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【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展33 曲線的軌跡方程問題（精講+精練）
一、曲線方程的定義
一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關系：
①曲線上的點的坐標都是方程的解；
②以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．
此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．
二、求曲線方程的一般步驟（直接法）
（1）建立適當的直角坐標系（如果已給出，本步驟省略）；
（2）設曲線上任意一點的坐標為；
（3）根據曲線上點所適合的條件寫出等式；
（4）用坐標表示這個等式，并化簡；
（5）確定化簡后的式子中點的范圍．
上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍．
三、求軌跡方程的方法
1.定義法
如果動點的運動規律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據已知條件，待定方程中的常數，即可得到軌跡方程。
2.代入法（相關點法）
如果動點的運動是由另外某一點的運動引發的，而該點的運動規律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。
3.交軌法
在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常可以先解方程組得出交點（含參數）的坐標，再消去參數得出所求軌跡的方程，該方法經常與參數法并用，和參數法一樣，通常選變角、變斜率等為參數．
4.參數法
動點的運動主要是由于某個參數的變化引起的，可以選參、設參，然后用這個參數表示動點的坐標，即，再消參.
5.點差法
圓錐曲線中與弦的中點有關的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關系式，由于弦的中點的坐標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程.
【典例1】已知點P是橢圓上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點的軌跡方程為______．
【答案】
【解析】因為軸，垂足為M，且PM的中點為，
所以，又因為P是橢圓上任意一點，
所以，即.故答案為：.
【典例2】已知圓：，動圓與圓外切，且與定直線相切，設動點的軌跡為．求的方程；
【解析】設，圓的半徑為，由題可知，點在直線右側，
因為圓與定直線相切，所以．
又圓與圓外切，所以，
所以，化簡得，即的方程為．
【典例3】（單選題）設分別是直線和上的動點，且滿足，則的中點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設，，，
因為為的中點，則，故，，又因為，所以，即，所以點M的軌跡方程為．
故選: A.
【典例4】已知、為橢圓C：的左右頂點，直線與C交于兩點，直線和直線交于點.求點的軌跡方程.
【解析】由題意得，，
設，，，則，，
即，，得，
又∵點在C上，即，得，∴；
【典例5】已知橢圓的弦所在直線過點，求弦中點的軌跡方程.
【解析】設，弦的中點，則，
將代入橢圓方程得，
兩式相減得，
所以，
當時，，
因為，所以，則，
整理得；
當時，則直線方程為，代入橢圓方程解得
所以滿足上述方程，故點的軌跡方程.
【題型訓練-刷模擬】
一、單選題
1．平面直角坐標系中點滿足，則點的軌跡為（ ）
A．線段 B．圓 C．橢圓 D．不存在
2．一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若=2，則點C的軌跡為（ ）
A．橢圓 B．射線 C．圓 D．直線
4．已知面積為16的正方形ABCD的頂點A、B分別在x軸和y軸上滑動，O為坐標原點，，則動點P的軌跡方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圓，直線l過點.線段的端點B在圓上運動，則線段的中點M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
6．已知分別為橢圓的左、右焦點，是橢圓E上一動點，G點是三角形的重心，則點G的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
7．將上各點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的，得到曲線，若直線與曲線交于兩點，且中點坐標為，那么直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
8．已知是圓上的一動點，點，線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
9．已知A，B為平面內兩定點，過該平面內動點M作直線AB的垂線，垂足為N.若，則動點M的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線
10．已知是橢圓的長軸上的兩個頂點，點是橢圓上異于長軸頂點的任意一點，點與點關于軸對稱，則直線與直線的交點所形成的軌跡為（ ）
A．雙曲線 B．拋物線
C．橢圓 D．兩條互相垂直的直線
11．已知點P是圓上的動點，作軸于點H，則線段PH的中點M的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
12．已知雙曲線的兩個焦點分別為，離心率等于，設雙曲線的兩條漸近線分別為直線；若點分別在上，且滿足，則線段的中點的軌跡的方程為
A． B．
C． D．
13．已知，，，以C為焦點的橢圓過A、B兩點，則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
14．如果點M（x，y）在運動過程中，總滿足關系式，那么點M的軌跡是 ．
15．平面上一動點C的坐標為，則點C的軌跡E的方程為 ．
16．曲線C上任意一點P到點F（2，0）的距離與它到直線x＝4的距離之比等于，則C的方程為 ．
17．已知圓心在軸上移動的圓經過點，且與軸，軸分別相交于兩個動點，則點的軌跡方程為 .
