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【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展34 圓錐曲線中的定點、定值問題（精講+精練）
一、定點問題
定點問題是比較常見出題形式，化解這類問題的關鍵就是引進變的參數表示直線方程、數量積、比例關系等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量．
【一般策略】
①引進參數.一般是點的坐標、直線的斜率、直線的夾角等.
②列出關系式.根據題設條件，表示出對應的動態直線或曲線方程.
③探究直線過定點.一般化成點斜式或者直線系方程
二、定值問題
在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動點坐標或動線中的參變量無關，這類問題統稱為定值問題．這些問題重點考查學生方程思想、函數思想、轉化與化歸思想的應用．
【一般策略】
①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
②引進變量法：選擇適當的動點坐標或動直線中的系數為變量，然后把要證明為定值的量表示成上述變量的函數，最后把得到的函數化簡，消去變量得到定值
【常用結論】
結論1 過圓錐曲線上的任意一點P（x0，y0）作互相垂直的直線交圓錐曲線于點A，B，則直線AB必過一定點（等軸雙曲線除外）.
結論2 過圓錐曲線的準線上任意一點P作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點A，B，則直線AB必過焦點.
結論3 過圓錐曲線外一點P作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點A，B，則直線AB已知且必過定點.
結論4 過圓錐曲線上的任意一點P（x0，y0）作斜率和為0的兩條直線交圓錐曲線于A，B兩點，則kAB為定值.
結論5 設點A，B是橢圓（a>b>0）上關于原點對稱的兩點，點P是該橢圓上不同于A，B兩點的任意一點，直線PA，PB的斜率分別是k1，k2，則k1·k2=-
【典例1】在平面直角坐標系中， 橢圓：的左，右頂點分別為、，點是橢圓的右焦點，，．
(1)求橢圓的方程；
(2)不過點的直線交橢圓于、兩點，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點， 并求出定點的坐標．
【解析】（1）由題意知，，，，
∵，，
∴，解得，從而，
∴橢圓的方程為.
（2）設直線的方程為，，．
直線不過點，因此．
由 ，得，
時，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程為，恒過定點．
【典例2】已知橢圓，離心率為，點與橢圓的左、右頂點可以構成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點直線，的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．
【解析】解：（1）橢圓離心率為，即，
點與橢圓的左、右頂點可以構成等腰直角三角形，
，，，故橢圓方程為．
（2）由直線與橢圓交于，兩點，
聯立，得，
設，，，，則△，
，，
所以，
，
，
原點到的距離，
為定值．
【題型訓練1-刷真題】
一、解答題
1．（22·23·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．
2．（21·22·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．
(1)求E的方程；
(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．
3．（21·22·全國·專題練習）如圖，中心在原點O的橢圓的右焦點為，右準線l的方程為：．
(1)求橢圓的方程；
(2)在橢圓上任取三個不同點，使，證明：為定值，并求此定值．
4．（19·20·山東·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點．
（1）求的方程：
（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．
【題型訓練2-刷模擬】
1.定點問題
一、解答題
1．已知拋物線經過點，直線與拋物線相交于不同的、兩點．
(1)求拋物線的方程；
(2)如果，直線是否過一定點，若過一定點，求出該定點；若不過一定點，試說明理由．
2．已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)M為橢圓的左頂點，直線與橢圓交于兩點，若，求證：直線過定點．
3．設拋物線的方程為，點為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，．
(1)當的坐標為時，求過，，三點的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關系；
(2)求證：直線恒過定點．
4．已知圓，為圓內一個定點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線交于點，當點在圓上運動時.
(1)求點的軌跡的方程；
(2)已知圓：在的內部，是上不同的兩點，且直線與圓相切.求證：以為直徑的圓過定點.
5．已知橢圓的左焦點為，且點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)橢圓的上、下頂點分別為，點，若直線與橢圓的另一個交點分別為點，證明：直線過定點，并求該定點坐標.
6．已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過雙曲線的右焦點作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點分別為、，那么直線是否過定點 若不過定點，請說明原因；若過定點，請求出定點坐標.
7．在平面直角坐標系中，，，M為平面內的一個動點，且，線段AM的垂直平分線交BM于點N，設點N的軌跡是曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)設動直線l：與曲線C有且只有一個公共點P，且與直線相交于點Q，問是否存在定點H，使得以PQ為直徑的圓恒過點H？若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由.
8．已知為橢圓上一點，點與橢圓的兩個焦點構成的三角形面積為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)不經過點的直線與橢圓相交于兩點，若直線與的斜率之和為，證明：直線必過定點，并求出這個定點坐標．
9．已知橢圓的左焦點為，點在上．
(1)求橢圓的方程；
(2)過的兩條互相垂直的直線分別交于兩點和兩點，若的中點分別為，證明：直線必過定點，并求出此定點坐標．
10．在平面直角坐標系中，頂點在原點，以坐標軸為對稱軸的拋物線經過點.
(1)求的方程；
(2)若關于軸對稱，焦點為，過點且與軸不垂直的直線交于，兩點，直線交于另一點，直線交于另一點，求證：直線過定點.
11．平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線（）的離心率為，實軸長為4．

