資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
概率的進一步認識
1.小明要給小林打電話，他只記住了小林手機號碼的前位，后三位是三個數字的某一種排列順序，但具體順序忘記了，那么小明第一次就撥通電話的概率是（ ）
A． B． C． D．
2.小明要給小林打電話，他只記住了小林手機號碼的前位，后三位是三個數字的某一種排列順序，但具體順序忘記了，那么小明第一次就撥通電話的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，三張完全相同的卡片正面分別標有數字符號、2、3．將卡片置于暗箱搖勻后隨機抽取兩張，分別作為分子和分母，則所得代數式為分式的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．近日，甘肅天水這座歷史悠久的文化古城，因一碗麻辣燙而迅速走紅網絡，成為旅游新熱點．自天水火爆“出圈”以來，各級團組織迅速行動起來，全面承擔起志愿服務工作，同時帶領一大批青年志愿者積極響應團組織號召投入志愿服務工作．根據實際需要，志愿者被陸續分配到四合院美味城網紅麻辣燙店、機場、火車站等區域開展志愿服務工作．某段時間內經過抽樣調查，發現志愿者服務的區域主要有A，B，C，D，E五個．抽樣調查的統計結果如下表， 則下列說法不正確的是（ ）
區域 A B C D E
人數
A．去區域服務的人數最少
B．去區域服務的人數的頻率是
C．若有名志愿者參與服務，則約有人被分配到C區域服務
D．這次抽樣調查的樣本容量是
5．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化陰陽術數之源，其中河圖排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白點（1，3，5，7，9）為陽數，黑點（2，4，6，8，10）為陰數，現從陽數和陰數中各取1個數，則取出的2個數之和是5的倍數的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，一個可以自由轉動的轉盤，轉動轉盤，轉盤停止后，指針落在紅色區域的概率是 ．

知識點一：古典概型
（1）古典概型的定義
某個試驗若具有：①在一次試驗中，可能出現的結構有有限多個；②在一次試驗中，各種結果發生的可能性相等。我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型。
（2）古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m中結果，那么事件A發生的概率為P（A）=
知識點二：列表法求概率
（1）列表法
用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（2）列表法的應用場合
當一次試驗要設計兩個因素， 并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法。
知識點三：樹狀圖法求概率
（1）樹狀圖法
就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。
（2）運用樹狀圖法求概率的條件
當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法求概率。
知識點四：利用頻率估計概率
在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這個事件發生的概率。
知識點五：模擬實驗
在統計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬實驗。
1．2024年“甲骨文杯”安陽馬拉松賽于4月21日開賽，共設全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑項目．現從這三個項目中隨機選擇兩項進行推廣，則選到歡樂跑項目的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．為迎接六一兒童節到來，某商場規定凡是購物滿元以上都可以獲得一次轉動轉盤的機會．如圖①所示，當轉盤停止時，指針指向哪個區域顧客就獲得對應的獎品．轉動轉盤若干次，其中指針落入優勝獎區域的頻率如圖②所示，則轉盤中優勝獎區域的圓心角的度數近似為（ ）
A． B． C． D．
3.在一次大量重復試驗中，統計了某一結果出現的頻率．繪制出的統計圖如圖所示，符合這一試驗結果的可能是（ ）
A．擲一枚質地均勻的骰子，出現2點朝上
B．從一個裝有大小相同的2個藍球和1個白球的不透明袋子中隨機取一球，取到白球
C．拋一枚1元錢的硬幣，出現反面朝上
D．從標有數字1到10的十張大小相同的紙牌中隨機抽取一張，是奇數
4.暑假將至，東營區教育局向全區師生發出倡議“不去河溝游玩，防落水，不去河溝游泳，防溺水”．在這句宣傳語中，“水”字出現的頻率為 ．
5.某企業進行產品內部探傷，現有3件產品中，含有1件次品，2件良品，從中任取兩件產品，求取出的兩件產品中含有次品的概率 ．
6.九年級某班四個閱讀小組準備研讀四部四大名著著作，現制作背面完全相同的4張卡片，正面分別寫有《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》《西游記》，將這4張卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每個小組選一名代表從中依次抽取一張卡片(不放回)（四部書分別用A，B，C，D代替）
(1)第一小組抽到《水滸傳》的概率是 ；
(2)若第一和第二小組依次從中抽取一張，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩組抽取的兩張卡片正面寫的是《紅樓夢》和《三國演義》的概率．
7.某研發機構新培育了一種玉米種子，在相同條件下該種玉米種子發芽的試驗結果如圖所示．
根據試驗結果回答下列問題．
(1)估計這種玉米種子發芽的概率是______（精確到0.1）．
(2)如果該種玉米種子發芽后的成秧率為，那么在相同條件下種10000粒該種玉米種子大約可得到多少棵玉米秧苗？
8．一房屋內部結構如圖所示，小李在房屋內自由走動，求他停留在臥室或客廳的概率是多少？
9.在一個不透明的盒子中放有三張卡片，每張卡片上寫有一個實數，分別為、0、1，卡片除了數字不同外，其余都相同．
(1)從盒子中隨機抽取一張卡片，抽中負數的概率是多少？
(2)先從盒子中隨機抽取一張卡片，卡片不放回，再隨機抽取一張卡片，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求出兩次抽取的卡片上的數字之積為有理數的概率．
10.某區七年級有名學生參加“安全伴我行知識競賽”活動．為了了解本次知識競賽的成績分布情況，從中抽取了名學生的得分得分取正整數，滿分為分進行統計．
請你根據不完整的頻率分布表，解答下列問題：
(1)補全頻數分布直方圖；
(2)若將得分轉化為等級，規定得分低于分評為“”， 分評為“”， 分評為“”， 分評為“”．這次全區七年級參加競賽的學生約有多少學生參賽成績被評為“”如果隨機抽查一名參賽學生的成績等級，則這名學生的成績被評為“”、“”、“”、“”哪一個等級的可能性大？請說明理由．
