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2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展04 指數、對數、冪值比較大小（精講+精練）
一、常規思路
1. ①底數相同，指數不同時，如和，利用指數函數的單調性；
②指數相同，底數不同，如和利用冪函數單調性比較大小；
③底數相同，真數不同，如和利用指數函數單調性比較大小；
注：除了指對冪函數，其他函數（比如三角函數，對勾函數等）也都可以利用單調性比較大小。
2.底數、指數、真數、三角函數名都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助“媒介數”進行大小關系的判定.
3.通過做差與0的比較來判斷兩數的大小；通過做商與1的比較來判斷兩數的大小。
二、同構構造函數或者利用作差或作商法構造函數
1.同構是構造函數的一種常用方法.常利用將要比較的三個數化為結構相同的式子,再將其看作同一個函數的三個值,用常值換元構造函數,利用函數的單調性比較大小.
2.對于同時含有指數、對數結構的兩個變量的等式,或者含兩個變量,且結構相似的等式,比較相關的兩個變量間的大小問題時,思考的邏輯路徑為先分離變量,再將等式通過合理變形,放縮成結構相同的不等式,然后利用同構函數思想,轉化為比較某個函數的兩個函數值與的大小,最后利用函數的單調性,轉化為比較自變量與的大小,實現將超越函數普通化的目的,達到事半功倍的效果。
常見指數、對數的同構函數有:
(1)與; (2)與;
(3)與; (4)與。
3.作差法、作商法是構造函數的一種最常用的方法.解題的關鍵是作差(或作商)后將得到式子中相同部分看作變量,由常值換元法構造函數,利用函數的單調性比較大小.比較兩個代數式的大小時,若在適當變形的基礎上,能夠發現這兩個代數式均涉及某個特殊的“數字”,則可將該數字利用變量“”加以表示,從而可考慮通過作差(或作商)方式,靈活構造函數,并利用函數的單調性,巧妙比較大小.
三、放縮法
1.
【典例1】 設，，，則a，b，c的大小關系為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據換底公式可得，由對數函數的性質可得，從而可比較大小.
【詳解】,
因為在上單調遞增，所以，
所以，即.
又，所以.
故選:A.
【典例2】已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先對等式變形得到，，，構造，求導得到其單調性，結合，，得到，，由推出，結合函數單調性求出，從而比較出大小.
【詳解】由，同理，，
令，，
當時，，當時，，
可得函數的遞減區間為，遞增區間為，而2 < e < 3 < 4，
又由，，可得，，
，
又由及的單調性，可知，故．故選：C．
【點睛】關鍵點點睛：構造函數比較大小是高考熱點和難點，結合代數式的特點，選擇適當的函數，通過導函數研究出函數的單調性，從而比較出代數式的大小，本題中，變形得到，，，從而構造，達到比較大小的目的.
【典例3】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡得，構造函數，通過導數可證得，可得，而，從而可得答案．
【詳解】.設，則有，單調遞減，從而，所以，故，即，而，故有．故選：A．
【題型訓練1-刷真題】
1．（2022·全國·統考高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全國·統考高考真題）設，，．則（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全國·統考高考真題）已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（ ）
A．a4．（2020·全國·統考高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
【題型訓練2-刷模擬】
1.常規思路
1．已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
2．已知實數，，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
6．設，則a，b，c的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
2.構造函數
一、單選題
1．（2023春·北京·高三北京鐵路二中校考期中）設，，（），則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·湖北·高三校聯考階段練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·安徽安慶·高三安徽省懷寧縣新安中學校考期末）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學校校考階段練習）設，，，則a、b、c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·高三專題練習），，，則（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·江蘇宿遷·高三統考開學考試）已知則（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·新疆·統考一模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·新疆烏魯木齊·高三統考階段練習）設，，，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·浙江杭州·高三學軍中學校考階段練習）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·全國·高三專題練習）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2023秋·廣東廣州·高三統考階段練習）設．則a，b，c大小關系是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023秋·江蘇揚州·高三校考階段練習）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
13．（2023秋·遼寧錦州·高三統考期末）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·廣西河池·校聯考模擬預測）設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