(1)求C的方程；
(2)如圖，點A為雙曲線的下頂點，直線l過點且垂直于y軸（P位于原點與上頂點之間），過P的直線交C于G，H兩點，直線AG，AH分別與l交于M，N兩點，若直線的斜率滿足，求點P的坐標．
12．已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，過點且與橢圓有相同焦點
(1)求E的離心率：
(2)設橢圓E的下頂點為A，設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T．證明：直線TN過定點．
13．在平面直角坐標系中，已知點，直線，設動點到直線的距離為，且．
(1)求動點的軌跡的方程，并指出它表示什么曲線；
(2)已知過點的直線與曲線交于兩點，點，直線與軸分別交于點，試問：線段的中點是否為定點，若是定點，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．
14．已知為橢圓：上一點，長軸長為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)不經過點的直線與橢圓相交于，兩點，若直線與的斜率之和為，證明：直線必過定點，并求出這個定點坐標.
15．橢圓的左 右焦點分別為，左 右頂點分別為，點在上.已知面積的最大值為，且與的面積之比為.
(1)求的方程；
(2)不垂直于坐標軸的直線交于兩點，與不重合，直線與的斜率之積為.證明：過定點.
2.定值問題
一、解答題
1．已知為橢圓的兩個焦點，為橢圓上異于左 右頂點的任意一點，的周長為6，面積的最大值為：
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓的另一交點為，與軸的交點為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.
2．在平面直角坐標系中，已知圓心為的動圓過點，且在軸上截得的弦長為4，記的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)已知及曲線上的兩點和，直線經過定點，直線的斜率分別為，求證：為定值．
3．已知點是離心率為的橢圓上的一點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P在橢圓上，點A關于坐標原點的對稱點為B，直線AP和BP的斜率都存在且不為0，試問直線AP和BP的斜率之積是否為定值 若是，求此定值；若不是，請說明理由．
4．已知橢圓離心率等于且橢圓C經過點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線與軌跡交于兩點，為坐標原點，直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．
5．過點的直線為為圓與軸正半軸的交點.
(1)若直線與圓相切，求直線的方程：
(2)證明：若直線與圓交于兩點，直線的斜率之和為定值.
6．已知雙曲線C : 的左 右焦點分別為，，雙曲線C的右頂點A在圓 O :上，且.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)動直線與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M，N，求△OMN (O為坐標原點）的面積．
7．已知圓，點，動直線過定點．
(1)若直線與圓相切，求直線的方程；
(2)若直線與圓相交于兩點，則是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
8．以坐標原點為對稱中心，坐標軸為對稱軸的橢圓過點．
(1)求橢圓的方程．
(2)設是橢圓上一點（異于），直線與軸分別交于兩點．證明在軸上存在兩點，使得是定值，并求此定值．
9．已知，M為平面上一動點，且滿足，記動點M的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)若，過點的動直線交曲線E于P，Q（不同于A，B）兩點，直線AP與直線BQ的斜率分別記為，，求證：為定值，并求出定值.
10．已知雙曲線的實軸長為4，離心率為．過點的直線l與雙曲線C交于A，B兩點．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)已知點，若直線QA，QB的斜率均存在，試問其斜率之積是否為定值？請給出判斷與證明．
11．已知橢圓C：過點，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點的直線l交C于點M，N，直線分別交直線于點P，Q．求證：為定值．
12．已知雙曲線：的右焦點為，離心率.
(1)求的方程；
(2)若直線過點且與的右支交于M，N兩點，記的左、右頂點分別為，，直線，的斜率分別為，，證明：為定值.
13．已知橢圓的右焦點為，點在E上．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)過點F的直線l與橢圓E交于A，B兩點，點Q為橢圓E的左頂點，直線QA，QB分別交于M，N兩點，O為坐標原點，求證：為定值．
14．已知點到的距離是點到的距離的2倍.
(1)求點的軌跡方程；
(2)若點與點關于點對稱，過的直線與點的軌跡交于，兩點，探索是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
15．已知橢圓：的離心率為，上焦點到上頂點的距離為2.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點的直線交橢圓于，兩點，與定直線：交于點，設，，證明：為定值.
16．已知圓的方程為，直線與圓交于兩點．

(1)若坐標原點到直線的距離為，且過點，求直線的方程；
(2)已知點，為的中點，若在軸上方，且滿足，在圓上是否存在定點，使得的面積為定值？若存在，求出的面積；若不存在，說明理由．
【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展34 圓錐曲線中的定點、定值問題（精講+精練）
一、定點問題
定點問題是比較常見出題形式，化解這類問題的關鍵就是引進變的參數表示直線方程、數量積、比例關系等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量．
【一般策略】
①引進參數.一般是點的坐標、直線的斜率、直線的夾角等.
②列出關系式.根據題設條件，表示出對應的動態直線或曲線方程.
③探究直線過定點.一般化成點斜式或者直線系方程
二、定值問題
在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動點坐標或動線中的參變量無關，這類問題統稱為定值問題．這些問題重點考查學生方程思想、函數思想、轉化與化歸思想的應用．
【一般策略】
①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
②引進變量法：選擇適當的動點坐標或動直線中的系數為變量，然后把要證明為定值的量表示成上述變量的函數，最后把得到的函數化簡，消去變量得到定值
【常用結論】
結論1 過圓錐曲線上的任意一點P（x0，y0）作互相垂直的直線交圓錐曲線于點A，B，則直線AB必過一定點（等軸雙曲線除外）.
結論2 過圓錐曲線的準線上任意一點P作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點A，B，則直線AB必過焦點.
結論3 過圓錐曲線外一點P作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點A，B，則直線AB已知且必過定點.
結論4 過圓錐曲線上的任意一點P（x0，y0）作斜率和為0的兩條直線交圓錐曲線于A，B兩點，則kAB為定值.
結論5 設點A，B是橢圓（a>b>0）上關于原點對稱的兩點，點P是該橢圓上不同于A，B兩點的任意一點，直線PA，PB的斜率分別是k1，k2，則k1·k2=-
【典例1】在平面直角坐標系中， 橢圓：的左，右頂點分別為、，點是橢圓的右焦點，，．
(1)求橢圓的方程；
(2)不過點的直線交橢圓于、兩點，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點， 并求出定點的坐標．
【解析】（1）由題意知，，，，
∵，，
∴，解得，從而，
∴橢圓的方程為.
（2）設直線的方程為，，．
直線不過點，因此．
由 ，得，
時，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程為，恒過定點．
【典例2】已知橢圓，離心率為，點與橢圓的左、右頂點可以構成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點直線，的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．
【解析】解：（1）橢圓離心率為，即，
點與橢圓的左、右頂點可以構成等腰直角三角形，
，，，故橢圓方程為．
（2）由直線與橢圓交于，兩點，
聯立，得，
設，，，，則△，
，，
所以，
，
，
原點到的距離，
為定值．
【題型訓練1-刷真題】
一、解答題
1．（22·23·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）根據題意列式求解，進而可得結果；
（2）設直線的方程，進而可求點的坐標，結合韋達定理驗證為定值即可.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設，
聯立方程，消去y得：，
則，解得，
可得，
因為，則直線，
令，解得，即,
同理可得，
則
，
所以線段的中點是定點.

