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2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展10 導數中的隱零點問題（精講+精練）
一、隱零點問題
隱零點問題是函數零點中常見的問題之一，其源于含指對函數的方程無精確解，這樣我們只能得到存在性之后去估計大致的范圍（數值計算不再考察之列）.
基本步驟：
第1步：用零點存在性定理判定導函數零點的存在性，列出零點方程，并結合的單調性得到零點的范圍；
第2步：以零點為分界點，說明導函數的正負，進而得到的最值表達式；
第9步：將零點方程適當變形，整體代入最值式子進行化簡，要么消除最值式中的指對項，要么消除其中的參數項，從而得到最值式的估計. 下面我們通過實例來分析.
二、函數零點的存在性定理
函數零點存在性定理：設函數在閉區間上連續，且，那么在開區間內至少有函數的一個零點，即至少有一點，使得.
三、常見類型
1.隱零點代換
2.隱零點同構
實際上，很多隱零點問題產生的原因就是含有指對項，而這類問題由往往具有同構特征，所以下面我們看到的這兩個問題，它的隱零點代換則需要同構才能做出，否則，我們可能很難找到隱零點合適的代換化簡方向.例如：
9.隱零點的估計
【典例1】已知函數．
（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；
（2）若，求的取值范圍.
解析：（1）切線方程為,故切線與坐標軸交點坐標分別為,所求三角形面積為.
（2）由于,，且. 設,則即在上單調遞增，當時，,∴,∴成立.當時， ，,∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，因此
, 故恒成立；
當時， ∴不是恒成立.綜上所述，實數的取值范圍是.
【典例2】已知函數（，為自然對數的底數），.
（1）若有兩個零點，求實數的取值范圍；
（2）當時，對任意的恒成立，求實數的取值范圍.
解析：（1）有兩個零點關于的方程有兩個相異實根，由，知
有兩個零點有兩個相異實根.令，則，
由得：，由得：，在單調遞增，在單調遞減，，又，當時，，當時，
當時，，有兩個零點時，實數的取值范圍為；
（2）當時，，原命題等價于對一切恒成立
對一切恒成立.令
，，令，，則
，在上單增，又，
，使即①，當時，，當時，，即在遞減，在遞增，
由①知，函數在單調遞增，即，，
實數的取值范圍為.
【典例9】已知函數，且．
（1）求；
（2）證明：存在唯一的極大值點，且．
解析：（1）．
（2）由（1）知，．設，則．當時，；當時，．所以在單調遞減，在單調遞增．又，，，所以在有唯一零點，在有唯一零點1，且當時，；當時，；當時，．因此，所以是的唯一極大值點．由得，故．
由得，．因為是在的最大值點，由，得．所以．
【題型訓練】
1.已知函數．
(1)若，求的極小值．
(2)討論函數的單調性；
(9)當時，證明：有且只有個零點．
2.已知函數，．
(1)當時，求函數在點處的切線方程；
(2)設，若，，都有，求實數的取值范圍．
9.已知函數為的導數.
(1)當時，求的最小值；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍.
4.已知，.
(1)若函數的圖像在處的切線與直線垂直，求;
(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍.
5.已知函數（），是的導數.
（1）當時，令，為的導數.證明：在區間存在唯一的極小值點；
（2）已知函數在上單調遞減，求的取值范圍.
6.已知函數，，
(1)求函數的單調區間；
(2)若關于x的不等式在上恒成立，求實數a的取值范圍.
7.已知函數．
(1)討論函數零點個數；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
8.已知函數．
(1)當時，討論的單調性
(2)證明：有唯一極值點t，且．
9.已知函數．
（1）若的極小值為，求實數的值；
（2）若，求證：．
10.已知函數在處的切線方程是．
(1)求a，b的值；
(2)若對于，曲線與曲線都有唯一的公共點，求實數m的取值范圍．
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2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展10 導數中的隱零點問題（精講+精練）
一、隱零點問題
隱零點問題是函數零點中常見的問題之一，其源于含指對函數的方程無精確解，這樣我們只能得到存在性之后去估計大致的范圍（數值計算不再考察之列）.
基本步驟：
第1步：用零點存在性定理判定導函數零點的存在性，列出零點方程，并結合的單調性得到零點的范圍；
第2步：以零點為分界點，說明導函數的正負，進而得到的最值表達式；
第9步：將零點方程適當變形，整體代入最值式子進行化簡，要么消除最值式中的指對項，要么消除其中的參數項，從而得到最值式的估計. 下面我們通過實例來分析.
二、函數零點的存在性定理
函數零點存在性定理：設函數在閉區間上連續，且，那么在開區間內至少有函數的一個零點，即至少有一點，使得.
