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【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展37 圓錐曲線中的存在性和探索性問題（精講+精練）
一、圓錐曲線中的存在性問題
1.存在性問題通常采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化．
一般步驟為：
①假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數)存在,
②用待定系數法設出,
③列出關于待定系數的方程組,若方程組有實數解,則元素(點、直線、曲線或參數)存在；否則,元素(點、直線、曲線或參數)不存在．
注：反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法．
【一般策略】
求解字母參數值的存在性問題時，通常的方法是首先假設滿足條件的參數值存在，然后利用這些條件并結合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現矛盾，并且得到了相應的參數值，就說明滿足條件的參數值存在;若在推理與計算中出現了矛盾，則說明滿足條件的參數值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程.
二、圓錐曲線中的探索性性問題
1.對于探索性問題,一般先假設存在,推證滿足條件的結論,若結論正確則存在,若結論不正確則不存在．
要注意：(1)當條件和結論不唯一時要分類討論；
(2)當給出結論而要推導出存在的條件時,先假設成立,再推出條件；
(3)當條件和結論都不知,按常規方法解題很難時,要開放思維,采取另外合適的方法．
【典例1】已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點，M為線段AB的中點．
(1)當k變化時，求點M的軌跡方程；
(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點，問：是否存在實數k，使得A、B是線段CD的兩個三等分點？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．
【分析】（1）設，，，聯立直線l與雙曲線E的方程，消去y，得，根據已知直線l與雙曲線E相交于A、B兩點，得且，即且，由韋達定理，得，
則，，聯立消去k，得，再根據的范圍得出的范圍，即可得出答案；
（2）設，，根據雙曲線E的漸近線方程與直線l的方程聯立即可得出，，則，即線段AB的中點M也是線段CD的中點，若A，B為線段CD的兩個三等分點，則，結合弦長公式列式得，即可化簡代入得出，即可解出答案.
【詳解】（1）設，，，聯立直線l與雙曲線E的方程，得，
消去y，得．由且，得且．
由韋達定理，得．所以，．
由消去k，得．
由且，得或．所以，點M的軌跡方程為，其中或．
（2）雙曲線E的漸近線方程為．
設，，聯立得，同理可得，
因為，所以，線段AB的中點M也是線段CD的中點．
若A，B為線段CD的兩個三等分點，則．即，．
而，．
所以，，解得，
所以，存在實數，使得A、B是線段CD的兩個三等分點．
【典例2】在平面直角坐標系中,動點,滿足,記點的軌跡為．
（1）請說明是什么曲線,并寫出它的方程；
（2）設不過原點且斜率為的直線與交于不同的兩點,,線段的中點為,直線與交于兩點,,請判斷與的關系,并證明你的結論．
【解析】（1）設,,則因為,滿足,即動點表示以點,為左、右焦點,長軸長為4,焦距為的橢圓,其軌跡的方程為；
（2）可以判斷出,
下面進行證明：設直線的方程為,,,
由方程組,得①,
方程①的判別式為,由,即,解得且．
由①得,,
所以點坐標為,直線方程為,
由方程組,得,,
所以．
又．
所以21世紀教育網(www.21cnjy.com)
【題型訓練-刷模擬】
1.存在性問題
一、解答題
1．雙曲線：的漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.
(1)求的方程；
(2)是否存在直線，經過點且與雙曲線于A，兩點，為線段的中點，若存在，求的方程；若不存在，說明理由.
2．已知橢圓方程為，過點，的直線傾斜角為，原點到該直線的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)對于，是否存在實數k，使得直線分別交橢圓于點P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
3．已知橢圓：，點、分別是橢圓的左焦點、左頂點，過點的直線（不與x軸重合）交橢圓于A，B兩點．

(1)求橢圓M的標準方程；
(2)若，求的面積；
(3)是否存在直線，使得點B在以線段為直徑的圓上，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
4．已知拋物線，直線垂直于軸，與交于兩點，為坐標原點，過點且平行于軸的直線與直線交于點，記動點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)點在直線上運動，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，在平面內是否存在定點，使得？若存在，請求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．
5．在直角坐標系中，拋物線與直線交于M，N兩點．
(1)若M，N的橫坐標分別為，4，求直線l的方程及MN的中垂線所在的直線方程；
(2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有 說明理由．
6．如圖，為拋物線上四個不同的點，直線AB與直線MN相交于點，直線AN過點

(1)記A，B的縱坐標分別為，求；
(2)記直線AN，BM的斜率分別為，是否存在實數，使得？若存在，求出的值，若不存在說明理由
7．已知橢圓:過點，離心率為，斜率不為零的直線過右焦點交橢圓于兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)在軸上是否存在定點，使得，如果存在，求出點坐標，如果不存在，說明理由.
8．已知離心率為的橢圓C的中心在原點O，對稱軸為坐標軸，F1，F2為左右焦點，M為橢圓上的點，且．直線l過橢圓外一點，與橢圓交于，兩點，滿足．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)對于任意點P，是否總存在唯一的直線l，使得成立，若存在，求出點對應的直線l的斜率；否則說明理由．
9．已知橢圓過點，且上頂點與右頂點的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點的直線交橢圓于兩點，軸上是否存在點使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
10．已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離是3．
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．
11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是的左頂點，的離心率為2.設過的直線交的右支于、兩點，其中在第一象限.