3.放縮法
1．（2023·全國·高三專題練習）若,則
A. B. C. D.
2．（2023·全國·高三專題練習）已知正數滿足,則
A. B. C. D.
3．（2023·全國·模擬預測）已知，，，試比較a，b，c的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
28．（2023春·湖北武漢·高三校聯考期末）設，，，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
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2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展04 指數、對數、冪值比較大小（精講+精練）
一、常規思路
1. ①底數相同，指數不同時，如和，利用指數函數的單調性；
②指數相同，底數不同，如和利用冪函數單調性比較大小；
③底數相同，真數不同，如和利用指數函數單調性比較大小；
注：除了指對冪函數，其他函數（比如三角函數，對勾函數等）也都可以利用單調性比較大小。
2.底數、指數、真數、三角函數名都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助“媒介數”進行大小關系的判定.
3.通過做差與0的比較來判斷兩數的大小；通過做商與1的比較來判斷兩數的大小。
二、同構構造函數或者利用作差或作商法構造函數
1.同構是構造函數的一種常用方法.常利用將要比較的三個數化為結構相同的式子,再將其看作同一個函數的三個值,用常值換元構造函數,利用函數的單調性比較大小.
2.對于同時含有指數、對數結構的兩個變量的等式,或者含兩個變量,且結構相似的等式,比較相關的兩個變量間的大小問題時,思考的邏輯路徑為先分離變量,再將等式通過合理變形,放縮成結構相同的不等式,然后利用同構函數思想,轉化為比較某個函數的兩個函數值與的大小,最后利用函數的單調性,轉化為比較自變量與的大小,實現將超越函數普通化的目的,達到事半功倍的效果。
常見指數、對數的同構函數有:
(1)與; (2)與;
(3)與; (4)與。
3.作差法、作商法是構造函數的一種最常用的方法.解題的關鍵是作差(或作商)后將得到式子中相同部分看作變量,由常值換元法構造函數,利用函數的單調性比較大小.比較兩個代數式的大小時,若在適當變形的基礎上,能夠發現這兩個代數式均涉及某個特殊的“數字”,則可將該數字利用變量“”加以表示,從而可考慮通過作差(或作商)方式,靈活構造函數,并利用函數的單調性,巧妙比較大小.
三、放縮法
1.
【典例1】 設，，，則a，b，c的大小關系為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據換底公式可得，由對數函數的性質可得，從而可比較大小.
【詳解】,
因為在上單調遞增，所以，
所以，即.
又，所以.
故選:A.
【典例2】已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先對等式變形得到，，，構造，求導得到其單調性，結合，，得到，，由推出，結合函數單調性求出，從而比較出大小.
【詳解】由，同理，，
令，，
當時，，當時，，
可得函數的遞減區間為，遞增區間為，而2 < e < 3 < 4，
又由，，可得，，
，
又由及的單調性，可知，故．故選：C．
【點睛】關鍵點點睛：構造函數比較大小是高考熱點和難點，結合代數式的特點，選擇適當的函數，通過導函數研究出函數的單調性，從而比較出代數式的大小，本題中，變形得到，，，從而構造，達到比較大小的目的.
【典例3】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡得，構造函數，通過導數可證得，可得，而，從而可得答案．
【詳解】.設，則有，單調遞減，從而，所以，故，即，而，故有．故選：A．
【題型訓練1-刷真題】
一、單選題
1．（2022·全國·統考高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構造函數， 導數判斷其單調性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構造法
設，因為，
當時，，當時，
所以函數在單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設，則,
令，，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數單調遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調遞增，可得 ，即 ，所以
故
2．（2021·全國·統考高考真題）設，，．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用對數的運算和對數函數的單調性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關系，將0.01換成x,分別構造函數,，利用導數分析其在0的右側包括0.01的較小范圍內的單調性，結合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關系.