18．已知點分別在軸、軸上運動，，點在線段上，且.則點的軌跡方程是 ；
19．已知點A，B，P是平面內的一個動點，直線PA與PB的斜率之積是，則動點P的軌跡C的方程為 .
20．古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中，，點滿足，則點的軌跡方程為 .
21．已知圓M與圓C1：和圓C2：一個內切一個外切，則點M的軌跡方程為 .
22．已知點是曲線上任意一點，，連接并延長至，使得，求動點Q的軌跡方程 ．
23．在橢圓上任取一點，過點作軸的垂線段，垂足為，點在的延長線上，滿足，當點在橢圓上運動時，點的軌跡方程為 .
24．已知點P為橢圓上的任意一點，O為原點，M滿足，則點M的軌跡方程為 ．
25．設平面直角坐標系中，O為原點，N為動點，，，過點M作軸于點，過點N作軸于點，M與不重合，N與不重合，設，則點T的軌跡方程是 .
26．自引圓的割線ABC，則弦中點P的軌跡方程 .
27．已知，，當時，線段的中點軌跡方程為 ．
28．已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點，則直線和的交點的軌跡方程為 ．
29．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為 .
30．直線在軸上的截距為且交拋物線于、兩點，點為拋物線的頂點，過點、分別作拋物線對稱軸的平行線與直線交于、兩點．分別過點、作拋物線的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為 ．
三、解答題
31．已知直線l平行于y軸，且l與x軸的交點為，點A在直線l上，動點P的縱坐標與A的縱坐標相同，且，求P點的軌跡方程，并說明軌跡方程的形狀．
32．在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，，點為坐標系內一點，若直線與直線的斜率的乘積為．
(1)求點的軌跡方程；
(2)說明點的軌跡是何種幾何圖形．
33．已知橢圓，點A，B分別是它的左 右頂點，一條垂直于x軸的動直線l與橢圓相交于P，Q兩點，當直線l與橢圓相切于點A或點B時，看作P，Q兩點重合于點A或點B，求直線與直線的交點M的軌跡方程.
34．已知的斜邊為AB，且.求:
(1) 外接圓的一般方程;
(2)直角邊的中點的軌跡方程．
35．已知直線，圓.
(1)證明:直線與圓相交；
(2)設與的兩個交點分別為A、，弦的中點為，求點的軌跡方程.
36．已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上且．
(1)求橢圓的方程；
(2)點分別在橢圓和直線上，，為的中點，若為直線與直線的交點．是否存在一個確定的曲線，使得始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請說明理由．
37．已知過點的直線交拋物線于兩點，為坐標原點．
(1)證明：；
(2)設為拋物線的焦點，直線與直線交于點，直線交拋物線與兩點（在軸的同側），求直線與直線交點的軌跡方程．
38．已知分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線右支上除右頂點之外的一點．若該雙曲線與橢圓有共同的焦點且過點，求內切圓圓心的軌跡方程．
39．已知點是圓上的定點，點是圓內一點，、為圓上的動點．
(1)求線段AP的中點的軌跡方程．
(2)若，求線段中點的軌跡方程．
40．已知橢圓的上 下頂點分別為，點是橢圓上異于的動點，記分別為直線的斜率.點滿足.
(1)證明：是定值，并求出該定值；
(2)求動點的軌跡方程.
41．已知拋物線的焦點為F，點E在C上，以點E為圓心，為半徑的圓的最小面積為．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)過點F的直線與C交于M，N兩點，過點M，N分別作C的切線，，兩切線交于點P，求點P的軌跡方程．
42．已知橢圓C：的離心率為，且經過，經過定點斜率不為0的直線l交C于E，F兩點，A，B分別為橢圓C的左，右兩頂點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線AE與BF的交點為P，求P點的軌跡方程.
43．已知橢圓C：的長軸長為，離心率為.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若動點P為橢圓C外一點，且過點P的橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.
44．已知拋物線，過其焦點作兩條相互垂直且不平行于軸的直線，分別交拋物線于點和點的中點分別為.
(1)若直線的斜率為2，求直線的方程；
(2)求線段的中點的軌跡方程.
