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2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展05 嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題（精講+精練）
1.嵌套函數(shù)形式：形如
2.解決嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的一般步驟
(1)換元解套，轉(zhuǎn)化為t＝g(x)與y＝f(t)的零點(diǎn)．
(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判斷圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
注：抓住兩點(diǎn)：(1)轉(zhuǎn)化換元；(2)充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
【典例1】已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
分析：令→→作函數(shù)與圖象→兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為→、判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解析】令，則，
作出的圖象和直線，由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)橫坐標(biāo)為，
∴.當(dāng)時(shí)，有，即有一解；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)解
∴綜上，共有4個(gè)解，即有4個(gè)零點(diǎn)，故選A
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023春·高三平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023秋·福建廈門·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)至多是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2023·全國(guó)·高三期末）已知函數(shù)，若方程的所有實(shí)根之和為4，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中校考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·江西吉安·高三吉安一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·安徽滁州·高三校考開學(xué)考試）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
10．（2023秋·貴州畢節(jié)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為___________．
11．（2023·福建福州·高三福州三中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________．
12．（2023秋·廣東深圳·高三深圳市高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，為三次函數(shù)，其圖象如圖所示.若有9個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是___________.
13．（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值集合為______.
14．（2023·浙江·二模）已知函數(shù)，則至多有______個(gè)實(shí)數(shù)解.
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2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展05 嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題（精講+精練）
1.嵌套函數(shù)形式：形如
2.解決嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的一般步驟
(1)換元解套，轉(zhuǎn)化為t＝g(x)與y＝f(t)的零點(diǎn)．
(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判斷圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
注：抓住兩點(diǎn)：(1)轉(zhuǎn)化換元；(2)充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
【典例1】已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
分析：令→→作函數(shù)與圖象→兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為→、判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解析】令，則，
作出的圖象和直線，由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)橫坐標(biāo)為，
∴.當(dāng)時(shí)，有，即有一解；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)解
∴綜上，共有4個(gè)解，即有4個(gè)零點(diǎn)，故選A
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023春·高三平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】畫出的圖像，設(shè)，首先討論的根的情況，再分析根的情況即可分析出根的情況，即可得出答案．
【詳解】畫出的圖像，如圖所示，
由，令，得，
設(shè)，由圖像可知，則，
得的圖像，如圖所示，
由圖像可知，，
①當(dāng)時(shí)，即，沒有根；
②當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)有3個(gè)根，，，
當(dāng)時(shí)，即，有3個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，
故時(shí)，有11個(gè)根；
③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有三個(gè)根，，
當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，即，有4個(gè)根，
故時(shí)，有12個(gè)根；
綜上所述，最多有12個(gè)根，
故選：B．
2．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】令，結(jié)合題意得到的兩根為，，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值進(jìn)而求解.
【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，由可得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，由可得，所以的兩根為，，
則或，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，若，易知方程無(wú)解，
若，當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去），
此時(shí)方程有唯一的解；
當(dāng)時(shí)，由，得，此時(shí)方程有唯一的解，
綜上所述可知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)，
故選：A.
3．（2023秋·福建廈門·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)至多是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)合方程問題，換元，作函數(shù)圖象分別看內(nèi)外層分別討論方程根的個(gè)數(shù)情況，即可得答案.
【詳解】設(shè)，則化為，
又，所以，，
如圖為函數(shù)的大致圖象：

由圖可得，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，即或，此時(shí)方程最多有5個(gè)根；
當(dāng)時(shí)，有三個(gè)根，即或或，此時(shí)方程最多有6個(gè)根；
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，即或，此時(shí)方程有4個(gè)根；
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)根，即，此時(shí)方程有2個(gè)根；
綜上，方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)至多是6個(gè).
故選：B.
4．（2023·全國(guó)·高三期末）已知函數(shù)，若方程的所有實(shí)根之和為4，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題對(duì)取特殊值，利用數(shù)形結(jié)合，排除不合題意的選項(xiàng)即得.
【詳解】令，
當(dāng)時(shí)，方程為，即，
作出函數(shù)及的圖象，
由圖象可知方程的根為或，即或，
作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得所有根的和為5，不合題意，故BD錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，方程為，即，
由圖象可知方程的根，即，
結(jié)合函數(shù)的圖象，可得方程有四個(gè)根，所有根的和為4，滿足題意，故A錯(cuò)誤.
故選：C.