(1)求的標準方程；
(2)是否存在常數，使得恒成立？若存在，求出的值；否則，說明理由.
12．已知動點到定點的距離與動點到定直線的距離之比為．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)對，曲線上是否始終存在兩點，關于直線對稱？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．
13．已知拋物線經過點，直線與交于，兩點（異于坐標原點）．
(1)若，證明：直線過定點．
(2)已知，直線在直線的右側，，與之間的距離，交于，兩點，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
14．已知橢圓的焦距為2，且經過點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)經過橢圓右焦點F且斜率為的動直線l與橢圓交于A、B兩點，試問x軸上是否存在異于點F的定點T，使恒成立？若存在，求出T點坐標，若不存在，說明理由．
15．已知雙曲線：的左、右焦點為、，直線與雙曲線交于，兩點.
(1)已知過且垂直于，求；
(2)已知直線的斜率為，且直線不過點，設直線、的斜率分別為、，求的值；
(3)當直線過時，直線交軸于，直線交軸于.是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
2.探索性問題
一、解答題
1．已知橢圓:的左、右焦點分別為,,過點且斜率為k的直線與橢圓交于A,B兩點.當A為橢圓E的上頂點時,.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)當時,試判斷以AB為直徑的圓是否經過點,并說明理由.
2．過拋物線焦點，斜率為的直線與拋物線交于、兩點，．
(1)求拋物線的方程；
(2)過焦點的直線，交拋物線于、兩點，直線與的交點是否在一條直線上．若是，求出該直線的方程；否則，說明理由．
3．在以為圓心，6為半徑的圓A內有一點，點P為圓A上的任意一點，線段BP的垂直平分線和半徑AP交于點M．
(1)判斷點M的軌跡是什么曲線，并求其方程；
(2)記點M的軌跡為曲線，過點B的直線與曲線交于C、D兩點，求的最大值；
(3)在圓上的任取一點Q，作曲線的兩條切線，切點分別為E、F，試判斷QE與QF是否垂直，并給出證明過程．
4．已知橢圓C：，短軸長為4，離心率為，直線l過橢圓C的右焦點F，且與橢圓C交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)求面積的取值范圍；
(3)若圓O以橢圓C的長軸為直徑，直線l與圓O交于C、D兩點，若動點滿足，試判斷直線MC與圓O的位置關系，并說明理由．
5．已知點E是圓上的任意一點，點，線段DE的垂直平分線與直線EF交于點C．
(1)求點C的軌跡方程；
(2)點關于原點O的對稱點為B，與AB平行的直線l與點C的軌跡交于點M，N，直線AM與BN交于點P，試判斷直線OP是否平分線段MN，并說明理由．
6．已知雙曲線，其右焦點為，焦距為4，直線過點，且當直線的傾斜角為時，恰好與雙曲線有一個交點.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若直線交雙曲線于兩點，交軸于點，且滿足，判斷是否為常數，并給出理由.
7．已知橢圓的左、右頂點分別為，，橢圓E的離心率為．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)過作直線l與橢圓E交于不同的兩點M，N，其中l與x軸不重合，直線與直線交于點P，判斷直線與DP的位置關系，并說明理由．
8．已知橢圓的一個焦點為，點在橢圓上，點滿足（其中為坐標原點），過點作一直線交橢圓于、兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求面積的最大值；
(3)設點為點關于軸的對稱點，判斷與的位置關系，并說明理由.
9．已知拋物線的焦點為為圓上一動點，且的最小值為.
(1)求的方程；
(2)在的準線上，過作直線的垂線交于兩點，分別為線段的中點，試判斷直線與的位置關系，并說明理由.
10．已知雙曲線：，為的右頂點，若點到的一條漸近線的距離為．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若，是上異于的任意兩點，且的垂心為，試問：點是否在定曲線上？若是，求出該定曲線的方程；若不是，請說明理由．
11．橢圓的左右焦點分別為，左右頂點為，為橢圓的上頂點，的延長線與橢圓相交于，的周長為，，為橢圓上一點．圓以原點為圓心且過橢圓上頂點．
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點的直線與圓切于，（位于第一象限），求使得面積最大時的直線的方程；
(3)若直線與軸的交點分別為，以為直徑的圓與圓的一個交點為，判斷直線是否平行于軸并證明你的結論．
12．已知動點T為平面內一點，O為坐標原點，T到點的距離比點T到y軸的距離大1．設點T的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)設直線l：，過F的直線與C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，過M且與y軸垂直的直線依次交直線OA，OB，l于點N，P，Q，直線OB與l交于點E．記的面積為，△的面積為，判斷，的大小關系，并證明你的結論．
13．橢圓的焦點是一個等軸雙曲線的頂點,其頂點是雙曲線的焦點，橢圓與雙曲線有一個交點P，的周長為．
(1)求橢圓與雙曲線的標準方程；
(2)點M是雙曲線上的任意不同于其頂點的動點，設直線，的斜率分別為，求的值；
(3)過點任作一動直線l交橢圓于A、B兩點，記．若在線段AB上取一點R，使得，試判斷當直線l運動時，點R是否在某一定曲線上運動？若是，求出該定曲線的方程；若不是，請說明理由．
【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展37 圓錐曲線中的存在性和探索性問題（精講+精練）
一、圓錐曲線中的存在性問題
1.存在性問題通常采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化．
一般步驟為：
①假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數)存在,
②用待定系數法設出,
③列出關于待定系數的方程組,若方程組有實數解,則元素(點、直線、曲線或參數)存在；否則,元素(點、直線、曲線或參數)不存在．
注：反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法．
【一般策略】
求解字母參數值的存在性問題時，通常的方法是首先假設滿足條件的參數值存在，然后利用這些條件并結合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現矛盾，并且得到了相應的參數值，就說明滿足條件的參數值存在;若在推理與計算中出現了矛盾，則說明滿足條件的參數值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程.
二、圓錐曲線中的探索性性問題
1.對于探索性問題,一般先假設存在,推證滿足條件的結論,若結論正確則存在,若結論不正確則不存在．
要注意：(1)當條件和結論不唯一時要分類討論；
(2)當給出結論而要推導出存在的條件時,先假設成立,再推出條件；
(3)當條件和結論都不知,按常規方法解題很難時,要開放思維,采取另外合適的方法．
【典例1】已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點，M為線段AB的中點．
(1)當k變化時，求點M的軌跡方程；
(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點，問：是否存在實數k，使得A、B是線段CD的兩個三等分點？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．
【分析】（1）設，，，聯立直線l與雙曲線E的方程，消去y，得，根據已知直線l與雙曲線E相交于A、B兩點，得且，即且，由韋達定理，得，
則，，聯立消去k，得，再根據的范圍得出的范圍，即可得出答案；
（2）設，，根據雙曲線E的漸近線方程與直線l的方程聯立即可得出，，則，即線段AB的中點M也是線段CD的中點，若A，B為線段CD的兩個三等分點，則，結合弦長公式列式得，即可化簡代入得出，即可解出答案.
【詳解】（1）設，，，聯立直線l與雙曲線E的方程，得，
消去y，得．由且，得且．
由韋達定理，得．所以，．
由消去k，得．
由且，得或．所以，點M的軌跡方程為，其中或．
（2）雙曲線E的漸近線方程為．
設，，聯立得，同理可得，
因為，所以，線段AB的中點M也是線段CD的中點．
若A，B為線段CD的兩個三等分點，則．即，．
而，．
所以，，解得，
所以，存在實數，使得A、B是線段CD的兩個三等分點．
【典例2】在平面直角坐標系中,動點,滿足,記點的軌跡為．
（1）請說明是什么曲線,并寫出它的方程；
（2）設不過原點且斜率為的直線與交于不同的兩點,,線段的中點為,直線與交于兩點,,請判斷與的關系,并證明你的結論．
【解析】（1）設,,則因為,滿足,即動點表示以點,為左、右焦點,長軸長為4,焦距為的橢圓,其軌跡的方程為；
（2）可以判斷出,
下面進行證明：設直線的方程為,,,
由方程組,得①,
方程①的判別式為,由,即,解得且．
由①得,,
所以點坐標為,直線方程為,
由方程組,得,,
所以．
又．
所以21世紀教育網(www.21cnjy.com)
【題型訓練-刷模擬】
1.存在性問題
一、解答題
1．雙曲線：的漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.
(1)求的方程；
(2)是否存在直線，經過點且與雙曲線于A，兩點，為線段的中點，若存在，求的方程；若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，.
【分析】（1）利用雙曲線的性質及點到直線距離公式計算即可；
（2）利用點差法計算即可.
【詳解】（1）令，所以，
又由題意可知雙曲線的焦點到漸近線的距離，
所以雙曲線的標準方程為：；
（2）假設存在，
由題意知：該直線的斜率存在，設，，直線的斜率為，
則，，
又有，，
兩式相減得，即
即，所以，解得，
所以直線的方程為，即，
聯立直線與雙曲線方程得：
，
即直線與雙曲線有兩個交點，滿足條件，所以存在直線，其方程為.
2．已知橢圓方程為，過點，的直線傾斜角為，原點到該直線的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)對于，是否存在實數k，使得直線分別交橢圓于點P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)滿足條件的k不存在，理由見解析
【分析】（1）根據斜率定義得到，求出過點，的直線方程，由點到直線距離公式得到方程，求出，進而得到，得到橢圓方程；
（2）聯立直線與橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，設PQ的中點為M，由得到，由斜率關系得到方程，求出或，經過檢驗，均不合要求.
【詳解】（1）因為過點，的直線傾斜角為，
所以，即，
過點，的直線方程為，
故原點到該直線的距離為，解得，
故，所以橢圓的方程是．
（2）記，．將代入得，
，
則，解得或，
設PQ的中點為M，則，．
由，得，
∴，
∴，得或，
由于或，
故，均使方程沒有兩相異實根，
∴滿足條件的k不存在．
3．已知橢圓：，點、分別是橢圓的左焦點、左頂點，過點的直線（不與x軸重合）交橢圓于A，B兩點．

