資源簡介

【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展95 圓錐曲線中的定直線問題（精講+精練）
一、定直線問題
定直線問題是指因圖形變化或點的移動而產生的動點在定直線上的問題，解決這類問題，一般可以套用求軌跡方程的通用方法，也可以根據其本身特點的獨特性采用一些特殊方法.
【一般策略】
①聯立方程消去參；
②挖掘圖形的對稱性，解出動點橫坐標或縱坐標；
③將橫縱坐標分別用參數表示，再消參；
④設點，對方程變形解得定直線.
解題技巧：動點在定直線上：題設為某動點在某定直線．
目標：需要消掉關于動點橫坐標或者縱坐標的所有參數，從而建立一個無參的直線方程，此時會分為三種情況：
（1），即動點恒過直線．
（2），即動點恒過直線．
（9），即動點恒過直線．
【典例1】設動直線與橢圓：有且只有一個公共點，過橢圓右焦點作的垂線與直線交于點，求證：點在定直線上，求出定直線的方程．
【解析】證明 ∵直線與橢圓相切，
聯立得．
∴．
∴．
切點坐標，，
即，
∴，．
∴方程為．
聯立，
∴，
解得．
∴在這條定直線上．
【題型訓練1-刷真題】
一、解答題
1．（22·29·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
【題型訓練2-刷模擬】
一、解答題
1．已知曲線．
(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．
(2)設，曲線C與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線與曲線C交于不同的兩點M，N．設直線AN與直線BM相交于點G．試問點G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．
2．已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點的直線與曲線交于兩點，直線與相交于．求證：點在定直線上．
9．已知橢圓過點，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知直線與橢圓交于不同的兩點P，Q，那么在x軸上是否存在點M，使且，若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．
4．已知A，B為橢圓左右兩個頂點，動點D是橢圓上異于A，B的一點，點F是右焦點．當點D的坐標為時，．
(1)求橢圓的方程．
(2)已知點C的坐標為，直線CD與橢圓交于另一點E，判斷直線AD與直線BE的交點P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請說明理由．
5．橢圓E的中心為坐標原點，坐標軸為對稱軸，左、右頂點分別為，，點在橢圓E上．
(1)求橢圓E的方程．
(2)過點的直線l與橢圓E交于P，Q兩點（異于點A，B），記直線AP與直線BQ交于點M，試問點M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請說明理由．
6．已知和是橢圓的左、右頂點，直線與橢圓相交于M，N兩點，直線不經過坐標原點，且不與坐標軸平行，直線與直線的斜率之積為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線OM與橢圓的另外一個交點為，直線與直線相交于點，直線PO與直線相交于點，證明：點在一條定直線上，并求出該定直線的方程．
7．已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過的焦點且與相切．
(1)求p的值：
(2)點M在的準線上，動點A在上，在A點處的切線l2交y軸于點B，設，求證：點N在定直線上，并求該定直線的方程．
8．已知雙曲線C：的離心率為，過點的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個不同的點（異于頂點）．
(1)若點P為線段MN的中點，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標原點）；
(2)若A，B為雙曲線的左右頂點，且，試判斷直線AN與直線BM的交點G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由
9．已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.當l經過C的焦點時，點A的坐標為.
(1)求C的方程；
(2)設OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.
10．已知橢圓的離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)當橢圓的焦點在x軸上時，直線與橢圓的一個交點為P（點P不在坐標軸上），點P關于x軸的對稱點為Q，經過點Q且斜率為的直線與l交于點M，點N滿足軸，軸，求證：點N在直線上．
11．已知點A為圓上任意一點，點的坐標為，線段的垂直平分線與直線交于點．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)設軌跡E與軸分別交于兩點（在的左側），過的直線與軌跡交于兩點，直線與直線的交于，證明：在定直線上．
12．在平面直角坐標系中，已知兩定點，，M是平面內一動點，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且．
(1)求動點M的軌跡；
(2)設過的直線交曲線于C，D兩點，Q為平面上一動點，直線QC，QD，QP的斜率分別為，，，且滿足．問：動點Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請說明理由．
19．已知拋物線的焦點為F，準線為l，記準線l與x軸的交點為A，過A作直線交拋物線C于，兩點．
(1)若，求的值；
(2)若M是線段AN的中點，求直線的方程；
(9)若P，Q是準線l上關于x軸對稱的兩點，問直線PM與QN的交點是否在一條定直線上？請說明理由．
14．過拋物線內部一點作任意兩條直線，如圖所示，連接延長交于點，當為焦點并且時，四邊形面積的最小值為92

