資源簡介

2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展06 導數中的公切線問題（精講+精練）
一、公切線問題一般思路
兩個曲線的公切線問題，主要考查利用導數的幾何意義進行解決，關鍵是抓住切線的斜率進行轉化和過渡.主要應用在求公切線方程，切線有關的參數，以及與函數的其他性質聯系到一起.處理與切線有關的參數，通常根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程并解出參數：
①切點處的導數是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上.
考法1：求公切線方程
已知其中一曲線上的切點，利用導數幾何意義求切線斜率，進而求出另一曲線上的切點；不知切點坐標，則應假設兩切點坐標，通過建立切點坐標間的關系式，解方程.
具體做法為：設公切線在y＝f(x)上的切點P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))，
則f′(x1)＝g′(x2)＝.
考法2：由公切線求參數的值或范圍問題
由公切線求參數的值或范圍問題，其關鍵是列出函數的導數等于切線斜率的方程．
【典例1】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則______．
【解析】設與和，分別切于點，，
由導數的幾何意義可得：，即，①
則切線方程為，即，
或，即，②
將①代入②得，
又直線是曲線的切線，也是曲線的切線，
則，即，則或，
即或，故答案為1或．
【典例2】已知直線與函數的圖像相切于點，與函數的圖像相切于點，若，且，，則______．
【解析】依題意，可得，整理得
令，則在單調遞增
且，∴存在唯一實數，使
，，，
，，∴，故．
【題型訓練】
1.求公切線方程
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）曲線與曲線的公切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習）對于三次函數，若曲線在點處的切線與曲線在點處點的切線重合，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．若經過點存在一條直線l與曲線和都相切，則（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，則和的公切線的條數為
A．三條 B．二條 C．一條 D．0條
5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，若與在公共點處的切線相同，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全國·高三專題練習）函數在點處的切線與函數的圖象也相切，則滿足條件的切點的個數有
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
二、填空題
7．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）與曲線和都相切的直線方程為__________.
8．（2023·全國·高三專題練習）已知（為自然對數的底數），，請寫出與的一條公切線的方程______．
9．（2023春·安徽·高三合肥市第六中學校聯考開學考試）已知直線l與曲線、都相切，則直線l的方程為______．
10．（2023春·浙江金華·高三浙江金華第一中學校考階段練習）已知直線是曲線與的公切線，則__________.
2.公切線中的參數問題
一、單選題
1．（2023·陜西渭南·統考一模）已知直線是曲線與曲線的公切線，則等于（ ）
A． B．3 C． D．2
2．（2023·陜西榆林·校考模擬預測）若直線與曲線相切，切點為，與曲線也相切，切點為，則的值為（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）已知曲線在點處的切線也與曲線相切，則所在的區間是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國·高三專題練習）若函數與的圖像存在公共切線，則實數的最大值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南郴州·統考模擬預測）定義：若直線l與函數，的圖象都相切，則稱直線l為函數和的公切線．若函數和有且僅有一條公切線，則實數a的值為（ ）
A．e B． C． D．
6．（2023春·廣東汕頭·高三汕頭市潮陽實驗學校校考階段練習）已知函數，，若總存在兩條不同的直線與函數，圖象均相切，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全國·高三專題練習）若曲線與曲線有公切線，則實數a的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·河北·統考模擬預測）若曲線與曲線存在公切線，則實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023·湖北·統考模擬預測）若存在直線與曲線都相切，則的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
10．（2023·全國·高三專題練習）函數，，下列說法正確的是（ ）．（參考數據：，，，）
A．存在實數m，使得直線與相切也與相切
B．存在實數k，使得直線與相切也與相切
C．函數在區間上不單調
D．函數在區間上有極大值，無極小值
三、填空題
11．（2023·全國·高三專題練習）若曲線與有一條斜率為2的公切線，則___________.
12．（2023·河北唐山·統考三模）已知曲線與有公共切線，則實數的取值范圍為__________.
13．（2023·浙江金華·統考模擬預測）若存在直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則實數的最大值為___________.
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2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展06 導數中的公切線問題（精講+精練）
一、公切線問題一般思路
兩個曲線的公切線問題，主要考查利用導數的幾何意義進行解決，關鍵是抓住切線的斜率進行轉化和過渡.主要應用在求公切線方程，切線有關的參數，以及與函數的其他性質聯系到一起.處理與切線有關的參數，通常根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程并解出參數：
①切點處的導數是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上.
考法1：求公切線方程
已知其中一曲線上的切點，利用導數幾何意義求切線斜率，進而求出另一曲線上的切點；不知切點坐標，則應假設兩切點坐標，通過建立切點坐標間的關系式，解方程.
