面，
所以平面．
（2）（射影法）：設(shè)平面與平面的夾角為，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

則為的射影．
由題易得，
所以，
所以
所以．
又，
所以．
所以平面與平面夾角的余弦值為．
【變式1】（23-24高一下·浙江紹興·期中）如圖，已知直角三角形ABC的斜邊平面，A在平面上，AB，AC分別與平面成和的角，．
(1)求BC到平面的距離；
(2)求平面與平面的夾角．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）過作平面的垂線，利用直角三角形邊角關(guān)系及勾股定理建立方程求解.
（2）作出二面角的平面角，利用余弦定理、三角形面積公式求解即得.
【詳解】（1）過作，垂足為，過作，垂足為，連、、，
則，，
設(shè)BC到平面的距離為，由平面，得 ，
在中，，則，在中， ，
在中，，則，所以.
（2）由（1）知，四邊形是矩形，過點(diǎn)作直線，顯然，
在平面內(nèi)過點(diǎn)作于，則，過作交于，連接，
則，有，而平面，
于是平面，又平面，則，即平面與平面的夾角，
由（1）知，，則，
在△中，，則，
于是，，
因此，又，則，
所以平面與平面的夾角為.
題型03利用向量法求二面角（定值）
【典例1】（23-24高三上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，四棱錐內(nèi)，平面，四邊形為正方形，，．過的直線交平面于正方形內(nèi)的點(diǎn)，且滿足平面平面．
(1)求點(diǎn)的軌跡長度；
(2)當(dāng)點(diǎn)到面的距離為時(shí)，求二面角的余弦值．
【答案】(1)π
(2)
【分析】（1）作出輔助線，由面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，再由線面垂直推出，利用線面垂直的判定得到平面，進(jìn)而得到，利用圓的性質(zhì)得動點(diǎn)的軌跡，進(jìn)一步求出軌跡長度；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，平面得一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式可求二面角的余弦值.
【詳解】（1）如圖所示，過點(diǎn)作，且，
平面平面，且平面平面，
平面，又平面，，
平面，平面，
，又，且，平面，
平面，平面，，
由點(diǎn)在正方形內(nèi)，
所以點(diǎn)在以為直徑的半圓上，，
所以點(diǎn)的軌跡長度為.
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，
平面，平面，，
，平面，平面，
故的長度即為點(diǎn)到面的距離，故，
∵由（1）可知點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動，
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
∴，，，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，，
又平面得一個(gè)法向量為，記二面角為為，
，
由圖可知二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
【典例2】（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）在三棱柱中，側(cè)面平面，，側(cè)面為菱形，且為中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由側(cè)面平面和，可得面，又，再結(jié)合線面垂直的判定定理得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩平面夾角的向量公式求解.
【詳解】（1）根據(jù)題意，即，
又側(cè)面平面，面平面，平面，
所以面，而面，所以，
側(cè)面為菱形，為中點(diǎn)，所以，
平面，
所以平面；
（2）取中點(diǎn)，連接，則，而，所以，
又側(cè)面平面，面平面，平面，
所以面，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
由題知，，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，取，得，
設(shè)平面的法向量為，
則有，取，得，
設(shè)二面角的夾角為，
則，
即二面角的余弦值為．
【變式1】（23-24高二下·云南保山·階段練習(xí)）如圖，三棱錐中，正三角形所在平面與平面垂直，為的中點(diǎn)，是的重心，，，．
(1)證明：∥平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）作輔助線，可證∥，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理可知平面ABC，過B作于F，建系，利用空間向量求面面夾角.
【詳解】（1）在三棱錐中，連接PG并延長交BC于D，連接OD、OG，
由G為的重心，則D為BC的中點(diǎn)，
又因?yàn)镺是AC中點(diǎn)，則∥，
且平面POG，平面POG，所以∥平面．
（2）由是正三角形，O是AC的中點(diǎn)，則，
又平面平面ABC，平面平面，平面PAC，
則平面ABC，
因?yàn)槭侵苯侨切?，在中，，?br/>則，則，
過B作于F，則，
以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC，OP分別為y，z軸，在平面ABC中過點(diǎn)O且垂直于AC的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，，
設(shè)平面PAB的法向量為，則，
令，則，可得，
設(shè)平面PBC的法向量為，則，
令，則，可得，
則，
所以平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為.
