資源簡介

【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展92 橢圓、雙曲線中的焦點三角形問題（精講+精練）
一、橢圓、雙曲線中的焦點三角形面積公式
1.如圖1所示，、是橢圓的焦點，設P為橢圓上任意一點，記，則的面積.
證明：如圖，由余弦定理知． ①
由橢圓定義知：， ②
則②·2－①得，．
當時，．
2.如圖2所示，、是雙曲線的焦點，設P為雙曲線上任意一點，記，則的面積.
證明：如圖，由余弦定理知，
，
，
，，
∴．
當時，．
二、橢圓、雙曲線的焦點三角形中的離心率
1．如圖1所示，在焦點三角形背景下求橢圓的離心率，一般結合橢圓的定義，關鍵是運用已知條件研究出的三邊長之比或內角正弦值之比.
公式：
2.如圖2所示，在焦點三角形背景下求雙曲線的離心率，一般結合雙曲線的定義，關鍵是運用已知條件研究出的三邊長之比或內角正弦值之比.
公式：.
【典例1】設、是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，，則的面積為________.
【解析】由焦點三角形面積公式，.
【典例2】已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點P在C上，且，則的面積為________.
【解析】由焦點三角形面積公式，.
【典例9】（2018·新課標Ⅱ卷）已知、是橢圓C的兩個焦點，P是橢圓C上的一點，若，且，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法1：如圖，， ，故可設，則，，
所以C的離心率.
解法2：如圖，.
【典例4】已知、是雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，且，則雙曲線C的離心率為_______.
【解析】解法1：如圖，由題意，不妨設，則，，
所以.
解法2：如圖，由題意，，，所以.
【題型訓練-刷模擬】
1.橢圓中的焦點三角形
①離心率公式的直接應用
一、填空題
1.設、是橢圓的左、右焦點，P在C上且軸，若，則橢圓C的離心率為_______.
2.在中，，，則以B、C為焦點，且經過點A的橢圓的離心率為_______.
9.過橢圓的左焦點作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點，橢圓的右焦點為，若，則橢圓的離心率為_______.
4.在中，，，且，若以B、C為焦點的橢圓經過點A，則該橢圓的離心率的取值范圍為_______.
5.在中，，，則以A、B為焦點，且經過點P的橢圓的離心率為_______.
6.設、是橢圓的左、右焦點，點P在C上，且，，則橢圓C的離心率為_______.
7.在中，，，，若以B、C為焦點的橢圓經過點A，則該橢圓的離心率為_______.
8.過橢圓的左焦點F作x軸的垂線交橢圓C于A、B兩點，若是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為_______.
9.設、是橢圓的左、右焦點，過且斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點，，則橢圓C的離心率為_______.
10.設、是橢圓的左、右焦點，以為直徑的圓與橢圓的4個交點和、恰好構成一個正六邊形，則橢圓E的離心率為_______.
11.已知P、Q為橢圓上關于原點對稱的兩點，點P在第一象限，、是橢圓C的左、右焦點，，若，則橢圓C的離心率的取值范圍為_______.
②綜合應用
一、單選題
1．設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
2．已知、是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則實數的值為（ ）
A．9 B．4 C．5 D．6
9．已知，分別為橢圓的兩個焦點，為橢圓上的一點，則內切圓半徑的最大值為（ ）
A． B． C． D．
4．已知點在橢圓上，點分別為橢圓的左 右焦點，并滿足面積等于4，則等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．已知一個離心率為，長軸長為4的橢圓，其兩個焦點為，，在橢圓上存在一個點P，使得，設的內切圓半徑為r，則r的值為（ ）
A． B． C． D．
6．已知是橢圓E的兩個焦點，P是E上的一點，若，且，則E的離心率為（　　）
A． B． C． D．
7．設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
8．，是橢圓C的兩個焦點，P是橢圓C上異于頂點的一點，I是的內切圓圓心，若的面積等于的面積的4倍，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
9．設F1，F2是橢圓C： =1(a>b>0)的左、右焦點，O為坐標原點，點P在橢圓C上，延長PF2交橢圓C于點Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面積為，則=（ ）
A． B． C． D．
10．已知，分別是橢圓的左，右焦點，若在橢圓上存在點，使得的面積等于，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
11．已知，分別是橢圓E：（）的左、右焦點，點M在橢圓E上，，的面積為，則橢圓E的離心率e的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
12．已知是橢圓的左 右焦點，點是橢圓上的一個動點，若的內切圓半徑的最大值是，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
19．已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率為，點在橢圓上，若，則的面積為 ．
14．為橢圓上的一點,和是其左右焦點,若,則的面積為 .
