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【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展96 圓錐曲線與向量交匯問題（精講+精練）
一、向量共線
運用向量的共線的相關知識，可以較容易地處理涉及三點共線、定比分點、直線等問題。在處理圓錐曲線中求相關量的取值范圍、求直線的方程、求待定字母的值、證明過定點等問題時，如能恰當的運用平面向量共線的相關知識，常常能使問題較快捷的得到解決.
【一般策略】
通過適當的設點，將向量關系代數化，再根據圓錐曲線的定義以及一些性質、直線與圓錐曲線的位置關系來解決問題.
二、向量的數量積
向量的數量積將一些幾何知識與代數知識充分的聯系在一起，它可以處理垂直、長度、三角形面積和三角函數等問題。所以在解決圓錐曲線中的一些問題時，它通常可以運用在探索點、線的存在性、求參數的取值范圍和求圓錐曲線的方程等方面.
【一般策略】
在圓錐曲線問題中運用向量的數量積，往往題目中出現了向量的數量積或構造向量的數量積，通過向量的數量積的表達式、意義和運算性質，從而達到將問題簡化.
三、相應的知識儲備
1.共線向量定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數，使．（口訣：數乘即得平行，平行必有數乘）．
2.數量積的運算
（1）已知非零向量，，為向量、的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
模
數量積
夾角
的充要 條件
的充要 條件
與 的關系 (當且僅當時等號成立)
(2)兩個向量a，b的夾角為銳角 a·b＞0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角 a·b＜0且a，b不共線
【典例1】已知點，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點．
(1)求的方程；
(2)設過點的直線與相交于，兩點，且，求的面積及直線的方程．
【解析】（1）設，因為直線的斜率為，，所以，解得．
又，解得，所以橢圓的方程為．
（2）設、，由題意可設直線的方程為：，
聯立，消去得，
當，所以，即或時，，，
由，得，代入上解得，即，
又
點到直線的距離，所以，
此時直線的方程為：或．
【典例2】已知雙曲線C的漸近線為，右焦點為，右頂點為A.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點（與點A不重合），當時，求直線l的方程.
【解析】（1）雙曲線的漸近線化為，設雙曲線的方程為，
即，又雙曲線的右焦點，則，解得，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）由（1）知，，設直線的方程為，顯然，
由消去整理得，顯然，，
而，則
，
化簡得，即，而，解得，
所以直線的方程為，即.
【題型訓練-刷模擬】
1.向量共線
一、解答題
1．已知平面內動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數．
(1)求動點的軌跡方程；
(2)設動點的軌跡為曲線，過定點的直線和曲線交于不同兩點、滿足，求線段的長．
2．已知橢圓C：的離心率，點，為橢圓C的左、右焦點且經過點的最短弦長為9．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于不同兩點A，B，與直線交于點P，若，且點Q滿足，求的最小值．
9．經過點且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點，且，，．求和．
4．已知雙曲線C：的漸近線方程為，且過點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且，求直線l的斜率．
5．已知雙曲線的中心在原點，離心率為2，一個焦點
(1)求雙曲線方程；
(2)設Q是雙曲線上一點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若，求直線l的方程．
6．已知雙曲線的兩條漸近線分別為，.
(1)求雙曲線的離心率；
(2)為坐標原點，過雙曲線上一點作直線分別交直線，于，兩點（，分別在第一、第四象限），且，求的面積.
7．已知圓，，動圓與圓，均外切，記圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)直線過點，且與曲線交于兩點，滿足，求直線的方程．
8．已知，分別為橢圓的左、右焦點，與橢圓C有相同焦點的雙曲線在第一象限與橢圓C相交于點P，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線與橢圓C相交于A，B兩點，O為坐標原點，且．若橢圓C上存在點E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求m的取值范圍．
9．已知橢圓Γ：，點分別是橢圓Γ與軸的交點（點在點的上方），過點且斜率為的直線交橢圓于兩點．
(1)若橢圓焦點在軸上，且其離心率是，求實數的值；
(2)若，求的面積；
(9)設直線與直線交于點，證明：三點共線．
10．已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，且.