(1)求拋物線的方程；
(2)若點，證明在定直線上運動，并求出定直線方程.
15．已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
16．已知拋物線，過點的兩條直線、分別交于、兩點和、兩點．當的斜率為時，．
(1)求的標準方程；
(2)設為直線與的交點，證明：點在定直線上．
17．已知拋物線E：（p>0），過點的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點．當l1的斜率為時，
(1)求E的標準方程：
(2)設G為直線AD與BC的交點，證明：點G必在定直線上．
【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展95 圓錐曲線中的定直線問題（精講+精練）
一、定直線問題
定直線問題是指因圖形變化或點的移動而產生的動點在定直線上的問題，解決這類問題，一般可以套用求軌跡方程的通用方法，也可以根據其本身特點的獨特性采用一些特殊方法.
【一般策略】
①聯立方程消去參；
②挖掘圖形的對稱性，解出動點橫坐標或縱坐標；
③將橫縱坐標分別用參數表示，再消參；
④設點，對方程變形解得定直線.
解題技巧：動點在定直線上：題設為某動點在某定直線．
目標：需要消掉關于動點橫坐標或者縱坐標的所有參數，從而建立一個無參的直線方程，此時會分為三種情況：
（1），即動點恒過直線．
（2），即動點恒過直線．
（9），即動點恒過直線．
【典例1】設動直線與橢圓：有且只有一個公共點，過橢圓右焦點作的垂線與直線交于點，求證：點在定直線上，求出定直線的方程．
【解析】證明 ∵直線與橢圓相切，
聯立得．
∴．
∴．
切點坐標，，
即，
∴，．
∴方程為．
聯立，
∴，
解得．
∴在這條定直線上．
【題型訓練1-刷真題】
一、解答題
1．（22·29·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；
（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，聯立直線方程，消去，結合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據此可證得點在定直線上.
【詳解】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
（2）由(1)可得，設，
顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，
與聯立可得，且，
則，

直線的方程為，直線的方程為，
聯立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據此可得點在定直線上運動.
【點睛】關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中根據設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數的關系可以簡化運算，是解題的關鍵.
【題型訓練2-刷模擬】
一、解答題
1．已知曲線．
(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．
(2)設，曲線C與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線與曲線C交于不同的兩點M，N．設直線AN與直線BM相交于點G．試問點G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．
【答案】(1)
(2)在定直線上，理由見詳解.
【分析】（1）由橢圓的標準方程計算即可；
（2）由對稱性分析該定直線為平行于橫軸的直線，將直線MN與橢圓聯立消，設直線AN、BM的方程解出G縱坐標，結合韋達定理化簡計算即可.
【詳解】（1）因為曲線C是橢圓，所以，解得；.
（2）是在定直線上，理由如下：
當時，此時橢圓，設點與直線l聯立得，
，且，
所以
易知，則，
兩式作商得是定值，
故G在定直線上.