11.甲、乙兩名同學玩一個游戲：將正面分別寫有數字，0，1，2的四張卡片（這些卡片除數字外其余均相同）洗勻后，背面向上放在桌面上，甲先從中隨機選擇一張卡片，記錄卡片上的數字為x，乙再從剩余的卡片中隨機選擇一張，記錄卡片上的數字為y．若，則甲獲勝，否則乙獲勝．請用畫樹狀圖或列表的方法，說明這個游戲對雙方是否公平．
12.一只不透明的袋子中裝有若干個白球和其他顏色的球，這些球除顏色外都相同．每次從袋子中摸出一個球，然后放回搖勻再摸，在摸球實驗中得到下列表中的部分數據：
摸球次數 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的頻數 14 26 128 198 267 399 500
摸出白球的頻率
(1)請將表補充完整；
(2)畫出“摸出白球”的頻率折線統計圖，得摸出白球的概率估計值是 ；（精確到到0.01）
(3)若袋中共有200個球，則袋中可能有 個白球．
13.某商場進行抽獎活動，抽獎箱中只有“中獎”和“謝謝恵顧”兩種卡片（兩種卡片形狀大小相同、質地均勻），下表是活動進行中的一組數據：
抽獎總次數次 100 150 200 800 1000
抽到“中獎”卡片的次數次 33 48 240 299
中獎的頻率 0.33 0.32 0.315 0.30
(1)填空：_________，________．
(2)根據“頻率的穩定性”估計抽獎一次就抽到“中獎”的概率．（精確到0.1）
14．經過五華奧園十字路口的汽車，它可能繼續直行，也可能向左轉或向右轉．交管部門在汽車行駛高峰時段對車流量作了統計，發現汽車在此十字路口向右轉的頻率為，向左轉和直行的頻率均為．
(1)假設平均每天通過該路口的汽車為1000輛，求汽車在此左轉、右轉、直行的車輛各是多少輛；
(2)目前在此路口，汽車左轉、右轉、直行的綠燈亮的時間均為30秒，在綠燈總時間不變的條件下，為了緩解交通擁擠，請你利用概率的知識對此路口三個方向的綠燈亮的時間做出合理的調整．
15.某校為落實“雙減”工作，增強課后服務的吸引力，充分用好課后服務時間，為學有余力的學生拓展學習空間，成立了5個活動小組（每位學生只能參加一個活動小組）：．音樂；．體育；．美術；．閱讀；．人工智能，為了解學生對以上活動的參與情況，隨機抽取部分學生進行了調查統計，并根據統計結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．
根據圖中信息，解答下列問題：
(1)①此次調查一共隨機抽取了_______名學生；扇形統計圖中，圓心角________，
②請將條形統計圖補充完整；
(2)若該校有3600名學生，估計該校參加組（閱讀）的學生人數；
(3)學校計劃從組（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位學生中隨機抽取兩人參加市青少年機器人競賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率．
16.如圖，地面上有一個不規則的封閉圖形，為求得它的面積，小明設計了如下方法：
①在此封閉圖形內畫出一個半徑為2米的圓．
②在此封閉圖形旁邊閉上眼睛向封閉圖形內擲小石子（可把小石子近似的看成點），記錄如表：
擲小石子落在不規則圖形內的總次數 300 150 300 500 …
小石子落在圓內（含圓上）的次數m 20 61 123 206 …
小石子落在圓外的陰影部分（含外緣）的次數n 30 89 177 294 …
0.667 0.685 0.695 0.701
(1)通過以上信息，可以發現當投擲的次數很大時，的值越來越接近 ___________（結果精確到0.1）；
(2)若以小石子所落的有效區域為總數（即），則隨著投擲次數的增大，小石子落在圓內（含圓上）的頻率值穩定在 ___________附近（結果精確到0.1）；
(3)請你利用（2）中所得頻率的值，估計整個封閉圖形的面積是多少平方米？（結果保留）
17．為促進同學間交流，豐富校園文化生活，增強班級團隊意識和凝聚力．某校七年級將在操場上舉辦“綁腿跑”趣味運動比賽（每班有5名隊員排成一列，每相鄰兩隊員的相鄰腿用綁腿帶綁在一起，立于起跑線后，隊員通過協調配合在跑道上共同行進）．為做準備，七（1）班選拔了15名學生參加訓練，并將15名學生的身高（單位：）數據統計如下：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176；
(1)15名學生的身高數據如下表：
平均數 中位數 眾數
167.4
根據信息填空：__________，__________；
(2)在訓練中，將15名學生分成三組進行練習，發現：對于不同組的學生，如果一組學生的身高的方差越小，則該組學生獲勝機率越大．據此推斷：在下列兩組學生中，獲勝機率大的是__________（填“甲組”或“乙組”）；
甲組學生的身高 163 166 166 167 167
乙組學生的身高 162 163 165 166 176
(3)根據安排，剩下的同學組成丙組．從丙組同學中，隨機抽取兩人擔任引導員，求恰好抽到兩名引導員身高相同的概率．
1．如圖所示，正方形的頂點O在另一正方形的對角線交點上，兩個正方形的邊長相等，現假設可以隨意在圖中取點，則這個點取在陰影部分的概率是 ．
2．七巧板是一種拼圖玩具，體現了我國古代勞動人民的智慧．如圖，是一個由“七巧板”地磚鋪成的地板，一個小球在該地板上自由地滾動，并隨機停留在某塊地磚上，已知小球停在任意一點的可能性都相同，那么小球停在4號地磚上的概率是（　　）
A． B． C． D．
3.在一個不透明的布袋里裝有3個標號為1、2、3的小球，它們的材質、形狀、大小完全相同，小明從布袋里隨機取出一個小球，記下數字為，小麗從剩下的2個小球中隨機取出一個小球，記下數字為，這樣確定了點的坐標．
(1)請你運用畫樹狀圖或列表的方法，寫出點所有可能的坐標．
(2)求點在函數圖象上的概率．
4．某購物商場為促進顧客消費，特設一可自由轉動的轉盤．顧客凡購物滿200元，即有機會轉動轉盤一次．轉盤分為多個區域，每個區域對應不同的優惠券．下表是活動進行中的一組統計數據（結果精確到0.001）：
轉動轉盤的次數n 50 100 150 200 500 800 1000 2000
落在“減免20元券”區域的次數m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“減免20元券”區域的頻率為 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
請根據表格完成以下問題：
(1)______；
(2)上表中，當轉動轉盤的次數為500時，落在“減免20元券”區域的頻率被墨跡遮擋了部分數字，請估計b的值是______（填寫一個值）；
(3)落在“減免20元券”區域的頻率的變化有什么規律？
(4)請估計落在“減免20元券”區域的概率是______．
1．兩千多年前我們的祖先使用“算籌”表示數．算籌有縱式和橫式兩種排列方式，各個數字及其算籌表示的對應關系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
縱式 〇
橫式
用“算籌”表示數時，個位采用縱式，十位采用橫式，百位采用縱式，千位采用橫式……縱式和橫式依次交替出現．如“”表示87，“”表示502，從“”、“”、“”、“”、“”可以組成的所有兩位數中，隨機抽取一個數，是奇數的概率為（ ）
A． B． C． D．