(1)求橢圓M的標準方程；
(2)若，求的面積；
(3)是否存在直線，使得點B在以線段為直徑的圓上，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由見詳解
【分析】（1）根據題意可得，進而可求和橢圓標準方程；
（2）可根據直線方程與橢圓方程聯立方程組解出交點坐標，再根據點的坐標，求三角形面積．△的面積可分割成兩個小三角形，其底皆為；
（3）存在性問題，一般從計算出發，即垂直關系結合橢圓方程交點求出B點坐標：或，而由橢圓范圍知這樣的B點不存在．
【詳解】（1）由左焦點、左頂點可知：，則，
所以橢圓的標準方程為.
（2）因為，，
則過的直線的方程為：，即，
解方程組，解得或，
所以的面積.
（3）若點B在以線段為直徑的圓上，等價于，即，
設，則，
因為，則，
令，
解得：或，
又因為，則不存在點，使得，
所以不存在直線，點B在以線段為直徑的圓上.
4．已知拋物線，直線垂直于軸，與交于兩點，為坐標原點，過點且平行于軸的直線與直線交于點，記動點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)點在直線上運動，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，在平面內是否存在定點，使得？若存在，請求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在定點
【分析】（1）由相關點代入法求軌跡方程即可；
（2）先由特殊位置確定定點在軸上，設定點，由相切求出切點滿足的關系式，再由垂直的坐標條件求解.
【詳解】（1）設，則，
由題意線垂直于軸，與交于兩點，知，
過點且平行于軸的直線方程為：，
直線的方程為：，
令，得，即，
由得，
因為在拋物線上，即，
則，化簡得，
由題意知不重合，故，
所以曲線的方程為