【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟
（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；
（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數式，可證明該代數式與參數(某些變量)無關；也可令系數等于零，得出定值；
（3）得出結論．
2．（21·22·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．
(1)求E的方程；
(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將給定點代入設出的方程求解即可；
（2）設出直線方程，與橢圓C的方程聯立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.
【詳解】（1）解：設橢圓E的方程為，過，
則，解得，，
所以橢圓E的方程為：.
（2），所以，
①若過點的直線斜率不存在，直線.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，過點.
②若過點的直線斜率存在，設.
聯立得，
可得，，
且
聯立可得
可求得此時，
將，代入整理得，
將代入，得
顯然成立，
綜上，可得直線HN過定點
【點睛】求定點、定值問題常見的方法有兩種：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
3．（21·22·全國·專題練習）如圖，中心在原點O的橢圓的右焦點為，右準線l的方程為：．
(1)求橢圓的方程；
(2)在橢圓上任取三個不同點，使，證明：為定值，并求此定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【分析】(1)根據準線的幾何性質，求出a，再算出b，可得橢圓方程；
(2)根據題設，分別求出 與x軸正方向的夾角之間的關系，代入 中計算即可.
【詳解】（1）設橢圓方程為．因焦點為，故半焦距，又右準線的方程為，
從而由已知，因此，，
故所求橢圓方程為；
（2）
記橢圓的右頂點為A，并設（1，2，3），不失一般性，
假設 ，且，．
又設點在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有
．
解得 ．
因此，
而，
故為定值．
綜上，橢圓方程為；.
【點睛】本題的難點在于運用橢圓上的點到焦點的距離表達為到準線的距離乘以離心率，再對運用三角函數計算化簡.
4．（19·20·山東·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點．
（1）求的方程：
（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．
【答案】（1）；（2）詳見解析.
【分析】（1）由題意得到關于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.
（2）方法一：設出點，的坐標，在斜率存在時設方程為, 聯立直線方程與橢圓方程，根據已知條件，已得到的關系，進而得直線恒過定點，在直線斜率不存在時要單獨驗證，然后結合直角三角形的性質即可確定滿足題意的點的位置.
【詳解】（1）由題意可得：，解得：，
故橢圓方程為：.
(2)［方法一］：通性通法
設點，
若直線斜率存在時，設直線的方程為：，
代入橢圓方程消去并整理得：，
可得，，
因為，所以，即，
根據,代入整理可得：
，
所以，
整理化簡得，
因為不在直線上，所以，
故，于是的方程為，
所以直線過定點直線過定點.
當直線的斜率不存在時，可得，
由得：，
得，結合可得：，
解得：或（舍）.
此時直線過點.
令為的中點，即，
若與不重合，則由題設知是的斜邊，故，
若與重合，則，故存在點，使得為定值.
［方法二］【最優解】：平移坐標系
將原坐標系平移，原來的O點平移至點A處，則在新的坐標系下橢圓的方程為，設直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯立得，即，化簡得，即．
設，因為則，即．
代入直線方程中得．則在新坐標系下直線過定點，則在原坐標系下直線過定點．
又，D在以為直徑的圓上．的中點即為圓心Q．經檢驗，直線垂直于x軸時也成立．
故存在，使得．
［方法三］：建立曲線系
A點處的切線方程為，即．設直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．
則過A，M，N三點的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數）．
用直線及點A處的切線可表示為（其中為系數）．
即．
對比項、x項及y項系數得
將①代入②③，消去并化簡得，即．
故直線的方程為，直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．中點即為圓心Q．
經檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．
［方法四］：
設．
若直線的斜率不存在，則．
因為，則，即．
由，解得或（舍）．
所以直線的方程為．
若直線的斜率存在，設直線的方程為，則．
令，則．
又，令，則．
因為，所以，
即或．
當時，直線的方程為．所以直線恒過，不合題意；
當時，直線的方程為，所以直線恒過．
綜上，直線恒過，所以．
又因為，即，所以點D在以線段為直徑的圓上運動．
取線段的中點為，則．
所以存在定點Q，使得為定值．
【整體點評】（2）方法一：設出直線方程，然后與橢圓方程聯立，通過題目條件可知直線過定點，再根據平面幾何知識可知定點即為的中點，該法也是本題的通性通法；
方法二：通過坐標系平移，將原來的O點平移至點A處，設直線的方程為，再通過與橢圓方程聯立，構建齊次式，由韋達定理求出的關系，從而可知直線過定點，從而可知定點即為的中點，該法是本題的最優解；
方法三：設直線，再利用過點的曲線系，根據比較對應項系數可求出的關系，從而求出直線過定點，故可知定點即為的中點；
方法四：同方法一，只不過中間運算時采用了一元二次方程的零點式賦值，簡化了求解以及的計算．
【題型訓練2-刷模擬】
1.定點問題
一、解答題
1．已知拋物線經過點，直線與拋物線相交于不同的、兩點．
(1)求拋物線的方程；
(2)如果，直線是否過一定點，若過一定點，求出該定點；若不過一定點，試說明理由．
【答案】(1)
(2)過定點
【分析】（1）將點代入拋物線方程，可得，從而可得答案；
（2）設出直線方程，與拋物線方程聯立，由數量積公式結合韋達定理可得，進而可得答案.
【詳解】（1）由題意可知，將點代入拋物線方程，
可得，解得，
則拋物線方程為．
（2）因為，直線與拋物線相交于不同的、兩點，
所以直線不與x軸平行，
可設，與聯立，得，
設，，∴，．
由
，解得，
∴過定點．
2．已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)M為橢圓的左頂點，直線與橢圓交于兩點，若，求證：直線過定點．
【答案】(1);
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據條件求出的值即可；
（2）聯立直線方程和橢圓方程后利用兩直線垂直可算出.
【詳解】（1）由題意得：，，，
故可知，
橢圓方程為：.
（2）
M為橢圓C的左頂點，
又由（1）可知：，設直線AB的方程為：，，
聯立方程可得：，
則，即，
由韋達定理可知：，，
，則，
，
又，
，
，
展開后整理得：，解得：或，
當時，AB的方程為：，經過點，不滿足題意，舍去，
當時，AB的方程為：，恒過定點.
所以直線過定點．
3．設拋物線的方程為，點為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，．
(1)當的坐標為時，求過，，三點的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關系；
(2)求證：直線恒過定點．
【答案】(1)，相切
(2)證明見解析
【分析】（1）設過點的切線方程，代入，整理得，令，可得，的坐標，進而可得的中點，根據即可求解圓的方程，從而可判斷圓與直線相切；
（2）利用導數法，確定切線的斜率，得切線方程，由此可得直線的方程，從而可得結論；
【詳解】（1）當的坐標為時，設過點的切線方程為，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得，，
因為的中點，且,
從而過，，三點的圓的圓心為，半徑為，
故其方程為．
圓心坐標為，半徑為，圓與直線相切
（2）由已知得，求導得，切點分別為,，,，
故過點,的切線斜率為，從而切線方程為,即,
又切線過點,，所以得①,即,
同理可得過點,的切線為，
又切線過點,，所以得②即,
即點,,,均滿足,故直線的方程為,
又,為直線上任意一點，故對任意成立，
所以，，從而直線恒過定點,
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中定點問題的兩種解法
（1）引進參數法：先引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量，再研究變化的量與參數何時沒有關系，找到定點.
（2）特殊到一般法：先根據動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.
4．已知圓，為圓內一個定點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線交于點，當點在圓上運動時.
(1)求點的軌跡的方程；
(2)已知圓：在的內部，是上不同的兩點，且直線與圓相切.求證：以為直徑的圓過定點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據橢圓定義求解即可.
（2）根據題意設出直線方程，利用直線與圓相切得到k與m的關系，當直線斜率不存在時，以為直徑的圓過原點，先猜后證的方法，猜測恒過原點，再驗證以為直徑的圓過原點即可.
【詳解】（1）
因為點是線段的垂直平分線上的一點
所以
因為
所以點的軌跡C是以E，F為焦點的橢圓
其中，，
所以點Q的軌跡C的方程為：
（2）
（i）當直線垂直于x軸時，不妨設，，
此時，所以，故以為直徑的圓過點.
（ii）當直線不垂直于軸時，設直線方程為，，，
因為直線與圓相切，所以點到直線的距離為，
即.
由得，
所以，，
所以，
所以，故以為直徑的圓過點.
綜上所述，以為直徑的圓過定點.
5．已知橢圓的左焦點為，且點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)橢圓的上、下頂點分別為，點，若直線與橢圓的另一個交點分別為點，證明：直線過定點，并求該定點坐標.
【答案】(1)
(2)證明見解析，定點坐標為
【分析】（1）根據左焦點可知的值，根據點在橢圓上，可以得到另一組關系式，從而求出，.
（2）先設直線的斜截式方程，再聯立直線和橢圓方程，結合韋達定理將點縱坐標為的信息轉化為直線方程系數的值或關系，從而找出直線所過定點.
【詳解】（1）因為橢圓的左焦點，可得，
由定義知點到橢圓的兩焦點的距離之和為，
，故，
則，
所以橢圓的標準方程為.
（2）由橢圓的方程，可得，
且直線斜率存在，
設，設直線的方程為：，
與橢圓方程聯立得：
，
則
直線的方程為，
直線的方程為，
由直線和直線交點的縱坐標為4得，
即
又因點在橢圓上，故，
得，
同理，點在橢圓上，得，
即
即
即
即
化簡可得，即，
解得或，
當時，直線的方程為，直線過點，與題意不符.
故，直線的方程為，直線恒過點