2．隨著教育部“雙減”政策的深入，某校開發了豐富多彩的課后托管課程，并于開學初進行了學生自主選課活動．小明和小王分別打算從以下四個特色課程中選擇一個參加：．競技乒乓；．圍棋博弈：．名著閱讀：．街舞少年．則小明和小王選擇同一個課程的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．
3.如圖，某景區有A，B兩個入口，C，D，E三個出口，星期天小麗和爸爸媽媽到該景區游玩，他們從B入口進，從D出口出的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．有四人坐在如圖所示的圓桌周圍，4個座位分別記為①、②、③、④．甲、乙兩人等可能性地坐在4個座位中的2個座位上，甲、乙兩人相對而坐的概率為（ ）

A． B． C． D．
5.某數學興趣小組做“用頻率估計概率”的試驗時，記錄了試驗過程并把結果繪制成如下表格，則符合表格數據的試驗可能是 ．①擲一枚質地均勻的硬幣，出現反面朝上；②擲一枚質地均勻的骰子，擲得朝上的點數是3的整數倍；③在“石頭、剪刀、布”游戲中，小明出的是“石頭”；④將一副去掉大、小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張撲克牌的花色是紅桃．
試驗總次數 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 …
頻率 …
6.如圖，地上畫了兩個半徑分別為和的同心圓．假設用小石子投中圓形區域上的每一點是等可能的（若投中圓的邊界或沒有投中圓形區域，則重投1次），任意投擲小石子一次，則投中白色小圓的概率為 ．

7.如圖，在邊長為1的小正方形組成的的網格中有A，B兩個格點，在網格的格點上任取一點C（點A，B除外），恰能使為等腰三角形的概率是 ．
8.如圖，有四張大小、形狀、質地完全相同的卡片A，B，C，D，其正面分別畫有等邊三角形、圓、矩形、菱形．將這四張卡片放在不透明的盒子中洗勻．
(1)從盒子中抽取一張卡片，取出的卡片正面所畫的圖形是軸對稱圖形是 事件；（填“不可能”“隨機”或“必然”）
(2)小莉從盒子中同時抽取了兩張卡片，求取出的兩張卡片正面所畫的圖形都是中心對稱圖形的概率．
9.某商人在游樂場制作了一個如圖所示的轉盤游戲，取名為“開心大轉盤”，游戲規定：參與者自由轉動轉盤，若指針指向數字“2、4、6”，則收費2元，若指針指向數字“3”．則獎3元；若指針指向數字“1”，則獎1元，若指針指向數字“5”，則獲得再轉一次轉盤的機會．
(1)任意轉動轉盤一次，轉盤停止后，參與者交費2元、獲獎3元、獲獎1元的概率分別為______、______、______．
(2)任意轉動轉盤一次，參與者獲獎的概率為______．
(3)一天，一名游客轉動轉盤1次，轉盤停止后，獲得再轉一次轉盤的機會的概率是______．
10.某研發機構新培育了一種玉米種子，在相同條件下該種玉米種子發芽的試驗結果如圖所示．
根據試驗結果回答下列問題．
(1)估計這種玉米種子發芽的概率是______（精確到0.1）．
(2)如果該種玉米種子發芽后的成秧率為，那么在相同條件下種10000粒該種玉米種子大約可得到多少棵玉米秧苗？
11.在一個不透明的袋子里裝有黑、白兩種顏色的球共個，這些球除顏色外都相同，某學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復，如表是活動進行中的一組統計數據：
摸球的次數
摸到黑球的次數
摸到黑球的頻率
(1)表中 ；
(2)請估計：當很大時，摸到黑球的頻率將會接近 （精確到）；
(3)估計袋子中有白球 個；
(4)若學習小組通過試驗結果，想使得這個不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小為，則可在袋子中增加相同的白球 個．
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概率的進一步認識
1.小明要給小林打電話，他只記住了小林手機號碼的前位，后三位是三個數字的某一種排列順序，但具體順序忘記了，那么小明第一次就撥通電話的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查列舉法求概率，列出所有排序的結果，再根據概率公式計算即可求解，正確列出所有排序的結果是解題的關鍵．
【詳解】解：因為后位是三個數字的某一種排列順序，所以順序可以是：；；；；；；共種情況，而正確的只有種，所以第一次就撥通電話的概率是，
故選：．
2.小明要給小林打電話，他只記住了小林手機號碼的前位，后三位是三個數字的某一種排列順序，但具體順序忘記了，那么小明第一次就撥通電話的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查列舉法求概率，列出所有排序的結果，再根據概率公式計算即可求解，正確列出所有排序的結果是解題的關鍵．
【詳解】解：因為后位是三個數字的某一種排列順序，所以順序可以是：；；；；；；共種情況，而正確的只有種，所以第一次就撥通電話的概率是，
故選：．
3．如圖，三張完全相同的卡片正面分別標有數字符號、2、3．將卡片置于暗箱搖勻后隨機抽取兩張，分別作為分子和分母，則所得代數式為分式的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，分式的定義，根據題意正確畫出樹狀圖是解題關鍵．由樹狀圖可知，共有種等可能額情況，其中所得代數式為分式的情況有2種，據此即可得到答案．
【詳解】解：根據題意畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有種等可能額情況，其中所得代數式為分式的情況有2種，
即所得代數式為分式的概率為，
故選：D
4．近日，甘肅天水這座歷史悠久的文化古城，因一碗麻辣燙而迅速走紅網絡，成為旅游新熱點．自天水火爆“出圈”以來，各級團組織迅速行動起來，全面承擔起志愿服務工作，同時帶領一大批青年志愿者積極響應團組織號召投入志愿服務工作．根據實際需要，志愿者被陸續分配到四合院美味城網紅麻辣燙店、機場、火車站等區域開展志愿服務工作．某段時間內經過抽樣調查，發現志愿者服務的區域主要有A，B，C，D，E五個．抽樣調查的統計結果如下表， 則下列說法不正確的是（ ）
區域 A B C D E
人數
A．去區域服務的人數最少
B．去區域服務的人數的頻率是
C．若有名志愿者參與服務，則約有人被分配到C區域服務
D．這次抽樣調查的樣本容量是
【答案】C
【分析】本題考查了樣本容量，頻率，用樣本估計總體．熟練掌握樣本容量，頻率，用樣本估計總體是解題的關鍵．
由表格可知，去區域服務的人數最少，可判斷A的正誤；樣本容量為，可判斷D的正誤；去區域服務的人數的頻率是，可判斷B的正誤；若有名志愿者參與服務，則約有人被分配到C區域服務，可判斷C的正誤．
【詳解】解：由表格可知，去區域服務的人數最少，正確，故A不符合要求；
樣本容量為，正確，故D不符合要求；
去區域服務的人數的頻率是，正確，故B不符合要求；
若有名志愿者參與服務，則約有人被分配到C區域服務，錯誤，故C符合要求；
故選：C．
5．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化陰陽術數之源，其中河圖排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白點（1，3，5，7，9）為陽數，黑點（2，4，6，8，10）為陰數，現從陽數和陰數中各取1個數，則取出的2個數之和是5的倍數的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵.