(1)求的值；
(2)若直線與交于兩點，與交于兩點，在第一象限，在第四象限，且，求的值.
11．已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.當l經過C的焦點時，點A的坐標為.
(1)求C的方程；
(2)設OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.
12．橢圓的離心率為，過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線與橢圓相交于，兩點，與軸相交于點，若存在實數，使得，求的取值范圍．
19．已知橢圓的離心率為，點，為的左、右焦點，經過且垂直于橢圓長軸的弦長為9.

(1)求橢圓的方程；
(2)過點分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于A，B兩點，與直線交于點，若，且點滿足，求線段的最小值.
14．如圖，正六邊形的邊長為2．已知雙曲線的焦點為A，D，兩條漸近線分別為直線．
(1)建立適當的平面直角坐標系，求的方程；
(2)過A的直線l與交于M，N兩點，，若點P滿足，證明：P在一條定直線上．
15．已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作斜率為的直線與交于兩點，與交于兩點，且與同向.
（i）當直線繞點旋轉時，判斷的形狀；
（ii）若，求直線的斜率.
16．已知橢圓，連接E的四個頂點所得四邊形的面積為4，是E上一點．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點，D為線段的中點，O為坐標原點，若E上存在點C，使得，求三角形的面積．
17．已知雙曲線的離心率為，經過坐標原點O的直線l與雙曲線Q交于A，B兩點，點位于第一象限，是雙曲線Q右支上一點，，設
(1)求雙曲線Q的標準方程；
(2)求證：C，D，B三點共線；
(9)若面積為，求直線l的方程．
18．過坐標原點作圓的兩條切線，設切點為，直線恰為拋物線的準線.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)設點是圓的動點，拋物線上四點滿足：，，設中點為.
（i）證明：垂直于軸；
（ii）設面積為，求的最大值.
2.向量的數量積
一、解答題
1．已知拋物線：，斜率為的直線過定點，直線交拋物線于兩點，且位于軸兩側，（為坐標原點），求的值．
2．在平面直角坐標系中，為坐標原點.已知拋物線上任意一點到焦點的距離比它到軸的距離大1.
(1)求拋物線的方程；
(2)若過點的直線與曲線相交于不同的兩點，求的值；
9．已知橢圓的離心率為，短軸的一個頂點到橢圓C的一個焦點的距離為2.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設直線交橢圓于，兩點，O為坐標原點，若，求直線的方程.
4．已知橢圓：的離心率為，點，，分別是橢圓的左、右、上頂點，是的左焦點，坐標原點到直線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過的直線交橢圓于，兩點，求的取值范圍.
5．已知橢圓的右頂點為，上頂點為，左 右焦點分別為為原點，且，過點作斜率為的直線與橢圓交于另一點，交軸于點.
(1)求橢圓的方程；
(2)設為的中點，在軸上是否存在定點，對于任意的都有？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.
6．已知橢圓的上、下頂點分別為，已知點在直線：上，且橢圓的離心率．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設是橢圓上異于的任意一點，軸，為垂足，為線段的中點，直線交直線于點，為線段的中點，求的值．
7．已知雙曲線，直線過雙曲線的右焦點且交右支于兩點，點為線段的中點，點在軸上，．
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)若，求直線的方程．
8．已知雙曲線：經過點，其中一條漸近線為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)一條過雙曲線的右焦點且縱截距為的直線，交雙曲線于，兩點，求的值.
9．已知雙曲線的中心在原點，焦點，在坐標軸上，離心率為，且過點．
(1)求雙曲線方程；
(2)若點在雙曲線上，求證：；
(9)在（2）的條件下，求的面積．
10．已知雙曲線C的漸近線為，右焦點為，右頂點為A.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點（與點A不重合），當時，求直線l的方程.