【點睛】本題主要考查直線與橢圓關系中的直線恒過定點問題，遵循“求誰設誰”的思路，將目標直線設為的形式，將條件轉化為的值或與的關系式，從而得出定點，側重數學運算能力，屬于偏難題.
6．已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過雙曲線的右焦點作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點分別為、，那么直線是否過定點 若不過定點，請說明原因；若過定點，請求出定點坐標.
【答案】(1)
(2)直線過定點
【分析】（1）根據焦點到漸近線距離及漸近線方程列方程組，解方程；
（2）設直線、方程，分別聯立直線與雙曲線，結合根與系數關系得、坐標，寫出直線方程，可得直線過定點.
【詳解】（1）設雙曲線的焦點坐標為，
依題意漸近線方程為，即，
有，
解得，
；
（2）由（1）可知右焦點，
設直線：，，，
由聯立直線與雙曲線，
化簡得，，
故，，
，
又，則，
同理可得：
，
，
化簡得，
故直線過定點.
【點睛】(1)解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．
(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
7．在平面直角坐標系中，，，M為平面內的一個動點，且，線段AM的垂直平分線交BM于點N，設點N的軌跡是曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)設動直線l：與曲線C有且只有一個公共點P，且與直線相交于點Q，問是否存在定點H，使得以PQ為直徑的圓恒過點H？若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，點的坐標為
【分析】（1）根據垂直平分線的性質得到，得到軌跡為橢圓，再計算得到橢圓方程．
（2）聯立方程，根據有唯一交點得到，解得P，Q的坐標，假設存在定點，則，代入數據計算得到答案．
【詳解】（1）由垂直平分線的性質可知，
所以.
又，
所以點N的軌跡C是以，為焦點，長軸長為4的橢圓.
設曲線C的方程為，則，，
所以，
所以曲線C的方程為.
（2）
由，消去y并整理，得，
因為直線l：與橢圓C有且只有一個公共點P，
所以，即，
所以，
此時，，
所以，
由，得，
假設存在定點，使得以PQ為直徑的圓恒過點H，則，
又，，
所以，
整理，得對任意實數，k恒成立，
所以，
解得，
故存在定點，使得以PQ為直徑的圓恒過點H.
8．已知為橢圓上一點，點與橢圓的兩個焦點構成的三角形面積為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)不經過點的直線與橢圓相交于兩點，若直線與的斜率之和為，證明：直線必過定點，并求出這個定點坐標．
【答案】(1)
(2)證明見解析，定點為
【分析】（1）根據題意求出即可得解；
（2）分設，直線的斜率不存在和存在兩種情況討論，當直線的斜率存在時，設不經過點的直線方程為：，聯立方程，利用韋達定理求出
，再根據直線與的斜率之和為求出的關系，即可得出結論.
【詳解】（1）由點與橢圓的兩個焦點構成的三角形面積為可知，
解得：，
，
橢圓的標準方程：；
（2）設，
當直線的斜率不存在時，則，
由，
解得，此時，故重合，不符合題意，
所以直線的斜率一定存在，設不經過點的直線方程為：，
由得，
，
，
，
，
，
，
，
直線必過定點．