45．已知分別為雙曲線的左、右頂點，點是直線上的動點，延長分別與交于點．
(1)若點的縱坐標為，求的坐標；
(2)若在直線上且滿足，求的軌跡方程．
【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展33 曲線的軌跡方程問題（精講+精練）
一、曲線方程的定義
一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關系：
①曲線上的點的坐標都是方程的解；
②以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．
此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．
二、求曲線方程的一般步驟（直接法）
（1）建立適當的直角坐標系（如果已給出，本步驟省略）；
（2）設曲線上任意一點的坐標為；
（3）根據曲線上點所適合的條件寫出等式；
（4）用坐標表示這個等式，并化簡；
（5）確定化簡后的式子中點的范圍．
上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍．
三、求軌跡方程的方法
1.定義法
如果動點的運動規律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據已知條件，待定方程中的常數，即可得到軌跡方程。
2.代入法（相關點法）
如果動點的運動是由另外某一點的運動引發的，而該點的運動規律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。
3.交軌法
在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常可以先解方程組得出交點（含參數）的坐標，再消去參數得出所求軌跡的方程，該方法經常與參數法并用，和參數法一樣，通常選變角、變斜率等為參數．
4.參數法
動點的運動主要是由于某個參數的變化引起的，可以選參、設參，然后用這個參數表示動點的坐標，即，再消參.
5.點差法
圓錐曲線中與弦的中點有關的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關系式，由于弦的中點的坐標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程.
【典例1】已知點P是橢圓上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點的軌跡方程為______．
【答案】
【解析】因為軸，垂足為M，且PM的中點為，
所以，又因為P是橢圓上任意一點，
所以，即.故答案為：.
【典例2】已知圓：，動圓與圓外切，且與定直線相切，設動點的軌跡為．求的方程；
【解析】設，圓的半徑為，由題可知，點在直線右側，
因為圓與定直線相切，所以．
又圓與圓外切，所以，
所以，化簡得，即的方程為．
【典例3】（單選題）設分別是直線和上的動點，且滿足，則的中點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設，，，
因為為的中點，則，故，，又因為，所以，即，所以點M的軌跡方程為．
故選: A.
【典例4】已知、為橢圓C：的左右頂點，直線與C交于兩點，直線和直線交于點.求點的軌跡方程.
【解析】由題意得，，
設，，，則，，
即，，得，
又∵點在C上，即，得，∴；
【典例5】已知橢圓的弦所在直線過點，求弦中點的軌跡方程.
【解析】設，弦的中點，則，
將代入橢圓方程得，
兩式相減得，
所以，
當時，，
因為，所以，則，
整理得；
當時，則直線方程為，代入橢圓方程解得
所以滿足上述方程，故點的軌跡方程.
【題型訓練-刷模擬】
一、單選題
1．平面直角坐標系中點滿足，則點的軌跡為（ ）
A．線段 B．圓 C．橢圓 D．不存在
【答案】A
【分析】根據兩點距離之和的幾何意義分析即可
【詳解】因為，表示點到兩點的距離之和為2，
又，則點的軌跡就是線段.
故選：A
2．一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由兩圓相切分析可知，符合雙曲線的定義，可得，，根據雙曲線中a，b，c的關系，即可求出動圓圓心的軌跡方程.
【詳解】解：已知圓：圓心，半徑為4，
動圓圓心為，半徑為，
當兩圓外切時：，所以；
當兩圓內切時：，所以；
即，表示動點P到兩定點的距離之差為常數4，符合雙曲線的定義，
所以P在以M、N為焦點的雙曲線上，且，，
，
所以動圓圓心的軌跡方程為：，
故選：C.
3．在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若=2，則點C的軌跡為（ ）
A．橢圓 B．射線 C．圓 D．直線
【答案】C
【分析】建立合適的平面直角坐標系，設，根據以及向量數量積的坐標形式求解出滿足的關系式，即可判斷出軌跡形狀.
【詳解】因為點是兩個定點，不妨設，
以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，

設，，，所以，，
由得：，即，所以點C的軌跡為圓.
故選：C.
4．已知面積為16的正方形ABCD的頂點A、B分別在x軸和y軸上滑動，O為坐標原點，，則動點P的軌跡方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相關點法即可求得動點P的軌跡方程.
【詳解】設，不妨令，
正方形ABCD的面積為16，則，則，
由，可得，即，
則，整理得
故選：B
5．已知圓，直線l過點.線段的端點B在圓上運動，則線段的中點M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】建立點和點之間的關系式，再利用點的坐標滿足的關系式得到點的坐標滿足的條件，即可求出.
【詳解】設，，
由點是的中點，得，可得，
又點在圓上運動，所以，
將上式代入可得，，
化簡整理得點的軌跡方程為：.
故選：B
6．已知分別為橢圓的左、右焦點，是橢圓E上一動點，G點是三角形的重心，則點G的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設，利用三角形的重心坐標公式可得，將其代入可得結果.