15．設點是橢圓上的點，，是該橢圓的兩個焦點，若的面積為，則 ．
16．已知點是橢圓上的點，點是橢圓的兩個焦點，若中有一個角的大小為，則的面積為 ．
17．已知橢圓的兩個焦點分別為，，，點在橢圓上，若，且的面積為4，則橢圓的標準方程為 ．
18．已知橢圓C:的焦點為，，第一象限點P在C上，且，則的內切圓半徑為 .
19．已知橢圓的兩個焦點分別為、，離心率為，點在橢圓上，若，且的面積為，則的方程為 ．
20．是橢圓的兩個焦點，是橢圓上異于頂點的一點，是的內切圓圓心，若的面積等于的面積的9倍，則橢圓的離心率為 .
21．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點使三角形的面積為，則橢圓的離心率的取值范圍是 ．
2.雙曲線中的焦點三角形
①離心率公式的直接應用
一、單選題
1.已知、是雙曲線的左、右焦點，點M在E上，與x軸垂直，，則E的離心率為（ ）
A. B. C. D.2
二、填空題
2.已知、是雙曲線的左、右焦點，過且與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為_______.
9.已知、是雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，，則雙曲線C的離心率為_______.
4.已知、是雙曲線的左、右焦點，過且與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若是正三角形，則雙曲線C的離心率為_______.
5.過雙曲線的左焦點F作x軸的垂線交C于A、B兩點，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為_______.
②綜合應用
一、單選題
1．已知：雙曲線的左、右焦點分別為，，點為其右支上一點，若，則的面積是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知雙曲線：的左 右焦點分別是，，是雙曲線上的一點，且，，，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
9．設，是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線上一點，且，則的面積等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
4．設F1，F2是雙曲線C:的兩個焦點，P是雙曲線C上一點，若，且△PF1F2的面積為9，則C的離心率等于（ ）
A． B．2 C． D．
5．設、分別是雙曲線的左、右焦點，過作軸的垂線與相交于、兩點，若為正三角形，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．已知是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
7．已知雙曲線的左右焦點分別為，若雙曲線上一點P使得，求的面積（ ）
A． B． C． D．
8．已知雙曲線的左 右焦點分別為，點是上的一點（不同于左，右頂點），且，則的面積是（ ）
A．2 B．9 C． D．
9．設，是雙曲線的左 右焦點，過的直線交雙曲線的左支于，兩點，若直線為雙曲線的一條漸近線，，則的值為（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
10．已知過雙曲線的左焦點的直線分別交雙曲線左 右兩支于兩點，為雙曲線的右焦點，，則雙曲線的離心率（ ）
A．2 B． C． D．
11．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作一條直線與雙曲線右支交于、兩點，坐標原點為，若，，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
12．若雙曲線的左 右焦點分別為，點M在雙曲線上，若的周長為20，則的面積等于 .
19．雙曲線上一點與兩焦點，的連線互相垂直，則的面積是 .
14．雙曲線的左、右焦點分別為、，過的直線交雙曲線于A，B兩點，A，B分別位于第一、二象限，為等邊三角形，則雙曲線的離心率e為 .
15．已知雙曲線的焦點為F，O為坐標原點，P為C上一點，且為正三角形，則雙曲線的離心率為 ．
16．橢圓與漸近線為的雙曲線有相同的焦點，P為它們的一個公共點，且，則橢圓的離心率為 .
17．已知雙曲線C：的左右焦點分別為，，點A在C上，點B在y軸上，，，則C的離心率為 ．
【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展92 橢圓、雙曲線中的焦點三角形問題（精講+精練）
一、橢圓、雙曲線中的焦點三角形面積公式
1.如圖1所示，、是橢圓的焦點，設P為橢圓上任意一點，記，則的面積.