【變式2】（2024·河北秦皇島·三模）如圖，在三棱柱中，，四邊形為菱形，，.
(1)證明：.
(2)已知平面平面，求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）通過線面、面面的位置關(guān)系證平行四邊形為菱形即可；
（2）先證平面，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法即可求解.
【詳解】（1）
設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，，，
因?yàn)?，所以?br/>因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以為等邊三角形，則，
又平面，平面，，所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)?，平面，平面?br/>，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以，所以四邊形為菱形，?
（2）
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，平面?br/>所以平面；
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè).
則，，，，，
可得，，.
設(shè)平面的法向量為，則
令，則，，可得.
設(shè)平面的法向量為，則
令，則，，可得.
，故二面角的正弦值為.
【變式3】（23-24高二下·甘肅武威·階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是正方形，是的中點(diǎn)，在線段上，且.
(1)求證：
(2)求平面與平面所夾二面角余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）證明，先證明平面即可.
（2）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解面面夾角的余弦值.
【詳解】（1）連接四邊形是正方形
平面平面
平面平面
平面平面
.
（2）由（1）知兩兩垂直如圖，
以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè)
則
平面
平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)，
，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則
平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面所夾二面角的平面角為
則
平面與平面所夾二面角余弦值為.
題型04利用向量法求二面角（最值或范圍）
【典例1】（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，，，.
(1)當(dāng)時(shí)，求證：平面；
(2)設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，求得的坐標(biāo)，求得，得到，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可得證；
（2）由（1）求得平面和平面的法向量和，利用向量的夾角公式，求得，結(jié)合，進(jìn)而求得的范圍.
【詳解】（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，
當(dāng)時(shí)，，所以，
可得，所以，
又因?yàn)椋矫?，平面，所以平?
（2）解：由（1）可得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，可得，所以，
因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，
所以，
又因?yàn)椋傻茫裕?br/>因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以，
所以的取值范圍.
【典例2】（23-24高二下·浙江金華·期中）在如圖所示的直三棱柱中，分別是線段上的動點(diǎn)．
(1)若平面，求的值；
(2)若三棱柱是正三棱柱，是的中點(diǎn)，求二面角余弦值的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）過點(diǎn)作，交于，連接，則可證平面平面，從而得到，故可求的值，也可以過點(diǎn)作，可證 四邊形是平行四邊形，從而可求的值.
（2）過作，垂足為，再過作，垂足為，連接，可證即為二面角的平面角，故可求二面角余弦值的最小值，也可以利用建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求二面角的余弦值的最小值.
【詳解】（1）法1：（1）過點(diǎn)作，交于，連接，如圖，
由平面，平面，
則平面且，
又平面，，且平面，
故平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，從而，故.
法2：過點(diǎn)作，交于，則由可得，
所以四點(diǎn)共面，而平面，平面，
平面平面，所以，
四邊形是平行四邊形，
所以，所以.
（2）法1：過作，垂足為，
由正三棱柱可得平面平面，
而平面平面，平面，則平面，
再過作，垂足為，連接，
因?yàn)槠矫?，故?br/>而平面，故平面，
而平面，故，
則即為二面角的平面角．
又在中，，
，
當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)，
故二面角余弦值的最小值為.
方法2：取的中點(diǎn)由正三棱錐得平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
，
，
設(shè)平面法向量，則即，
令得，
而平面法向量，設(shè)二面角的平面角為，
則為銳角且，
當(dāng)時(shí)取到.
【典例3】（2024·福建南平·二模）如圖，在四棱錐中，平面，，，.，分別為棱，上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且.

(1)求證：平面；
(2)若，設(shè)平面與平面所成的角為，求的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）解法一：由，，，推出，又平面，由線面垂直判定定理可得平面；
解法二：同解法一：
（2）解法一：設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，令，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，由，利用基本不等式求解最值;
解法二：不妨設(shè)，由，，兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量為，由，利用基本不等式求解最值.
【詳解】（1）解法一：因?yàn)椋?，?br/>所以，，即
又平面，所以
因?yàn)?，平面?br/>所以平面；
解法二：同解法一.
（2）解法一：設(shè)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.

