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2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展07 導(dǎo)數(shù)中利用構(gòu)造函數(shù)解不等式（精講+精練）
一、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題思路
利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：
（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.
二、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題技巧
求解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，下面是常見函數(shù)的變形
模型1.對(duì)于，構(gòu)造
模型2.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù).
模型9.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
模型4.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
模型5.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
模型6.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
模型7.對(duì)于，分類討論：（1）若，則構(gòu)造
（2）若，則構(gòu)造
模型8.對(duì)于，構(gòu)造.
模型9.對(duì)于，構(gòu)造.
模型10.（1）對(duì)于，即，
構(gòu)造．
對(duì)于，構(gòu)造．
模型11.（1） （2）
【典例1】定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，若，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，則，則在R上單減，
又等價(jià)于，
即，由單調(diào)性得，解得.故選：B.
【典例2】已知定義在上的函數(shù)滿足，，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【詳解】令，則，所以在單調(diào)遞減，
不等式可以轉(zhuǎn)化為，即，所以.故選：D.
【典例9】設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解析】依題意，令函數(shù)，則，且，
所以是上的增函數(shù)，，解得．故選：A
【典例4】定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，
且為奇函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解析】設(shè)，則，
因?yàn)椋裕瑸槎x在上的減函數(shù)，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，，，
，即，，，故選：C.
【典例5】已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以是偶函數(shù)．設(shè)，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴在區(qū)間上是增函數(shù)，∴在區(qū)間是減函數(shù)，
∵．當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，
當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，
∴原不等式的解集為．故選：D．
【題型訓(xùn)練】
1.加減法模型
一、單選題
1．（2029秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知是定義在R上的奇函數(shù),是其導(dǎo)函數(shù).當(dāng)x≥0時(shí), 且,則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
9．（2029·漠河市高級(jí)中學(xué)）已知是定義在上的奇函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且在上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（2029·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，對(duì)恒有，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
2.和模型
一、單選題
1．（2029·江西·瑞金市第三中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
2.（2029秋·山西太原·高三山西大附中校考期末）設(shè)定義R在上的函數(shù)，滿足任意，都有，且時(shí)，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2029秋·陜西·高三校聯(lián)考期末）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2029春·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，已知，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為________．
9.和模型
一、單選題
1．（2029·貴州貴陽(yáng)·高三月考（理））已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足對(duì)恒成立，，是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2029·陜西渭南·高三期末（理））已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
9.（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足，則下列不等式一定成立的為（ ）
A． B．
C． D．
4.（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是定義在上的函數(shù)，滿足，，則下列說法正確的是（ ）
A．在上有極大值 B．在上有極小值
C．在上既有極大值又有極小值 D．在上沒有極值
5.（2029秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
6.（2029春·廣東惠州·高三校考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
4.（sinx）和（cosx）模型
一、單選題
1．（2029·廣東·東莞市東華高級(jí)中學(xué)高三期末）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且對(duì)于任意的滿足，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)于任意的，都有，則（ ）
A． B．
C． D．
9.（2029·遼寧·大連市第四十八中學(xué)高三期中）設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋业膱D象是連續(xù)不間斷，任意，有，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4.（2029·江蘇·高三階段練習(xí)）已知定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足成立，則下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5.（2022·湖北·高二階段練習(xí)）奇函數(shù)定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)是.當(dāng)時(shí)，有，則關(guān)于x的不等式的解集為（　　）
A．（，π） B． C． D．
6．（2021·甘肅省武威第二中學(xué)高二期中（理））對(duì)任意，不等式恒成立，則下列不等式錯(cuò)誤的是（　　）
A． B． C． D．
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2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展07 導(dǎo)數(shù)中利用構(gòu)造函數(shù)解不等式（精講+精練）
一、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題思路
利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：
（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.
二、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題技巧
求解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，下面是常見函數(shù)的變形
模型1.對(duì)于，構(gòu)造
模型2.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù).
模型9.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
模型4.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
模型5.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
模型6.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)
模型7.對(duì)于，分類討論：（1）若，則構(gòu)造
（2）若，則構(gòu)造
模型8.對(duì)于，構(gòu)造.
模型9.對(duì)于，構(gòu)造.
模型10.（1）對(duì)于，即，
構(gòu)造．
對(duì)于，構(gòu)造．
模型11.（1） （2）
【典例1】定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，若，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，則，則在R上單減，
又等價(jià)于，
即，由單調(diào)性得，解得.故選：B.
【典例2】已知定義在上的函數(shù)滿足，，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【詳解】令，則，所以在單調(diào)遞減，
不等式可以轉(zhuǎn)化為，即，所以.故選：D.
【典例9】設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解析】依題意，令函數(shù)，則，且，
所以是上的增函數(shù)，，解得．故選：A
【典例4】定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，
且為奇函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解析】設(shè)，則，
因?yàn)椋裕瑸槎x在上的減函數(shù)，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，，，
，即，，，故選：C.
【典例5】已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以是偶函數(shù)．設(shè)，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴在區(qū)間上是增函數(shù)，∴在區(qū)間是減函數(shù)，
∵．當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，
當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，
∴原不等式的解集為．故選：D．
【題型訓(xùn)練】
1.加減法模型
一、單選題
1．（2029秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知是定義在R上的奇函數(shù),是其導(dǎo)函數(shù).當(dāng)x≥0時(shí), 且,則的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)，
可得
因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí), ，
所以在上遞增，
又因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，
所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，如圖，
所以在R上遞增，
又因?yàn)椋裕?br/>則等價(jià)于，
所以，即的解集是，
故選：C.