證明：如圖，由余弦定理知． ①
由橢圓定義知：， ②
則②·2－①得，．
當時，．
2.如圖2所示，、是雙曲線的焦點，設P為雙曲線上任意一點，記，則的面積.
證明：如圖，由余弦定理知，
，
，
，，
∴．
當時，．
二、橢圓、雙曲線的焦點三角形中的離心率
1．如圖1所示，在焦點三角形背景下求橢圓的離心率，一般結合橢圓的定義，關鍵是運用已知條件研究出的三邊長之比或內角正弦值之比.
公式：
2.如圖2所示，在焦點三角形背景下求雙曲線的離心率，一般結合雙曲線的定義，關鍵是運用已知條件研究出的三邊長之比或內角正弦值之比.
公式：.
【典例1】設、是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，，則的面積為________.
【解析】由焦點三角形面積公式，.
【典例2】已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點P在C上，且，則的面積為________.
【解析】由焦點三角形面積公式，.
【典例9】（2018·新課標Ⅱ卷）已知、是橢圓C的兩個焦點，P是橢圓C上的一點，若，且，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法1：如圖，， ，故可設，則，，
所以C的離心率.
解法2：如圖，.
【典例4】已知、是雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，且，則雙曲線C的離心率為_______.
【解析】解法1：如圖，由題意，不妨設，則，，
所以.
解法2：如圖，由題意，，，所以.
【題型訓練-刷模擬】
1.橢圓中的焦點三角形
①離心率公式的直接應用
一、填空題
1.設、是橢圓的左、右焦點，P在C上且軸，若，則橢圓C的離心率為_______.
【答案】
【解析】如圖，且，故可設，則，，
所以橢圓C的離心率.
解法2：如圖，
2.在中，，，則以B、C為焦點，且經過點A的橢圓的離心率為_______.
【答案】
【解析】如圖，不妨設，，
則，所以.
解法2：如圖，
.
9.過橢圓的左焦點作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點，橢圓的右焦點為，若，則橢圓的離心率為_______.
【答案】
【解析】解法1：如圖，
，
不妨設，，則，所以.
解法2：如圖，
.
4.在中，，，且，若以B、C為焦點的橢圓經過點A，則該橢圓的離心率的取值范圍為_______.
【答案】
【解析】解析：如圖，設
則，
，
而，所以.
5.在中，，，則以A、B為焦點，且經過點P的橢圓的離心率為_______.
【答案】
【解析】如圖，由題意，不妨設，
則，，所以.
6.設、是橢圓的左、右焦點，點P在C上，且，，則橢圓C的離心率為_______.
【答案】
【解析】如圖，，
，
所以，
故.
7.在中，，，，若以B、C為焦點的橢圓經過點A，則該橢圓的離心率為_______.
【答案】
【解析】
橢圓的離心率.
8.過橢圓的左焦點F作x軸的垂線交橢圓C于A、B兩點，若是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為_______.
【答案】
【解析】如圖，設橢圓C的右焦點為，是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，不妨設，則，，
所以橢圓C的離心率.
解法2：是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，
.
9.設、是橢圓的左、右焦點，過且斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點，，則橢圓C的離心率為_______.
【答案】
【解析】解法l：如圖，直線的斜率為，
又，所以，，
不妨設，則，，
所以橢圓C的離心率.
解法2：如圖，直線的斜率為，
又，所以，，
故橢圓C的離心率.
10.設、是橢圓的左、右焦點，以為直徑的圓與橢圓的4個交點和、恰好構成一個正六邊形，則橢圓E的離心率為_______.
【答案】
【解析】如圖，由題意，是正六邊形，所以，，，故橢圓E的離心率.
11.已知P、Q為橢圓上關于原點對稱的兩點，點P在第一象限，、是橢圓C的左、右焦點，，若，則橢圓C的離心率的取值范圍為_______.
【答案】
【解析】如圖，
顯然四邊形是矩形，所以，
由題意，，所以，
設，則，所以，
又點P在第一象限，所以，
故，即，所以，
橢圓C的離心率
，
由可得，所以，故.
②綜合應用
一、單選題
1．設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】方法一：根據焦點三角形面積公式求出的面積，即可解出；
方法二：根據橢圓的定義以及勾股定理即可解出．
【詳解】方法一：因為，所以，
從而，所以．
故選：B.