【詳解】[方法一]：
，
所以；
下面比較與的大小關系.
記，則，，
由于
所以當0所以在上單調遞增，
所以，即，即；
令，則，，
由于，在x>0時，，
所以，即函數在[0，+∞)上單調遞減，所以，即，即b綜上，，
故選：B.
[方法二]：
令
，即函數在（1，+∞)上單調遞減
令
，即函數在（1，3)上單調遞增
綜上，，
故選：B.
【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構造函數，利用導數研究相應函數的單調性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.
3．（2020·全國·統考高考真題）已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（ ）
A．a【答案】A
【分析】由題意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小關系，由，得，結合可得出，由，得，結合，可得出，綜合可得出、、的大小關系.
【詳解】由題意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
綜上所述，.
故選：A.
【點睛】本題考查對數式的大小比較，涉及基本不等式、對數式與指數式的互化以及指數函數單調性的應用，考查推理能力，屬于中等題.
4．（2020·全國·統考高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將不等式變為，根據的單調性知，以此去判斷各個選項中真數與的大小關系，進而得到結果.
【詳解】由得：，
令，
為上的增函數，為上的減函數，為上的增函數，
，
，，，則A正確，B錯誤；
與的大小不確定，故CD無法確定.
故選：A.
【點睛】本題考查對數式的大小的判斷問題，解題關鍵是能夠通過構造函數的方式，利用函數的單調性得到的大小關系，考查了轉化與化歸的數學思想.
【題型訓練2-刷模擬】
1.常規思路
一、單選題
1．已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指對數函數的性質判斷參數的大小關系即可.
【詳解】因為在上單調遞減，所以，即．
因為在上單調遞增，所以，即．
因為在上單調遞增，所以，即．
綜上，．
故選：D
2．已知實數，，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用對數函數性質證明，利用比商法結合基本不等式比較，結合指數函數性質證明，由此證明，再確定的大小關系.
【詳解】因為函數為上的增函數，
所以，
故，即，又，，
故，則，
而，故，
所以，則，
所以，
故選：B．
3．已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據對數的運算可得，作差可推得，開方即可得出.作差可得，開方即可得出.
【詳解】因為，
所以，所以.
因為，，所以.
因為，
所以，.
因為，，所以.
綜上所述，.
故選：A.
4．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據對數的運算，分別利用對數的單調性、對數作商即可求解.
【詳解】因為，，，
由，所以，
由，而，則，所以，
綜上：，故選：A.
5．已知，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由冪函數和對數函數的單調性進行比較即可.
【詳解】∵冪函數在區間上單調遞減，
∴，即，
∵對數函數在區間上單調遞增，
∴，即，
綜上所述，，，的大小關系為.
故選：D.
6．設，則a，b，c的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指數函數和冪函數的單調性證明，利用對數函數單調性證明，即可得到正確結論.
【詳解】指數函數，為減函數，
∴，
∵冪函數為增函數，
∴，
∴，
∵對數函數為減函數，
∴，即，
∴.
故選：A.
2.構造函數
一、單選題
1．（2023春·北京·高三北京鐵路二中校考期中）設，，（），則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函數的單調性對a，b，c進行大小比較即可.
【詳解】令，則
由，得，由，得
則在單調遞減，在單調遞增，在時取最小值.
故，且
又由，可得，則
即，則
綜上，有，即
故選：A
2．（2023春·湖北·高三校聯考階段練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通過構造函數，利用導數研究單調性的方法比較大小.
【詳解】，
令，則，
設，有，
所以在上單調遞增，即在上單調遞增，從而，
所以在上單調遞增，于是，即；
，
令，則，
所以在上單調遞增，于是，即，所以.
故選：A.