（2）由（1）知曲線的方程為，
點在直線上運動， 當點在特殊位置時，
兩個切點關于軸對稱，
故要使得，則點在軸上．

故設，
曲線的方程為，求導得，
所以切線的斜率，
直線的方程為，
又點在直線上，
所以，
整理得，
同理可得，
故和是一元二次方程的根，
由韋達定理得，
，
當時，恒成立，
所以存在定點，使得恒成立．

5．在直角坐標系中，拋物線與直線交于M，N兩點．
(1)若M，N的橫坐標分別為，4，求直線l的方程及MN的中垂線所在的直線方程；
(2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有 說明理由．
【答案】(1)答案見詳解
(2)存在，理由見詳解
【分析】（1）根據拋物線C的方程，求出點M、N的坐標，進而求相應的直線方程；
（2）設點P為符合題意的點，將直線l的方程與拋物線C的方程聯立，列出韋達定理，利用斜率公式計算直線PM和直線PN的斜率之和為0，求出的值，即可解決該問題．
【詳解】（1）由題意可知，，則直線的斜率，
所以直線l的方程為，即；
可得線段的中點坐標為，線段MN的中垂線所在的直線的斜率
線段MN的中垂線所在的直線方程為，即.
（2）存在符合題意的點，理由如下：
設點為符合題意的點，，，直線，的斜率分別為，．

聯立方程，得，
因為，則，可得，，
從而
，
因為不恒為0，可知當且僅當時，恒有，
則直線與直線的傾斜角互補，故，
所以點符合題意．
6．如圖，為拋物線上四個不同的點，直線AB與直線MN相交于點，直線AN過點

(1)記A，B的縱坐標分別為，求；
(2)記直線AN，BM的斜率分別為，是否存在實數，使得？若存在，求出的值，若不存在說明理由
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）設出直線的方程并與拋物線方程聯立，化簡寫出根與系數關系，從而求得正確答案.
（2）先求得，然后由求得正確答案.
【詳解】（1）設直線的方程為，
由消去并化簡得，
則.
（2）設直線的方程為，同（1）可求得，
設直線的方程為，
由消去并化簡得，
所以.
，
同理可求得，
則，
所以存在使得.
7．已知橢圓:過點，離心率為，斜率不為零的直線過右焦點交橢圓于兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)在軸上是否存在定點，使得，如果存在，求出點坐標，如果不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由橢圓上的點和離心率，求橢圓的方程；
（2）因為，所以，設直線方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理代入，求出點坐標.
【詳解】（1）因為橢圓過點，離心率為，
所以，解得，
所以橢圓C的方程為
（2）假設在軸上存在定點， 使得，

設直線L的方程為，，，
因為，所以，
即 ，所以 ，
即，
所以 （*） ，
由，得 ，
所以 代入（*），
得，
所以 ，故在軸上存在定點，使得.
另解：
①當斜率存在時，設的方程為，
因為，所以，
即 ，所以 ，
即，
即（*），
由得，
則 ，代入（*） 得 ，
所以，故在軸上存在定點，使得.
②當斜率不存在時，顯然
綜上所述：在軸上存在定點，使得.
8．已知離心率為的橢圓C的中心在原點O，對稱軸為坐標軸，F1，F2為左右焦點，M為橢圓上的點，且．直線l過橢圓外一點，與橢圓交于，兩點，滿足．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)對于任意點P，是否總存在唯一的直線l，使得成立，若存在，求出點對應的直線l的斜率；否則說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由橢圓定義得出，再應用離心率得出橢圓方程即可；
（2）設直線l方程為聯立與橢圓方程可得韋達定理，再結合向量共線計算唯一性可得.
【詳解】（1）由題可設橢圓方程為，則，
由橢圓定義可得，
則，，，
所以橢圓的方程為：．
（2）設直線l方程為（斜率必存在），
則，，
，
，
，
化簡得①，
聯立與橢圓方程可得，，，
，，
代入①得，，
②，
，
代入②得：，故，
而點A、B在x軸上方，所以對于任意一個，存在唯一的使得成立，
故滿足題意的直線l有且只有一條．
例如，時：

9．已知橢圓過點，且上頂點與右頂點的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點的直線交橢圓于兩點，軸上是否存在點使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；點
【分析】（1）根據上頂點與右頂點距離和橢圓所過點可構造方程組求得，進而得到橢圓方程；
（2）當直線與軸不重合時，假設直線方程，與橢圓方程聯立可得韋達定理的結論，根據可構造方程求得點坐標；當直線與軸重合時，驗證所求點坐標滿足條件；綜合兩種情況可得結論.
【詳解】（1）橢圓上頂點與右頂點的距離為，；
又橢圓過點，；
兩式聯立可解得：，，橢圓的方程為：.
（2）當直線與軸不重合時，設其方程為，，
由得：，
則，解得：或，
，，
假設存在點使得，即存在點使得，