5．（2023秋·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中校考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】確定函數(shù)的值域，利用換元法令 ，則，則將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，作函數(shù)圖象，確定其交點(diǎn)以及其橫坐標(biāo)范圍，再結(jié)合的圖象，即可確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】已知，當(dāng)時(shí)， ，
當(dāng)時(shí)，，
作出其圖象如圖示：
可知值域?yàn)椋O(shè) ，則，
則函數(shù)的零點(diǎn)問題即為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，
而，作出函數(shù)的圖象如圖示：
可知：的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別在之間，
不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，由圖象和直線可知，二者有兩個(gè)交點(diǎn)，
即此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，由圖象和直線可知，二者有3個(gè)交點(diǎn)，
即此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，
故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5，故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定問題，綜合性較強(qiáng)，涉及到函數(shù)的值域以及分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用和數(shù)形結(jié)合的思想方法，解答的關(guān)鍵是采用換元法將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.
6．（2023春·江西吉安·高三吉安一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)，進(jìn)而考慮與的交點(diǎn)，分，，，，五種情況討論求解即可.
【詳解】設(shè)，則，令，得，
我們先來考慮與的交點(diǎn)，
令，
當(dāng)時(shí)，與只有1個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)，此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，與只有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，與只有3個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)，此時(shí)有5個(gè)零點(diǎn).
若與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，
所以，切線斜率，解得，
故當(dāng)時(shí)，與沒有交點(diǎn)，沒有零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn).
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于通過換元，將問題轉(zhuǎn)化為直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合，分類討論求解即可.
7．（2023春·安徽滁州·高一校考開學(xué)考試）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)題意利用圖象分析可得，令并將問題轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)t對(duì)應(yīng)x值的個(gè)數(shù)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則；
當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增.
作出函數(shù)的圖象如圖所示，
令，則，
若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，解得，
故，
令，即，
令，則或，
解得或，
即或，則或，
由圖象可得有個(gè)實(shí)數(shù)根，有個(gè)實(shí)數(shù)根，
故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，
故選：B．
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】作出函數(shù)的圖象，可設(shè)，可得，判斷與交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而將的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合，可得答案.
【詳解】設(shè)，令可得：,
對(duì)于，，故在處切線的斜率值為，
設(shè)與相切于點(diǎn)，
切線斜率，則切線方程為：，
即，解得：；
由于，故作出與圖象如下圖所示，
與有四個(gè)不同交點(diǎn)，
即與有四個(gè)不同交點(diǎn)，
設(shè)三個(gè)交點(diǎn)為，由圖象可知：，
作出函數(shù)的圖象如圖，
由此可知與無(wú)交點(diǎn)，與有三個(gè)不同交點(diǎn)，與各有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7個(gè)，
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決此類復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題，常常采用換元的方法，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，即可解決.
9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可先做出函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論，即可確定m的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，．由，得，由，得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的大致圖象如圖所示．
設(shè)，則，由圖可知當(dāng)時(shí)，有且只有1個(gè)實(shí)根，
則最多有3個(gè)不同的實(shí)根，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，的解是，．有2個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，
則有4個(gè)不同的實(shí)根，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，有3個(gè)不同的實(shí)根，，，且，，．
有2個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，有3個(gè)不同的實(shí)根，
則有7個(gè)不同的實(shí)根，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，有2個(gè)不同的實(shí)根，，且，．
有2個(gè)不同的實(shí)根，有3個(gè)不同的實(shí)根，
則有5個(gè)不同的實(shí)根，符合題意．
當(dāng)時(shí)，有2個(gè)不同的實(shí)根，，且，，
有2個(gè)不同的實(shí)根，，有2個(gè)不同的實(shí)根，則有4個(gè)不同的實(shí)根，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，有且只有1個(gè)實(shí)根，則最多有3個(gè)不同的實(shí)根，不符合題意，
綜上，m的取值范圍是．
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)問題，若能夠畫圖時(shí)可作出函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合與分類討論思想，即可求解.本題中，由圖看出，m的討論應(yīng)有，，，，這幾種情況,也是解題關(guān)鍵.
二、填空題
10．（2023秋·貴州畢節(jié)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為___________．
【答案】
【分析】利用分段函數(shù)，分類討論，即可求出函數(shù)的所有零點(diǎn)，從而得解．
【詳解】設(shè)，則，
①當(dāng)時(shí)，，得；
②當(dāng)時(shí)，，得；
綜上所述：若，則或.
故或，則有：
①由，可得或，解得或；
②由，可得或，解得或；
綜上所述：函數(shù)的所有零點(diǎn)為，，，4.
