資源簡介

【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展91 圓錐曲線中焦半徑和焦點弦公式的應用（精講+精練）
一、橢圓的焦半徑和焦點弦公式
【焦半徑形式1】橢圓的左、右焦點分別為、，點為橢圓上任意點，則橢圓的焦半徑和可按下面的公式計算：
（1）；（2）（記憶：左加右減）
【焦半徑形式2】橢圓的一個焦點為F，P為橢圓上任意一點，設，則橢圓的焦半徑，若延長交橢圓于另一點Q，則橢圓的焦點弦.
二、雙曲線的焦半徑和焦點弦公式
【焦半徑形式1】雙曲線的左、右焦點分別為、，點為雙曲線任意一點，則雙曲線的焦半徑和可按下面的公式計算：
（1）；（2）（記憶：左加右減）
【焦半徑形式2】雙曲線的一個焦點為F，P為雙曲線上任意一點，設，則雙曲線的焦半徑，若直線交雙曲線于另一點Q，則雙曲線的焦點弦.（焦半徑公式中取“+”還是取“－”由P和F是否位于y軸同側決定，同正異負）
三、拋物線的焦半徑和焦點弦公式
【焦半徑形式1】設點在拋物線上，、，是拋物線的焦點弦，則拋物線的坐標版焦半徑、焦點弦公式如下表：
標準方程
圖形
焦半徑公式
焦點弦公式
【焦半徑形式2】直線AB過拋物線的焦點，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，設α為AB的傾斜角
（1）弦長AB＝
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即當x1＝x2時，弦長最短為：（通徑）2p.
（9），， ＋為定值.
【典例1】橢圓的左、右焦點分別為、，點P在橢圓上，則的取值范圍為_______.
【解析】由題意，，，，設，其中，
則，，所以
【典例2】雙曲線的左、右焦點分別為、，雙曲線上的一點P滿足，則點P的坐標為_______.
【解析】由題意，，，，，由焦半徑公式，，，
因為，所以，解得：或（舍去）
代入雙曲線的方程可求得，所以P的坐標為.
【典例9】過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A、B兩點，若，則_____.
【解析】設，則，所以，故.
【典例4】拋物線的焦點為F，過F且傾斜角為60°的直線l被拋物線C截得的弦長為______.
【解析】解法1：由題意，，設，代入整理得：，
設兩根為和，則，故直線l被拋物線C截得的弦長.
解法2：直線l被拋物線C截得的弦長.
【題型訓練-刷模擬】
1.橢圓的焦半徑和焦點弦公式
一、單選題
1．已知，是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上，當取最大值時，三角形面積為（ ）
A． B． C．2 D．4
2．已知動點在橢圓：上，為橢圓的右焦點，若點滿足，且，則的最小值為（ ）
A．9 B．2 C． D．1
9．已知橢圓的右焦點為，若過的直線與橢圓交于兩點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．已知為橢圓上任意一點，EF為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為、，為第一象限內上一點．若，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
6．已知橢圓：的右焦點為，點，為第一象限內橢圓上的兩個點，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
7．如圖，橢圓的左 右焦點分別為，，過點，分別作弦，.若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．已知橢圓的左焦點為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點，并且滿足，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
9．已知橢圓和，橢圓的左右焦點分別為、，過橢圓上一點和原點的直線交圓于、兩點.若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
10．已知，分別是橢圓的左、右焦點，點、是橢圓上位于軸上方的兩點，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．已知橢圓C的離心率，左右焦點分別為，P為橢圓C上一動點，則的取值范圍為 .
12．已知橢圓，線段的兩個端點在橢圓上移動，且是的中點，則的最大值是 ．
19．設、分別為橢圓：的左、右兩個焦點，過作斜率為1的直線，交于、兩點，則
14．已知橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，且，若第一象限的點、在上，，，，則直線的斜率為 .
15．若直線：（其中）與圓相切，與橢圓：交于點，，為其右焦點，則的周長為 .
16．已知橢圓的左 右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上，連接并延長交于點，連接，若存在點使成立，則的取值范圍為 .