【詳解】分別為橢圓的左、右焦點，
設，G點是三角形的重心
則，得，
又是橢圓E上一動點，，即，
又G點是三角形的重心，
所以點G的軌跡方程為
故選：B
7．將上各點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的，得到曲線，若直線與曲線交于兩點，且中點坐標為，那么直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據變換法則可得曲線方程為，再利用點差法求解直線的斜率與方程即可.
【詳解】將上各點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的，則設曲線上的點坐標為，
故在上，故，即曲線方程為.
設，則，，
利用點差法有，，
又中點坐標為，故，
即，直線的斜率為.
故直線的方程為，化簡可得.
故選：B
8．已知是圓上的一動點，點，線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題意有，從而有，根據雙曲線的定義得點的軌跡為是以F1、F2為焦點的雙曲線．再寫出其方程即可.
【詳解】如圖所示：
∵是圓上一動點，點的坐標為，線段的垂直平分線交直線于點，
∴，，
∵是圓上一動點，∴，∴，
∴，，，
∴點的軌跡為以F1、F2為焦點的雙曲線，且，，得，
∴點的軌跡方程為.
故選：C.
9．已知A，B為平面內兩定點，過該平面內動點M作直線AB的垂線，垂足為N.若，則動點M的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線
【答案】D
【分析】建立適當的平面直角坐標系，設A，B的坐標，設M的坐標，由題意可得N的坐標，求出3個向量，由向量的關系求出M的軌跡方程.
【詳解】解：建立以所在的直線為x軸，以線段的中垂線為y軸的直角坐標系，
設，，，
設M的坐標為，由題意可得，
則，，，
所以，，
由，可得，
整理可得：，所以，，
故動點M的軌跡是雙曲線.

故選：D.
10．已知是橢圓的長軸上的兩個頂點，點是橢圓上異于長軸頂點的任意一點，點與點關于軸對稱，則直線與直線的交點所形成的軌跡為（ ）
A．雙曲線 B．拋物線
C．橢圓 D．兩條互相垂直的直線
【答案】A
【分析】由題意設出點，坐標，然后求出直線與直線的方程，根據直線方程的特點，兩方程相乘，從而得到點的軌跡方程，進而得解.
【詳解】
由于是橢圓的長軸上的兩個頂點，所以，
設，則，
所以直線的方程為①，直線的方程為②，
①②得，
又因為在橢圓上，所以，即，
所以，即，
即直線與直線的交點在雙曲線上.
故選：A.
11．已知點P是圓上的動點，作軸于點H，則線段PH的中點M的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設出中點，利用幾何關系建立與點P坐標的關系，代入圓方程即可整理出軌跡方程.
【詳解】如下圖所示：

不妨設，則滿足；
易知，
又線段的中點為，可得；
即，代入方程可得，
整理得.
故選：D
12．已知雙曲線的兩個焦點分別為，離心率等于，設雙曲線的兩條漸近線分別為直線；若點分別在上，且滿足，則線段的中點的軌跡的方程為
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據離心率得到雙曲線方程，漸近線方程為．設，，線段的中點，根據得到軌跡方程.
【詳解】由已知，求得，得雙曲線方程為，
從而其漸近線方程為．
設，，線段的中點，
由已知不妨設，，
從而，，
由得，
所以，即，
則M的軌跡C的方程為．
【點睛】本題考查了軌跡方程，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.
13．已知，，，以C為焦點的橢圓過A、B兩點，則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由兩點間距離公式可得 ，根據題中條件，得到，結合雙曲線的定義，即可得出結果.
【詳解】因為，，，
所以，，，
因為 都在橢圓上，
所以，，
故的軌跡是以，為焦點的雙曲線的下支，
又，，即，，所以，
因此的軌跡方程是（）.
故選：A.
【點晴】方法點睛：
求軌跡方程的常見方法有:
①直接法，設出動點的坐標，根據題意列出關于的等式即可；
②定義法，根據題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；
③參數法，把分別用第三個變量表示，消去參數即可；
④逆代法，將代入.
二、填空題
14．如果點M（x，y）在運動過程中，總滿足關系式，那么點M的軌跡是 ．
【答案】橢圓
【分析】根據兩點間距離公式，即可判斷點軌跡滿足橢圓的定義.
【詳解】可看作M（x，y）到的距離之和為，由于,所以點M的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓.
故答案為：橢圓
15．平面上一動點C的坐標為，則點C的軌跡E的方程為 ．
【答案】
【分析】根據同角平方和關系消參即可求解.
【詳解】令，所以，故，進而，
故答案為：
16．曲線C上任意一點P到點F（2，0）的距離與它到直線x＝4的距離之比等于，則C的方程為 ．
【答案】
【分析】設點坐標，直接根據題中等量列方程即可求解.