設點，則，
，
，又，，解得：，
；
當直線與軸重合時，分別為橢圓左右頂點，
若，此時顯然成立；
綜上所述：軸上存在點滿足題意．
10．已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離是3．
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，該直線方程為
【分析】（1）設橢圓上一點，，表達出，得到，結合離心率得到，求出橢圓方程；
（2）根據點差法求出斜率，再根據點斜式可求出結果．
【詳解】（1）由題意得，設橢圓右焦點坐標為，
設橢圓上一點，，
則，故，
，
因為，所以，，
故，
故橢圓上的點到又焦點的最小距離是，所以，
聯立與，解得，故，
故橢圓的方程為．
（2）假設存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點，
設，，
則，兩式相減得，
得，即，
直線方程為，即．
所以存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點，
且該直線方程為．
11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是的左頂點，的離心率為2.設過的直線交的右支于、兩點，其中在第一象限.

(1)求的標準方程；
(2)是否存在常數，使得恒成立？若存在，求出的值；否則，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據離心率，以及，結合，即可求得曲線方程；
（2）求得直線不存在斜率時滿足的，當斜率存在時，將所求問題，轉化為直線斜率之間的關系，結合點的坐標滿足曲線方程，求解即可.
【詳解】（1）由題可得，故可得，則，
故的標準方程為.
（2）當直線斜率不存在時，
對曲線，令，解得，
故點的坐標為，此時，
在三角形中，，故可得，
則存在常數，使得成立；
當直線斜率存在時，
不妨設點的坐標為，，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，
則，，
假設存在常數，使得成立，即，
則一定有：，也即；
又；；
又點的坐標滿足，則，
故；
故假設成立，存在實數常數，使得成立；
綜上所述，存在常數，使得恒成立.
12．已知動點到定點的距離與動點到定直線的距離之比為．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)對，曲線上是否始終存在兩點，關于直線對稱？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）設，則，整理即可得解；
（2）當時，設直線方程為，，，聯立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，設的中點為，則滿足，即可得，再由求出的值，即可得解.
【詳解】（1）設，則，
即，整理得，
所以點的軌跡的方程為．
（2）假設曲線上始終存在兩點，關于直線對稱，
當時，設直線方程為，，，
聯立，整理得，
則，
所以，．
設的中點為，
則，，
將代入，則，
所以，所以對恒成立，
即對恒成立，
因為，所以，則．
易知當時，曲線上存在兩點，關于直線對稱．
所以的取值范圍為．
13．已知拋物線經過點，直線與交于，兩點（異于坐標原點）．
(1)若，證明：直線過定點．
(2)已知，直線在直線的右側，，與之間的距離，交于，兩點，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）將點代入拋物線方程求出，直線與拋物線聯立方程組，由，利用向量數量積和韋達定理，求出，可得直線所過定點.
（2）設兩條直線與的方程，分別與拋物線方程聯立，求出弦長，由和 ，求的值.
【詳解】（1）證明：將點代入，得，即．
聯立得，

由，設，，則，．
因為，所以恒成立，則，
所以的方程為，故直線過定點．
（2）聯立得，則
且，即，
，
設，同理可得．

因為直線在的右側，所以，則，即．
所以，即，解得，
因為，所以滿足條件的存在，.
【點睛】方法點睛：
解答直線與拋物線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；強化有關直線與拋物線聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
14．已知橢圓的焦距為2，且經過點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)經過橢圓右焦點F且斜率為的動直線l與橢圓交于A、B兩點，試問x軸上是否存在異于點F的定點T，使恒成立？若存在，求出T點坐標，若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；點
【分析】（1）根據題意，得到，再由橢圓經過點，聯立方程組，求得，即可求解.
（2）設直線l的方程為，聯立方程組，得到，設點坐標為，由，得到，得到，得到，列出方程，求得，即可求解．
【詳解】（1）解：由橢圓的焦距為2，故，則，
又由橢圓經過點，代入得，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）解：根據題意，直線l的斜率顯然不為零，令，
由橢圓右焦點，故可設直線l的方程為，
聯立方程組，整理得，
則，
設，，且，
設存在點，設點坐標為，由，可得，
又因為，
所以，所以，
所以直線和關于軸對稱，其傾斜角互補，即有，
則，所以，
所以，整理得，
即，即，
解得，符合題意，即存在點滿足題意．
15．已知雙曲線：的左、右焦點為、，直線與雙曲線交于，兩點.
(1)已知過且垂直于，求；
(2)已知直線的斜率為，且直線不過點，設直線、的斜率分別為、，求的值；
(3)當直線過時，直線交軸于，直線交軸于.是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)3
(2)0
(3)存在，
【分析】（1）直接代入橫坐標求解縱坐標，從而求出的值；
（2）先設出直線和得到韋達定理，然后列出斜率之和的式子帶入即可；
（3）先設直線和得到韋達定理，在分別得到兩個三角形的面積公式，要求相等，代入韋達定理求出參數的值即可.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，當直線過點且時，此時軸，所以，
代入可得，所以；
（2）設直線，因為直線不經過點，所以，
聯立，得，
所以，
由韋達定理，
故.
（3）如圖所示，