2．已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點的直線與曲線交于兩點，直線與相交于．求證：點在定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用可整理得到軌跡方程；
（2）設，，表示出直線的方程，聯立后可整理得到，聯立與雙曲線方程可得韋達定理的結論，利用可整理得到所求定直線.
【詳解】（1），，，整理可得：，
又，曲線的方程為：.
（2）
由題意知：直線斜率不為，則可設，
設，
則直線，直線，
由得：，
由得：，則，即，
，，，
，解得：，
即點在定直線上.
【點睛】思路點睛：本題考查直線與雙曲線綜合應用中的定直線問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設直線方程，與雙曲線方程聯立，整理為關于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；
③利用韋達定理表示出已知中的等量關系，代入韋達定理可整理得到變量間的關系，消掉變量后可得定直線方程.
9．已知橢圓過點，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知直線與橢圓交于不同的兩點P，Q，那么在x軸上是否存在點M，使且，若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)詳見解析
【分析】（1）根據條件得到關于的方程組，即可求得橢圓方程；
（2）首先直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示線段中點坐標，再根據,以及，轉化為坐標表示，代入韋達定理后，即可求
【詳解】（1）由條件可知，，解得：，，
所以橢圓C的方程是；
（2）假設在軸上存在點，使且，
聯立，設，，
方程整理為，
，解得：或，
，，
則線段的中點的橫坐標是，中點縱坐標，
即中點坐標，，
則，即，化簡為，①
又,
則，，
整理為，
，
化簡為②
由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.
當時，，當時，，滿足，
所以存在定點,此時直線方程是，當定點,此時直線方程是.
4．已知A，B為橢圓左右兩個頂點，動點D是橢圓上異于A，B的一點，點F是右焦點．當點D的坐標為時，．
(1)求橢圓的方程．
(2)已知點C的坐標為，直線CD與橢圓交于另一點E，判斷直線AD與直線BE的交點P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)直線AD與直線BE的交點在定直線上
【分析】（1）由題意表示出，，可得，再由橢圓的定義求出，即可求出橢圓的方程；
（2）設，，的直線方程為，與橢圓聯立，由韋達定理得，，化積為和得，表示出直線AD和直線BE的方程的方程，計算可得，即可證明直線AD與直線BE的交點P是否在一定直線上
【詳解】（1）設橢圓的右焦點為，左焦點為，，
，解得，
∴，
∴，，，
∴橢圓的方程為．
（2）由題設，直線DE斜率一定存在，設的直線方程為．
聯立橢圓方程，消去得．
設，，則，．
∴，
又，，
∴直線AD的方程為，直線BE的方程為．
聯立得，
∴．
又∵，∴．
∴直線AD與直線BE的交點在定直線上．
5．橢圓E的中心為坐標原點，坐標軸為對稱軸，左、右頂點分別為，，點在橢圓E上．
(1)求橢圓E的方程．
(2)過點的直線l與橢圓E交于P，Q兩點（異于點A，B），記直線AP與直線BQ交于點M，試問點M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)點M在定直線上
【分析】（1）根據左右頂點及點在橢圓上列式求解寫書橢圓方程即可；
（2）先設直線方程再聯立方程組求韋達定理，再求兩個直線的交點，確定交點橫坐標即得.
【詳解】（1）設橢圓E的方程為．
則，解得，
故橢圓E的方程為．
（2）依題可設直線l的方程為，，，．
聯立方程組，整理得，
則，
直線AP的方程為，直線BQ的方程為，
聯立方程組，得
由，得，得．
所以.
故點M在定直線上．
6．已知和是橢圓的左、右頂點，直線與橢圓相交于M，N兩點，直線不經過坐標原點，且不與坐標軸平行，直線與直線的斜率之積為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線OM與橢圓的另外一個交點為，直線與直線相交于點，直線PO與直線相交于點，證明：點在一條定直線上，并求出該定直線的方程．
【答案】(1)
(2)證明見解析，定直線為
【分析】（1）設，，依題意可得，進而結合可得，從而求解；
（2）設直線的方程為：，聯立直線和橢圓方程，結合韋達定理可得，，結合三點共線可得，，進而得到，進而得到直線OP的方程，進而聯立直線OP與直線的方程即可求解.
【詳解】（1）設，，
所以，即，
由題意知，所以，
所以，
則橢圓的標準方程為．
（2）證明：設直線的方程為：，
聯立橢圓的方程，得，
所以，
則，
由根與系數的關系，得，，
設，
由P，S，三點共線，得，
由P，N，三點共線，得，
則
．
所以直線OP的斜率為，
則直線OP的方程為，
聯立直線OP與直線的方程，可得，解得，
所以點在一條定直線上，該定直線的方程為．
7．已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過的焦點且與相切．
(1)求p的值：
(2)點M在的準線上，動點A在上，在A點處的切線l2交y軸于點B，設，求證：點N在定直線上，并求該定直線的方程．
【答案】(1)；
(2)證明見解析，定直線方程為.
【分析】（1）設直線l1的方程為，再根據直線和圓相切求出的值得解；
（2）依題意設，求出切線l2的方程和B點坐標，求出， ，即得證.
【詳解】（1）由題得拋物線的焦點坐標為，
設直線l1的方程為，
由已知得圓的圓心，半徑，
因為直線l1與圓相切，
所以圓心到直線的距離，
即，解得或（舍去）．
所以.
（2）依題意設，由（1）知拋物線方程為，
所以，所以，設A，），則以A為切點的切線l2的斜率為
所以切線l2的方程為．
令，即l2交y軸于B點坐標為，
所以，
∴，
∴．
設N點坐標為（x，y），則，
所以點N在定直線上．