【詳解】設P（x，y），由題意，
化簡得，即C的方程為．
故答案為：.
17．已知圓心在軸上移動的圓經過點，且與軸，軸分別相交于兩個動點，則點的軌跡方程為 .
【答案】
【分析】由題意可知，為該動圓的直徑, ，可列等式得方程.
【詳解】因為動圓圓心在軸上移動，且該動圓始終經過點和，所以，為該動圓的直徑,
又因為點在該動圓上，所以，，即，
所以，點的軌跡方程為.
故答案為：
18．已知點分別在軸、軸上運動，，點在線段上，且.則點的軌跡方程是 ；
【答案】
【分析】設，由，得，在根據，轉化為平面向量關系建立方程組，建立間的關系，代入中化簡即可.
【詳解】設，
因為，
所以，①
因為點在線段上，且，
所以，即代入①
，
即，
故答案為：.
19．已知點A，B，P是平面內的一個動點，直線PA與PB的斜率之積是，則動點P的軌跡C的方程為 .
【答案】
【分析】根據題意列出方程，化簡可得答案.
【詳解】設，
由，
整理得，
故動點P的軌跡C的方程為，
故答案為：
20．古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中，，點滿足，則點的軌跡方程為 .
【答案】
【分析】根據點點距離即可列方程化簡求解.
【詳解】設，則，
化簡得，即，
故答案為：
21．已知圓M與圓C1：和圓C2：一個內切一個外切，則點M的軌跡方程為 .
【答案】
【分析】根據內切和外切的性質及雙曲線的定義得到點的軌跡為雙曲線，然后求方程即可.
【詳解】當圓與圓內切，與圓外切時，，，
當圓與圓外切，與圓內切時，，，
所以，點的軌跡為雙曲線，設軌跡方程為，，，則，所以軌跡方程為.
故答案為：.
22．已知點是曲線上任意一點，，連接并延長至，使得，求動點Q的軌跡方程 ．
【答案】
【分析】設出動點和相關點，再根據條件，，再代入即可得出結果.
【詳解】設動點的坐標，點P坐標，，
因為，所以，，
可得，，
代入，得，整理得，
所以動點Q的軌跡方程為．
故答案為：
23．在橢圓上任取一點，過點作軸的垂線段，垂足為，點在的延長線上，滿足，當點在橢圓上運動時，點的軌跡方程為 .
【答案】
【分析】設，根據題意將點的坐標用點表示，再利用相關點法即可得解.
【詳解】解：設，
因為軸，，
所以，所以，即，
又點在橢圓上，
所以，
所以點的軌跡方程為.
故答案為：.
24．已知點P為橢圓上的任意一點，O為原點，M滿足，則點M的軌跡方程為 ．
【答案】.
【分析】先設點,再由應用相關點法求軌跡方程即可.
【詳解】設點，
由得點，而點P為橢圓上的任意一點，
于是得，整理得：，
所以點M的軌跡方程是.
故答案為:
25．設平面直角坐標系中，O為原點，N為動點，，，過點M作軸于點，過點N作軸于點，M與不重合，N與不重合，設，則點T的軌跡方程是 .
【答案】
【分析】設出點的坐標，根據，可以知道點的橫坐標和縱坐標之間的關系， 可以求出的坐標，進而根據已知的條件，求出、的坐標，設出點的坐標，通過，可以得到的坐標和的坐標之間的關系，再根據點的橫坐標和縱坐標之間的關系，求出點的軌跡方程.
【詳解】設點，因為，所以有，因為，所以有，由題意可知：，，因為與不重合，與不重合，所以且，，
設，因為，所以有，而，
所以，又因為且，
故答案為：（且）.
26．自引圓的割線ABC，則弦中點P的軌跡方程 .
【答案】（）
【分析】設，根據⊥，利用斜率列出方程，再考慮的取值范圍.
【詳解】設，則⊥，
當時，有，即，整理得①，
當時，此時割線ABC的中點為原點，代入①式，也成立，

故弦中點P的軌跡方程為（在圓內部分），
聯立，解得，
故軌跡方程為（）
故答案為：（）
27．已知，，當時，線段的中點軌跡方程為 ．
【答案】
【分析】根據中點坐標公式可得中點坐標，設點為線段的中點軌跡上任一點的坐標，即得，消去參數，可得答案.