列表可得出所有等可能的結果數以及取出的個數之和是的倍數的結果數，再利用概率公式可得出答案．
【詳解】解：列表如下：
2 4 6 8 10
1
3
5
7
9
共有種等可能的結果，其中取出的個數之和是的倍數的結果有: , 共種,
∴取出的個數之和是的倍數的概率是，
故選: A．
6．如圖，一個可以自由轉動的轉盤，轉動轉盤，轉盤停止后，指針落在紅色區域的概率是 ．

【答案】
【分析】本題主要考查幾何概率，隨機事件的概率（A）事件可能出現的結果數所有可能出現的結果數．轉盤停止后，指針落在紅色區域的概率是紅色區域的圓心角所占的比例，代入數據求解即可．
【詳解】解：轉盤停止后，指針落在紅色區域的概率是，
故答案為：．
知識點一：古典概型
（1）古典概型的定義
某個試驗若具有：①在一次試驗中，可能出現的結構有有限多個；②在一次試驗中，各種結果發生的可能性相等。我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型。
（2）古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m中結果，那么事件A發生的概率為P（A）=
知識點二：列表法求概率
（1）列表法
用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（2）列表法的應用場合
當一次試驗要設計兩個因素， 并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法。
知識點三：樹狀圖法求概率
（1）樹狀圖法
就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。
（2）運用樹狀圖法求概率的條件
當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法求概率。
知識點四：利用頻率估計概率
在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這個事件發生的概率。
知識點五：模擬實驗
在統計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬實驗。
1．2024年“甲骨文杯”安陽馬拉松賽于4月21日開賽，共設全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑項目．現從這三個項目中隨機選擇兩項進行推廣，則選到歡樂跑項目的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了用列舉法求概率，通過列舉找出共有的選擇數量，然后再選出選到歡樂跑項目的數量，然后根據概率公式計算即可．
【詳解】解：從這三個項目中隨機選擇兩項進行推廣，則有①全程馬拉松、半程馬拉松；②全程馬拉松，歡樂跑項目；③半程馬拉松，歡樂跑項目一共3種選擇，
其中選到歡樂跑項目有2種選項，
故選到歡樂跑項目的概率是：
故選：B．
2．為迎接六一兒童節到來，某商場規定凡是購物滿元以上都可以獲得一次轉動轉盤的機會．如圖①所示，當轉盤停止時，指針指向哪個區域顧客就獲得對應的獎品．轉動轉盤若干次，其中指針落入優勝獎區域的頻率如圖②所示，則轉盤中優勝獎區域的圓心角的度數近似為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了利用頻率估計概率，根據圖表信息獲取其頻率信息估計概率，從而根據占比計算其圓心角度數即可．
【詳解】解：如圖②，隨著次數的增加，頻率趨向于，
以頻率估計概率，即，
優勝獎區域的圓心角，
故選：B．
3.在一次大量重復試驗中，統計了某一結果出現的頻率．繪制出的統計圖如圖所示，符合這一試驗結果的可能是（ ）
A．擲一枚質地均勻的骰子，出現2點朝上
B．從一個裝有大小相同的2個藍球和1個白球的不透明袋子中隨機取一球，取到白球
C．拋一枚1元錢的硬幣，出現反面朝上
D．從標有數字1到10的十張大小相同的紙牌中隨機抽取一張，是奇數
【答案】B
【分析】本題考查利用頻率估計概率，利用概率公式求出各選項的概率，進行判斷即可．
【詳解】解：由圖可知，某一結果的概率約為，
擲一枚質地均勻的骰子，出現2點朝上的概率為，故選項A不符合題意；
從一個裝有大小相同的2個藍球和1個白球的不透明袋子中隨機取一球，取到白球的概率為；故選項B符合題意；
拋一枚1元錢的硬幣，出現反面朝上的概率為，故選項B不符合題意；
從標有數字1到10的十張大小相同的紙牌中隨機抽取一張，是奇數的概率為，故選項D不符合題意；
故選B．
4.暑假將至，東營區教育局向全區師生發出倡議“不去河溝游玩，防落水，不去河溝游泳，防溺水”．在這句宣傳語中，“水”字出現的頻率為 ．
【答案】
【分析】本題考查了頻率的計算，用“水”字出現的次數除以總的字的個數即可求解，掌握頻率的計算方法是解題的關鍵．
【詳解】解：“不去河溝游玩，防落水，不去河溝游泳，防溺水”，共有個字，其中“水”字出現的次數為次，
∴“水”字出現的頻率為，
故答案為：．
5.某企業進行產品內部探傷，現有3件產品中，含有1件次品，2件良品，從中任取兩件產品，求取出的兩件產品中含有次品的概率 ．
【答案】
【分析】本題考查的是利用例舉法求解隨機事件的概率，先例舉所有的等可能的結果數與符合條件的結果數，再利用概率公式計算即可．
【詳解】解：3件產品，含有1件次品，2件良品，用表示良品，用表示次品；
從中任取兩件產品，所有可能結果有，，，，，，
∴取出的兩件產品中含有次品的概率為，
故答案為：
6.九年級某班四個閱讀小組準備研讀四部四大名著著作，現制作背面完全相同的4張卡片，正面分別寫有《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》《西游記》，將這4張卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每個小組選一名代表從中依次抽取一張卡片(不放回)（四部書分別用A，B，C，D代替）
(1)第一小組抽到《水滸傳》的概率是 ；
(2)若第一和第二小組依次從中抽取一張，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩組抽取的兩張卡片正面寫的是《紅樓夢》和《三國演義》的概率．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：∵共有4張卡片混合后正面朝下放置在桌面上，
∴第一學習小組抽到《水滸傳》的概率是，
故答案為：；
（2）由題意得，分別記《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》《西游記》為A、B、C、D，畫樹狀圖得：

一共有12種等可能性結果，其中甲、乙兩人抽取的兩張卡片正面寫的是《紅樓夢》和《三國演義》的情況有兩種，
所以，，
故答案為：．
7.某研發機構新培育了一種玉米種子，在相同條件下該種玉米種子發芽的試驗結果如圖所示．
根據試驗結果回答下列問題．
(1)估計這種玉米種子發芽的概率是______（精確到0.1）．
(2)如果該種玉米種子發芽后的成秧率為，那么在相同條件下種10000粒該種玉米種子大約可得到多少棵玉米秧苗？
【答案】(1)0.9
(2)8100棵
【分析】本題考查了由頻率估計概率，正確得出這種玉米種子發芽的概率是解此題的關鍵．
（1）由統計圖即可得出答案；
（2）根據題意列式計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：由圖可得：隨實驗次數增加，這種玉米種子發芽的頻率逐漸穩定在為0.9附近，故估計這種玉米種子發芽的概率是0.9；