8．已知雙曲線C：的離心率為，過點的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個不同的點（異于頂點）．
(1)若點P為線段MN的中點，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標原點）；
(2)若A，B為雙曲線的左右頂點，且，試判斷直線AN與直線BM的交點G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由
【答案】(1)1
(2)是在定直線上，定直線
【分析】（1）根據題意列出方程組得到，設，，，利用點差法即可求解；
（2）根據（1）的結論得出，，設直線l：，，設，，聯立直線與曲線方程，利用韋達定理聯立直線與直線的方程得出，進而得證.
【詳解】（1）由題意得，所以，
設，，，
則，
作差得，
又MN的斜率，，
所以.
（2）∵，∴，，，
直線l：，，
設，，
聯立得，
所以，所以，
設直線AN：，BM：，
所以，
所以．故存在定直線，使直線AN與直線BM的交點G在定直線上．
9．已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.當l經過C的焦點時，點A的坐標為.
(1)求C的方程；
(2)設OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由點A的坐標求得，結合雙曲線的定義求得，進一步計算得出雙曲線的方程即可；
（2）設直線PQ的方程為，與雙曲線聯立得出韋達定理，結合兩個向量共線的坐標表示求得，得到直線l的方程.
【詳解】（1）由已知C：，點A的坐標為，得，
焦點，，.
所以，，故C：.
（2）設l的方程為，則，故，
由已知直線PQ斜率存在，設直線PQ的方程為，故.
與雙曲線方程聯立得：，
由已知得，，設，，
則，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直線l：滿足條件.
10．已知橢圓的離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)當橢圓的焦點在x軸上時，直線與橢圓的一個交點為P（點P不在坐標軸上），點P關于x軸的對稱點為Q，經過點Q且斜率為的直線與l交于點M，點N滿足軸，軸，求證：點N在直線上．
【答案】(1)或
(2)證明見解析
【分析】（1）分焦點在軸和軸上兩種情況求橢圓方程即可；
（2）聯立橢圓和直線的方程得到點的坐標，根據點和點的對稱關系得到點的坐標，即可得到經過點的直線方程，然后聯立直線方程得到點的橫坐標，即可得到點的坐標，最后根據點橫縱坐標的關系即可證明點在直線上.
【詳解】（1）當橢圓的焦點在軸上時，，解得，，所以此時橢圓方程為
；
當橢圓的焦點在軸上時，，所以，解得，所以此時橢圓方程為.
（2）
由題意得，橢圓方程為，聯立得，
設點，則，所以，故，，
所以經過點且斜率為的直線方程為，
聯立得，所以，，,
又，所以點在直線上.
11．已知點A為圓上任意一點，點的坐標為，線段的垂直平分線與直線交于點．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)設軌跡E與軸分別交于兩點（在的左側），過的直線與軌跡交于兩點，直線與直線的交于，證明：在定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意推出，結合雙曲線定義即可求得答案；
（2）設出直線l的方程，聯立雙曲線方程，得到根與系數的關系，表示出直線和的方程，推得，結合根與系數的關系化簡，即可證明結論.
【詳解】（1）由得，其半徑為4，
因為線段的垂直平分線與直線交于點，