三、常見類型
1.隱零點代換
2.隱零點同構
實際上，很多隱零點問題產生的原因就是含有指對項，而這類問題由往往具有同構特征，所以下面我們看到的這兩個問題，它的隱零點代換則需要同構才能做出，否則，我們可能很難找到隱零點合適的代換化簡方向.例如：
9.隱零點的估計
【典例1】已知函數．
（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；
（2）若，求的取值范圍.
解析：（1）切線方程為,故切線與坐標軸交點坐標分別為,所求三角形面積為.
（2）由于,，且. 設,則即在上單調遞增，當時，,∴,∴成立.當時， ，,∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，因此
, 故恒成立；
當時， ∴不是恒成立.綜上所述，實數的取值范圍是.
【典例2】已知函數（，為自然對數的底數），.
（1）若有兩個零點，求實數的取值范圍；
（2）當時，對任意的恒成立，求實數的取值范圍.
解析：（1）有兩個零點關于的方程有兩個相異實根，由，知
有兩個零點有兩個相異實根.令，則，
由得：，由得：，在單調遞增，在單調遞減，，又，當時，，當時，
當時，，有兩個零點時，實數的取值范圍為；
（2）當時，，原命題等價于對一切恒成立
對一切恒成立.令
，，令，，則
，在上單增，又，
，使即①，當時，，當時，，即在遞減，在遞增，
由①知，函數在單調遞增，即，，
實數的取值范圍為.
【典例9】已知函數，且．
（1）求；
（2）證明：存在唯一的極大值點，且．
解析：（1）．
（2）由（1）知，．設，則．當時，；當時，．所以在單調遞減，在單調遞增．又，，，所以在有唯一零點，在有唯一零點1，且當時，；當時，；當時，．因此，所以是的唯一極大值點．由得，故．
由得，．因為是在的最大值點，由，得．所以．
【題型訓練】
1．已知函數．
(1)若，求的極小值．
(2)討論函數的單調性；
(9)當時，證明：有且只有個零點．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(9)證明見解析
【詳解】（1）當時，的定義域為，
，
在區間遞減；
在區間遞增．
所以當時，取得極小值．
（2）的定義域為，
．
令，
當時，恒成立，所以即在上遞增．
當時，在區間即遞減；
在區間即遞增．
（9）當時，，
由（2）知，在上遞增，，
所以存在使得，即．
在區間，遞減；在區間遞增．
所以當時，取得極小值也即最小值為，
由于，所以．
，
，
根據零點存在性定理可知在區間和，各有個零點，
所以有個零點．
2.已知函數，．
(1)當時，求函數在點處的切線方程；
(2)設，若，，都有，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當時，，
，
∵，∴切點為，
∵，∴切線斜率，∴切線方程為
（2），．
當時，，單調遞增，∴，．
，，，令，，
∴在上單調遞增，且，，
∴，使得，即，也即．
令，，，顯然時，，單調遞增，
∴，即．∵當時，，，單調遞減，
當時，，，單調遞增，
∴．
∵，，都有，∴，得，
故實數的取值范圍為．
9.已知函數為的導數.
(1)當時，求的最小值；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意，，令，則，
當時，，，所以，從而在上單調遞增，
則的最小值為，故的最小值0；
（2）由已知得當時，恒成立，
令，，
①當時，若時，由（1）可知，∴為增函數，
∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，
若，令 則，
令，則，
令，則，
∵在在內大于零恒成立，∴函數在區間為單調遞增，
又∵，，，
∴上存在唯一的使得，
∴當時，，此時為減函數，
當時，，此時為增函數，
又∵，，
∴存在，使得，
∴當時，，為增函數，當時，，為減函數，
又∵，，
∴時，，則為增函數，∴，
∴恒成立，
②當時，在上恒成立，則在上為增函數，
∵，，
∴存在唯一的使，
∴當時，，從而在上單調遞減，∴，
∴，與矛盾，
綜上所述，實數的取值范圍為.
4.已知，.
(1)若函數的圖像在處的切線與直線垂直，求;
(2)當時，恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1）的定義域為，，
，由已知可得，即.
（2）當時，，即，
化簡可得，，
令，只需，
，令，
則，在上單調遞增，
，，
存在唯一的，使得，
當時，，即，當時，，即，
∴在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
，
由得，
兩邊取對數得，，
，即實數a的取值范圍是．
5．已知函數（），是的導數.
（1）當時，令，為的導數.證明：在區間存在唯一的極小值點；
（2）已知函數在上單調遞減，求的取值范圍.