方法二：
因為，所以，由橢圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
2．已知、是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則實數的值為（ ）
A．9 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根據橢圓的性質、三角形面積公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.
【詳解】由題意，，，即，，
整理可得，，則，解得.
故選：A.
9．已知，分別為橢圓的兩個焦點，為橢圓上的一點，則內切圓半徑的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由橢圓定義得到，從而利用面積列出方程，得到，求出的內切圓半徑的最大值.
【詳解】設內切圓的半徑為，
由題意得：，，，故，
因為為橢圓上的一點，故，
所以，
又，
則，所以．
故選：C
4．已知點在橢圓上，點分別為橢圓的左 右焦點，并滿足面積等于4，則等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根據，得到三點共圓，且，再根據面積等于4，結合橢圓的定義求解.
【詳解】如圖所示：
由條件可知三點共圓.
且以為直徑.故.
設，
則，
解得.
因為點在橢圓上，
所以，
聯立以上式子可解得：
，
故選：C.
5．已知一個離心率為，長軸長為4的橢圓，其兩個焦點為，，在橢圓上存在一個點P，使得，設的內切圓半徑為r，則r的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在中，利用余弦定理求得，再由求解.
【詳解】解：因為橢圓的離心率為，長軸長為4，
所以，
在中，由余弦定理得：，
，
解得 ，
所以 ，
，
解得，
故選：D
6．已知是橢圓E的兩個焦點，P是E上的一點，若，且，則E的離心率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由得焦點三角形為直角三角形，結合勾股定理與橢圓定義可得，再由面積公式可得齊次方程，進而求出離心率
【詳解】由得，則，
由橢圓定義可知：，
所以，即，
所以，
又，所以，即，
故E的離心率為.
故選：C.
7．設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根據焦點三角形面積公式求出的面積，即可得到點的坐標，從而得出的值；
方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結合中線的向量公式以及數量積即可求出；
方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據中線定理求出．
【詳解】方法一：設，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因為①，，
即②，聯立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因為①，，
即②，聯立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
8．，是橢圓C的兩個焦點，P是橢圓C上異于頂點的一點，I是的內切圓圓心，若的面積等于的面積的4倍，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，的周長為l，由橢圓的定義可得，根據面積法求得的內切圓半徑，又的面積等于的面積的4倍，列出方程可得的關系，從而可得離心率.
【詳解】設橢圓方程為： ， ，是橢圓C的兩個焦點，P是橢圓C上異于頂點的一點，
設，，，的周長為l，由橢圓的定義可得，
的內切圓半徑，，
所以 解得： ，即離心率.
故選：A
9．設F1，F2是橢圓C： =1(a>b>0)的左、右焦點，O為坐標原點，點P在橢圓C上，延長PF2交橢圓C于點Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面積為，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用焦點三角形的面積公式及橢圓的定義可得，進一步得F1PQ為等邊三角形，且軸，從而可得解.
【詳解】由橢圓的定義，，
由余弦定理有：
，
化簡整理得：，
又，
由以上兩式可得：
由，得，∴，
又，所以F1PQ為等邊三角形，由橢圓對稱性可知軸，
所以.
故選：B.
10．已知，分別是橢圓的左，右焦點，若在橢圓上存在點，使得的面積等于，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形的面積公式，結合橢圓的定義和基本不等式求解即可.
【詳解】由題意得，
而，則有，
由橢圓定義可得，當且僅當，即時取等號，
于是有，則，又，即有，所以橢圓的離心率的取值范圍為.
故選：A.
11．已知，分別是橢圓E：（）的左、右焦點，點M在橢圓E上，，的面積為，則橢圓E的離心率e的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由橢圓的定義與三角形的面積公式即可列出關于，的方程，利用基本不等式即可列出關于a，c的不等式，即可求出離心率e的取值范圍；
【詳解】由橢圓的定義知，，
∵，
∴，
∵，
當且僅當時取等號，
∴，故，即，
∴，又，
∴，
故選：D．
12．已知是橢圓的左 右焦點，點是橢圓上的一個動點，若的內切圓半徑的最大值是，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依題意可得，，，設內切圓的半徑為，根據等面積法得到，即可得到的最大值，從而求出，即可求出橢圓的離心率；
【詳解】解：由橢圓，可得，，，則，
如圖，
設內切圓的半徑為，
，
，則，
要使內切圓半徑最大，則需最大，
，
又內切圓半徑的最大值為，即，解得，所以．
則橢圓的離心率
故選：B．
二、填空題
19．已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率為，點在橢圓上，若，則的面積為 ．
【答案】9
【分析】根據已知可得，，.根據橢圓的定義有，根據有.即可求出，進而求出三角形的面積.