【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
9．已知橢圓的左焦點為，點在上．
(1)求橢圓的方程；
(2)過的兩條互相垂直的直線分別交于兩點和兩點，若的中點分別為，證明：直線必過定點，并求出此定點坐標．
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】（1）確定焦點得到，解得，，得到橢圓方程.
（2）考慮斜率存在和不存在的情況，設出直線，聯立方程，根據韋達定理得到根與系數的關系，確定中點坐標得到直線的方程，取代入計算得到答案.
【詳解】（1）橢圓的左焦點為，，則右焦點為，點在橢圓上，
取得到，即，又，
解得，，（舍去負值），故橢圓方程為，
（2）當兩條直線斜率存在時，設的直線方程為，，，
則，整理得到，
，
故，，即，

同理可得：，則，
故直線的方程為：，
取，
.
故直線過定點.
當有直線斜率不存在時，為軸，過點.
綜上所述：直線必過定點
【點睛】關鍵點睛：本題考查了橢圓方程，定點問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中利用設而不求的思想，根據韋達定理得到根與系數的關系，是解題的關鍵，此方法是考查的重點，需要熟練掌握.
10．在平面直角坐標系中，頂點在原點，以坐標軸為對稱軸的拋物線經過點.
(1)求的方程；
(2)若關于軸對稱，焦點為，過點且與軸不垂直的直線交于，兩點，直線交于另一點，直線交于另一點，求證：直線過定點.
【答案】(1)或
(2)證明見解析
【分析】（1）根據待定系數法，代入點的坐標即可求解，
（2）利用拋物線方程分別可設的坐標，進而可根據兩點坐標求解斜率，即可得直線的方程， 結合直線經過的點，即可代入化簡求解.
【詳解】（1）若的焦點在軸上，設拋物線的方程為，
將點代入，得，解得，故的方程為；
若的焦點在軸上，設拋物線的方程為，
將點代入，得，解得，故的方程為；
綜上所述：的方程為或.
（2）由（1）知拋物線的方程為，則其焦點，
若直線不過點，如圖，

設，，，，
由題意可知：直線的斜率存在且不為0，
則直線的斜率，
所以直線的方程為，即，
同理直線，的方程分別為，
由直線過定點，可得，
由直線，過焦點，可得，
對于直線的方程為，
由，得，
整理得，
又因為，所以，
令，解得，
故直線恒過定點
若直線過點，直線即為直線，
其方程為，即，
顯然直線過點；
綜上所述：直線過定點.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中定點問題的兩種解法
（1）引進參數法：先引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量，再研究變化的量與參數何時沒有關系，找到定點.
（2）特殊到一般法：先根據動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.
技巧：若直線方程為,則直線過定點;
若直線方程為 (為定值),則直線過定點
11．平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線（）的離心率為，實軸長為4．

