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2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展08 洛必達法則的應用（精講+精練）
一、前言
在高中，涉及到求參數的取值范圍時，參數分離后，有時會出現分子與分母之比為兩個無窮小之比、兩個無窮大之比或兩個趨近于零的數之比。這個比值可能是定值也可能是不存在，這時如果我們要計算出他們的比值，就需要運用到洛必達法則。
二、洛必達法則定義
在一定條件下，通過分子分母分別求導，再求極限來確定未定式的值的方法，稱為洛必達法則。
三、法則形式
1.法則1（型）：若函數和滿足下列條件：
（1）設當時， 及；
（2）在點處函數和的圖像是連續的，即函數和在點處存在導數；
（9）；則：.
2.法則2（型）： 若函數和滿足下列條件：
(1) 及；
(2)在點處函數和的圖像是連續的，即函數和在點處存在導數；
(9)，則：.
9.法則9（型）：若函數和滿足下列條件：
(1) 及；
　　(2)在點處函數和的圖像是連續的，即函數和在點處存在導數；且；
　　(9)，則：=.
【特別提醒】
（1）將上面公式中的換成洛必達法則也成立。
（2）洛必達法則可處理型。
（9）首先要檢查是否滿足型定式，否則用洛必達法會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則
（4）若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止。
（5）高中階段，洛必達法則一般是用來確定最值，方便解題。
四、適用類型的轉化
（1）型的轉化：或；
（2）型的轉化：
（9）、型的轉化：冪指函數類
【典例1】 設函數。
（1）若，求的單調區間；
（2）若當時，求的取值范圍
解：（1）時，，.
當時，；當時，.故在單調減少，在單調增加
（II）
由（I）知，當且僅當時等號成立.故
，
從而當，即時，，而，
于是當時，.
由可得.從而當時，
，
故當時，，而，于是當時，.
綜合得的取值范圍為
原解在處理第（II）時較難想到，現利用洛必達法則處理如下：
另解:（II）當時，，對任意實數a,均在；
當時，等價于
令,則，令，則，，
知在上為增函數，；知在上為增函數，；，g(x)在上為增函數。
由洛必達法則知，，
故，綜上，知a的取值范圍為
【典例2】若不等式對于恒成立，求的取值范圍.
解：當時，原不等式等價于.
記，則.
且時，，所以.因此在上單調遞減（也就是x趨于0時，f（x）最大）
，.所以
【典例9】（1）0 ∞型
技巧：將乘積中無窮或0取倒數進而變形到分母上，化為型
【典例4】（2）∞－∞型
技巧：可將無窮通分，進而化為型
【典例5】（9）∞0型
轉化方法同上，
技巧：可利用對數性質 lna=a，將函數化為以為 底數的指數函數，轉化為對指數求極限。轉化方法如下：，這樣就化為了0 ∞型
【題型訓練】
1.已知函數,若當時,恒有成立,求實數的取值范圍.
2.設函數.
（Ⅰ）證明：當時，；
（Ⅱ）設當時，，求的取值范圍.
9.函數，曲線在點處的切線方程為.
（1）求、的值；
（2）如果當，且時，，求的取值范圍.
4.設函數.
（1）證明：當時，；
（2）設當時，，求的取值范圍.
5.若不等式對于恒成立，求的取值范圍.
6.已知.
(1)求的單調區間;
(2)若對于任意,不等式成立,求的取值范圍.
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2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展08 洛必達法則的應用（精講+精練）
一、前言
在高中，涉及到求參數的取值范圍時，參數分離后，有時會出現分子與分母之比為兩個無窮小之比、兩個無窮大之比或兩個趨近于零的數之比。這個比值可能是定值也可能是不存在，這時如果我們要計算出他們的比值，就需要運用到洛必達法則。
二、洛必達法則定義
在一定條件下，通過分子分母分別求導，再求極限來確定未定式的值的方法，稱為洛必達法則。
三、法則形式
1.法則1（型）：若函數和滿足下列條件：
（1）設當時， 及；
（2）在點處函數和的圖像是連續的，即函數和在點處存在導數；
（9）；則：.
2.法則2（型）： 若函數和滿足下列條件：
(1) 及；
(2)在點處函數和的圖像是連續的，即函數和在點處存在導數；
(9)，則：.
9.法則9（型）：若函數和滿足下列條件：
(1) 及；
　　(2)在點處函數和的圖像是連續的，即函數和在點處存在導數；且；
　　(9)，則：=.