【詳解】
由已知可得，，，所以，.
因為點在橢圓上，由橢圓的定義可得，，
所以.
又，所以為直角三角形，則，
所以，所以.
故答案為：9.
14．為橢圓上的一點,和是其左右焦點,若,則的面積為 .
【答案】
【分析】先利用橢圓定義和余弦定理證明焦點三角形的面積公式,再代入數據計算即可.
【詳解】設,由橢圓定義
在中,由余弦定理得.
即
所以,,所以
故.
由題知
故答案為：
15．設點是橢圓上的點，，是該橢圓的兩個焦點，若的面積為，則 ．
【答案】
【分析】在中，利用余弦定理結合橢圓的定義建立含的關系等式，再與三角形面積關系聯立即可求解.
【詳解】在橢圓中，長半軸，半焦距，由橢圓定義得，
在中，由余弦定理得：，
即：，則，
又的面積為，則，即，
于是得，兩邊平方得，
解得，則，
所以.
故答案為：
16．已知點是橢圓上的點，點是橢圓的兩個焦點，若中有一個角的大小為，則的面積為 ．
【答案】或/或
【分析】由橢圓方程可求得；當時，由焦點三角形面積公式可求得；當時，利用余弦定理可構造方程求得，由三角形面積公式可得結果.
【詳解】由橢圓方程知：，，則；
若，則；
若，設，則，
由余弦定理得：，解得：，
；
同理可得：當時，.
綜上所述：的面積為或.
故答案為：或.
17．已知橢圓的兩個焦點分別為，，，點在橢圓上，若，且的面積為4，則橢圓的標準方程為 ．
【答案】
【分析】由題意得到為直角三角形．設，，根據橢圓的離心率，定義，直角三角形的面積公式，勾股定理建立方程的方程組，消元后可求得的值.
【詳解】由題可知，∴,
又，代入上式整理得，
由得為直角三角形．
又的面積為4，設，，
則解得
所以橢圓的標準方程為．
18．已知橢圓C:的焦點為，，第一象限點P在C上，且，則的內切圓半徑為 .
【答案】
【分析】由題意列方程組解出點坐標，由面積與周長關系求內切圓半徑
【詳解】由已知條件得，，，則（－1，0），（1，0）.
設點P的坐標為（，），則，
，即①，
∵第一象限點P在C上，
∴則，即②，
聯立解得
由橢圓的定義得
設的內切圓半徑為r，則
又∵，
∴，即.
故答案為：
19．已知橢圓的兩個焦點分別為、，離心率為，點在橢圓上，若，且的面積為，則的方程為 ．
【答案】
【分析】利用橢圓的定義、余弦定理結合三角形的面積公式可求得的值，結合橢圓的離心率可求得的值，即可得出橢圓的方程.
【詳解】設，，由橢圓的定義可得，
由余弦定理可得
，
所以，，則，
所以，，又因為，可得.
因此，橢圓的方程為.
故答案為：.
20．是橢圓的兩個焦點，是橢圓上異于頂點的一點，是的內切圓圓心，若的面積等于的面積的9倍，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【分析】先由求得，再利用求得，即可求出離心率.
【詳解】
由于橢圓關于原點對稱，不妨設點在軸上方.設點縱坐標為，點縱坐標為，內切圓半徑為，橢圓長軸長為，焦距為，
則，得，又，
即，又，化簡得，即，
解得，可得離心率為.
故答案為：.
21．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點使三角形的面積為，則橢圓的離心率的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】設則，可得，再結合
即可求得范圍.