11．已知雙曲線：（，）的左頂點為，到的一條漸近線的距離為．
(1)求的方程；
(2)過點的直線與交于，兩點，求的值．
12．已知雙曲線的一條漸近線是，右頂點是
(1)求雙曲線的方程
(2)若直線：與雙曲線有兩個交點、，且 是原點，求的取值范圍
19．已知O為坐標原點，位于拋物線C：上，且到拋物線的準線的距離為2．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知點，過拋物線焦點的直線l交C于M，N兩點，求的最小值以及此時直線l的方程．
14．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線有兩個不同的交點和，且（其中為原點），求的范圍；
(9)對于（2）中的點和，在軸上是否存在點使為等邊三角形，若存在請求出的值；不存在則說明理由.
15．如圖，已知拋物線，過點且斜率為的直線交拋物線于，兩點，拋物線上的點，設直線，的斜率分別為，.

(1)求的取值范圍；
(2)過點作直線的垂線，垂足為.求的最大值.
16．在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為、，橢圓與軸正半軸的交點為點，且為等腰直角三角形．
(1)求橢圓的離心率；
(2)已知斜率為的直線與橢圓相切于點，點在第二象限，過橢圓的右焦點作直線的垂線，垂足為點，若，求橢圓的方程．
17．已知圓心為H的圓和定點，B是圓上任意一點，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點M，當點B在圓上運動時，點M的軌跡記為曲線C．
(1)求C的方程．
(2)如圖所示，過點A作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F，求的取值范圍
18．已知對稱軸都在坐標軸上的橢圓C過點與點，過點的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，直線，分別交直線于E，F兩點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．
19．已知橢圓C：的短軸長為2，離心率為．點，直線：．
(1)證明：直線與橢圓相交于兩點，且每一點與的連線都是橢圓的切線；
(2)若過點的直線與橢圓交于兩點，與直線交于點，求證：．
20．已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過的直線與交于兩點，過的左頂點作的垂線，垂足為，求證：.
21．在平面直角坐標系中，雙曲線的左、右焦點分別為的離心率為2，直線過與交于兩點，當時，的面積為9.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知都在的右支上，設的斜率為.
①求實數的取值范圍；
②是否存在實數，使得為銳角？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
22．已知離心率為的雙曲線，直線與C的右支交于兩點，直線l與C的兩條漸近線分別交于兩點，且從上至下依次為，．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)求的面積．
【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展96 圓錐曲線與向量交匯問題（精講+精練）
一、向量共線
運用向量的共線的相關知識，可以較容易地處理涉及三點共線、定比分點、直線等問題。在處理圓錐曲線中求相關量的取值范圍、求直線的方程、求待定字母的值、證明過定點等問題時，如能恰當的運用平面向量共線的相關知識，常常能使問題較快捷的得到解決.
【一般策略】
通過適當的設點，將向量關系代數化，再根據圓錐曲線的定義以及一些性質、直線與圓錐曲線的位置關系來解決問題.
二、向量的數量積
向量的數量積將一些幾何知識與代數知識充分的聯系在一起，它可以處理垂直、長度、三角形面積和三角函數等問題。所以在解決圓錐曲線中的一些問題時，它通常可以運用在探索點、線的存在性、求參數的取值范圍和求圓錐曲線的方程等方面.
【一般策略】
在圓錐曲線問題中運用向量的數量積，往往題目中出現了向量的數量積或構造向量的數量積，通過向量的數量積的表達式、意義和運算性質，從而達到將問題簡化.
三、相應的知識儲備
1.共線向量定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數，使．（口訣：數乘即得平行，平行必有數乘）．
2.數量積的運算
（1）已知非零向量，，為向量、的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
模
數量積
夾角
的充要 條件
的充要 條件
與 的關系 (當且僅當時等號成立)
(2)兩個向量a，b的夾角為銳角 a·b＞0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角 a·b＜0且a，b不共線
【典例1】已知點，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點．
(1)求的方程；
(2)設過點的直線與相交于，兩點，且，求的面積及直線的方程．
【解析】（1）設，因為直線的斜率為，，所以，解得．
又，解得，所以橢圓的方程為．
（2）設、，由題意可設直線的方程為：，
聯立，消去得，
當，所以，即或時，，，
由，得，代入上解得，即，
又
點到直線的距離，所以，
此時直線的方程為：或．
【典例2】已知雙曲線C的漸近線為，右焦點為，右頂點為A.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點（與點A不重合），當時，求直線l的方程.