3．（2023秋·安徽安慶·高三安徽省懷寧縣新安中學校考期末）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意，利用作差法，構造函數，利用導數研究其單調性，可得答案.
【詳解】①
令，則，
故在上單調遞減，
可得，即，所以；
②
令，則，
令，所以，
當時，，
所以在上單調遞增，可得，即，
所以在上單調遞增，可得，即，所以.
故.
故選：B.
4．（2023秋·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學校校考階段練習）設，，，則a、b、c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用，構造且研究單調性比較大小，構造且研究單調性判斷函數值符號比較的大小，即可得結果.
【詳解】由，
因為，，則，，
令且，則，則遞減，
所以，即，則，故；
因為，，由，
令且，則，則遞增；
故，，而，
所以，則，即，
綜上，.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：利用中間值得到，構造利用導數研究單調性比較，作差法并構造研究函數值符號比較大小.
5．（2023·全國·高三專題練習），，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先構造函數，通過求導判斷單調性，比較出b和c的大小；再找中間值和，通過構造函數，證明，判斷，構造函數，通過單調性判斷，于是證明，即可求得a、b、c的大小關系.
【詳解】令
則，顯然
即單調遞減，所以，即，.
令
則，即在上單調遞增
所以，即，
所以
令
則
當時，，即在上單調遞增
又，所以當時，
所以，即
即，
又，所以，即.
綜上：.
故選：C.
6．（2023秋·江蘇宿遷·高三統考開學考試）已知則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】注意到，.
后構造函數，可判斷b與c大小.
【詳解】注意到，.則.
令，其中.
則，
得在上單調遞增，在上單調遞減.
則，
又函數在R上單調遞增，則，即.故．
故選：D
【點睛】方法點睛：比較代數式大小的常見方法有：（1）利用函數單調性；（2）利用中間量；（3）構造函數.
7．（2023·新疆·統考一模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分別構造函數，利用導數判斷函數的單調性即可求解.
【詳解】依題意，
令，則，
當時，，
所以在上是增函數，
所以，
即，
所以；
令，則在上恒成立，
所以在上單調遞減，
所以，即，
所以，所以；
令，則，
令，則，
易得在上是增函數，
且，
所以在上恒成立，
所以在上是減函數，
又因為，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上是減函數，
所以，即，
所以，所以.故選：A.
【點睛】本題考查了導數的綜合應用及構造函數法的應用，屬于難題.
8．（2023·新疆烏魯木齊·高三統考階段練習）設，，，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意知，，利用冪函數的單調性可得，，構造函數，通過求導判斷函數的單調性，利用函數判斷的大小關系即可.
【詳解】由題意知，，因為冪函數在上單調遞增，
所以，即；令，
則，所以時，，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
因為，所以，，
所以，即，所以，綜上可知，.故選：C
【點睛】本題考查通過求導判斷函數的單調性、利用函數的單調性比較大小；考查運算求解能力和函數與方程的思想；通過構造函數，利用函數的單調性比較的大小是求解本題的關鍵；屬于難度較大型試題.
9．（2023春·浙江杭州·高三學軍中學校考階段練習）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用導數可求得，；分別代入和，整理可得的大小關系.
【詳解】令，則，
在上單調遞增，，即，，
，即；
令，則，
當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，，
（當且僅當時取等號），，
即（當且僅當時取等號），，即；
綜上所述：.
故選：D.
【點睛】思路點睛：本題考查與指數、對數有關的大小關系的比較，解題基本思路是能夠將問題轉化為兩個函數的函數值大小關系的比較，進而通過構造函數的方式，利用導數求得函數單調性，從而得到兩函數的大小關系.