2.雙曲線的焦半徑和焦點弦公式
一、單選題
1．已知雙曲線上的點到焦點的最小距離為，且與直線無交點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．已知雙曲線的右支上的點，滿足，分別是雙曲線的左右焦點），則為雙曲線的半焦距）的取值范圍是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作一條傾斜角為90°的直線與雙曲線C在第一象限交于點M，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
4．已知動點P在雙曲線C：上，雙曲線C的左、右焦點分別為，，則下列結論：
①C的離心率為2；
②C的焦點弦最短為6；
③動點P到兩條漸近線的距離之積為定值；
④當動點P在雙曲線C的左支上時，的最大值為．
其中正確的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．9個 D．4個
二、填空題
5．已知是雙曲線.左，右焦點，若上存在一點，使得成立，其中是坐標原點，則的離心率的取值范圍是 .
6．設，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且滿足（是坐標原點），則直線的斜率為 .
9.拋物線的焦半徑和焦點弦公式
一、單選題
1．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，且，則直線的斜率可能為（ ）
A． B． C． D．
2．已知斜率為的直線過拋物線的焦點，與拋物線交于，兩點，過，作軸的垂線，垂足分別為，，若，則直線的斜率等于（ ）
A．1 B． C． D．
9．過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，且，則直線l的斜率是（ ）
A． B． C． D．
4．過拋物線的焦點F的直線與拋物線在第一象限，第四象限分別交于A，B兩點，若，則直線AB的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
5．已知拋物線：（）的焦點為，直線的斜率為且經過點，與拋物線交于，兩點（點在第一象限），與拋物線的準線交于點，若，則下列說法正確的是（ ）
①；②為的中點；③；④．
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③
6．已知過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，且，拋物線的準線l與x軸交于點C，于點，若四邊形的面積為，則準線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
7．已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與交于兩點（點在第一象限），與交于點，若，，則（ ）
A． B．9 C．6 D．12
8．過拋物線的焦點F作直線交C于A，B，過A和原點的直線交于D，則面積的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空題
9．已知是拋物線：的焦點，是上一點，的延長線交軸于點，若為線段的中點，且，則 .
10．已知拋物線，過焦點P的直線交拋物線C于A，B兩點，且線段的長是焦半徑長的9倍，則直線的斜率為 ．
11．已知O為坐標原點，拋物線的焦點為，過的直線與交于A，B兩點（A位于第一象限），且，則直線OA的斜率為 ．
12．已知拋物線的焦點和準線，過點的直線交于點，與拋物線的一個交點為，且，則
19．已知拋物線，過焦點F的弦交拋物線于A，B兩點，且有，準線與x軸交于點C，作A到準線的垂線，垂足為，則當四邊形的面積為時，p的值為 ．
14．已知雙曲線：與拋物線：的焦點重合，過點作直線與拋物線交于、兩點（點在軸上方）且滿足，若直線只與雙曲線右支相交于兩點，則雙曲線的離心率的取值范圍是 ．
15．已知拋物線的焦點為，過的直線與拋物線交于兩點（在第一象限），若，則直線的斜率為 .
16．焦點為的拋物線上有不同的兩點，且滿足，若線段的中點到拋物線的準線的距離為，則 .
【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展91 圓錐曲線中焦半徑和焦點弦公式的應用（精講+精練）
一、橢圓的焦半徑和焦點弦公式
【焦半徑形式1】橢圓的左、右焦點分別為、，點為橢圓上任意點，則橢圓的焦半徑和可按下面的公式計算：
（1）；（2）（記憶：左加右減）
【焦半徑形式2】橢圓的一個焦點為F，P為橢圓上任意一點，設，則橢圓的焦半徑，若延長交橢圓于另一點Q，則橢圓的焦點弦.
二、雙曲線的焦半徑和焦點弦公式
【焦半徑形式1】雙曲線的左、右焦點分別為、，點為雙曲線任意一點，則雙曲線的焦半徑和可按下面的公式計算：
（1）；（2）（記憶：左加右減）
【焦半徑形式2】雙曲線的一個焦點為F，P為雙曲線上任意一點，設，則雙曲線的焦半徑，若直線交雙曲線于另一點Q，則雙曲線的焦點弦.（焦半徑公式中取“+”還是取“－”由P和F是否位于y軸同側決定，同正異負）
三、拋物線的焦半徑和焦點弦公式
【焦半徑形式1】設點在拋物線上，、，是拋物線的焦點弦，則拋物線的坐標版焦半徑、焦點弦公式如下表：
標準方程
圖形
焦半徑公式
焦點弦公式
【焦半徑形式2】直線AB過拋物線的焦點，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，設α為AB的傾斜角
（1）弦長AB＝
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即當x1＝x2時，弦長最短為：（通徑）2p.