故，則,
而，故點的軌跡為以為焦點的雙曲線，
則，
故點的軌跡的方程為.
（2）證明：由題意知，

若直線l斜率為0，則其與雙曲線的交點為雙曲線的兩頂點，不合題意；
故直線l的斜率不能為0，故設其方程為，
聯立，得，，
故，
設，則直線的方程為，
直線的方程為，
故，
則，
即，解得，
故直線與直線的交點在定直線上.
【點睛】難點點睛：本題考查了利用雙曲線定義求解雙曲線方程以及直線和雙曲線的位置關系中的點在定直線上的問題，難點在于證明直線與直線的交點在定直線上，解答時要設直線方程，利用根與系數的關系進行化簡，計算過程比較復雜，且大都是關于字母參數的運算，要十分細心.
12．在平面直角坐標系中，已知兩定點，，M是平面內一動點，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且．
(1)求動點M的軌跡；
(2)設過的直線交曲線于C，D兩點，Q為平面上一動點，直線QC，QD，QP的斜率分別為，，，且滿足．問：動點Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)在定直線y＝8（x≠0）上．
【詳解】（1）設，則，由題意知－4＜x＜4．
∵，∴，即，故動點M的軌跡為．
（2）存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．理由如下：
當直線CD的斜率存在時，設直線CD的方程為y＝kx＋1．
設，，，則，，，由此知．
將y＝kx＋1代入，得，于是
，．①
條件即，也即．
將，代入得．
顯然不在直線y＝kx＋1上，∴，從而得，即．
將，代入得．將式①代入得
，解得．
當直線CD的斜率不存在時，經檢驗符合題意．
因此存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．
【反思】由于關于橢圓的極線是直線y＝8，若恒成立，由命題5知點Q在極線y＝8上，因此存在滿足題意的Q，其軌跡為y＝8（x≠0）．本題實質是命題5的逆向應用．
19．已知拋物線的焦點為F，準線為l，記準線l與x軸的交點為A，過A作直線交拋物線C于，兩點．
(1)若，求的值；
(2)若M是線段AN的中點，求直線的方程；
(9)若P，Q是準線l上關于x軸對稱的兩點，問直線PM與QN的交點是否在一條定直線上？請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(9)在定直線上，理由見解析
【分析】（1）根據焦半徑公式即可求出；
（2）設直線MN的方程，與拋物線聯立即可利用M是線段AN的中點求出m，從而求出直線的方程；
（9）設，即可求出直線PM與QN的方程，聯立即可解出交點，從而可以判斷交點在定直線上．
【詳解】（1）根據題意，得
因為拋物線，所以準線為，
所以；
（2）由題意可知，直線的斜率不為0，故設直線的方程，
聯立，消去，可得，
所以，即，，，
而M是線段AN的中點，所以，故，
解得，故，解得，
所以直線MN的方程為，即；
（9）直線MN的方程，設，
則，，
聯立消去可得：，即，整理得：，
將，代入得，故，，
所以直線PM與QN的交點在定直線上．
14．過拋物線內部一點作任意兩條直線，如圖所示，連接延長交于點，當為焦點并且時，四邊形面積的最小值為92