（2）解：由題意得：（棵），
∴種10000粒該種玉米種子大約可得到棵玉米秧苗．
8．一房屋內部結構如圖所示，小李在房屋內自由走動，求他停留在臥室或客廳的概率是多少？
【答案】
【分析】本題考查了幾何概率，整式的混合運算，解題關鍵是求得房屋的總面積．分別表示出房屋總面積以及臥室和客廳的面積和，相除即可求得概率．
【詳解】解：由圖形可知，房屋總面積為：，
臥室和客廳的面積和為：，
他停留在臥室或客廳的概率是．
9.在一個不透明的盒子中放有三張卡片，每張卡片上寫有一個實數，分別為、0、1，卡片除了數字不同外，其余都相同．
(1)從盒子中隨機抽取一張卡片，抽中負數的概率是多少？
(2)先從盒子中隨機抽取一張卡片，卡片不放回，再隨機抽取一張卡片，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求出兩次抽取的卡片上的數字之積為有理數的概率．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率，有理數的概念，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
（1）找出三種卡片中負數卡片的個數即可求出所求的概率；
（2）用列表或畫樹狀圖得出所有等可能的情況數，找出抽取的卡片上的數字之積為有理數的情況數，即可得到答案．
【詳解】（1）解：總共有3種等可能事件，其中抽中負數有，1種情況，
故從盒子中隨機抽取一張卡片，抽中負數的概率是；
（2）解：方法1：畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結果：
、、、、、
乘積分別為：0，，0，0，，0
所以兩次抽取的卡片上的數字之積為有理數的有4種，
則兩次抽取的卡片上的數字之積為有理數的概率為．
方法2：列表如下：
第1張第2張 0 1
—— 0， 1，
0 ，0 —— 1，0
1 ，1 0，1 ——
共有6種等可能的結果：
、、、、、
乘積分別為：0，，0，0，，0
所以兩次抽取的卡片上的數字之積為有理數的有4種，
則兩次抽取的卡片上的數字之積為有理數的概率為．
10.某區七年級有名學生參加“安全伴我行知識競賽”活動．為了了解本次知識競賽的成績分布情況，從中抽取了名學生的得分得分取正整數，滿分為分進行統計．
請你根據不完整的頻率分布表，解答下列問題：
(1)補全頻數分布直方圖；
(2)若將得分轉化為等級，規定得分低于分評為“”， 分評為“”， 分評為“”， 分評為“”．這次全區七年級參加競賽的學生約有多少學生參賽成績被評為“”如果隨機抽查一名參賽學生的成績等級，則這名學生的成績被評為“”、“”、“”、“”哪一個等級的可能性大？請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)“”的可能性大，見解析
【分析】本題是統計圖的基礎應用題，難度一般，利用統計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能做出正確的判斷和解決問題．
（１）根據頻數、頻率成正比例關系，可得：頻數中應填入，頻率一欄中，順次填入，；據此可補全頻數分布直方圖．
（２）根據題意：依次求出個等級的概率，比較可得：“”的概率最高，故是“”的可能性大；
通過數學可以估計整體的數據的分布情況，讓考生發現數學的“預測”功能．
【詳解】（1）根據頻數、頻率成正比例關系，可得：頻數中應填入，頻率一欄中，順次填入，；
．
（2）由表知：評為“”的頻率是，
由此估計全區七年級參加競賽的學生約有（人）被評為“”．
，，，，
，
隨機抽查一名參賽學生的成績等級，“”的可能性大．
11.甲、乙兩名同學玩一個游戲：將正面分別寫有數字，0，1，2的四張卡片（這些卡片除數字外其余均相同）洗勻后，背面向上放在桌面上，甲先從中隨機選擇一張卡片，記錄卡片上的數字為x，乙再從剩余的卡片中隨機選擇一張，記錄卡片上的數字為y．若，則甲獲勝，否則乙獲勝．請用畫樹狀圖或列表的方法，說明這個游戲對雙方是否公平．
【答案】公平，理由見解析
【分析】本題考查了用列舉法求等可能事件的概率，掌握用列表法或畫樹狀圖法求等可能事件的概率是解題的關鍵．
用列表法（或畫樹狀圖法），分別求出甲、乙獲勝的概率，即得答案．
【詳解】這個游戲公平，
由題意可列表如下，
0 1 2
0
1
2
由表可知，可能出現的等可能結果共有12種；
的情況有6種，
甲獲勝的概率
∵的情況有6種，
乙獲勝的概率，
這個游戲對雙方公平．
12.一只不透明的袋子中裝有若干個白球和其他顏色的球，這些球除顏色外都相同．每次從袋子中摸出一個球，然后放回搖勻再摸，在摸球實驗中得到下列表中的部分數據：
摸球次數 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的頻數 14 26 128 198 267 399 500
摸出白球的頻率
(1)請將表補充完整；
(2)畫出“摸出白球”的頻率折線統計圖，得摸出白球的概率估計值是 ；（精確到到0.01）
(3)若袋中共有200個球，則袋中可能有 個白球．
【答案】(1)見解析
(2)見解析，
(3)66
【分析】本題考查了畫折線統計圖，頻率估計概率，頻數、頻率與實驗總次數的關系，掌握這些知識是關鍵．
（1）由頻數、頻率與摸球次數的關系可求得摸球40次，摸出白球14的概率；也可求得摸球1000次且頻率為時摸出白球的頻數，因而可補充完整表格；
（2）按折線統計圖的畫法畫圖即可；根據統計圖即可估計出概率；
（3）根據（2）中概率的近似值，即可計算出袋中白球可能的個數．
【詳解】（1）解：，；
補充完整表格如下：
摸球次數 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的頻數 14 26 128 198 267 332 399 500
摸出白球的頻率
（2）解：折線統計圖如下：
由圖知，摸出白球的概率估計值是；
故答案為：．
（3）解：由（2）知，摸出白球的概率估計值是，
則袋中200個球，白球可能為：（個）
故答案為：66．
13.某商場進行抽獎活動，抽獎箱中只有“中獎”和“謝謝恵顧”兩種卡片（兩種卡片形狀大小相同、質地均勻），下表是活動進行中的一組數據：
抽獎總次數次 100 150 200 800 1000
抽到“中獎”卡片的次數次 33 48 240 299
中獎的頻率 0.33 0.32 0.315 0.30
(1)填空：_________，________．
(2)根據“頻率的穩定性”估計抽獎一次就抽到“中獎”的概率．（精確到0.1）
【答案】(1)63；
(2)估計抽獎一次就抽到“中獎”的概率是
【分析】本題考查了利用頻率估計概率，頻率的計算，利用頻率估計概率求解即可．
（1）根據頻率和總數求出a的值即可；根據頻數和總數求出頻率b即可；
（2）根據頻率的穩定性，估計抽獎一次就中獎的概率即可．
【詳解】（1）解：，
；
（2）解：根據“頻率的穩定性”估計抽獎一次就抽到“中獎”的概率約是．
14．經過五華奧園十字路口的汽車，它可能繼續直行，也可能向左轉或向右轉．交管部門在汽車行駛高峰時段對車流量作了統計，發現汽車在此十字路口向右轉的頻率為，向左轉和直行的頻率均為．
(1)假設平均每天通過該路口的汽車為1000輛，求汽車在此左轉、右轉、直行的車輛各是多少輛；
(2)目前在此路口，汽車左轉、右轉、直行的綠燈亮的時間均為30秒，在綠燈總時間不變的條件下，為了緩解交通擁擠，請你利用概率的知識對此路口三個方向的綠燈亮的時間做出合理的調整．
【答案】(1)汽車在此左轉、右轉、直行的車輛各是輛、輛、輛
(2)左轉、右轉、直行的綠燈亮的時間為秒，秒，秒
【分析】本題考查了頻率估計概率，熟練掌握頻率和概率之間的關系是解題的關鍵.