【解析】（1）雙曲線的漸近線化為，設雙曲線的方程為，
即，又雙曲線的右焦點，則，解得，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）由（1）知，，設直線的方程為，顯然，
由消去整理得，顯然，，
而，則
，
化簡得，即，而，解得，
所以直線的方程為，即.
【題型訓練-刷模擬】
1.向量共線
一、解答題
1．已知平面內動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數．
(1)求動點的軌跡方程；
(2)設動點的軌跡為曲線，過定點的直線和曲線交于不同兩點、滿足，求線段的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據距離公式可得出關于、所滿足的等式，化簡可得點的軌跡方程；
（2）分析可知直線直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，由可得出，將直線的方程與橢圓的方程聯立，由結合韋達定理可求得的值，然后利用弦長公式可求得的值.
【詳解】（1）解：因為面內動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數，
則，整理可得，
因此，點的軌跡方程為.
（2）解：若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的頂點，
若點、，則，，此時，不合乎題意，
若點、，同理可得，不合乎題意，
所以，直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，
聯立可得，，
因為，即，所以，，即，
由韋達定理可得，所以，，
，解得，
因此，
.
2．已知橢圓C：的離心率，點，為橢圓C的左、右焦點且經過點的最短弦長為9．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于不同兩點A，B，與直線交于點P，若，且點Q滿足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由通徑性質、離心率和橢圓參數關系列方程求參數，即可得橢圓方程；
（2）討論直線斜率，設，，，為，注意情況，聯立橢圓方程應用韋達定理求，，結合、坐標表示得到，進而有求，再求坐標，應用兩點距離公式得到關于的表達式求最值，注意取值條件.
【詳解】（1）由題意，，解得，，所以橢圓的方程為．
（2）由（1）得，若直線的斜率為0，則為與直線無交點，不滿足條件．
設直線：，若，則則不滿足，所以．
設，，，
由得：，，．
因為，即，則，，
所以，解得，則，即，
直線：，聯立，解得，
∴，當且僅當或時等號成立
∴的最小值為5．
9．經過點且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點，且，，．求和．
【答案】，
【分析】設,，,，寫出直線方程與拋物線方程聯立方程組，消元應用韋達定理得，由向量共線的坐標表示得出的關系，消去，代入韋達定理的結論求得值，從而可得的（縱）坐標，由此求得．
【詳解】根據題意可得直線方程為，即，
聯立，可得，，△，
設,，,，又，
，
，，，
又，，
，
，
，
，
，又，
，
，
，又，
，，
．
故，．
4．已知雙曲線C：的漸近線方程為，且過點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且，求直線l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據雙曲線的漸近線方程為和雙曲線過點，聯立求解；
（2）由題意設直線方程為，令，得到M的坐標，設，根據，用k表示點Q的坐標，再根據點Q在雙曲線上，代入雙曲線方程求解.
【詳解】（1）解：因為雙曲線C：的漸近線方程為，
所以，
又因為雙曲線C：過點，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為；
（2）由（1）知：，則，
由題意設直線方程為，令，得，則，
設，則，
因為，
所以，則，
解得，因為點Q在雙曲線上，
所以，解得，
所以直線l的斜率為.
5．已知雙曲線的中心在原點，離心率為2，一個焦點
(1)求雙曲線方程；
(2)設Q是雙曲線上一點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若，求直線l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）依題意設所求的雙曲線方程為，則，再根據離心率求出，即可求出，從而得到雙曲線方程；
（2）依題意可得直線的斜率存在，設，即可得到的坐標，依題意可得或，分兩種情況分別求出的坐標，再根據的雙曲線上，代入曲線方程，即可求出，即可得解；
【詳解】（1）解：設所求的雙曲線方程為（，），則，，
∴，又則，∴所求的雙曲線方程為．
（2）解：∵直線l與y軸相交于M且過焦點，
∴l的斜率一定存在，則設．令得，
∵且M、Q、F共線于l，∴或
當時，，，∴，
∵Q在雙曲線上，∴，∴，
當時，，代入雙曲線可得：
，∴．
綜上所求直線l的方程為：或．
6．已知雙曲線的兩條漸近線分別為，.