具體做法為：設公切線在y＝f(x)上的切點P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))，
則f′(x1)＝g′(x2)＝.
考法2：由公切線求參數的值或范圍問題
由公切線求參數的值或范圍問題，其關鍵是列出函數的導數等于切線斜率的方程．
【典例1】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則______．
【解析】設與和，分別切于點，，
由導數的幾何意義可得：，即，①
則切線方程為，即，
或，即，②
將①代入②得，
又直線是曲線的切線，也是曲線的切線，
則，即，則或，
即或，故答案為1或．
【典例2】已知直線與函數的圖像相切于點，與函數的圖像相切于點，若，且，，則______．
【解析】依題意，可得，整理得
令，則在單調遞增
且，∴存在唯一實數，使
，，，
，，∴，故．
【題型訓練】
1.求公切線方程
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）曲線與曲線的公切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】畫出圖象，從而確定正確選項.
【詳解】畫出以及四個選項中直線的圖象如下圖所示，由圖可知A選項符合.
故選：A
2．（2023·全國·高三專題練習）對于三次函數，若曲線在點處的切線與曲線在點處點的切線重合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得，然后求得，由求得，設，由得及，再由得，解得后可得．
【詳解】設，
，
設，則，即……①
又，即
……②
由①②可得，
.
故選：B.
3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．若經過點存在一條直線l與曲線和都相切，則（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】先求得 在 處的切線方程，然后與聯立，由 求解
【詳解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲線在處的切線方程為，由得，由，解得．
故選：B
4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，則和的公切線的條數為
A．三條 B．二條 C．一條 D．0條
【答案】A
【分析】分別設出兩條曲線的切點坐標，根據斜率相等得到方程，構造函數，研究方程的根的個數，即可得到切線的條數.
【詳解】設公切線與和分別相切于點，，解得，代入化簡得，構造函數，原函數在，極大值
故函數和x軸有交3個點，方程有三解，故切線有3條.
故選A.
【點睛】這個題目考查了利用導數求函數在某一點處的切線方程；步驟一般為：一，對函數求導，代入已知點得到在這一點處的斜率；二，求出這個點的橫縱坐標；三，利用點斜式寫出直線方程.考查了函數零點個數問題，即轉化為函數圖像和x軸的交點問題.
5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，若與在公共點處的切線相同，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設曲線與的公共點為，根據題意可得出關于、的方程組，進而可求得實數的值.
【詳解】設函數，的公共點設為，
則，即，解得，
故選：B.
【點睛】本題考查利用兩函數的公切線求參數，要結合公共點以及導數值相等列方程組求解，考查計算能力，屬于中等題.
6．（2023·全國·高三專題練習）函數在點處的切線與函數的圖象也相切，則滿足條件的切點的個數有
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
【答案】C
【分析】先求直線為函數的圖象上一點，處的切線方程，再設直線與曲線相切于點，，進而可得，根據函數圖象的交點即可得出結論．
【詳解】解：，，，，
切線的方程為，
即，①
設直線與曲線相切于點，，
，，．
直線也為
即，②
由①②得，
如圖所示，在同一直角坐標系中畫出的圖象，即可得方程有兩解，故切點有2個.
故選：C
二、填空題
7．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）與曲線和都相切的直線方程為__________.
【答案】
【分析】分別設出直線與兩曲線相切的切點，然后表示出直線的方程，再根據切線是同一條直線建立方程求解.
【詳解】設直線與曲線相切于點，
因為，所以該直線的方程為，即，
設直線與曲線相切于點，
因為，所以該直線的方程為，即，
所以，解得，
所以該直線的方程為，
故答案為：.
8．（2023·全國·高三專題練習）已知（為自然對數的底數），，請寫出與的一條公切線的方程______．
【答案】或
【分析】假設切點分別為，，根據導數幾何意義可求得公切線方程，由此可構造方程求得，代入公切線方程即可得到結果.
【詳解】設公切線與相切于點，與相切于點，
，，公切線斜率；
公切線方程為：或，
整理可得：或，
，即，
，解得：或，
公切線方程為：或.
故答案為：或.
9．（2023春·安徽·高三合肥市第六中學校聯考開學考試）已知直線l與曲線、都相切，則直線l的方程為______．
【答案】或
【分析】分別求出兩曲線的切線方程是和，解方程，，即得解.
【詳解】解：由得，設切點為，所以切線的斜率為，
則直線l的方程為：；
由得，設切點為，所以切線的斜率為，
則直線l的方程為：．
所以，，
消去得，
故或，所以直線l的方程為：或．故答案為：或
10．（2023春·浙江金華·高三浙江金華第一中學校考階段練習）已知直線是曲線與的公切線，則__________.