（1）用汽車總量乘以頻率即可得出結果；
（2）由頻率估計概率，即可得出結果.
【詳解】（1）解：汽車在此左轉的車輛數為：(輛)，
汽車在此右轉的車輛數為：(輛)，
汽車在此直行的車輛數為：(輛)
答：汽車在此左轉、右轉、直行的車輛各是輛、輛、輛.
（2）根據頻率估計概率的知識，得
∵汽車左轉、右轉、直行的綠燈亮的時間均為秒，
∴可調整綠燈亮的時間如下：
左轉綠燈亮的時間為(秒)，
右轉綠燈亮的時間為(秒)，
直行綠燈亮的時間為(秒).
15.某校為落實“雙減”工作，增強課后服務的吸引力，充分用好課后服務時間，為學有余力的學生拓展學習空間，成立了5個活動小組（每位學生只能參加一個活動小組）：．音樂；．體育；．美術；．閱讀；．人工智能，為了解學生對以上活動的參與情況，隨機抽取部分學生進行了調查統計，并根據統計結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．
根據圖中信息，解答下列問題：
(1)①此次調查一共隨機抽取了_______名學生；扇形統計圖中，圓心角________，
②請將條形統計圖補充完整；
(2)若該校有3600名學生，估計該校參加組（閱讀）的學生人數；
(3)學校計劃從組（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位學生中隨機抽取兩人參加市青少年機器人競賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率．
【答案】(1)①400，；②見詳解；
(2)1260；
(3)
【分析】本題考查扇形圖，條形圖，樹狀圖求概率．
（1）①有B組人數即占比可求得總人數，先求出C組人數，再求其圓心角即可；②把A、C組人數求出即可補全條形統計圖；
（2）先求樣本中D組所占比例，再估計其人數即可；
（3）先畫出樹狀圖，再求其概率即可．
【詳解】（1）解：①此次調查一共隨機抽取的學生為（人）
A組人數為，
C組人數為
扇形統計圖中，圓心角，
故答案為：400，；
②補全條形統計圖如下：
（2）（人）
答：估計該校參加組（閱讀）的學生人數為1260人；
（3）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，其中恰好抽到甲、乙兩人同時參賽的結果有2種，故其概率為
．
16.如圖，地面上有一個不規則的封閉圖形，為求得它的面積，小明設計了如下方法：
①在此封閉圖形內畫出一個半徑為2米的圓．
②在此封閉圖形旁邊閉上眼睛向封閉圖形內擲小石子（可把小石子近似的看成點），記錄如表：
擲小石子落在不規則圖形內的總次數 300 150 300 500 …
小石子落在圓內（含圓上）的次數m 20 61 123 206 …
小石子落在圓外的陰影部分（含外緣）的次數n 30 89 177 294 …
0.667 0.685 0.695 0.701
(1)通過以上信息，可以發現當投擲的次數很大時，的值越來越接近 ___________（結果精確到0.1）；
(2)若以小石子所落的有效區域為總數（即），則隨著投擲次數的增大，小石子落在圓內（含圓上）的頻率值穩定在 ___________附近（結果精確到0.1）；
(3)請你利用（2）中所得頻率的值，估計整個封閉圖形的面積是多少平方米？（結果保留）
【答案】(1)0.7
(2)0.4
(3)
【分析】本題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．
（1）根據表格中的值即可求解；
（2）根據表格中的數據計算的值，進而求解即可；
（3）利用概率，求出圓的面積比上總面積的值，計算出整個封閉圖形面積．
【詳解】（1）根據表格可得，
當投擲的次數很大時，則的值越來越接近0.7；
故答案為：0.7；
（2）解：觀察表格得：
，，，
∴隨著投擲次數的增大，小石子落在圓內（含圓上）的頻率值穩定在0.4，
故答案為：0.4；
（3）解：設封閉圖形的面積為a，
根據題意得：，
解得：，
答：封閉圖形的面積為平方米．
17．為促進同學間交流，豐富校園文化生活，增強班級團隊意識和凝聚力．某校七年級將在操場上舉辦“綁腿跑”趣味運動比賽（每班有5名隊員排成一列，每相鄰兩隊員的相鄰腿用綁腿帶綁在一起，立于起跑線后，隊員通過協調配合在跑道上共同行進）．為做準備，七（1）班選拔了15名學生參加訓練，并將15名學生的身高（單位：）數據統計如下：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176；
(1)15名學生的身高數據如下表：
平均數 中位數 眾數
167.4
根據信息填空：__________，__________；
(2)在訓練中，將15名學生分成三組進行練習，發現：對于不同組的學生，如果一組學生的身高的方差越小，則該組學生獲勝機率越大．據此推斷：在下列兩組學生中，獲勝機率大的是__________（填“甲組”或“乙組”）；
甲組學生的身高 163 166 166 167 167
乙組學生的身高 162 163 165 166 176
(3)根據安排，剩下的同學組成丙組．從丙組同學中，隨機抽取兩人擔任引導員，求恰好抽到兩名引導員身高相同的概率．
【答案】(1)167；166
(2)甲組
(3)
【分析】本題考查中位數、眾數、方差等統計量，畫樹狀圖或列表法求概率．
（1）根據中位數、眾數的概念即可求解；
（2）分別計算兩組數據的方差，即可判斷；
（3）把168記為A，169記為，169記為，171記為C，173記為D，畫樹狀圖求出概率即可．
【詳解】（1）解：15名學生的身高排序后，處于中間位置（第8位）的是167，
∴中位數是167，即；
15名學生的身高中，166出現的次數最多，
∴眾數是166，即．
故答案為：167，166
（2）解：甲組學生的身高的平均數，
方差；
乙組學生的身高的平均數，
方差
∵，
∴獲勝機率大的是甲組．
故答案為：甲組
（3）解：由題意知丙組同學的身高分別為：168、169、169、171、173，把168記為A，169記為，169記為，171記為C，173記為D，畫樹狀圖如下：
由圖可知，一共要有20種等可能結果，其中5名同學中身高相同的結果有2種，
（恰好抽到兩名引導員身高相同）．
答：恰好抽到兩名引導員身高相同的概率為．
1．如圖所示，正方形的頂點O在另一正方形的對角線交點上，兩個正方形的邊長相等，現假設可以隨意在圖中取點，則這個點取在陰影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】求出圖形和陰影的面積，再根據概率公式計算即可．本題考查了概率公式，根據題意弄清楚圖形之間的關系是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖：
∵正方形的頂點O在另一正方形的對角線交點上，兩個正方形的邊長相等
∴，
∴
∴
即
，
，
設正方形的面積為，陰影的面積為，
則圖形的面積為，
這個點取在陰影部分的概率是．
故答案為：．