2．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
,
等價(jià)于,
即，
即，
所以不等式的解集為.
故選：A.
9．（2029·漠河市高級(jí)中學(xué)）已知是定義在上的奇函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且在上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則
又上，，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又是定義在上的奇函數(shù)，則函數(shù)為上的奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，
又,，即
可得：，解得：.故選：B.
4．（2029·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，對(duì)恒有，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，則，又因?yàn)閷?duì)恒有
所以恒成立，所以在R上單減.
又，所以的解集為故選：B
2.和模型
一、單選題
1．（2029·江西·瑞金市第三中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，則，所以在R上單調(diào)遞減；
由，得，即，所以，解得.故選：A.
2.（2029秋·山西太原·高三山西大附中校考期末）設(shè)定義R在上的函數(shù)，滿足任意，都有，且時(shí)，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】依題意，任意，都有，所以是周期為的周期函數(shù).
所以.
構(gòu)造函數(shù)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
即，也即.
故選：A
9．（2029秋·陜西·高三校聯(lián)考期末）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)函數(shù)，，則，
所以在上單調(diào)遞減，從而，
即，則.
故選：A.
4．（2029春·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，已知，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為________．
【答案】
【詳解】令，取，則函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，故，即，
由偶函數(shù)性質(zhì)知，函數(shù)在是嚴(yán)格減函數(shù)，在是嚴(yán)格增函數(shù)，
又，故等價(jià)于或，
解得．
故答案為：
9.和模型
一、單選題
1．（2029·貴州貴陽(yáng)·高三月考（理））已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足對(duì)恒成立，，是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先令，求導(dǎo)，根據(jù)題意，得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，再由題意，得到，進(jìn)而可得出結(jié)果.
【詳解】令，則，
因?yàn)閷?duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增；
又∵，是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，∴，∴，∴，
因此，即，∴.故選：C.
2．（2029·陜西渭南·高三期末（理））已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】構(gòu)造函數(shù),則,因?yàn)?故,
因此可得在上單調(diào)遞減，由于，故，故選：A
9.（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足，則下列不等式一定成立的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，
在時(shí)恒成立，
所以在時(shí)單調(diào)遞增，
所以，即，所以，
故選:C.
4.（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是定義在上的函數(shù)，滿足，，則下列說法正確的是（ ）
A．在上有極大值 B．在上有極小值
C．在上既有極大值又有極小值 D．在上沒有極值
【答案】D
【詳解】解：根據(jù)題意，，故，
又，得，故，
令，
則，
即，
記，
所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以，即，即，
所以在上單調(diào)遞增，故在上沒有極值.
故選項(xiàng)ABC說法錯(cuò)誤，選項(xiàng)D說法正確.
故選：D
5.（2029秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)，則，
∴在上單調(diào)遞減.
又，則.
∵等價(jià)于，即，
∴，即所求不等式的解集為.
故選：B．
6.（2029春·廣東惠州·高三校考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】令，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)?br/>所以，
故
故在R上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?br/>所以，，
所以不等式可化為，
所以，
所以的解集為
故選：B.
4.（sinx）和（cosx）模型
一、單選題
1．（2029·廣東·東莞市東華高級(jí)中學(xué)高三期末）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且對(duì)于任意的滿足，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：偶函數(shù)對(duì)于任意的滿足，
令，則，即為偶函數(shù)．
又，故在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以，
即，故B正確；
，故A錯(cuò)誤；
，故C錯(cuò)誤；
，故D錯(cuò)誤；故選：B．
2.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)于任意的，都有，則（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由題意：構(gòu)造函數(shù)，
則在恒成立，
所以在單調(diào)遞減，
所以
所以，
即
故， ，，
故選：A
9.（2029·遼寧·大連市第四十八中學(xué)高三期中）設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋业膱D象是連續(xù)不間斷，任意，有，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】令，定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，
則函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，
因?yàn)槿我獾模校?br/>所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)是上的奇函數(shù)并且單調(diào)遞增，
由，
因?yàn)椋?，即，所以，
又因?yàn)椋虼?故選：C.
4.（2029·江蘇·高三階段練習(xí)）已知定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足成立，則下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)，則，所以在上是減函數(shù)，
所以，即，A錯(cuò)；
，即，B正確；
，即，C錯(cuò)；
的正負(fù)不確定，因此與大小不確定，D不能判斷．故選：B．
5.（2022·湖北·高二階段練習(xí)）奇函數(shù)定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)是.當(dāng)時(shí)，有，則關(guān)于x的不等式的解集為（　　）
A．（，π） B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，
所以，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在(內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，
所以，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式可化為，
即，所以；
當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的不等式可化為，即
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，故，也即
所以，即，所以，．綜上，原不等式的解集.故選：D．
6．（2021·甘肅省武威第二中學(xué)高二期中（理））對(duì)任意，不等式恒成立，則下列不等式錯(cuò)誤的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)后利用已知條件得到的單調(diào)性，將選項(xiàng)中的角代入函數(shù)中，利用單調(diào)性化簡(jiǎn)，并判斷正誤，由此得出選項(xiàng).
【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)，則，
∵，∴，即在上為增函數(shù)，
由，即，即，故A正確；
，即，即，故B正確；
，即，即，故C正確；
由，即，即，即，
故錯(cuò)誤的是D．故選D．21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
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