10．（2023·全國·高三專題練習）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于，所以構造函數，利用導數判斷其為減函數，從而可比較出，進而可比較出的大小，同理可比較出的大小，即可得答案
【詳解】∵，構造函數，，
令，則，
∴在上單減，∴，故，
∴在上單減，∴，
∴∴.∴，同理可得，，故，故選：A
11．（2023秋·廣東廣州·高三統考階段練習）設．則a，b，c大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據自然常數的定義和指數冪的運算性質可知、，構造函數，利用導數研究函數的單調性可得，進而可得，即可得出結果.
【詳解】由，故；
，故；
假設，有，
令，則，所以在上單調遞增，
而，則，所以成立，；
故．
故選：A．
12．（2023秋·江蘇揚州·高三校考階段練習）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函數單調性可比較a，b大小；通過研究函數單調性可比較b，c大小，即可得答案.
【詳解】因函數在上單調遞減，又，
則，即；
注意到，.則.
構造函數，則，
令在上單調遞增，
又，，
則，即.
綜上，.
故選：B
【點睛】關鍵點睛：本題涉及比較代數式大小，常利用函數單調性與構造函數解決問題.構造函數的關鍵，為找到需比較大小代數式間的聯系.
13．（2023秋·遼寧錦州·高三統考期末）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】構造函數，，通過其單調性后可得，整理后可得；構造函數，由及單調性可得，則可得.
【詳解】構造函數，，則，
得在上單調遞減，又，
則，即.
構造函數，則.
令，則在上單調遞增.
又注意到，，
則，即.
故，即.
綜上所述，.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：本題涉及比較指數式與分數的大小，難度較大.本題因難以估值及找中間量，故采用構造函數法比較大小，而構造函數的關鍵為找到比較式子間的關系.
14．（2023·廣西河池·校聯考模擬預測）設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】方法1，構造函數，利用其單調性可得，.后利用函數單調性可得；方法2，注意到，利用單調性可得；，則，利用單調性可得.
【詳解】方法1:設，因為，
當時，，當時，
所以函數在單調遞減，在上單調遞增.
注意到；
.
設，則.
令，，
當時，，在單調遞減；
當時，，在上單調遞增，
又，所以當時，，
所以當時，，函數單調遞增，
所以，即，所以，即.
故選：A．
方法：，，.
①，令，
則，故在上單調遞減，
可得，即，所以；
②，令，
則.
令，.所以，
所以在上單調遞增，可得，即，
所以在上單調遞增，可得.
即，所以．故．
故選：A
【點睛】關鍵點睛：比較大小問題常利用作差法和構造函數法，關鍵為找到代數式間的聯系，在本題中多次出現，故將其變為，即可得到解析中所涉及函數.
3.放縮法
1．（2023·全國·高三專題練習）若,則
A. B. C. D.
【解析】將條件等價變形為,可知.
構造函數,則在單調增,可得.選B.
2．（2023·全國·高三專題練習）已知正數滿足,則
A. B. C. D.
【解析】由,可知.由不等式,可知.所以,可得.由不等式,得.結合條件,得.
構造函數,則單調減.由,可知.所以選.
3．（2023·全國·模擬預測）已知，，，試比較a，b，c的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用常見的不等式，估計出的范圍，精確估計出，然后利用作商法比較大小.
【詳解】先證明兩個不等式：
（1），設，則
，即在上單調遞減，故
，即成立
（2），設，則
，即在上單調遞增，故
，即成立
再說明一個基本事實，顯然，于是.
由（1）可得，取，可得；
由（2）可得，取，可得，再取，可得，即.
，顯然，于是；
，顯然，于是.故.
故選：B
28．（2023春·湖北武漢·高三校聯考期末）設，，，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分別令、、，利用導數可求得，，，由此可得大小關系.
【詳解】令，則，
在上單調遞增，，即，則；
令，則，
在上單調遞減，，即，則；
，即；
令，則，
在上的單調遞增，，即，
則，即；
綜上所述：.
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是能夠通過構造函數的方式，將問題轉化為函數值的大小關系的比較問題，通過導數求得函數的單調性后，即可得到函數值的大小.
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