【解析】（1）由已知，，所以，
設，，
當時，單調遞增，而，，且在上圖象連續
不斷.所以在上有唯一零點，
當時，；當時，；
∴在單調遞減，在單調遞增，故在區間上存在唯一的極小
值點，即在區間上存在唯一的極小值點；
（2）設，，，
∴在單調遞增，，
即，從而，
因為函數在上單調遞減，
∴在上恒成立，
令，
∵，∴，
在上單調遞減，，
當時，，則在上單調遞減，，符合題意.
當時，在上單調遞減，
所以一定存在，
當時，，在上單調遞增，與題意不符，舍去.
綜上，的取值范圍是
6．已知函數，，
(1)求函數的單調區間；
(2)若關于x的不等式在上恒成立，求實數a的取值范圍.
【解析】（1）由，當時，恒成立，則在R上單調遞減；
當時，令，解得，
當時；當時
在上單調遞減，上單調遞增
綜上，當時，單調遞減區間為.
當時，單調遞減區間為，單調遞增區間.
（2）由得，恒成立，
令，，則，
所以，，
當時，，
令，則，等號僅在時取得，
所以在上單調遞增，故，等號僅在時取得，即.
令，則恒成立，
在上單調遞增，則，即，
，
所以在上單調遞增，則，即，
所以時，在上恒成立.
當時，，，
設，則，
當時，是R上的增函數，在上單調遞增，
即時，在上遞增，
，故在內存在唯一解，
當時，，則在上遞減，則，
則在上遞減，故，
當時，在上遞減，
則，
所以時，存在x使得，與在上恒成立矛盾，
綜上，a的取值范圍是.
7．已知函數．
(1)討論函數零點個數；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
【解析】（1）由，得,設，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增；在上單調遞減，
所以，
據此可畫出大致圖象如圖，
所以（i）當或時，無零點：
（ii）當或時，有一個零點；
（iii)當時，有兩個零點；
（2）①當時，即恒成立，符合題意；
②當時，由可得，則，
則，即，
設，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以，當時，，
即恒成立，即符合題意；
③當時，由（1）可知，，在上單調遞增．
又，，
所以，使.
i）當時，，即，
設，
則，所以在上單調遞減，
所以時，；
ii）當時，，即，
設，
因為，
令，則，
又令，
則，得在上單調遞增，
有，
得在上單調遞增，有，
則，得在上單調遞增，
則時，，
又時，，
得當時，時，，
由上可知，在上單調遞增，則此時，
綜上可知，a的范圍是.
8．已知函數．
(1)當時，討論的單調性
(2)證明：有唯一極值點t，且．
【解析】（1）當時，，
所以，
令，則，
所以在上單調遞增，又，
所以時，，時，，
因此在上單調遞減，在上單調遞增；
（2）依題意，的定義域為，
，
令，顯然在上單調遞增，
又，，所以存在，使得，
且時，，時，，
因為，所以時，，時，，
即在上單調遞減，在上單調遞增，
因此有唯一極小值點t；
由得，所以，
因為，
當且僅當時等號成立，故有唯一極值點t，且．
9．已知函數．
（1）若的極小值為，求實數的值；
（2）若，求證：．
【解析】（1）由題意，的定義域為，
且，
由得，由得，
∴在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
∴的極小值為，
令，得，
∵，∴，解得．
（2）當時，，
設，
則，
則，
設，
則，
設，則，
由可得，由可得，
即在上單調遞減，在上單調遞增，
∴，即，∴在上單調遞增．
∵，，∴存在唯一的零點，且．
由，得，
當時， ，即，
當時， ，即，∴
，
易得在區間上單調遞減，故，
∴，即．
10．已知函數在處的切線方程是．
(1)求a，b的值；
(2)若對于，曲線與曲線都有唯一的公共點，求實數m的取值范圍．
【解析】(1)將切點坐標代入的，即，得，又因為，直線的斜率為
所以，得
(2)由（1）知，
因為曲線與曲線有唯一的公共點，
所以方程有唯一解，即
令，則，則
即，
當，時，，函數單調遞增，易知與有且只有一個交點，滿足題意；
當，時，有兩個根，且兩根之和為，兩根之積為，所以兩根一個大于4，一個小于4，此時，函數先增后減再增，存在一個極大值和一個極小值，要使有唯一實數根，則大于極大值或小于極小值.
記為極大值點，則，則恒成立，
又，即
則極大值
因為，令得，又時，
綜上，要使對，曲線與曲線都有唯一的公共點，則，即；
當為極小值點，則，則，又，所以恒成立，又，所以時，，所以單減，無最小值，所以不存在，使得恒成立，
所以，的取值范圍為
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