【答案】
【分析】分別設兩條曲線上的切點，寫出切線方程，建立方程組，解出切點，計算.
【詳解】設曲線上切點，，
切線斜率，切線方程，
即
同理，設曲線上切點，，
切線斜率，切線方程，
即，
所以，解得，
所以，，.
故答案為：.
2.公切線中的參數問題
一、單選題
1．（2023·陜西渭南·統考一模）已知直線是曲線與曲線的公切線，則等于（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】D
【分析】由求得切線方程，結合該切線也是的切線列方程，求得切點坐標以及斜率，進而求得直線，從而求得正確答案.
【詳解】設是圖象上的一點，，
所以在點處的切線方程為，①，
令，解得，
，所以，
，所以或（此時①為，，不符合題意，舍去），
所以，此時①可化為，
所以.
故選：D
2．（2023·陜西榆林·校考模擬預測）若直線與曲線相切，切點為，與曲線也相切，切點為，則的值為（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】根據導數求出切線的斜率，得到切線方程，根據兩切線方程即可得解.
【詳解】因為直線與曲線相切，切點為，
可知直線的方程為，
又直線與曲線也相切，切點為，
可知直線的方程為，
所以，兩式相除，可得，
所以.
故選：B
3．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）已知曲線在點處的切線也與曲線相切，則所在的區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】設切線l與曲線的切點為，通過導數分別寫出切線方程，由兩條切線重合得出方程，再通過此方程有解得出結果.
【詳解】設該切線為l，對求導得，
所以l的方程為，即．
設l與曲線相切的切點為，
則l的方程又可以寫為，即．
所以，．
消去m，可得，，
令，則．設，
當時，，所以在上單調遞增，又，，
所以，所以．
故選：C.
4．（2023·全國·高三專題練習）若函數與的圖像存在公共切線，則實數的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別設公切線與和的切點，，根據導數的幾何意義列式，再化簡可得，再求導分析的最大值即可
【詳解】，，
設公切線與的圖像切于點，
與曲線切于點，
所以，
故，所以，
所以，
因為，故，
設，
則，令
當時，，當時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以，
所以實數a的最大值為e，
故選：A.
5．（2023·湖南郴州·統考模擬預測）定義：若直線l與函數，的圖象都相切，則稱直線l為函數和的公切線．若函數和有且僅有一條公切線，則實數a的值為（ ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【分析】設直線與的切點為，然后根據導數的幾何意義可推得切線方程為，.兩條切線重合，即可得出有唯一實根.構造，根據導函數得出函數的性質，作出函數的圖象，結合圖象，即可得出答案.
【詳解】設直線與的切點為，
因為，根據導數的幾何意義可知該直線的斜率為，
即該直線的方程為，即.
設直線與的切點為，
因為，根據導數的幾何意義可知該直線的斜率為，
即該直線的方程為，即.
因為函數和有且只有一條公切線，
所以有，
即有唯一實根.
令，則.
解，可得.
當時，，所以在上單調遞增；
當時，，所以在上單調遞減.
所以在處取得最大值.
當時，，，函數圖象如圖所示，
因為，有唯一實根，所以只有.
故選：C
6．（2023春·廣東汕頭·高三汕頭市潮陽實驗學校校考階段練習）已知函數，，若總存在兩條不同的直線與函數，圖象均相切，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設函數，的切點坐標分別為，，根據導數幾何意義可得，，即該方程有兩個不同的實根，則設，求導確定其單調性與取值情況，即可得實數a的取值范圍.
【詳解】解：設函數上的切點坐標為，且，函數上的切點坐標為，且，
又，則公切線的斜率，則，所以，
則公切線方程為，即，
代入得：，則，整理得，
若總存在兩條不同的直線與函數，圖象均相切，則方程有兩個不同的實根，
設，則，令得，
當時，，單調遞增，時，，單調遞減，
又可得，則時，；時，，則函數的大致圖象如下：
所以，解得，故實數a的取值范圍為.
故選：B.
【點睛】本題考查了函數的公切線、函數方程與導數的綜合應用，難度較大.解決本題的關鍵是，根據公切線的幾何意義，設切點坐標分別為，且，，且，可得，即有，得公切線方程為，代入切點將雙變量方程轉化為單變量方程，根據含參方程進行“參變分離”得，轉化為一曲一直問題，即可得實數a的取值范圍.