2．七巧板是一種拼圖玩具，體現了我國古代勞動人民的智慧．如圖，是一個由“七巧板”地磚鋪成的地板，一個小球在該地板上自由地滾動，并隨機停留在某塊地磚上，已知小球停在任意一點的可能性都相同，那么小球停在4號地磚上的概率是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查幾何概率的求法：首先根據題意將代數關系用面積表示出來，一般用陰影區域表示所求事件（A）；然后計算陰影區域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發生的概率．根據幾何概率的求法：小球落在4號地磚上的概率就是4號地磚的面積與總面積的比值．
【詳解】解：如圖，
由“七巧板”地磚的特點設，，，
∴4號地磚的面積為，整個正方形的面積為，
∴小球停在4號地磚上的概率是，
故選D
3.在一個不透明的布袋里裝有3個標號為1、2、3的小球，它們的材質、形狀、大小完全相同，小明從布袋里隨機取出一個小球，記下數字為，小麗從剩下的2個小球中隨機取出一個小球，記下數字為，這樣確定了點的坐標．
(1)請你運用畫樹狀圖或列表的方法，寫出點所有可能的坐標．
(2)求點在函數圖象上的概率．
【答案】(1)有6種可能
(2)
【分析】此題考查了用列舉法求概率，正確畫出樹狀圖是解題的關鍵，用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．
（1）畫出樹狀圖，即可求解；
（2）共有6種等可能的結果，求出點在函數圖象上的結果有2種，再由概率公式求解即可．
【詳解】（1）解：畫樹狀圖如下：
∴點的坐標有6種可能，分別是．
（2）把分別代入，可得出：
只有，兩點在函數上，
∴點在函數圖象上的概率為：
4．某購物商場為促進顧客消費，特設一可自由轉動的轉盤．顧客凡購物滿200元，即有機會轉動轉盤一次．轉盤分為多個區域，每個區域對應不同的優惠券．下表是活動進行中的一組統計數據（結果精確到0.001）：
轉動轉盤的次數n 50 100 150 200 500 800 1000 2000
落在“減免20元券”區域的次數m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“減免20元券”區域的頻率為 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
請根據表格完成以下問題：
(1)______；
(2)上表中，當轉動轉盤的次數為500時，落在“減免20元券”區域的頻率被墨跡遮擋了部分數字，請估計b的值是______（填寫一個值）；
(3)落在“減免20元券”區域的頻率的變化有什么規律？
(4)請估計落在“減免20元券”區域的概率是______．
【答案】(1)
(2)
(3)頻率的變化穩定在附近
(4)
【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
（1）根據頻率頻數總數，計算即可得出答案；
（2）由頻數乘以頻率即可得到答案；
（3）利用頻率估計概率求解即可．
（4）由穩定的頻率可得概率
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：落在“減免20元券”區域的頻率的變化穩定在附近；
（4）解：估計落在“減免20元券”區域的概率是
1．兩千多年前我們的祖先使用“算籌”表示數．算籌有縱式和橫式兩種排列方式，各個數字及其算籌表示的對應關系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
縱式 〇
橫式
用“算籌”表示數時，個位采用縱式，十位采用橫式，百位采用縱式，千位采用橫式……縱式和橫式依次交替出現．如“”表示87，“”表示502，從“”、“”、“”、“”、“”可以組成的所有兩位數中，隨機抽取一個數，是奇數的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了列舉法求解概率，先根據題意得到五個符號表示的數是0，2，3，6，9，且數字6、9必須要在十位，0、2、3在個位，據此列舉出所有符合題意的數，再根據概率計算公式求解即可．
【詳解】
解：“”、“”、“”、“”、“”分別表示的數是0，2，3，6，9，且數字6、9必須要在十位，0、2、3在個位，則可以組成的兩位數有60，62，63，90，92，93，共6個數，其中是奇數的有2個，
∴隨機抽取一個數，是奇數的概率為，
故選：B．
2．隨著教育部“雙減”政策的深入，某校開發了豐富多彩的課后托管課程，并于開學初進行了學生自主選課活動．小明和小王分別打算從以下四個特色課程中選擇一個參加：．競技乒乓；．圍棋博弈：．名著閱讀：．街舞少年．則小明和小王選擇同一個課程的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查概率的計算公式，列樹狀圖或表格求概率，數形結合是解題的關鍵．根據題意畫出樹狀圖，可得共有種等可能的結果，其中小明和小王選擇同一個課程的情況有種，由概率計算公式可求解．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
共有種等可能的結果，其中小明和小王選擇同一個課程的結果有種，
小明和小王選擇同一個課程的概率為．
故選：C．
3.如圖，某景區有A，B兩個入口，C，D，E三個出口，星期天小麗和爸爸媽媽到該景區游玩，他們從B入口進，從D出口出的概率是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結果數，再找到他們從B入口進，從D出口出的結果數，最后根據概率計算公式求解即可．
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，一共有6種等可能性的結果數，其中他們從B入口進，從D出口出的結果數有1種，
∴他們從B入口進，從D出口出的概率為，
故選：A．
4．有四人坐在如圖所示的圓桌周圍，4個座位分別記為①、②、③、④．甲、乙兩人等可能性地坐在4個座位中的2個座位上，甲、乙兩人相對而坐的概率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率．先列表得到所有等可能性的結果數，再找到甲、乙兩人相對而坐的結果數，再根據概率計算公式求解即可．
【詳解】解：設①、②、③、④這4個座位分別用、、、表示，列表如下：
由表格可知，一共有12種等可能性是結果數，其中甲、乙兩人相對而坐的結果數有4種：，，，，
甲、乙兩人相對而坐的概率為，
故選：B．
5.某數學興趣小組做“用頻率估計概率”的試驗時，記錄了試驗過程并把結果繪制成如下表格，則符合表格數據的試驗可能是 ．①擲一枚質地均勻的硬幣，出現反面朝上；②擲一枚質地均勻的骰子，擲得朝上的點數是3的整數倍；③在“石頭、剪刀、布”游戲中，小明出的是“石頭”；④將一副去掉大、小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張撲克牌的花色是紅桃．
試驗總次數 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 …
頻率 …
【答案】②③/③②
【分析】本題考查了概率的知識，熟練應用根據頻率估計概率是解題的關鍵．根據圖中信息得出，實驗結果在附近波動，即其概率，判斷各項中的概率即可．
【詳解】解：根據圖中信息得出，實驗結果在附近波動，利用頻率估計概率得到實驗的概率為，
①擲一枚質地均勻的硬幣，出現反面朝上的概率為，不符合題意；