（9），， ＋為定值.
【典例1】橢圓的左、右焦點分別為、，點P在橢圓上，則的取值范圍為_______.
【解析】由題意，，，，設，其中，
則，，所以
【典例2】雙曲線的左、右焦點分別為、，雙曲線上的一點P滿足，則點P的坐標為_______.
【解析】由題意，，，，，由焦半徑公式，，，
因為，所以，解得：或（舍去）
代入雙曲線的方程可求得，所以P的坐標為.
【典例9】過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A、B兩點，若，則_____.
【解析】設，則，所以，故.
【典例4】拋物線的焦點為F，過F且傾斜角為60°的直線l被拋物線C截得的弦長為______.
【解析】解法1：由題意，，設，代入整理得：，
設兩根為和，則，故直線l被拋物線C截得的弦長.
解法2：直線l被拋物線C截得的弦長.
【題型訓練-刷模擬】
1.橢圓的焦半徑和焦點弦公式
一、單選題
1．已知，是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上，當取最大值時，三角形面積為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根據橢圓的焦半徑公式和橢圓中的的范圍可求得取最大值時，點在橢圓的短軸上.
【詳解】設點的坐標為，根據橢圓的焦半徑公式可得：
則有：
根據橢圓的特點，可知：
可得：當時，取最大值
此時，點在橢圓的短軸上，則有：
故選：B
2．已知動點在橢圓：上，為橢圓的右焦點，若點滿足，且，則的最小值為（ ）
A．9 B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】由已知可得，只需求出即可，再利用兩點之間的距離公式計算即可得到答案.
【詳解】由已知，，設，則，因在橢圓上，所以，
所以，
所以當時，，又，
所以，所以.
故選：C
【點睛】本題考查橢圓中的焦半徑的最值問題，涉及到兩點間的距離公式，考查學生的等價轉化的思想，是一道中檔題.
9．已知橢圓的右焦點為，若過的直線與橢圓交于兩點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先證明橢圓上的點的到右焦點的距離為，當分別為橢圓的頂點時取最值，進而可得結果.
【詳解】在橢圓中，，
設為橢圓上任意一點，即，
解得，
由兩點間距離公式可知：，
由上式可得當為橢圓的右頂點時，最小，此時，
當為橢圓的左頂點時，最大，此時，
此時的最小值為，
同理可得的最大值為9，
即的取值范圍是，
故選：C.
4．已知為橢圓上任意一點，EF為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】用表示進行數量積運算后轉化為求橢圓上點到焦點的最大值和最小值問題．
【詳解】由題意橢圓的下焦點，是圓的直徑，
則，
橢圓中，橢圓上的到焦點的距離的最大值為，最小值為，所以的最大值為24，最小值為8．
所以的取值范圍．
故選：B．
5．已知為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為、，為第一象限內上一點．若，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據橢圓的定義結合已知條件求出，設點，其中，，根據兩點間的距離公式求出點的坐標，進而可求得直線的斜率.
【詳解】在橢圓中，，，則，所以，點、，
因為，可得，
設點，其中，且，
，
解得，則，可得，即點，
因此，直線的斜率為.
故選：C.
6．已知橢圓：的右焦點為，點，為第一象限內橢圓上的兩個點，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】設點，用橢圓的離心率e，半焦距c及a表示出，再由探求出的關系即可作答.
【詳解】設點，右焦點為，橢圓的離心率為，，
，同理，
如圖，過P，Q分別作x軸的垂線，垂足分別為M，N，
因，則，即，，
于是得，又，則，即，
因此得，即，整理得，而，則，
所以橢圓的離心率為.
故選：C
7．如圖，橢圓的左 右焦點分別為，，過點，分別作弦，.若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分直線斜率不存在和存在兩種情況，當直線的斜率不存在，可求出點的坐標，從而可得，當直線的斜率存在，設直線的方程為，然后將直線方程與橢圓方程聯立方程組，消元后利用根與系數的關系，表示出，從而可表示出，， 進而可表示
【詳解】由橢圓的對稱性可知，，.設點，.
若直線的斜率不存在，則點，，所以，所以.
若直線的斜率存在，設直線的方程為，
聯立消去整理得，，則.又，同理可得，所以，所以.
綜上，的取值范圍為，
故選:C.