【詳解】因為，，
所以中點坐標為，
即，
設點為線段的中點軌跡上任一點的坐標，
，，
，
即當時，線段的中點軌跡方程為，
故答案為：
28．已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點，則直線和的交點的軌跡方程為 ．
【答案】（）．
【分析】設，直線和的交點為，根據三點共線及三點共線，可得兩個式子，兩式相乘，再結合在橢圓上即可得出答案.
【詳解】設，
因為橢圓的長軸端點為，
設直線和的交點為，
因為三點共線，所以，，
因為三點共線，所以，
兩式相乘得，（）,
因為，所以，即，
所以，整理得（），
所以直線和的交點的軌跡方程（）.
故答案為：（）.
29．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為 .
【答案】或
【分析】由題可得拋物線方程，利用切線幾何意義可得切線斜率，即可表示出切線方程求出交點坐標，再將拋物線與直線聯立，結合韋達定理可得軌跡方程.
【詳解】由焦點到準線的距離為2，可得拋物線.
由可得，故，
故在處的切線方程為，即，
同理在點處的切線方程為，
聯立，即.
聯立直線與拋物線方程：，消去得，
由題或.
由韋達定理，，
得，其中或，故點的軌跡方程為：或.
故答案為：或
30．直線在軸上的截距為且交拋物線于、兩點，點為拋物線的頂點，過點、分別作拋物線對稱軸的平行線與直線交于、兩點．分別過點、作拋物線的切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為 ．
【答案】
【分析】設點、，分析可知直線不與軸重合，設直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯立，求出拋物線在點、處的切線方程，求出兩切線的交點坐標，可得出交點的軌跡方程.
【詳解】設點、，
若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.
設直線的方程為，聯立，可得，
，由韋達定理，可得，，
顯然拋物線在點處切線斜率存在且不為，
設其方程為，
由，消去并整理，得，
解得或，因此有，解得，
則拋物線在點處切線方程為，即，
同理拋物線在點處切線方程為，
而，由，解得，，
于是得兩條切線的交點在直線上，
又，所以兩條切線的交點的軌跡方程為．
故答案為：.
三、解答題
31．已知直線l平行于y軸，且l與x軸的交點為，點A在直線l上，動點P的縱坐標與A的縱坐標相同，且，求P點的軌跡方程，并說明軌跡方程的形狀．
【答案】，軌跡是開口向左的拋物線．
【分析】根據向量垂直的坐標運算即可列方程求解.
【詳解】由條件可知，直線l的方程為，因此點A的橫坐標為4．
設P的坐標為，則點A的坐標為．因此
因為的充要條件是，所以，即動點P的軌跡方程為．
從而可以看出，軌跡是開口向左的拋物線．
32．在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，，點為坐標系內一點，若直線與直線的斜率的乘積為．
(1)求點的軌跡方程；
(2)說明點的軌跡是何種幾何圖形．
【答案】(1)
(2)點的軌跡是焦點在x軸上的橢圓，且不包括與x軸的交點
【分析】（1）根據題意結合斜率公式運算求解，注意；
（2）根據（1）中結果，結合橢圓方程分析說明.
【詳解】（1）由題意可知：直線與直線的斜率分別為，
則，整理得，
所以點的軌跡方程為.
（2）由（1）可知：點的軌跡是焦點在x軸上的橢圓，且不包括與x軸的交點.
33．已知橢圓，點A，B分別是它的左 右頂點，一條垂直于x軸的動直線l與橢圓相交于P，Q兩點，當直線l與橢圓相切于點A或點B時，看作P，Q兩點重合于點A或點B，求直線與直線的交點M的軌跡方程.
【答案】
【分析】設，則，寫出直線和直線的方程，利用消去和即可得到結果.
【詳解】由橢圓方程可知：，則，，
設，則，則，
當時，則有：
直線的方程為：，直線的方程為：，
可得，
又因為，所以，即，
當時，也符合上式，
所以直線AP與直線BQ的交點M的軌跡方程是.
34．已知的斜邊為AB，且.求:
(1) 外接圓的一般方程;
(2)直角邊的中點的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據直角三角形外接圓性質求解圓心和半徑， 從而計算出外接圓的一般方程;
（2）設，根據M是線段BC的中點，得到然后根據即可求得動點的軌跡方程.
【詳解】（1）由題意知，設圓心為，則，
，
故圓的方程為：
即外接圓的一般方程為：.
（2）
設，由此解得：
因為C為直角，所以
代入解得：即
配方得：，
又因為三點不共線，
所以
綜上：.
35．已知直線，圓.
(1)證明:直線與圓相交；
(2)設與的兩個交點分別為A、，弦的中點為，求點的軌跡方程.