故所有零點(diǎn)的和為．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意分和兩種情況討論，運(yùn)算求解,
11．（2023·福建福州·高三福州三中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________．
【答案】5
【分析】方法一：令，將問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)圖象分析得有兩個(gè)零點(diǎn)為，，從而考慮與根的個(gè)數(shù)即可求解；方法二：利用導(dǎo)函數(shù)以及零點(diǎn)的存在性定理討論的根分別為．
，從而用數(shù)形結(jié)合的方法確定與根的個(gè)數(shù)即可求解.
【詳解】方法一：大致圖象如下
令
所以式方程的一個(gè)根，
再由圖可知式方程的另一個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以有2個(gè)實(shí)根，
當(dāng)時(shí)，與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以有3個(gè)實(shí)根，
共有5個(gè)零點(diǎn).
方法二：
令時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，
所以在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
其中，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，其中．
時(shí)，時(shí)，
在單調(diào)遞增，
，
在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，，
時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象可知無(wú)解，有兩個(gè)根
因?yàn)椋杂蓤D象可得與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
所以有2個(gè)實(shí)根，
當(dāng)時(shí)，與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
所以有3個(gè)實(shí)根，
共有5個(gè)零點(diǎn).
故答案為:5.
12．（2023秋·廣東深圳·高三深圳市高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，為三次函數(shù)，其圖象如圖所示.若有9個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】根據(jù)的圖象判斷與在不同m取值范圍下的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍，結(jié)合解析式求橫坐標(biāo)關(guān)于m的表達(dá)式，結(jié)合題圖及有9個(gè)零點(diǎn)，列不等式組求m范圍.
【詳解】由題設(shè)，其圖象如下，
當(dāng)，與只有一個(gè)交點(diǎn)且；
當(dāng)，與有兩個(gè)交點(diǎn)且或；
當(dāng)，與有三個(gè)交點(diǎn)且；
當(dāng)，與有兩個(gè)交點(diǎn)且；
由題圖，要使，有9個(gè)零點(diǎn)，則，，且有，
根據(jù)解析式：，
綜上，， 可得，故.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)、的圖象及零點(diǎn)個(gè)數(shù)，確定時(shí)函數(shù)對(duì)應(yīng)零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而求各零點(diǎn)關(guān)于m的表達(dá)式，列不等式求參數(shù)范圍.
13．（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值集合為______.
【答案】
【分析】當(dāng)時(shí)，易知無(wú)解；當(dāng)時(shí)，設(shè)，采用數(shù)形結(jié)合的方式可知，可知無(wú)解；當(dāng)時(shí)，設(shè)，采用數(shù)形結(jié)合的方式可知，通過討論的范圍可確定或的取值，由此可構(gòu)造方程求得的值.
【詳解】；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)解，不合題意；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則與的大致圖象如下圖所示，
則對(duì)應(yīng)的兩根為，
此時(shí)與無(wú)解，即方程無(wú)解，不合題意；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則與的大致圖象如下圖所示，
則對(duì)應(yīng)的兩根為，
若恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則和與共有個(gè)不同的交點(diǎn)，
①當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖所示，
與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則，，解得：；
②當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則，與矛盾，不合題意；
③當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖所示，
與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則，，解得：；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值集合為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
14．（2023·浙江·二模）已知函數(shù)，則至多有______個(gè)實(shí)數(shù)解.
【答案】7
【分析】分類討論的大小關(guān)系脫掉絕對(duì)值符號(hào)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而作出函數(shù)的大致圖象，設(shè)，則即，從而將的解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.
【詳解】由可得，由知，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增，
則可作出函數(shù)的大致圖像如圖：
三個(gè)圖分別對(duì)應(yīng)時(shí)的情況，
設(shè)，則即，
則的解的個(gè)數(shù)問題即為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，
結(jié)合的圖象可知的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是3個(gè)，
即為圖2個(gè)和圖3所示情況，
不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)如圖2所示時(shí)，，
此時(shí)無(wú)解，有1個(gè)解，最多有3個(gè)解，
故此時(shí)最多有4個(gè)解；
當(dāng)如第3個(gè)圖所示時(shí)，，
此時(shí)有一個(gè)解，最多有3個(gè)解，最多有3個(gè)解，
故此時(shí)最多有7個(gè)解；
故答案為：7
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答此類復(fù)合函數(shù)的解的個(gè)數(shù)問題，一般采用換元法，將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合，解決問題.
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