8．已知橢圓的左焦點為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點，并且滿足，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設，則，由，
消去，得，
注意到，則.于是，
同理，. 因此.
的傾斜角為，∴直線的斜率，
根據弦長公式，可得.
由，可得，故.
．故選：A
9．已知橢圓和，橢圓的左右焦點分別為、，過橢圓上一點和原點的直線交圓于、兩點.若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，由橢圓的焦半徑公式以及，求出，因為在橢圓上，則，由對稱性可得，，代入即可得出答案.
【詳解】設，橢圓的左、右焦點為，
，
同理：，
∵，∴，
即，
∵在橢圓上，∴，則，
由圓的相交弦定理及對稱性得：
.
故選：B．
10．已知，分別是橢圓的左、右焦點，點、是橢圓上位于軸上方的兩點，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延長射線、分別與橢圓相交于、兩點，由橢圓的對稱性，則，若直線的斜率不存在易得；若直線的斜率存在，設直線的方程為，與橢圓方程聯立， 利用兩點間的距離公式結合韋達定理建立求解.
【詳解】如圖，延長射線、分別與橢圓相交于、兩點，

由橢圓的對稱性可知，，
設點的坐標為，點的坐標為，顯然
則點的坐標為.
①若直線的斜率不存在，則點、的坐標分別為、，
有
②若直線的斜率存在，設直線的方程為，
聯立方程，消去后整理為，
有，，
，
，
，
，因為，所以，
則的取值范圍為.
故選：B
二、填空題
11．已知橢圓C的離心率，左右焦點分別為，P為橢圓C上一動點，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】利用焦半徑公式把比值表示為的式子，然后由得出范圍．
【詳解】設，，且得：.
故答案為：.
12．已知橢圓，線段的兩個端點在橢圓上移動，且是的中點，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】設，，為橢圓的右焦點，則，再根據代入數據即可求得答案．
【詳解】解：設，，為橢圓的右焦點，
由題意，橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，
∴，
同理可得，，
而，
即，解得，
故答案為：．
19．設、分別為橢圓：的左、右兩個焦點，過作斜率為1的直線，交于、兩點，則
【答案】
【分析】由橢圓的標準方程，求出焦點的坐標，寫出直線方程，與橢圓方程聯立，求出弦長，利用定義可得，進而求出．
【詳解】由知，焦點，所以直線：，代入得
，即，設，
，故
由定義有，，
所以．
14．已知橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，且，若第一象限的點、在上，，，，則直線的斜率為 .
【答案】
【分析】設點、，求得橢圓的離心率，利用橢圓的焦半徑公式可求得的值，再利用弦長公式可求得直線的斜率.
【詳解】橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，且，
所以，，
由橢圓的幾何性質可知，，橢圓的離心率為，
設點、，則，，
則
，
同理可得，
所以，，解得，
設直線的斜率為，由弦長公式可得，
解得，
因為點、都在第一象限，則，故.
故答案為：.
15．若直線：（其中）與圓相切，與橢圓：交于點，，為其右焦點，則的周長為 .
【答案】4
【分析】先根據直線與圓相切求得的關系，設切點為，利用勾股定理分別求出，再根據兩點間的距離公式分別求出，從而可得出答案.
【詳解】解：由直線與圓相切，
可得，則，
聯立，消得，
則，故，
，
因為，所以，
所以，
設切點為，則，，
，
同理，
，
因為，所以，
同理，
則的周長為.
故答案為：4.
16．已知橢圓的左 右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上，連接并延長交于點，連接，若存在點使成立，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】設，所以存在點使等價于由可求的最小值，求得的范圍，從而得到的取值范圍.
【詳解】
設，則.顯然當靠近右頂點時，，
所以存在點使等價于，
在中由余弦定理得，
即，解得 ，
同理可得，所以，
所以，
所以，當且僅當時等號成立.
由得，所以.
故答案為：
2.雙曲線的焦半徑和焦點弦公式
一、單選題
1．已知雙曲線上的點到焦點的最小距離為，且與直線無交點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設點，求出點到雙曲線焦點距離的最小值為，再利用直線與雙曲線無公共點可得出，可得出關于的不等式，結合可得出的取值范圍.
【詳解】設雙曲線上一點，設點雙曲線的右焦點為，
若取最小值，則點在雙曲線的右支上，則，
則
，
當且僅當時，等號成立，
聯立可得，
因為與直線無交點，則，
即，因為，解得.故選：B.