令，，設(shè)，
則有，
即，解得
同理可得
設(shè)平面的法向量為，
由
令，則，.
得平面的一個(gè)法向量為
又由（1）可知是平面的一個(gè)法向量，則有
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”
又，所以的最大值
解法二：不妨設(shè)，由，，兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則根據(jù)題意可得：
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
取，，
于是，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”
又，所以的最大值.
【變式1】（2024·江蘇南通·三模）如圖，在直三棱柱中，，．
(1)當(dāng)時(shí)，求證：平面；
(2)設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，得出相關(guān)向量，求出，再結(jié)合線面垂直的判定即可；
（2）求出相關(guān)法向量，得到，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得到其范圍.
【詳解】（1）以為基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，.
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以，所以.
又平面平面，
所以平面.
（2），
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，不妨取.
因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為.
所以，
所以.
又因?yàn)?，易知在上單調(diào)遞減，
所以.
【變式2】（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，.
(1)證明：；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面夾角的正弦值最??？
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先利用線面垂直的判定定理證得平面，進(jìn)而得到，再結(jié)合平面推得兩兩垂直，由此建立空間直角坐標(biāo)系，求得，故可證得；
（2）分別求得平面與平面的法向量，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得這兩個(gè)面所成角的余弦值，利用二次函數(shù)求解最大值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）在三棱柱為直三棱柱中，，平面，
因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，平面，所以?br/>又平面，所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，所以，
即兩兩垂直，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)，則，且，所以，故，
所以.
（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?br/>所以，即，令，則.
因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面所成的夾角為，
則，
當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為，
所以，此時(shí)，符合題意，
故當(dāng)時(shí)，平面與平面夾角的正弦值最小.
【變式3】（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面所成的二面角的正弦值最小
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，可得兩兩垂直，即可建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算即可得解；
（2）借助空間向量可表示出平面與平面所成的二面角的余弦值，得其余弦值的最大值即可得其正弦的最小值.
【詳解】（1）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面?br/>又平面，所以，
因?yàn)?，，所以?br/>又，平面，所以平面，
所以兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
如圖所示，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，．由題可設(shè)（），
因?yàn)椋?br/>所以，所以；
（2）設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)椋?br/>所以，即，
令，則，
因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋?br/>設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，
則，
當(dāng)時(shí)，取最小值為，
此時(shí)取最大值為，
所以，此時(shí)．
題型05已知二面角求參數(shù)
【典例1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)分別在棱，上，，若點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，則 ．
【答案】1
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量的坐標(biāo)表示，再由二面角為即可得或，可求出.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
則，
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量，則，
令，得，所以可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令 ，得，即，
因此，
化簡可得，解得或，
即或，
可得.
故答案為：1
【典例2】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）四棱錐中，平面，，，，已知是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，且二面角的平面角大小為，則動點(diǎn)的軌跡的長度為 .
【答案】/.
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出，由二面角的大小，列出方程，得到，設(shè)直線與軸交點(diǎn)分別為，得到動點(diǎn)的軌跡的長度為的長，由勾股定理求出答案.
【詳解】因?yàn)槠矫?，平面?br/>所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因?yàn)椋?br/>所以PA，AB，AD兩兩垂直，
所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)槭撬倪呅蝺?nèi)部一點(diǎn)，設(shè)，
其中，
平面PDA的法向量為，
設(shè)平面QPD的法向量為，則
，
令，則，
所以，
，
由于，
所以，故，
因?yàn)榈钠矫娼谴笮椋O(shè)為，
則，
解得：，
設(shè)直線與軸交點(diǎn)分別為，
故動點(diǎn)的軌跡的長度為的長，
令得：，故
令得：，故
由勾股定理得：，
所以動點(diǎn)的軌跡的長度為.
故答案為：.
【變式1】（23-24高二上·寧夏·階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，分別是棱上的動點(diǎn)，且，則當(dāng)平面與平面所成角的余弦值為時(shí)，三棱錐的體積為 .

【答案】
【分析】
以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合面面角求出，再根據(jù)錐體的體積公式即可得解.
【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
則，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則有，
令，則，所以，
因?yàn)檩S平面，
則可取平面的法向量為，
則，解得或（舍去），
所以，
故.