(1)求拋物線的方程；
(2)若點，證明在定直線上運動，并求出定直線方程.
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【分析】（1）設直線，聯立方程組求得，利用弦長公式，分別求得，得到，結合基本不等式，即可求解；
（2）由和共線，得到，，又由和共線，得到和，進而得到，即可求解.
【詳解】（1）解：設，
設直線，聯立方程組，整理得，
可得，
所以，
同理可得，
所以，當且僅當時取等號，
所以，所以拋物線的方程為.
（2）解：當為時，，
由共線，可得，可得 ①，
同理由共線 ②
又由共線，可得，所以 ③
同理由共線，可得 ④
由①③得，
即 ⑤
又由②④得，
即 ⑥
由⑤⑥得，
即，即，所以在上.

15．已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；
（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，聯立直線方程，消去，結合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據此可證得點在定直線上.
【詳解】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
（2）由(1)可得，設，
顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，
與聯立可得，且，
則，

直線的方程為，直線的方程為，
聯立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據此可得點在定直線上運動.
【點睛】關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中根據設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數的關系可以簡化運算，是解題的關鍵.
16．已知拋物線，過點的兩條直線、分別交于、兩點和、兩點．當的斜率為時，．
(1)求的標準方程；
(2)設為直線與的交點，證明：點在定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）當直線的斜率為時，寫出直線的方程，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，利用弦長公式可得出關于的方程，結合可求出的值，即可得出拋物線的標準方程；
（2）分析可知直線、都不與軸重合，設直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯立，設、，由韋達定理可得，同理可得出，寫出直線、的方程，求出這兩條直線的交點的橫坐標，即可證得結論成立.
【詳解】（1）解：當直線的斜率為時，直線的方程為，設點、，
聯立可得，
，因為，可得，
由韋達定理可得，，
，
整理可得，解得或（舍去），
因此，拋物線的方程為.
（2）證明：當直線與軸重合時，直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，
所以，直線不與軸重合，同理可知直線也不與軸重合，
設直線的方程為，聯立可得，
則可得，
設點、，由韋達定理可得，
設直線的方程為，設點、，同理可得，
直線的方程為，即，
化簡可得，
同理可知，直線的方程為，
因為點在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，

交點必在垂直于軸的直線上，所以只需證明點的橫坐標為定值即可，
由，消去，
因為直線與相交，則，
解得
，
所以，點的橫坐標為，因此，直線與的交點必在定直線上.
17．已知拋物線E：（p>0），過點的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點．當l1的斜率為時，
(1)求E的標準方程：
(2)設G為直線AD與BC的交點，證明：點G必在定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據直線的點斜式方程寫出直線方程，與拋物線聯立方程，利用弦長公式，求出的值，從而求出拋物線的標準方程；
（2）設直線方程為或，與拋物線聯立方程，由韋達定理得出，，求出直線方程和直線方程，求出交點的橫坐標，然后進行化簡，可以證明結論.
【詳解】（1）當的斜率為時，得方程為，
由,消元得，，，；
由弦長公式得，
即，解得或（舍去），滿足，
從而的標準方程為.
（2）法一：因為l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點，所以直線斜率存在
設直線的方程為，設，
由，消去得，則.
設直線的方程為，
同理，消去得可得．
直線方程為，即，
化簡得，
同理，直線方程為，
因為在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標為定值即可．
由消去，
因為直線與相交，所以，
解得，
所以點的橫坐標為2，即直線與的交點在定直線上．
法二：設直線方程為，由消去得，
設，則．
設直線的方程為，
同理可得．
直線方程為，即，
化簡得，
同理，直線方程為，．
因為在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標為定值即可．
由消去，
因為直線與相交，所以，
解得，
所以點的橫坐標為2，即直線與的交點在定直線上．
【點睛】關鍵點點睛：本題中的證明問題的關鍵是：設出直線的橫截距或者縱截距方程，聯立拋物線，結合韋達定理，把目標逐步化簡，得出待證明的結論.
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