2．已知雙曲線的右支上的點，滿足，分別是雙曲線的左右焦點），則為雙曲線的半焦距）的取值范圍是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】根據得，，再換元利用函數的單調性求解.
【詳解】解：由雙曲線的第二定義可知，，
右支上的點，滿足，
由，解得，
在右支上，可得，可得，即，則，
令，，可得
而在，單調遞減，，，，
故選：B
9．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作一條傾斜角為90°的直線與雙曲線C在第一象限交于點M，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由雙曲線的焦半徑公式結合幾何圖形的性質計算即可
【詳解】
如圖所示，設雙曲線實軸長為，則，
所以，
又M在第一象限，即，故，
因為，過M作MD⊥軸于D，，
由條件故，
即，故，
解之得（負值舍去）.
故選：A
4．已知動點P在雙曲線C：上，雙曲線C的左、右焦點分別為，，則下列結論：
①C的離心率為2；
②C的焦點弦最短為6；
③動點P到兩條漸近線的距離之積為定值；
④當動點P在雙曲線C的左支上時，的最大值為．
其中正確的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．9個 D．4個
【答案】B
【分析】①由性質可得；②用特殊值可判定；③設點坐標計算化簡即可，④利用雙曲線的焦半徑辦公計算即可.
【詳解】由題意可得，即①正確；
顯然當雙曲線的焦點弦過左、右焦點時，該弦長為實軸，長度為2＜6，即②錯誤；
易知雙曲線的漸近線方程為，設點，則，且到兩條雙曲線的距離之積為是定值，故③正確；
對于④，先推下雙曲線的焦半徑公式：
對雙曲線上任意一點及雙曲線的左右焦點，
則，
同理，
所以，此即為雙曲線的焦半徑公式.
設點，由雙曲線的焦半徑公式可得，
故，
其中，則，
由二次函數的性質可得其最大值為，當且僅當，即時取得，故④錯誤；
綜上正確的是①③兩個.
故選：B
二、填空題
5．已知是雙曲線.左，右焦點，若上存在一點，使得成立，其中是坐標原點，則的離心率的取值范圍是 .
【答案】
【分析】不妨設點在雙曲線的右支上，設，則，先求出，，由條件可得，再根據，根據建立不等式從而可得答案.
【詳解】不妨設點在雙曲線的右支上，設，則，則
則
同理可得
由，可得
，又
所以，即，即
所以，即，即，即
所以，即
故答案為：
6．設，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且滿足（是坐標原點），則直線的斜率為 .
【答案】或
【分析】利用雙曲線的第二定義求出焦半徑的表達式，再根據，得，再由列等式求解.
【詳解】如圖，設雙曲線的左右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，
連接，過點作右準線的垂線，記，
則由雙曲線的第二定義知，，其中.
即，整理得，.
由雙曲線，得，
所以，，離心率，
由題設直線的傾斜角為，由，知，
，
所以，或，‘
解得或，
把代入，可求得或.
故直線的斜率為或.
故答案為：或.
9.拋物線的焦半徑和焦點弦公式
一、單選題
1．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，且，則直線的斜率可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】將代入拋物線焦半徑公式求出傾斜角，再求斜率.
【詳解】解：設的傾斜角為，由拋物線焦半徑公式可得，
又，
解得，，
所以.
故選：C.
2．已知斜率為的直線過拋物線的焦點，與拋物線交于，兩點，過，作軸的垂線，垂足分別為，，若，則直線的斜率等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】先將進行化簡轉化為，再利用直線的傾斜角的余弦值表示與，解出的值，然后根據求出斜率值.
【詳解】
如圖所示，,
設所在直線直線的傾斜角為，則，
，
所以，，解得，則.
故選：D.
9．過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，且，則直線l的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】當A在第一象限時，化簡即得直線l的斜率，再由對稱性得解.
【詳解】解：當A在第一象限時，
，
由對稱性可知.
故選：D.
【點睛】結論點睛：拋物線的焦點為,點A在第一象限，點B在第四象限，弦AB是傾斜角為，則.在解答拋物線的有關問題時，利用這個結論可以提高解題效率.
4．過拋物線的焦點F的直線與拋物線在第一象限，第四象限分別交于A，B兩點，若，則直線AB的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據拋物線的定義，結合直線斜率與傾斜角的關系進行求解即可.