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）求出直線恒過點，而在圓內，故證明出結論；
（2）聯立直線與圓的方程，設出，得到兩根之和，兩根之積，進而表達出點的坐標為，消去參數，求出點的軌跡方程，注意去掉原點.
【詳解】（1）恒過點，
又，所以點在圓內，
所以直線與圓相交；
（2）聯立與得：，
設，
則，，
，
故，，
所以點的坐標為，
令，，兩式相除可得：，
代入中，消去可得，，
由于，故，即去除原點，
則點的軌跡方程為：.
36．已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上且．
(1)求橢圓的方程；
(2)點分別在橢圓和直線上，，為的中點，若為直線與直線的交點．是否存在一個確定的曲線，使得始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用待定系數法求出橢圓的方程；
（2）設，表示出直線OQ的方程，定點和.
進而求出，把代入得，從而，判斷出點始終在以OF為直徑的圓上，即可求解 .
【詳解】（1）因為橢圓過點，所以.
因為，所以，得．
故，
從而橢圓C的方程為．
（2）設，則直線AP的斜率為.
因為，所以直線OQ的方程為.
令可得，所以，
又M是AP的中點，所以.
從而，
所以①
因為點在橢圓C上，所以，故，
代入式①可得，從而，
所以，點始終在以為直徑的圓上，且該圓方程為
37．已知過點的直線交拋物線于兩點，為坐標原點．
(1)證明：；
(2)設為拋物線的焦點，直線與直線交于點，直線交拋物線與兩點（在軸的同側），求直線與直線交點的軌跡方程．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設，，利用三點共線，解得，再利用向量數量積的坐標表示即可求解；
（2）設， ，，根據題意可得，由此解出與，與的關系，進而得到直線與直線的方程，聯立即可求解.
【詳解】（1）設，，
因為三點共線，所以,
所以，整理可得，
所以，所以．
（2）設， ，，
由題意，，
因為，，所以，
又因為，，
所以，整理得．
因為在軸同側，所以，同理可得，
所以直線的方程為，同理的方程為，
兩式聯立代入，可得，
由題意可知交點不能在x軸上，
所以交點的軌跡方程為．
38．已知分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線右支上除右頂點之外的一點．若該雙曲線與橢圓有共同的焦點且過點，求內切圓圓心的軌跡方程．
【答案】
【分析】根據雙曲線定義和圓的切線定理可得所求軌跡方程為，再由已知列方程組即可求得a，即得方程.
【詳解】解：如圖所示，，

設內切圓與x軸的切點是點H，內切圓的圓心為點M，，與內切圓的切點分別為A，B，
由雙曲線的定義可得，
即，
又，，
所以，即.
設點M的橫坐標為x，則點H的橫坐標為x，
所以，即.
因為雙曲線與橢圓有共同的焦點且過點，
所以，解得，
故內切圓圓心的軌跡方程為．
39．已知點是圓上的定點，點是圓內一點，、為圓上的動點．
(1)求線段AP的中點的軌跡方程．
(2)若，求線段中點的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根據中點坐標公式，結合相關點法即可求解，
（2）根據直角三角形的性質，結合勾股定理即可由點點距離求解.
【詳解】（1）設中點為，
由中點坐標公式可知，點坐標為
∵點在圓上，∴．
故線段中點的軌跡方程為．

（2）設的中點為，在中，，
設為坐標原點，則，所以，
所以．
故線段中點的軌跡方程為．

40．已知橢圓的上 下頂點分別為，點是橢圓上異于的動點，記分別為直線的斜率.點滿足.
(1)證明：是定值，并求出該定值；
(2)求動點的軌跡方程.
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）根據兩點斜率公式以及點在橢圓上，即可代入化簡求解，
（1）根據垂直關系求解斜率關系，聯立直線方程得交點坐標即可求解.
【詳解】（1）由題意可知,
設點，顯然
，為定值.
（2）設點,
由于，
的方程：①.
的方程：②
由①②聯立可得：，
代入①可得，
即點
點滿足：，
代入可得點的軌跡方程為：
41．已知拋物線的焦點為F，點E在C上，以點E為圓心，為半徑的圓的最小面積為．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)過點F的直線與C交于M，N兩點，過點M，N分別作C的切線，，兩切線交于點P，求點P的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當圓心在原點時，此時半徑為，圓的面積最小是解題的關鍵；
（2）設出直線MN的方程，利用導數與切線方程的關系求出切線，聯立兩條切線方程求出交點即可求解.