7．（2023·全國·高三專題練習）若曲線與曲線有公切線，則實數a的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分別求出兩曲線的切線方程，則兩切線方程相同，據此求出a關于切點x的解析式，根據解析式的值域確定a的范圍.
【詳解】設是曲線的切點，設是曲線的切點，
對于曲線 ，其導數為 ，對于曲線 ，其導數為 ，
所以切線方程分別為：，，兩切線重合，
對照斜率和縱截距可得：，解得（），令 （），
，得：，
當 時， ，是減函數，
當 時， ，是增函數，
∴且當x趨于 時，， 趨于 ；當 趨于 時， 趨于；
∴，∴；
故選：D．
8．（2023·河北·統考模擬預測）若曲線與曲線存在公切線，則實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函數的導函數，設公切線與切于點，與曲線切于點，，即可得到，則或，從而得到，在令，，利用導數求出函數的最小值，即可得解；
【詳解】因為，，
所以，，
設公切線與切于點，與曲線切于點，，
所以，
所以，所以，所以或，
因為，所以，所以，
所以，
令，，
則，所以當時，當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以實數的最小值為.
故選：A
【點睛】思路點睛：涉及公切線問題一般先設切點，在根據斜率相等得到方程，即可找到參數之間的關系，最后構造函數，利用導數求出函數的最值.
二、多選題
9．（2023·湖北·統考模擬預測）若存在直線與曲線都相切，則的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】ABC
【分析】設該直線與相切于點，求出切線方程為，設該直線與相切于點，求出切線方程為，聯立方程組，得到，令，討論的單調性，從而得到最值，則可得到，解出的取值范圍，四個選項的值分別比較與區間端點比較大小即可判斷是否在區間內.
【詳解】設該直線與相切于點，因為，所以，
所以該切線方程為，即.
設該直線與相切于點，因為，所以，
所以該切線方程為，即，
所以，
所以，
令，
所以當時，0；當時，；
在和上單調遞減；在和上單調遞增；
又，所以，
所以，解得，所以的取值范圍為，
所以A正確；
對于B，，所以，所以B正確；
對于C， 因為，所以C正確；
對于D， 因為，所以D不正確.
故選：ABC
10．（2023·全國·高三專題練習）函數，，下列說法正確的是（ ）．（參考數據：，，，）
A．存在實數m，使得直線與相切也與相切
B．存在實數k，使得直線與相切也與相切
C．函數在區間上不單調
D．函數在區間上有極大值，無極小值
【答案】AB
【分析】對AB，設直線與、分別切于點，利用點在線上及斜率列方程組，解得切點即可判斷；
對CD，令，由二階導數法研究函數單調性及極值.
【詳解】對AB，設直線l與、分別切于點，，，
則有，解得或.
當，則，，，公切線為，此時存在實數滿足題意；
當，則，，，公切線為，此時存在實數滿足題意，AB對；
對CD，令，，則，
由得在單調遞增，
由得，時，，單調遞增，CD錯.
故選：AB.
三、填空題
11．（2023·全國·高三專題練習）若曲線與有一條斜率為2的公切線，則___________.
【答案】
【分析】根據導數的幾何意義以及切線方程的求解方法求解.
【詳解】設公切線在曲線與上的切點分別為，
由可得，所以，解得，
所以,則，
所以切線方程為，
又由，可得，所以，即，
所以，
又因為切點，也即在切線上，
所以，解得，
所以.
故答案為: .
12．（2023·河北唐山·統考三模）已知曲線與有公共切線，則實數的取值范圍為__________.
【答案】
【分析】設公切線與曲線的切點為，，利用導數的幾何意義分別求和上的切線方程，由所得切線方程的相關系數相等列方程求參數關系，進而構造函數并利用導數研究單調性求參數范圍.
【詳解】設公切線與曲線和的切點分別為，，其中，
對于有，則上的切線方程為，即，
對于有，則上的切線方程為，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以，故，即.
∴正實數的取值范圍是.
故答案為：.
13．（2023·浙江金華·統考模擬預測）若存在直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則實數的最大值為___________.
【答案】
【分析】設切線與兩曲線的切點分別為，，根據導數的幾何意義分別求出切線方程，可得，由題意可知有解，故令，利用導數求得其最值，即可求得答案.
【詳解】由題意知兩曲線與存在公切線，
時，兩曲線與，不合題意；
則的導數，的導數為，
設公切線與相切的切點為，與曲線相切的切點為，
則切線方程為，即，
切線方程也可寫為，即，
故，即，即，
即有解，
令 ，
則，
令可得，當時，，當時，，
故在是增函數，在是減函數，
故的最大值為，
故，所以，即實數的最大值為，
故答案為：
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