【詳解】分別過A，B兩點作橫軸的垂線，垂足分別為，
設直線AB的傾斜角為，
由題意可設，
因為，所以為鈍角，如下圖所示：

由，
因為，
所以有，
所以，
在直角三角形中中，，
所以．
故選：C
5．已知拋物線：（）的焦點為，直線的斜率為且經過點，與拋物線交于，兩點（點在第一象限），與拋物線的準線交于點，若，則下列說法正確的是（ ）
①；②為的中點；③；④．
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】D
【分析】由題意畫出圖形，寫出直線方程，與拋物線方程聯立，求得的坐標，再由焦半徑公式求，進一步求出，的值，逐一判斷四個選項得答案．
【詳解】解：如圖，
則，直線的斜率為，則直線方程為，
聯立，得．
解得：，，
由，解得．
拋物線方程為．
所以，則；
，，
，則為中點．
結論正確的是①②③．
故選：D．
6．已知過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，且，拋物線的準線l與x軸交于點C，于點，若四邊形的面積為，則準線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方法一：已知，求得，在利用直線方程和拋物線方程聯立得到，解得，，再根據梯形面積公式即可求解出p，進而得到準線l的方程；
方法二：根據拋物線焦半徑公式，，已知，解得，求出高為，再根據梯形面積公式即可求解出p，進而得到準線l的方程.
【詳解】
解：方法一：由題意知，準線的方程為，設，，
則，
由，得，
即①
由題意知直線的斜率存在，
設直線的方程為，
代入拋物線方程，消去，得,
所以②
聯立①②，得，
解得或（舍去），所以，
因為，
將的值代入，解得，
所以準線的方程為，
故選：D.
方法二：設，，，
則，，
因為，所以，解得，則
因為四邊形是直角梯形，其中，，高為，
所以四邊形的面積為，
解得，所以拋物線的準線方程為，
故選：D.
7．已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與交于兩點（點在第一象限），與交于點，若，，則（ ）
A． B．9 C．6 D．12
【答案】B
【分析】利用拋物線的定義，以及幾何關系可知，再利用數形結合表示的值，進而得，再根據焦半徑公式得，，進而求解直線的方程并與拋物線聯立得，再用焦半徑公式求解即可.
【詳解】如圖，設準線與軸的交點為，作，，垂足分別為，，
所以，.
又，所以，
設，則.
因為，
所以，所以，
所以，即.
所以，拋物線為，焦點為，準線為，
由得，解得，
所以，，
所以，直線的方程為
所以，聯立方程得，解得，
所以，，
所以，
故選：B
8．過拋物線的焦點F作直線交C于A，B，過A和原點的直線交于D，則面積的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根據題意可得焦點，準線，設直線的傾斜角為，則直線的方程為；聯立拋物線方程可得，聯立直線和準線方程可得點坐標，即可得垂直于準線，再利用焦半徑公式可得，，寫出的面積的表達式，利用導函數和即可求得其最小值.
【詳解】如下圖所示，易知焦點，直線即為拋物線的準線；

設直線的傾斜角為，由對稱性和交點個數可知，不妨取；
則直線的方程為；
聯立拋物線的方程可得；
設，則滿足；
則直線的斜率為，其直線方程為，
聯立準線方程可得，又可得
可知兩點縱坐標相同，所以直線于軸平行，即垂直于準線；
由拋物線定義可得；
因此可得，即，即；
同理可得；
所以的面積
化簡可得
由可得，所以
令，
則，令，解得
所以當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減；
所以當時，取最大值，
當取最大值時，面積取最小知，即.
即面積的最小值為.故選：A
二、填空題
9．已知是拋物線：的焦點，是上一點，的延長線交軸于點，若為線段的中點，且，則 .
【答案】4
【詳解】
如圖，由題可知，為線段的中點，所以，，，再由拋物線第一定義可得，解得
故答案為：4
【點睛】本題考查拋物線的幾何性質，屬于中檔題
10．已知拋物線，過焦點P的直線交拋物線C于A，B兩點，且線段的長是焦半徑長的9倍，則直線的斜率為 ．
【答案】
【分析】利用拋物線的焦半徑公式列方程求得直線的傾斜角，即可求得直線的斜率
【詳解】設直線的傾斜角為，則．
因為線段的長是焦半徑長的9倍，所以，故，
當時，，，
則，解得，所以直線的斜率為
同理可得當時，，所以直線的斜率為．
綜上，直線的斜率為
故答案為：
11．已知O為坐標原點，拋物線的焦點為，過的直線與交于A，B兩點（A位于第一象限），且，則直線OA的斜率為 ．
【答案】1
【分析】設直線AB的方程，聯立，根據韋達定理得到根與系數的關系，確定，解得，，得到斜率.