【詳解】設，，，
則，
若存在點使三角形的面積為，
則，可得，
因為，所以，
即，可得，
整理可得：，
所以，解得：，
所以，
所以橢圓的離心率的取值范圍是：，
故答案為：
2.雙曲線中的焦點三角形
①離心率公式的直接應用
一、單選題
1.已知、是雙曲線的左、右焦點，點M在E上，與x軸垂直，，則E的離心率為（ ）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】解法1：如圖，不妨設，，
則，所以.
解法2：
.
二、填空題
2.已知、是雙曲線的左、右焦點，過且與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為_______.
【答案】
【解析】解法1：是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，
不妨設，則，雙曲線C的離心率.
解法2：是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，
所以.
9.已知、是雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，，則雙曲線C的離心率為_______.
【答案】
【解析】如圖，由題意，，，
所以.
4.已知、是雙曲線的左、右焦點，過且與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若是正三角形，則雙曲線C的離心率為_______.
【答案】
【解析】解法1：如圖，是正三角形，不妨設，則，，
離心率.
解法2：如圖，是正三角形，，，
所以雙曲線C的離心率.
5.過雙曲線的左焦點F作x軸的垂線交C于A、B兩點，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為_______.
【答案】
【解析】如圖，設雙曲線C的右焦點為，
是等腰直角三角形也是等腰直角三角形，
不妨設，則，，
所以C的離心率.
②綜合應用
一、單選題
1．已知：雙曲線的左、右焦點分別為，，點為其右支上一點，若，則的面積是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據雙曲線中，焦點三角形的面積公式求解即可.
【詳解】由雙曲線焦點三角形面積公式可得：
故選：C.
【點睛】本題考查雙曲線焦點三角形面積的求解，屬基礎題.
2．已知雙曲線：的左 右焦點分別是，，是雙曲線上的一點，且，，，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據且，，，利用余弦定理求得c，再利用雙曲線的定義求得a即可.
【詳解】解：設雙曲線的半焦距為.
由題意，點在雙曲線的右支上，，，
由余弦定理得，
解得，即，，
根據雙曲線定義得，
解得，
故雙曲線的離心率.
故選：D
9．設，是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線上一點，且，則的面積等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】A
【分析】利用雙曲線定義結合已知求出及，再求出焦距即可計算作答.
【詳解】雙曲線的實半軸長，半焦距，因此，，
因，由雙曲線定義得，解得，，
顯然有，即是直角三角形，
所以的面積.
故選：A
4．設F1，F2是雙曲線C:的兩個焦點，P是雙曲線C上一點，若，且△PF1F2的面積為9，則C的離心率等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由已知條件，結合雙曲線的簡單性質求出，由此可求出雙曲線的離心率.
【詳解】因為F1，F2是雙曲線C:的兩個焦點，P是雙曲線C上一點，若，且△PF1F2的面積為9，
所以，解得，
所以，得，
故雙曲線的離心率為.
故選：C.
5．設、分別是雙曲線的左、右焦點，過作軸的垂線與相交于、兩點，若為正三角形，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出，利用雙曲線的定義求出，進而可求得，利用勾股定理可求出的值，由此可得出雙曲線的離心率的值.
【詳解】設，因為軸，則點、關于軸對稱，則為線段的中點，

因為為等邊三角形，則，所以，，
所以，，則，
所以，，則，
因此，該雙曲線的離心率為.
故選：D.
6．已知是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據，，利用余弦定理可得，再由雙曲線定義可得，由離心率定義可得.
【詳解】如下圖所示：
根據題意可設，易知；
由余弦定理可知，可得；
即，
由雙曲線定義可知可知，即；
所以離心率.
故選：A
7．已知雙曲線的左右焦點分別為，若雙曲線上一點P使得，求的面積（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先根據雙曲線方程得到，，，設，，可得，. 由，在根據余弦定理可得:，即可求得答案.
【詳解】，所以，，，
在雙曲線上，設，，
①
由，在根據余弦定理可得:
故②
由①②可得，
直角的面積
故選：C.
8．已知雙曲線的左 右焦點分別為，點是上的一點（不同于左，右頂點），且，則的面積是（ ）
A．2 B．9 C． D．
【答案】D
【分析】由結合正弦定理求得，又由雙曲線的定義求出，
再結合余弦定理和面積公式求出的面積即可.