(1)求C的方程；
(2)如圖，點A為雙曲線的下頂點，直線l過點且垂直于y軸（P位于原點與上頂點之間），過P的直線交C于G，H兩點，直線AG，AH分別與l交于M，N兩點，若直線的斜率滿足，求點P的坐標．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用給定條件，求出即可得解.
（2）設出點的坐標及直線的方程，與雙曲線的方程聯立，利用韋達定理及斜率坐標公式列式計算得解.
【詳解】（1）因為的實軸長為4，即，解得，
又離心率，則，
所以雙曲線C的方程為.
（2）設，，，依題意，直線GH斜率存在，設直線，，
由（1）知，，則直線，直線，
由點M在直線l上，得，代入直線AG方程，得，
則點M坐標，因此，又，
由，得，整理得，
由消去y并整理得，則，，
又
，而，
因此，
則，解得，此時成立，所以點P坐標為.
【點睛】思路點睛：與圓錐曲線相交的直線過定點問題，設出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯立，借助韋達定理求解.
12．已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，過點且與橢圓有相同焦點
(1)求E的離心率：
(2)設橢圓E的下頂點為A，設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T．證明：直線TN過定點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）結合橢圓的定義求，即可求解離心率；
（2）先根據兩條特殊直線的交點，判斷定點的坐標，再設過點的一般方程，聯立橢圓方程，得到韋達定理，求得直線的方程，并代入定點坐標，驗證是否成立，即可判斷是否過定點.
【詳解】（1）橢圓的焦點坐標是，，
設橢圓E的標準方程為，
因為，
則，所以橢圓的離心率為；
（2）由（1）可得橢圓的方程是，，
所以，
當過點的直線斜率不存在，直線，代入，
可得，
由方程，令，可得，
即，此時直線；
當過點的直線過原點時，直線與橢圓方程聯立，
得交點坐標分別是，設，
聯立，解得，此時直線，
聯立，得兩條直線交點，
所以若直線過定點，則應是；
若過點的直線斜率存在，設，，
聯立，得，
，解得或，
可得，
則，
，
聯立，可得，，
可求得此時
，將代入，
得
，
成立，
綜上，可得直線過定點.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
13．在平面直角坐標系中，已知點，直線，設動點到直線的距離為，且．
(1)求動點的軌跡的方程，并指出它表示什么曲線；
(2)已知過點的直線與曲線交于兩點，點，直線與軸分別交于點，試問：線段的中點是否為定點，若是定點，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．
【答案】(1)，表示中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓
(2)是定點，
【分析】（1）設點，用坐標表示已知等式化簡后可得；
（2）設直線的方程為，設點，，由韋達定理得，，求出點坐標，計算并代入，化簡可得．
【詳解】（1）設點，由得：，
整理得：，即 ，
它表示中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，且長軸長為4，短軸長為2 ；
（2）設直線的方程為，即
由得：
由得：，
設點，，則， ，
直線的方程為，令得：，所以點，
直線的方程為，令得：，所以點 ，
∴
，
∴ ，即線段的中點坐標為，
∴ 線段的中點為定點，其坐標為．
【點睛】方法點睛：本題考查主要考查拋物線中直線過定點問題，解題方法是設而不求的思想方程，即設直線方程為，設交點坐標為，，直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理得，代入已知求出參數值，然后由直線方程得定點坐標．
14．已知為橢圓：上一點，長軸長為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)不經過點的直線與橢圓相交于，兩點，若直線與的斜率之和為，證明：直線必過定點，并求出這個定點坐標.
【答案】(1)
(2)證明見解析，定點為
【分析】（1）根據長軸長確定，再計算，得到答案.
（2）設直線，聯立方程得到根與系數的關系，根據斜率的關系計算化簡得到，代入直線方程得到定點.
【詳解】（1）長軸長為，故，
為橢圓：上一點，故，
橢圓方程為：；
（2）直線與軸平行時，根據對稱性知斜率和為，不成立；
設直線：，，，直線不過，則，
則，則，
，即，則，
，
即，
整理得到，
化簡得到，，則，
直線方程，直線過定點.
【點睛】關鍵點睛：本題考查了橢圓方程，直線過定點問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中，利用設而不求的思想，根據根與系數的關系來計算定點，可以簡化運算，是解題的關鍵.
15．橢圓的左 右焦點分別為，左 右頂點分別為，點在上.已知面積的最大值為，且與的面積之比為.
(1)求的方程；
(2)不垂直于坐標軸的直線交于兩點，與不重合，直線與的斜率之積為.證明：過定點.
【答案】(1)
(2)過定點.
【分析】（1）根據幾何關系得到點為橢圓的上頂點或下頂點時，面積最大，結合與面積之比，得到方程組，求出，得到橢圓方程；
（2）方法一：設的方程，代入，得到兩根之和，兩根之積，根據斜率之積得到方程，求出或，檢驗后得到符合要求，并求出所過定點；
方法二：設直線的方程為，橢圓方程變形得到，聯立得到，若是上的點，則斜率為，得到，故，求出，求出定點坐標.
【詳解】（1）當點為橢圓的上頂點或下頂點時，的面積最大，
此時，
又，
故，解得，
曲線的方程為.
（2）方法一：設直線的方程為，代入得
，
設，
得，

則，
，
即，解得或.
當時，此時，直線過定點，
而與不重合，不合題意.
當時，此時，
此時直線過定點，滿足要求.
方法二：由題意，直線不經過點，
設直線的方程為①.
由方程得.
②.
由①②得，
.
若是上的點，則斜率為，
，
的斜率，即，解得.
的方程為，即，故過定點.
【點睛】處理定點問題的思路：
（1）確定題目中的核心變量（此處設為），
（2）利用條件找到與過定點的曲線的聯系，得到有關與的等式，
（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關于與的等式進行變形，直至找到，
①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點；
②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數關系，可消去變為常數.
2.定值問題
一、解答題
1．已知為橢圓的兩個焦點，為橢圓上異于左 右頂點的任意一點，的周長為6，面積的最大值為：
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓的另一交點為，與軸的交點為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.
【答案】(1)
(2)，理由見解析
【分析】（1）利用橢圓的定義及橢圓的性質即可求解；
（2）根據已知條件作出圖形并設出直線方程，將直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理及向量的坐標運算即可求解.
【詳解】（1）設橢圓的方程為，則
由橢圓的定義及的周長為6，知①，
由于為橢圓上異于左 右頂點的任意一點，得到軸距離最大為，
因為的面積的最大值為，
所以②，
又③，
聯立①②③，得，
所以橢圓的方程為.
（2）為定值，理由如下：
根據已知條件作出圖形如圖所示,

設，則，
因為在橢圓內部，則直線與橢圓一定有兩交點，
聯立消去得：，
，
又，且，
所以，同理
所以.
所以為定值.
2．在平面直角坐標系中，已知圓心為的動圓過點，且在軸上截得的弦長為4，記的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)已知及曲線上的兩點和，直線經過定點，直線的斜率分別為，求證：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）設圓心，由兩點距離公式和幾何法求弦長公式化簡計算，可得，化簡即可求解；
（2）設直線BD的方程、，聯立拋物線方程，消元并利用韋達定理可得，結合兩點求斜率公式可得，即可證明.
【詳解】（1）設圓心，半徑為，由圓心為的動圓過點，
所以，
又圓心為的動圓在y軸上截得的弦長為4，所以，
此時，解得，
所以曲線E是拋物線，其方程為；
（2）易知直線BD的斜率不為0，
設直線BD的方程為，即，
，消去x，得，
或，
設，則，
，
所以，
即為定值1.