【詳解】（1）設點，，則，
因為以E為圓心，以為半徑的圓的最小面積為，
所以，
所以（負值舍去），解得，
所以拋物線C的標準方程為．
（2）設，，
易得，由題意知直線MN的斜率一定存在，
則設直線MN的方程為，
聯立得，
，所以，．
由，得，則切線的斜率為，
則切線的方程為，即①．
同理可得切線的方程為②．
①②得，
代入①得，，
所以點P的軌跡方程為．
【點睛】關鍵點睛：利用設而不求的方法，設出直線方程與圓錐曲線聯立消元得出韋達定理，通過轉化化簡用韋達定理表示出問題，是處理直線與圓錐曲線位置關系必須要掌握的方法.
42．已知橢圓C：的離心率為，且經過，經過定點斜率不為0的直線l交C于E，F兩點，A，B分別為橢圓C的左，右兩頂點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線AE與BF的交點為P，求P點的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意可得求解即可；
（2）聯立直線方程結合求點P的橫坐標．
【詳解】（1）
根據題意可得，解得，
∴求橢圓C的方程為
（2）
根據題意可得直線AE：，BF：，
由可得，
所以，故，故，
同理，，故，
因為三點共線，故共線，
而，
故，整理得到：或，
若，則由可得，這與題設矛盾，故.
聯立方程，解得，
∴P點的軌跡方程為
43．已知橢圓C：的長軸長為，離心率為.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若動點P為橢圓C外一點，且過點P的橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由橢圓的相關概念及離心率求解即可；
（2）設出動點P的坐標，求出切線方程，聯立方程組由求解即可（注意分類討論）.
【詳解】（1）由題意可知，解得，，
∵，
∴橢圓C的標準方程為；
（2）設點，
①當兩條切線斜率均存在時，設其中一條切線為，另一條為，
聯立方程，消去y得，
∴，
即，
則，是方程的兩個不等實根，
∴，
又∵兩條切線相互垂直，∴，
∴，
整理得，
即點P的軌跡方程為，
②當兩條切線中有一條斜率不存在時，即A、B兩點分別位于橢圓長軸與短軸的端點，
P的坐標為，把點代入亦成立，
綜上所述，點P的軌跡方程為：.
44．已知拋物線，過其焦點作兩條相互垂直且不平行于軸的直線，分別交拋物線于點和點的中點分別為.
(1)若直線的斜率為2，求直線的方程；
(2)求線段的中點的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）聯立直線和拋物線方程，求得中點坐標，即可求解直線的方程；
（2）首先設直線的方程為，與拋物線方程聯立，求得點的坐標，并利用直線與直線的關系，求得點的坐標，即可求解點，再通過消參求得點的軌跡方程.
【詳解】（1）拋物線的焦點，，
直線的方程為，設，
聯立，得，，
所以中點的橫坐標為，中點的縱坐標為，即，
直線的方程為，設，
聯立，得，，
所以中點的橫坐標為，中點的縱坐標為，即，
所以，直線的方程為，
化簡為直線的方程為；
（2）設直線的方程為，設，，
聯立，得，
得，
所以中點的橫坐標為，縱坐標為，
即，將換成得，
得的中點的坐標為，
即，得，
45．已知分別為雙曲線的左、右頂點，點是直線上的動點，延長分別與交于點．
(1)若點的縱坐標為，求的坐標；
(2)若在直線上且滿足，求的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意，得到點的坐標，進而可得直線的方程，將直線的方程與雙曲線方程聯立，求出點的橫坐標，再代入雙曲線方程中即可求解；
（2）對直線的斜率是否存在進行討論，當斜率存在時，設出直線的方程，將直線的方程與雙曲線方程聯立，結合根與系數的關系以及三點共線的定義進行求解即可．
【詳解】（1）易知，
則直線的方程為，
聯立，解得，故,
又點在上，解得，
即；
（2）不妨設,,,,，
由題意可知：直線不可能平行于軸，
不妨設直線的方程為，
聯立，消去并整理得，
因為直線與有兩交點，
所以，且，即，
由韋達定理得，，
所以，

由，，三點共線，此時，即，
由，，三點共線，此時，
消去整理得，
即，
此時，
即，
所以對任意，，都有成立，
解得或，
若，
因為，又，
解得，，
所以，即，不符合題意，
所以，則，
所以直線恒過點，
故點的軌跡是以為直徑的圓，
由,可得圓心坐標為，直徑為2，
故圓的方程為．
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中定點問題的兩種解法
（1）引進參數法：先引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量，再研究變化的量與參數何時沒有關系，找到定點.
（2）特殊到一般法：先根據動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.
技巧：若直線方程為,則直線過定點;
若直線方程為 (為定值),則直線過定點
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