【特別提醒】
（1）將上面公式中的換成洛必達法則也成立。
（2）洛必達法則可處理型。
（9）首先要檢查是否滿足型定式，否則用洛必達法會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則
（4）若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止。
（5）高中階段，洛必達法則一般是用來確定最值，方便解題。
四、適用類型的轉化
（1）型的轉化：或；
（2）型的轉化：
（9）、型的轉化：冪指函數類
【典例1】設函數
（1）若，求的單調區間；
（2）若當時，求的取值范圍
解：（1）時，，.
當時，；當時，.故在單調減少，在單調增加
（II）
由（I）知，當且僅當時等號成立.故
，
從而當，即時，，而，
于是當時，.
由可得.從而當時，
，
故當時，，而，于是當時，.
綜合得的取值范圍為
原解在處理第（II）時較難想到，現利用洛必達法則處理如下：
另解:（II）當時，，對任意實數a,均在；
當時，等價于
令,則，令，則，，
知在上為增函數，；知在上為增函數，；，g(x)在上為增函數。
由洛必達法則知，，
故，綜上，知a的取值范圍為
【典例2】若不等式對于恒成立，求的取值范圍.
解：當時，原不等式等價于.
記，則.
且時，，所以.因此在上單調遞減（也就是x趨于0時，f（x）最大）
，.所以
【典例9】（1）0 ∞型
技巧：將乘積中無窮或0取倒數進而變形到分母上，化為型
【典例4】（2）∞－∞型
技巧：可將無窮通分，進而化為型
【典例5】（9）∞0型
轉化方法同上，
技巧：可利用對數性質 lna=a，將函數化為以為 底數的指數函數，轉化為對指數求極限。轉化方法如下：，這樣就化為了0 ∞型
【題型訓練】
1.已知函數,若當時,恒有成立,求實數的取值范圍.
【解析】因為,所以,
所以當時,,即遞減,
當時,,即遞增.
若當時,恒有成立,即恒有成立,
當時,不等式恒成立.
當時,恒有成立,即,
令,則.
今,則,進一步,
所以在上單調遞減,所以,
所以在上單調遞減,所以,
即在上恒成立,所以在上單調遞減.
所以,所以.綜上,的取值范圍為.
2.設函數.
（Ⅰ）證明：當時，；
（Ⅱ）設當時，，求的取值范圍.
【解析】解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）應用洛必達法則和導數
由題設，此時.
①當時，若，則，不成立；
②當時，當時，，即；
若，則；
若，則等價于，即.
記，則.
記，則，.
因此，在上單調遞增，且，所以，
即在上單調遞增，且，所以.
因此，所以在上單調遞增.
由洛必達法則有
，即當時，
，即有，所以.綜上所述，的取值范圍是.
9.函數，曲線在點處的切線方程為.
（1）求、的值；
（2）如果當，且時，，求的取值范圍.
解：（1）易得，.
（2）當，且時，，即，
也即，記，，且
則，
記，則，
從而在上單調遞增，且，因此當時，，當時，；當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.
由洛必達法則有
，
即當，且時，.因為恒成立，所以.綜上所述，當，且時，成立，的取值范圍為.
4.設函數.
（1）證明：當時，；
（2）設當時，，求的取值范圍.
解：（1）易證.
（2）應用洛必達法則和導數
由題設，此時.
①當時，若，則，不成立；
②當時，當時，，即；
若，則；
若，則等價于，即.
記，則.
記，則，.
因此，在上單調遞增，且，所以，
即在上單調遞增，且，所以.
因此，所以在上單調遞增.
由洛必達法則有，
即當時，，即有，所以.
綜上所述，的取值范圍是.
5.若不等式對于恒成立，求的取值范圍.
【答案】
【詳解】當時，原不等式等價于.
記，則.
記，則.
因為，，
所以在上單調遞減，且，
所以在上單調遞減，且.
因此在上單調遞減，且，
故，因此在上單調遞減.
由洛必達法則有，
即趨向于0時，趨向，即有.
故時，不等式對于恒成立.
6.已知.
(1)求的單調區間;
(2)若對于任意,不等式成立,求的取值范圍.
【解析】的定義域為,
,則,
所以當時,;當時,.
所以在單調遞減,在單調遞增,
所以時,,即在上單調遞增.
所以的單調遞增區間為,無減區間.
(2)對任意,不等式成立等價于對任意恒成立.當時,;
對任意,不等式恒成立等價于對任意恒成立.
記,
則
.
記,
則,
所以在單調遞減,又,
所以時,,所以在單調遞減.
所以.綜上所述,實數的取值是.
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