3．已知點是離心率為的橢圓上的一點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P在橢圓上，點A關于坐標原點的對稱點為B，直線AP和BP的斜率都存在且不為0，試問直線AP和BP的斜率之積是否為定值 若是，求此定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)為定值.
【分析】（1）根據題意，由條件列出關于的方程，代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，設出點的坐標，得到直線的斜率，將點的坐標代入橢圓方程得到其橫縱坐標關系式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）由，可得，即①，
將點代入橢圓方程可得②，
由①②可得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意可得在橢圓上，直線和的斜率分別為均存在，設，
則，，則①，
又因為點在橢圓上，所以，即，
代入①可得，，
所以直線AP和BP的斜率之積為定值.
4．已知橢圓離心率等于且橢圓C經過點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線與軌跡交于兩點，為坐標原點，直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，理由見解析
【分析】（1）根據題意，由條件列出關于的方程，代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理，由弦長公式可得，再表示出點到直線的距離，由三角形的面積公式，即可得到結果.
【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為.
（2）
設，聯立直線和橢圓方程可得：，
消去可得：，所以
，
即，則，
， ，
把韋達定理代入可得：，
整理得，
又，
而點到直線的距離，
所以，
把代入，則，可得是定值1．
5．過點的直線為為圓與軸正半軸的交點.
(1)若直線與圓相切，求直線的方程：
(2)證明：若直線與圓交于兩點，直線的斜率之和為定值.
【答案】(1)或
(2)證明見解析
【分析】（1）根據已知求出圓心、半徑，設出直線方程，根據直線與圓相切列出方程求解，即可得出答案；
（2）求出，設出直線方程，代入圓的方程，根據韋達定理得出.進而表示出直線的斜率，整理即可得出證明.
【詳解】（1）由已知可得，圓心，半徑.
當直線斜率不存在時，方程為，此時直線與圓不相切；
當直線斜率存在時，設直線斜率為，則方程為，即.
由直線與圓相切，可知圓心到直線的距離，
整理可得，，
解得或.
所以，直線的方程為或.
綜上所述，直線的方程為或.
（2）由題設得到點，
當直線斜率不存在時，方程為，
此時直線與圓的交點為，，
則；
當直線斜率存在時，設直線方程為，
代入圓的方程可得.
設點，
則.
所以，
，
則
.
綜上所述，與的斜率之和為定值.
故與的斜率之和為定值.
6．已知雙曲線C : 的左 右焦點分別為，，雙曲線C的右頂點A在圓 O :上，且.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)動直線與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M，N，求△OMN (O為坐標原點）的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設雙曲線C的半焦距為c，通過點在圓上易得的值，通過，求解的值，進而得到雙曲線的標準方程；
（2）直線與軸相交于點，當動直線的斜率不存在時，求解三角形的面積；當動直線的斜率存在時，且斜率，不妨設直線，由直線與雙曲線的位置關系得，聯立方程求解M，N縱坐標，求解面積即可.
【詳解】（1）設雙曲線C的半焦距為c，
由點在圓O :上，得a=1，
由，得，
所以==3，
所以雙曲線C的標準方程為.
（2）設直線與軸相交于點，雙曲線C的漸近線方程為
當直線的斜率在存在時，直線為1，|，
得|MN||OD|1
當直線的斜率存在時，設其方程為，顯然，則
把直線的方程與方程C:聯立得3=0
由直線與軌跡C有且只有一個公共點，
且與雙曲線C的兩條漸近線分別相交可知直線與雙曲線的漸近線不平行，
所以，且，
于是得，
得，
設，
由，得，
同理得，
所以=|==
綜上，△OMN 的面積為.
7．已知圓，點，動直線過定點．
(1)若直線與圓相切，求直線的方程；
(2)若直線與圓相交于兩點，則是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)或；
(2)是，定值為6.
【分析】（1）討論直線的斜率，設切線方程，利用點線距離公式列方程求參數，即得切線方程；
（2）設，聯立與圓的方程，應用韋達定理、斜率兩點式化簡求，即可得結論.
【詳解】（1）當斜率不存在時，的方程為，此時與圓不相切；
當的斜率存在時，設的方程為，
，解得或，
直線的方程為或.
（2）設且，由（1）知：，
聯立，整理得，
顯然，且，
則.
8．以坐標原點為對稱中心，坐標軸為對稱軸的橢圓過點．
(1)求橢圓的方程．
(2)設是橢圓上一點（異于），直線與軸分別交于兩點．證明在軸上存在兩點，使得是定值，并求此定值．
【答案】(1)；
(2)證明見解析，定值為.
【分析】（1）根據給定條件，設出橢圓方程，利用待定系數法求解即得.
（2）設出點的坐標，利用向量共線探討出點的坐標，再求出，并確定的坐標，再計算即得.
【詳解】（1）設橢圓方程為，則，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）設，，
則，由，得，而，于是，
，同理，而，于是，
則，
，
令，而是橢圓上的動點，則，得，
于是，
所以存在和，使得是定值，且定值為.
【點睛】方法點睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當的量為變量，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
9．已知，M為平面上一動點，且滿足，記動點M的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)若，過點的動直線交曲線E于P，Q（不同于A，B）兩點，直線AP與直線BQ的斜率分別記為，，求證：為定值，并求出定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析；
【分析】（1）利用圓錐曲線的定義即可得曲線方程，但要注意只有雙曲線右支；
（2）設直線方程，聯立方程組，根據韋達定理進行運算可證為定值，之后求出定值即可.
【詳解】（1）由題可知，則的軌跡是實軸長為，
焦點為即的雙曲線的右支，則，
所以曲線的方程為：(或).
（2）由題可知過點的動直線斜率存在且不為，則設斜率為，
所以直線的方程為：，設，，