故答案為：.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：
（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對應(yīng)的兩個(gè)半平面中對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）；
（3）計(jì)算（2）中兩個(gè)法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.
【變式2】（23-24高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，PA⊥平面ABCD，BCAD，，，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且平面QPD與平面APD的夾角為，則的面積的取值范圍是 .
【答案】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，，利用空間向量法可得出，求出的取值范圍，即可求得的面積的取值范圍.
【詳解】平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、，
設(shè)點(diǎn)，其中，，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
易知平面的一個(gè)法向量為，
由已知條件可得，
所以，，即，
直線上的點(diǎn)滿足，聯(lián)立，解得，
聯(lián)立，解得，
所以，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為，
易知點(diǎn)不在線段上，則，
所以，.
故答案為：.
【變式3】（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側(cè)面都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，，若平面與平面所成的銳二面角的大小為，則線段的長度為 ．
【答案】1
【分析】先證明平面ABCD，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，由平面與平面所成的銳二面角的大小為列式求得a值，則線段的長度可求．
【詳解】底面ABCD和側(cè)面是矩形，，，
又，平面，
平面，；
又，且，
平面ABCD．
以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，過E作 交于，以 分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則0，，1，，1，，0，．
設(shè)，則0，，2，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為y，，
1，，0，，
由，
令，得；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
0，，1，，
由，
令，得．
由平面與平面所成的銳二面角的大小為，
得，解得．
．
故答案為：1
題型06二面角中的探索性問題
【典例1】（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）如圖，已知四邊形為矩形，，，E為的中點(diǎn)，將沿進(jìn)行翻折，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，且．
(1)證明：；
(2)設(shè)，的延長線交于點(diǎn)N，則線段上是否存在點(diǎn)Q，使得平面與平面所成角的余弦值為．
【答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，取的中點(diǎn)M，連接，，由余弦定理可得，再由線面垂直的判定定理可得平面，從而證明線線垂直；
（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及面面角的向量公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）
證明：如圖2，取的中點(diǎn)M，連接，，
由題意且，可得，且，
由余弦定理可得，
，．
由，，平面，可得平面．
又平面，．
又，由，、平面，
平面，又平面，．
（2）
如圖3，以B為原點(diǎn)，，，過點(diǎn)B且與垂直的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，．
設(shè)，
．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，可得．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，可得，
由平面與平面所成角的余弦值為，
可得，
即，，
兩邊同時(shí)平方，經(jīng)整理化簡可得，
解得或．
【典例2】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）如圖，在正四棱錐中，已知平面，點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)在棱上．
(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面平面；
(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，點(diǎn)為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．
【分析】（1）依題意可得，，即可得到平面，即可得證；
（2）連接，建立空間直角坐標(biāo)系， 假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，設(shè)，求出平面、平面的一個(gè)法向量，由二面角的向量法可得答案.
【詳解】（1）依題意正四棱錐所有棱長均為，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）連接，由平面，平面，平面，
則，，又， 可得兩兩垂直，
分別以所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，，
假設(shè)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，
設(shè)，，由，所以，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
因?yàn)?，?br/>所以，令，得，，
因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，
又二面角為銳二面角，
所以，
化簡得，解得或（舍），
所以存在點(diǎn)符合題意，點(diǎn)為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．
【典例3】（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，.
(1)求證：平面平面；
(2)若線段上存在點(diǎn)，滿足，且平面與平面的夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，再由，即可得到平面，從而得證；
（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，即可證明平面，且，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）如圖：

因?yàn)椋詾榈冗吶切?，?br/>又，所以，又，
所以.
因?yàn)?，所以為直角三角形，所?
又，，為平面內(nèi)的兩條相交直線，
所以平面，平面，所以平面平面；
（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，因?yàn)?，所以?br/>又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又，所以，
故以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

所以，，，，，.
設(shè)，因?yàn)椋?br/>解得，所以.
設(shè)平面的法向量為，
則，取；
設(shè)平面的法向量為，
則，取.
那么，，.
平面與平面的夾角的余弦值為，
所以，又，所以.