【詳解】在中，由正弦定理得，，又，所以，
又，所以.由余弦定理可得，，
所以，所以的面積.
故選：D.
9．設，是雙曲線的左 右焦點，過的直線交雙曲線的左支于，兩點，若直線為雙曲線的一條漸近線，，則的值為（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【分析】根據雙曲線的標準方程可得,再由雙曲線的定義可得，得到,再根據得到答案.
【詳解】根據雙曲線的標準方程，
得,由直線為雙曲線的一條漸近線，
得,解得,得.
由雙曲線的定義可得①，
②，
①②可得,
因為過雙曲線的左焦點的直線交雙曲線的左支于,兩點,
所以,得.
故選：C.

10．已知過雙曲線的左焦點的直線分別交雙曲線左 右兩支于兩點，為雙曲線的右焦點，，則雙曲線的離心率（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意結合雙曲線的定義可得，進而在中，利用余弦定理運算求解.
【詳解】因為，不妨設，
由，可得，

由雙曲線的定義可得，，
即，，則，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，則，所以．故選：B．
11．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作一條直線與雙曲線右支交于、兩點，坐標原點為，若，，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出圖形，分析可知為直角三角形，設，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出該雙曲線的離心率的值.
【詳解】如下圖所示：
因為，則，，
所以，，
因為，則，
設，則，則，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因為，解得，所以，，，
由勾股定理可得，即，整理可得，
因此，該雙曲線的離心率為.
故選：B.
二、填空題
12．若雙曲線的左 右焦點分別為，點M在雙曲線上，若的周長為20，則的面積等于 .
【答案】
【分析】不妨設點M在雙曲線的右支上，根據雙曲線方程及三角形周長求出，.再由余弦定理求出，由同角三角函數的基本關系及三角形的面積公式計算可得；
【詳解】解：不妨設點M在雙曲線的右支上，由雙曲線方程可知，所以.因為，所以.又因為，所以，.在中，由余弦定理可得，所以，故的面積.
故答案為：
【點睛】本題考查雙曲線的性質的應用，余弦定理及三角形面積公式的應用，屬于中檔題.
19．雙曲線上一點與兩焦點，的連線互相垂直，則的面積是 .
【答案】
【解析】首先根據題意得到，利用勾股定理得到，結合得到，再計算的面積即可.
【詳解】雙曲線，，
因為，所以①，
又因為，
所以②，
①②得：，即：.
所以.
故答案為：
【點睛】本題主要考查雙曲線中焦三角形的面積，同時考查了雙曲線的定義，屬于簡單題.
14．雙曲線的左、右焦點分別為、，過的直線交雙曲線于A，B兩點，A，B分別位于第一、二象限，為等邊三角形，則雙曲線的離心率e為 .
【答案】
【分析】利用等邊三角形的性質,然后結合雙曲線的定義求解；
【詳解】
由雙曲線的定義可得，
所以取的中點，連接,
又因為為等邊三角形，
則,
在直角三角形中，,
即，
解得：，即，
故答案為：.
15．已知雙曲線的焦點為F，O為坐標原點，P為C上一點，且為正三角形，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【分析】依題意畫出圖形，根據余弦定理與雙曲線的定義建立等量關系求解離心率.
【詳解】由對稱性，不妨設F為右焦點，則在右支上，設雙曲線左焦點為，
依題意，三角形為正三角形，
則，連接，
在中，，
由余弦定理得，
，
可得，又，即，
所以.
故答案為：.

16．橢圓與漸近線為的雙曲線有相同的焦點，P為它們的一個公共點，且，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【分析】根據橢圓與雙曲線共用一對焦點，設雙曲線方程，根據橢圓與雙曲線的定義可得，，再根據可得勾股定理，結合化簡求解即可.
【詳解】設，在雙曲線中，漸近線為，
即，故，，，
不妨設P在第一象限，則由橢圓定義可得：
，由雙曲線定義可得：，
因為，∴，
而，
代入可得：，∴.
故答案為：
17．已知雙曲線C：的左右焦點分別為，，點A在C上，點B在y軸上，，，則C的離心率為 ．
【答案】
【詳解】依題意，設，則，
在中，，則，
故或（舍去），
所以，，則，故，
所以在中，，整理得，
故.
故答案為：.
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