若直線的斜率為0，此時為軸，為左右頂點，
此時不構成三角形，矛盾，所以直線的斜率不為0，設：
由，得，
滿足，
此時：，
故，同理，
，
而，
故由，得
而，
代入可得，解得或（舍），
所有，經檢驗此時滿足且，
故存在滿足條件的直線，其方程為
法二：即，
由相似三角形可知，
所以（*）.
若斜率不存在，則均在右支，此時，矛盾，舍去；
所以設：，
聯立，可得（**），
需滿足，
由韋達定理，，，
代入（*）得或者，
解得（舍）或者，所以，
經檢驗，此時滿足且.
故方程為：.
【點睛】關鍵點睛：碰到面積相等或者成比例的題的時候，往往可以利用同角的邊成比例來解決，可以降低思維量和運算量.
2.探索性問題
一、解答題
1．已知橢圓:的左、右焦點分別為,,過點且斜率為k的直線與橢圓交于A,B兩點.當A為橢圓E的上頂點時,.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)當時,試判斷以AB為直徑的圓是否經過點,并說明理由.
【答案】(1)
(2)以為直徑的圓不經過點,理由見解析
【分析】(1)將直線方程求出來,再帶入向量等式即可求出橢圓方程;
(2)聯立計算出的值,即可判斷是否經過.
【詳解】（1）由題意,得橢圓的半焦距,
當為橢圓的上頂點時,,設,
則,.
由,得,,
∴,
將點的坐標代入橢圓的方程,得，解得.
又,∴,
∴橢圓的標準方程是.
（2）以AB為直徑的圓不經過點,理由如下:
依題意,知直線的方程為.
聯立,消去,并整理得.
設,,則由根與系數的關系,得,.
易知,直線,的斜率都存在且不為0.
若以為直徑的圓經過點,則，所以直線,的斜率之積為-1,即,
而
,
所以以為直徑的圓不經過點.
2．過拋物線焦點，斜率為的直線與拋物線交于、兩點，．
(1)求拋物線的方程；
(2)過焦點的直線，交拋物線于、兩點，直線與的交點是否在一條直線上．若是，求出該直線的方程；否則，說明理由．
【答案】(1)
(2)直線與直線的交點都在上
【分析】（1）設直線，與拋物線方程聯立，根據拋物線定義及求得；
（2）分別表示出直線與方程，聯立得交點的橫坐標為定值.
【詳解】（1）由題意設直線，，，
聯立方程組，消得，，
所以，，解得，
即指物線的方程為．
（2）由（1）可知，，．
設直線，，,
聯立方程組，消得，
所以，．
直線的斜率為 ，
所以直線，即，
同理可得直線，從而，
即，
解得，所以直線與直線的交點都在上．
3．在以為圓心，6為半徑的圓A內有一點，點P為圓A上的任意一點，線段BP的垂直平分線和半徑AP交于點M．
(1)判斷點M的軌跡是什么曲線，并求其方程；
(2)記點M的軌跡為曲線，過點B的直線與曲線交于C、D兩點，求的最大值；
(3)在圓上的任取一點Q，作曲線的兩條切線，切點分別為E、F，試判斷QE與QF是否垂直，并給出證明過程．
【答案】(1)
(2)
(3)與垂直,證明見解析
【分析】（1）根據已知條件及線段的垂直平分線定理，利用圓的半徑及橢圓的定義，結合橢圓中三者的關系即可求解；
（2）根據已知條件及直線的點斜式方程設出直線的方程，與橢圓的方程聯立，利用韋達定理及點在直線上，結合向量的數量積的坐標表示即可求解；
（3）根據已知條件及直線的點斜式方程設出直線的方程，與橢圓的方程聯立，利用直線與橢圓相切的條件，結合兩直線垂直的條件即可求解；
【詳解】（1）由題意可知,
因為線段的垂直平分線和半徑交于點，
所以,
所以,
由橢圓的定義知，點的軌跡是以、為焦點的橢圓，
由，得，又，
所以，
所以橢圓的標準方程為.
（2）當直線斜率不存在時，直線方程為，則，,
所以，
此時，
當直線斜率存在時，設直線的方程為，則
，消去，得，
所以，
設，,則，
所以，
綜上，的最大值為.
（3）與垂直,證明如下：設，則，
①當兩切線中有一條切線斜率不存在時，即與軸垂直時，切線方程為，
即，得，
所以另一條切線方程為，即與軸平行，所以兩切線垂直.
當斜率存在時，，設切線方程為，則
，消，得，
由于直線與橢圓相切，得，
化簡得，
因為，所以，即兩條切線相互垂直，
綜上，過點作的兩條切線與垂直.
4．已知橢圓C：，短軸長為4，離心率為，直線l過橢圓C的右焦點F，且與橢圓C交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)求面積的取值范圍；
(3)若圓O以橢圓C的長軸為直徑，直線l與圓O交于C、D兩點，若動點滿足，試判斷直線MC與圓O的位置關系，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)MC與圓O相切，理由見解析
【分析】(1)根據橢圓的關系求解；
(2)利用韋達定理求出，再結合函數的單調性求面積的最值；
(3)利用向量的數量積的坐標表示，再證明即可判斷位置關系.
【詳解】（1）由題可得，，且解得，，
橢圓C標準方程為.
（2）由題可知，直線l不能與x重合，，設直線l的方程為，
直線l與橢圓C的交點為，，
由化簡得，
，，
令，可得，，，
設 時單調遞增，所以當時 取得最小值為，所以，
當，即時面積取到最大值
（3）MC與圓O相切.
圓O方程為，設，因為點C在橢圓上，
所以，，，
，，
由，得，
即，，可得，
方法1：
且，
可得，，，
所以MC與圓O相切，
方法2：，
所以，，所以MC與圓O相切.
5．已知點E是圓上的任意一點，點，線段DE的垂直平分線與直線EF交于點C．
(1)求點C的軌跡方程；
(2)點關于原點O的對稱點為B，與AB平行的直線l與點C的軌跡交于點M，N，直線AM與BN交于點P，試判斷直線OP是否平分線段MN，并說明理由．
【答案】(1)
(2)直線OP平分線段MN，理由見解析
【分析】（1）由題意得，利用橢圓的定義，得點的軌跡是以、為焦點的橢圓，進而得到橢圓的方程；
（2）設，的方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理可得到的中點，接著求出直線的方程、直線的方程，聯立兩直線方程得，由化簡化簡可得答案.