【典例4】（2024·河北張家口·三模）如圖，在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，且平面平面．
(1)求三棱錐體積的最大值；
(2)若，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，當(dāng)二面角為時(shí)，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）記BD的中點(diǎn)為O，連接OC，AO，利用表示出體積，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)可得最大值；
（2）記BC，CD的中點(diǎn)分別為F，H，連接OF，OH，以O(shè)為原點(diǎn)，的方向?yàn)榈恼较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出坐標(biāo)，求出法向量，根據(jù)二面角的向量公式列方程求解可得.
【詳解】（1）記BD的中點(diǎn)為O，連接OC，AO，
因?yàn)闉檎切危?，?br/>又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因?yàn)椋裕?br/>記，則，
三棱錐體積，
當(dāng)時(shí)，三棱錐體積取得最大值.
（2）記BC，CD的中點(diǎn)分別為F，H，連接OF，OH，
則，又，所以，
由（1）知平面，平面，所以，
以O(shè)為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，所以?br/>則，
，，
設(shè)，則，
設(shè)為平面的法向量，
則，
取，則，
易知，為平面的一個(gè)法向量，
因?yàn)槎娼菫椋?br/>所以，即，解得，
所以.
【變式1】（23-24高二下·安徽阜陽·期中）如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，D為BC的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)在棱PA上是否存在點(diǎn)M（不含端點(diǎn)），使得二面角的余弦值為？若存在，求出線段AM的長度；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在；
【分析】（1）由勾股定理逆定理得到AB⊥BC，AB⊥PB，從而AB⊥平面PBC，AB⊥，又利用等腰三角形三線合一得到PD⊥BC，從而PD⊥平面ABC，進(jìn)而得到；
（2）以D為原點(diǎn)，直線DB為y軸，直線DP為z軸，以過D與AB平行的直線為x軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，用坐標(biāo)求出平面MBC和平面ABC的法向量，根據(jù)二面角的余弦值為列出等式求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br/>所以，
所以，所以，所以AB⊥BC，
又，，所以△PBC為等邊三角形，
所以，又，所以，所以AB⊥PB，
又PB，平面PBC，且，
所以AB⊥平面PBC，又平面PBC，所以AB⊥，
因?yàn)?，D為BC的中點(diǎn)，所以PD⊥BC，
又平面ABC，，
所以PD⊥平面ABC，又平面ABC，所以.
（2）由（1）得，PD⊥平面ABC，，
以D為原點(diǎn)，直線DB為y軸，直線DP為z軸，過D與AB平行的直線為x軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
設(shè)，所以，
設(shè)平面MBC的一個(gè)法向量，則，即，
令，解得，，故，
顯然平面ABC的一個(gè)法向量，二面角M-BC-A為銳二面角，設(shè)為，
所以，
解得或（舍），
所以存在M，使之滿足條件，此時(shí)．
【變式2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)，于，，已知，，，．
(1)證明：平面；
，，
，
，
令，則，
由二面角的大小為，得，
，方程無解，
不存在點(diǎn)使得二面角的大小為．
【變式3】（2024·山東聊城·三模）如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，其中.
(1)當(dāng)時(shí)，求證：∥平面；
(2)當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角的余弦值是？若存在，指出點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，點(diǎn)為的中點(diǎn)
【分析】（1）先利用向量關(guān)系得點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，利用中位線性質(zhì)及基本事實(shí)4可證∥，然后根據(jù)線面平行的判定即可證明；
（2）取的中點(diǎn)，連接，，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量法求面面角，根據(jù)面面角的余弦值列方程求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)是的中點(diǎn)，
連接，，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以∥，
因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以∥，所以∥，
因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平?
（2）存在，點(diǎn)為的中點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，即，所以點(diǎn)在棱上，
取的中點(diǎn)，連接，，則∥，
在正三棱柱中，平面，是正三角形，所以，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
則，
從而，，
，
設(shè)平面的法向量是，
由，即，令，得.
（2）取的中點(diǎn)，連接，
∵，是的中點(diǎn)，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
，，解得.
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線，分別為，軸，
以過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則，，，，
∴，，，
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為，
則，即
令，得，
設(shè)平面的法向量為，
則，即
令，可得，
平面與平面夾角的余弦值為
∴，
整理得，解得：或，
即在直線上存在點(diǎn)，平面與平面的夾角的余弦值為，
此時(shí)或，
則或.
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