【詳解】解法一：，直線AB的斜率存在且不為0，
設直線AB的方程為，與拋物線C的方程聯立，得，
整理得，則，
設，，所以，即．
因為，所以由拋物線的定義得，則，
整理得，得，（舍去負值），所以，（舍去負值），
故直線OA的斜率為．
解法二：設直線AB的傾斜角為，則，
由得，解得，所以，
則由拋物線的定義得，得，所以，（舍去負值），
故直線OA的斜率為．
故答案為：
12．已知拋物線的焦點和準線，過點的直線交于點，與拋物線的一個交點為，且，則
【答案】
【詳解】拋物線的焦點坐標，準線方程，
作垂直于準線于，準線與軸交于點，則，∴.
∵，∴，
由拋物線的定義得，∴.故答案為：.
19．已知拋物線，過焦點F的弦交拋物線于A，B兩點，且有，準線與x軸交于點C，作A到準線的垂線，垂足為，則當四邊形的面積為時，p的值為 ．
【答案】
【分析】根據拋物線焦半徑的性質，結合向量關系，即可求解直線傾斜角，根據面積公式即可求解.
【詳解】設直線的傾斜角為，過作軸，
則，所以，
同理可得，
因為，，則，
由于，所以，
同時可得，，
因此四邊形的面積，解得．
故答案為：

14．已知雙曲線：與拋物線：的焦點重合，過點作直線與拋物線交于、兩點（點在軸上方）且滿足，若直線只與雙曲線右支相交于兩點，則雙曲線的離心率的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由推導可得拋物線的焦半徑公式，進而可得，求得，由直線只與雙曲線右支相交于兩點，則,計算即可得解.
【詳解】設直線的傾斜角，直線與拋物線交于、兩點（點在軸上方），則為銳角，
焦點，準線，準線與軸交點記為，
過、分別向準線作垂線，垂足分別為、，過向作垂線，垂足為，
設直線與軸交點記為，過向軸作垂線，垂足為，
由拋物線的定義，
因為，所以，∴，
因為，
所以，
由，則，
由直線只與雙曲線右支相交于兩點，則，
則，
由，則．
故答案為：.
15．已知拋物線的焦點為，過的直線與拋物線交于兩點（在第一象限），若，則直線的斜率為 .
【答案】
【分析】法一：設出直線方程，，，聯立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，結合，，求出直線斜率；
法二：設直線與軸的夾角為，作出輔助線，得到，，利用得到方程，求出直線斜率.
【詳解】法一：設直線，，，，
由已知，聯立，故，
故有，結合得：；
法二：角度焦半徑公式：設直線與軸的夾角為，
得到拋物線的準線方程為，與y軸交于點T，
過點B作BM⊥準線交x軸于點N，作BE⊥y軸于點E，
則ET=BM，
由拋物線定義可得：，
其中，
故，解得：，
同理可得：，
因為，
所以，
設直線與軸夾角的正弦值為，正切值為，
由于在第一象限，，則.
故答案為：.
16．焦點為的拋物線上有不同的兩點，且滿足，若線段的中點到拋物線的準線的距離為，則 .
【答案】
【分析】拋物線的焦點，設，根據拋物線的定義可得，設直線方程為，與拋物線方程聯立求出，轉化為，建立的方程，進而求出，即可求解.
【詳解】法一：拋物線的焦點，準線方程為，
設，又，
三點共線，設其方程為，，
線段的中點到拋物線的準線的距離為，
，
聯立消去得，①
，
當時，方程①為，
解得或，，
同理.
法二：不妨設點在第一象限，作準線于點，
作準線于點，作準線于點，
∵，
∴.設直線的傾斜角為，
，
∴，∴.
故答案為：9
【點睛】本題考查拋物線方程和性質，以及直線與拋物線的位置關系，焦點弦要注意焦半徑公式的靈活應用，考查計算求解能力，屬于中檔題.
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