【詳解】（1）由題意，，又∵，
∴，
∴點的軌跡是以、為焦點的橢圓，其中，，
所以，
∴橢圓的方程為.
（2）易得，設，
，將的方程與聯立消，得，
則，得且，
且，所以，
所以的中點為即，
因為，
所以直線的方程為，即，
直線的方程為，即，
聯立直線與直線的方程，得，
得，
所以
，所以三點共線，
所以直線OP平分線段MN
6．已知雙曲線，其右焦點為，焦距為4，直線過點，且當直線的傾斜角為時，恰好與雙曲線有一個交點.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若直線交雙曲線于兩點，交軸于點，且滿足，判斷是否為常數，并給出理由.
【答案】(1)
(2)為常數，理由見解析
【分析】（1）先利用雙曲線的性質推得，再由半焦距得，從而由得到關于的方程，解之即可；
（2）聯立直線與雙曲線的方程得到關于的表達式，再由得到關于，從而求得，由此得解.
【詳解】（1）因為雙曲線，所以其漸近線為，
當直線的傾斜角為時，恰好與雙曲線有一個交點，又經過焦點，
可得此時直線與雙曲線的一條漸近線平行，所以，則，
因為焦距為4，所以半焦距，
又因為，所以，解得，故，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）為常數，理由如下：
由題意，知雙曲線的右焦點為，直線的斜率存在，
設，直線的方程為，
聯立，消去，得，
顯然，則，
易知，
因為，
所以，
所以，
所以，
所以為常數.
.
7．已知橢圓的左、右頂點分別為，，橢圓E的離心率為．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)過作直線l與橢圓E交于不同的兩點M，N，其中l與x軸不重合，直線與直線交于點P，判斷直線與DP的位置關系，并說明理由．
【答案】(1)橢圓E的標準方程為；
(2)平行，理由見解析.
【分析】（1）由條件列關于的方程，解方程求。可得橢圓方程；
（2）根據題意設直線MN及M、N點坐標，結合題意求點P的坐標，結合韋達定理證明即可.
【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，
由已知點的坐標分別為，
因為，所以，所以，
又橢圓E的離心率為，所以，
所以，
所以，
所以橢圓E的標準方程為；
（2）因為直線與x軸不重合，且過點，
所以可設直線的方程為，
聯立方程，消去x可得，
方程的判別式，
設
∴，
∵，則
則直線的方程為，
代入可得，即
∴，
則
∵，即
∴，
所以直線與DP平行.
8．已知橢圓的一個焦點為，點在橢圓上，點滿足（其中為坐標原點），過點作一直線交橢圓于、兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求面積的最大值；
(3)設點為點關于軸的對稱點，判斷與的位置關系，并說明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)與共線，理由見解析
【分析】（1）根據已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得出橢圓的標準方程；
（2）分析可知直線與軸不重合，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，利用三角形的面積公式結合基本不等式可求得面積的最大值；
（3）易知點，利用平面向量共線的坐標表示結合韋達定理法可得出與共線，則問題得解.
【詳解】（1）解：由得，所以，橢圓方程為.
（2）解：若直線與軸重合，則、、三點共線，不合乎題意，
設直線的方程為，設點、，
由得，，
由韋達定理可得，，
由條件可知，即點，
，
當且僅當時，等號成立，故面積的最大值為.
（3）解：與共線，理由如下：
易知點，，
則
.
所以，與共線.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；
二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值．
9．已知拋物線的焦點為為圓上一動點，且的最小值為.
(1)求的方程；
(2)在的準線上，過作直線的垂線交于兩點，分別為線段的中點，試判斷直線與的位置關系，并說明理由.
【答案】(1)
(2)直線與相切，理由見解析
【分析】（1）由的最小值，可求出，從而得到的方程；
（2）設直線的方程為，與拋物線聯立方程組，設的坐標分別為，直線的方程為，則，表示出點和的坐標和直線的方程，利用韋達定理和判別式證明直線與相切.
【詳解】（1）圓，圓心，半徑為，
因為，所以，
又，所以，故的方程為.
（2）設直線的方程為，如圖所示，
由，得直線的方程為，
則點的坐標為.
聯立消去后整理得，
設的坐標分別為，則，，
可得點的坐標為.
由分別為線段的中點，可得點的坐標為，即，
同理可得點的坐標為.
當時，點的坐標為，軸，直線的方程為，顯然與相切.
當時，直線的斜率為，
則直線的方程為，
將代入，得，整理得，
將代入，得直線的方程為，
聯立方程得，
則，可得直線與相切.
綜上，直線與相切.
10．已知雙曲線：，為的右頂點，若點到的一條漸近線的距離為．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若，是上異于的任意兩點，且的垂心為，試問：點是否在定曲線上？若是，求出該定曲線的方程；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)垂心在定曲線上
【分析】（1）運用點到直線距離公式和雙曲線中之間的關系求解；
（2）根據M，N點是否與重合以及是否與x軸對稱，分類討論即可.
【詳解】（1）由題意，雙曲線的漸近線方程為，所以點到漸近線的距離為，從而解得，
即的標準方程為；
（2）情形一：，中沒有一點為，且直線的斜率存在，