②擲一枚質地均勻的骰子，擲得朝上的點數是3的整數倍的概率為，符合題意；
③在“石頭、剪刀、布”游戲中，小明出的是“石頭”的概率為，符合題意；
④將一副去掉大、小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張撲克牌的花色是紅桃的概率為，不符合題意．
∴符合表格數據的試驗可能是②③．
故答案為：②③．
6.如圖，地上畫了兩個半徑分別為和的同心圓．假設用小石子投中圓形區域上的每一點是等可能的（若投中圓的邊界或沒有投中圓形區域，則重投1次），任意投擲小石子一次，則投中白色小圓的概率為 ．

【答案】
【分析】本題考查幾何概率，先求得整個圖形的總面積和白色小圓的面積，再由白色小圓面積除以總面積求解即可．
【詳解】解：根據題意，總面積為，白色小圓面積為，
∴任意投擲小石子一次，則投中白色小圓的概率為，
故答案為：．
7.如圖，在邊長為1的小正方形組成的的網格中有A，B兩個格點，在網格的格點上任取一點C（點A，B除外），恰能使為等腰三角形的概率是 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了幾何圖形中的概率計算，解決此題的關鍵是：正確找出恰好能使為等腰三角形的點．
按照題意分別找出點C所在的位置：當時，符合條件的點C有3個；當時，符合條件的點C有1個；當時，符合條件的點C有1個；當根據概率公式求出概率．
【詳解】解：如圖，
可以找到5個恰能使為等腰三角形的點，
概率為：，
故答案為：．
8.如圖，有四張大小、形狀、質地完全相同的卡片A，B，C，D，其正面分別畫有等邊三角形、圓、矩形、菱形．將這四張卡片放在不透明的盒子中洗勻．
(1)從盒子中抽取一張卡片，取出的卡片正面所畫的圖形是軸對稱圖形是 事件；（填“不可能”“隨機”或“必然”）
(2)小莉從盒子中同時抽取了兩張卡片，求取出的兩張卡片正面所畫的圖形都是中心對稱圖形的概率．
【答案】(1)必然
(2)
【分析】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形，概率，
（1）根據軸對稱的定義判斷出所給圖片是否為軸對稱圖形，即可得；
（2）根據題意可得A，B，C，D這四張卡片上的圖形B，C，D為中心對稱圖形，畫樹狀圖即可得；
掌握軸對稱圖形，中心對稱圖形的定義以及概率公式是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：根據題意可得A，B，C，D這四張卡片上的圖形均為軸對稱圖形，
∴從盒子中抽取一張卡片，取出的卡片正面所畫的圖形是軸對稱圖形是必然事件，
故答案為：必然．
（2）解：根據題意可得A，B，C，D這四張卡片上的圖形B，C，D為中心對稱圖形，
畫樹狀圖為：
共有種等可能的結果數，取出的兩張卡片圖形都是中心對稱圖形的結果為6種，分別為 B，C； B，D；C，B；C，D；D，B；D，C；
∴取出的兩張卡片所畫的圖形都是中心對稱圖形的概率是：．
9.某商人在游樂場制作了一個如圖所示的轉盤游戲，取名為“開心大轉盤”，游戲規定：參與者自由轉動轉盤，若指針指向數字“2、4、6”，則收費2元，若指針指向數字“3”．則獎3元；若指針指向數字“1”，則獎1元，若指針指向數字“5”，則獲得再轉一次轉盤的機會．
(1)任意轉動轉盤一次，轉盤停止后，參與者交費2元、獲獎3元、獲獎1元的概率分別為______、______、______．
(2)任意轉動轉盤一次，參與者獲獎的概率為______．
(3)一天，一名游客轉動轉盤1次，轉盤停止后，獲得再轉一次轉盤的機會的概率是______．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根據幾何概率的定義，面積比即概率，可求參與者交費2元、獲獎3元、獲獎1元的概率各為多少．
（2）根據幾何概率的定義，面積比即概率，可求參與者獲獎的概率．
（3）根據幾何概率的定義，面積比即概率，可求參與者獲得再轉一次轉盤的機會的概率.
本題主要考查了簡單的幾何概型，掌握“面積比即概率” 是解題的關鍵．
【詳解】（1）指針指向數字“1”的圓心角為： ，
∴參與者交費2元的概率為：；
參與者獲獎3元的概率為：；
參與者獲獎1元的概率為：；
故答案為：，，．
（2）任意轉動轉盤一次，參與者獲獎的概率為：，
故答案為：．
（3）游客獲得再轉一次轉盤的機會的概率為：，
故答案為：．
10.某研發機構新培育了一種玉米種子，在相同條件下該種玉米種子發芽的試驗結果如圖所示．
根據試驗結果回答下列問題．
(1)估計這種玉米種子發芽的概率是______（精確到0.1）．
(2)如果該種玉米種子發芽后的成秧率為，那么在相同條件下種10000粒該種玉米種子大約可得到多少棵玉米秧苗？
【答案】(1)0.9
(2)8100棵
【分析】本題考查了由頻率估計概率，正確得出這種玉米種子發芽的概率是解此題的關鍵．
（1）由統計圖即可得出答案；
（2）根據題意列式計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：由圖可得：隨實驗次數增加，這種玉米種子發芽的頻率逐漸穩定在為0.9附近，故估計這種玉米種子發芽的概率是0.9；
（2）解：由題意得：（棵），
∴種10000粒該種玉米種子大約可得到棵玉米秧苗．
11.在一個不透明的袋子里裝有黑、白兩種顏色的球共個，這些球除顏色外都相同，某學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復，如表是活動進行中的一組統計數據：
摸球的次數
摸到黑球的次數
摸到黑球的頻率
(1)表中 ；
(2)請估計：當很大時，摸到黑球的頻率將會接近 （精確到）；
(3)估計袋子中有白球 個；
(4)若學習小組通過試驗結果，想使得這個不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小為，則可在袋子中增加相同的白球 個．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
（1）摸到黑球的頻率為，故為．
（2）大量重復實驗中事件的頻率可以估計概率，當很大時，觀察摸到黑球的頻率，其數值將會接近．
（3）摸到黑球的頻率約為，故摸到白球的頻率約為，則估計袋子中有白球（個）．
（4）當想使得這個不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小為時，即黑球個數等于白球個數，故可在袋子中增加相同的白球數：（個），
【詳解】（1）解：，
故答案為：．
（2）當很大時，觀察摸到黑球的頻率，其數值將會接近，
故答案為：．
（3）摸到黑球的頻率約為，
故摸到白球的頻率約為，
則估計袋子中有白球（個），
故答案為：．
（4）當想使得這個不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小為時，
即黑球個數等于白球個數，
故可在袋子中增加相同的白球數：（個），
此時黑白球均為個，摸到黑白球的可能性大小均為．
故答案為：．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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