聯立 ，可得，
則 ，可得，即或，
則
，
所以為定值，定值為.
10．已知雙曲線的實軸長為4，離心率為．過點的直線l與雙曲線C交于A，B兩點．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)已知點，若直線QA，QB的斜率均存在，試問其斜率之積是否為定值？請給出判斷與證明．
【答案】(1)
(2)斜率之積為定值4，證明見解析
【分析】（1）由雙曲線的實軸長和離心率，求出與，可得雙曲線C的標準方程；
（2）分直線l斜率存在和不存在兩種類型，通過聯立方程組，設點，利用韋達定理表示直線QA，QB的斜率之積，化簡得定值.
【詳解】（1）雙曲線的實軸長為4，則，即，
雙曲線離心率為，則雙曲線是等軸雙曲線，得．
所以雙曲線C的標準方程為.
（2）當直線QA，QB的斜率均存在，其斜率之積為定值4，證明如下：
過點的直線l，若斜率不存在，則直線方程為，
與雙曲線方程聯立解得，，.
直線l斜率存在，設直線斜率為，直線方程為，
雙曲線漸近線方程為，當時，直線l與雙曲線C交于A，B兩點，
由，消去得，
設，，有，，
，
，
當直線QA，QB的斜率均存在，
.
所以當直線QA，QB的斜率均存在，其斜率之積為定值4.
【點睛】方法點睛：
解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強化有關直線與雙曲線聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
11．已知橢圓C：過點，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點的直線l交C于點M，N，直線分別交直線于點P，Q．求證：為定值．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）由點在橢圓上及，代入橢圓求得，即可得橢圓方程；
（2）令，，聯立橢圓，應用韋達定理得且，點斜式寫出直線的方程求出P，Q的縱坐標，再由及韋達公式代入化簡即可證.
【詳解】（1）由題設，則，故橢圓C的方程為，
（2）由題設，直線l的斜率一定存在，令，，聯立橢圓，
整理得，且，
所以，且，
由題意，直線的斜率必存在，
則，令，則；
同理，令，則；
所以
將韋達公式代入整理得，為定值.

12．已知雙曲線：的右焦點為，離心率.
(1)求的方程；
(2)若直線過點且與的右支交于M，N兩點，記的左、右頂點分別為，，直線，的斜率分別為，，證明：為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析；
【分析】（1）利用離心率的概念求出即可；
（2）根據直線過定點設出直線，聯立，分別求出斜率，最后得到斜率的比值即可.
【詳解】（1）因為的右焦點為，所以的半焦距，
又離心率為，所以，所以，所以，
故的方程為.
（2）易知，.
設，，易知直線的斜率不為0，設直線的方程為，
由，消去x可得，
，且
又因為直線與的右支交于M，N兩點，所以
所以
，
即為定值.
13．已知橢圓的右焦點為，點在E上．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)過點F的直線l與橢圓E交于A，B兩點，點Q為橢圓E的左頂點，直線QA，QB分別交于M，N兩點，O為坐標原點，求證：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用焦點坐標與點在橢圓上建立方程組求解即可；
（2）聯立直線與橢圓方程，設A，B兩點坐標，寫出直線QA，QB的方程，求出的坐標，再坐標表示，將韋達定理代入證明其為定值.
【詳解】（1）由題意得，又點在橢圓上，
則，解得，
故所求橢圓E的標準方程為.
（2）由題意知直線的斜率不為，可設方程為，
聯立，消得，
則，
設
由韋達定理得，，
則，
且
，
又則直線的方程為：，
令得，，
同理可得，，
故，
由，
則，
則.
即為定值.

【點睛】處理圓錐曲線中定值問題的方法：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值.
14．已知點到的距離是點到的距離的2倍.
(1)求點的軌跡方程；
(2)若點與點關于點對稱，過的直線與點的軌跡交于，兩點，探索是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，
【分析】(1)設點，根據兩點坐標求距離公式計算化簡即可；
(2)設，根據中點坐標公式代入圓方程中可得的軌跡方程，直線的方程、，，聯立圓方程，利用韋達定理表示出,，結合向量數量積的坐標表示化簡計算即可；
【詳解】（1）設點，由題意可得，即，
化簡可得.
（2）設點，由（1）點滿足方程:，，
代入上式消去可得，即的軌跡方程為，

當直線的斜率存在時，設其斜率為，則直線的方程為，
由，消去，得，顯然，
設，則，，
又，，
則
.
當直線的斜率不存在時，，，.
故是定值，即.
15．已知橢圓：的離心率為，上焦點到上頂點的距離為2.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點的直線交橢圓于，兩點，與定直線：交于點，設，，證明：為定值.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據給定條件，列式求出即可.
（2）按直線的斜率存在與否探討，利用韋達定理，結合平面向量的坐標運算計算推理即得.
【詳解】（1）令橢圓：半焦距為c，則，解得
所以橢圓的標準方程是.
（2）由（1）知，，
當直線的斜率不存在時，直線：，不妨令，而，
則，，此時；
當直線的斜率存在時，設直線：，
由消去y得：，
易知，設，，，
則，，，
，
由，得，則，
同理由，得，
則，
所以為定值0.

【點睛】方法點睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當的量為變量，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；
（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
16．已知圓的方程為，直線與圓交于兩點．

(1)若坐標原點到直線的距離為，且過點，求直線的方程；
(2)已知點，為的中點，若在軸上方，且滿足，在圓上是否存在定點，使得的面積為定值？若存在，求出的面積；若不存在，說明理由．
【答案】(1)；
(2)存在點，使為定值.
【分析】（1）設直線的方程為：，根據原點到直線的距離為，解出的值即可；
（2）設，直線的方程為：，利用韋達定理及，可得，，從而得點的軌跡為，設，可得，再根據三角函數的性質即可得解.
【詳解】（1）解：設直線的方程為：，
因為原點到直線的距離為，
所以，解得，
所以直線的方程為；
（2）解：設，直線的方程為：，
由，可得，
則，
，
所以，
因為在軸上方，所以，所以，
又因為為的中點，所以，
又因為，，
所以，
即，整理得：，
又因為，
整理得：，
代入，
化簡得，
所以或，
當時，直線過定點不符題意，
所以，所以，
所以點在直線上，
即點的軌跡為，
所以直線，即，且，
假設存在滿足條件的點，其坐標為，
則點到直線的距離，
所以，
所以當，即，，時，
為定值，此時的坐標為，
所以存在點，使為定值.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是得出點的軌跡，為后面設點的坐標和求的坐標作好鋪墊.
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