設直線：，，，則AM和AN的斜率分別為：，
易得邊的高線的斜率為 ，方程為：，即，
邊AN的高線的斜率為：，方程為：，
聯立，，消去，
可得
，
聯立，，，
所以，，
又，所以，
從而，
又H點也在MN邊的高線上，MN邊高線的方程為：，消去可得，
化簡得，即點在定曲線上；
若MN斜率不存在，則M，N關于x軸對稱，即，如圖：

設 ，則是等腰三角形，所以在x軸上，即，
，
，聯立：，解得：，
，在定曲線上；
情形二：，中有一點即，設，不妨，設，過N點作AM的垂線，則H點在該垂線上，如圖：

則， 解得，所以點在曲線上；
綜上，曲線C的方程為：，H點總在曲線上.
11．橢圓的左右焦點分別為，左右頂點為，為橢圓的上頂點，的延長線與橢圓相交于，的周長為，，為橢圓上一點．圓以原點為圓心且過橢圓上頂點．
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點的直線與圓切于，（位于第一象限），求使得面積最大時的直線的方程；
(3)若直線與軸的交點分別為，以為直徑的圓與圓的一個交點為，判斷直線是否平行于軸并證明你的結論．
【答案】(1)
(2)
(3)直線平行于軸，證明見解析
【分析】(1)由的周長為得,由且在的延長線上，得,設，代入坐標，可求，從而，橢圓方程可得.
(2) 由可知，當時，面積取得最大值，此時即從而可求直線的方程；
(3)設 則可以寫出直線AP，BP的方程,從而求出，，根據為直徑，可得，再根據及，可求，從而得證.
【詳解】（1）由的周長為得，．
由且在的延長線上，得，設，
,
則，
又，解得，
所以，橢圓的方程為
（2）又，
所以當時，面積取得最大值，此時點，又因為點位于第一象限，直線的方程為．
（3）直線平行于軸．理由如下：
由題意知點P不與點A或點B重合，設則直線AP的方程為，
令得同理可求
，
將及代入化簡得，所以直線平行于軸．
【點睛】關鍵點點睛：
第三問：設、的坐標，則可以寫出直線AP，BP的方程,從而求出、的坐標,根據為直徑，可得，再根據及，可求，從而得證.
12．已知動點T為平面內一點，O為坐標原點，T到點的距離比點T到y軸的距離大1．設點T的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)設直線l：，過F的直線與C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，過M且與y軸垂直的直線依次交直線OA，OB，l于點N，P，Q，直線OB與l交于點E．記的面積為，△的面積為，判斷，的大小關系，并證明你的結論．
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】（1）利用兩點距離公式及點線距離求軌跡方程；
（2）設直線，，，聯立軌跡C，應用韋達定理依次求出坐標，進而確定，再求出坐標，即可證結論.
【詳解】（1）設，由題意得，化簡得y2＝4x，
故所求動點T的軌跡方程C：．
（2），的大小相同，證明如下：
設直線，，，
由得：，，則，．
線段AB的中點為M，則，，
又直線，令，則，故，
同理，則，，所以．
又直線，令，則，即，
綜上，．
【點睛】關鍵點點睛：由共線，求出它們的點坐標證明，再證、縱坐標相等.
13．橢圓的焦點是一個等軸雙曲線的頂點,其頂點是雙曲線的焦點，橢圓與雙曲線有一個交點P，的周長為．
(1)求橢圓與雙曲線的標準方程；
(2)點M是雙曲線上的任意不同于其頂點的動點，設直線，的斜率分別為，求的值；
(3)過點任作一動直線l交橢圓于A、B兩點，記．若在線段AB上取一點R，使得，試判斷當直線l運動時，點R是否在某一定曲線上運動？若是，求出該定曲線的方程；若不是，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)1；
(3)是 ，
【分析】（1）根據橢圓和雙曲線的關系，結合橢圓和雙曲線的性質，求得代入方程即可求解；
（2）設點，利用斜率方程求得k1,k2,結合雙曲線方程，即可求得k1k2；
（3）法一：分兩種情況討論，當直線l的斜率為0，則，當直線l的斜率不為0，設直線方程并與橢圓方程聯立，結合韋達定理，然后根據，聯立方程即可出.
法二：直接設直線，聯立橢圓方程得到韋達定理式，根據向量關系求出的表達式，設，整理得，再整體代入即可.
【詳解】（1）設橢圓的右焦點為（c,0）（c>0），則,
由題知，雙曲線：,所以，即，
因為的周長為，即，
聯立①②③得，，
所以橢圓的方程為，
雙曲線的標準方程為
（2）設雙曲線上的點，，
則．
又
（3）是；由題知直線l的斜率存在，
法一：
①當直線l的斜率為0時，，
，
②當直線l的斜率不為0時，設其方程為，
④
解得，其中，且，
，
，
由
，
所以點R在一條定直線上．
法二：
依題可知:直線的斜率存在,設其方程為，
，
所以,消元整理得,
所以
，
由得,，所以，
設，由得,
所以，
所以在定直線上.
【點睛】方法點睛：本題采取設線法，然后聯立橢圓方程得到韋達定理式，通過向量運算得到其橫坐標表達式，再通過向量關系代換整理成韋達定理比值式，再將得到的韋達定理式整體代入運算即可得到該定直線方程．
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