(1)求雙曲線的離心率；
(2)為坐標原點，過雙曲線上一點作直線分別交直線，于，兩點（，分別在第一、第四象限），且，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據漸近線方程可得，再通過離心率公式求得離心率；
（2）根據雙曲線過點可得雙曲線方程，由已知可設點，，再由，可得，，進而可得，設直線的傾斜角為，則，即可得，即可得的面積.
【詳解】（1）因為雙曲線的漸近線分別為，，
所以，，
所以雙曲線的離心率為；
（2）由（1）得，
則可設雙曲線，
因為在雙曲線上，
所以，則雙曲線的方程為，
又點，分別在與上，
設，，
因為，
所以，
則，，
又，同理得，
設的傾斜角為，且，則，
所以.
【點睛】求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可.
7．已知圓，，動圓與圓，均外切，記圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)直線過點，且與曲線交于兩點，滿足，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據兩圓的位置關系結合雙曲線的定義分析求解；
（2）不妨設，，，由可得，結合韋達定理運算求解.
【詳解】（1）由題意可知：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
由條件可得，即，
則根據雙曲線的定義可知，點是以，為焦點，以2為實軸長的雙曲線的右支，
則，可得，
所以曲線的方程為．

（2）由（1）可知：雙曲線的漸近線方程為，即，
由于且直線的斜率不等于0，
不妨設，，，
則，，
由可得，
聯立方程，消去x得
則，由韋達定理可得，
由，解得，
代入可得，
解得，即，
因此直線，即.

8．已知，分別為橢圓的左、右焦點，與橢圓C有相同焦點的雙曲線在第一象限與橢圓C相交于點P，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線與橢圓C相交于A，B兩點，O為坐標原點，且．若橢圓C上存在點E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結合雙曲線方程可得，，結合雙曲線和橢圓的定義即可得到，進而求解；
（2）設，，則，結合平行四邊形OAED，可得，聯立直線和橢圓方程，利用韋達定理可得，．進而得到，從而求解.
【詳解】（1）由題意，雙曲線的焦點為，，
雙曲線與橢圓C有相同焦點且在第一象限交點為P，
又，，．
，．
．
橢圓C的方程為．
（2）設，，則．
四邊形OAED為平行四邊形，
，．
點A，B，E均在橢圓C上，
，，．
，
．
．
由消去y，得．
顯然．
，．
．
，
因為，所以，即，
所以，即.
．
9．已知橢圓Γ：，點分別是橢圓Γ與軸的交點（點在點的上方），過點且斜率為的直線交橢圓于兩點．
(1)若橢圓焦點在軸上，且其離心率是，求實數的值；
(2)若，求的面積；
(9)設直線與直線交于點，證明：三點共線．
【答案】(1)
(2)
(9)證明見解析
【分析】（1）根據離心率的定義計算即可；
（2）聯立直線和橢圓方程，根據弦長公式算出，用點到直線的距離公式算出三角形的高后即可；
（9）聯立直線和橢圓方程，先表示出坐標，將共線問題轉化成證明，結合韋達定理進行化簡計算.
【詳解】（1）依題意，，解得（負數舍去）.
（2）的直線經過，則直線方程為：；
，則橢圓的方程為：.
設聯立直線和橢圓方程：，消去得到，
解得，則，故，于是.
依題意知，為橢圓的下頂點，即，由點到直線的距離，到的距離為：.
故
（9）設聯立直線和橢圓方程：，得到，由，得到直線方程為：，令，解得，即，又，，為說明三點共線，只用證，即證：，下用作差法說明它們相等：
，而，，，于是上式變為：.
由韋達定理，，于是，故，命題得證.
10．已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，且.
(1)求的值；
(2)若直線與交于兩點，與交于兩點，在第一象限，在第四象限，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據拋物線焦點坐標公式，結合兩點間距離公式進行求解即可；
（2）將直線方程與拋物線方程聯立，根據一元二次方程根與系數關系，結合平面向量共線性質進行求解即可.
【詳解】（1）由拋物線的方程可知焦點的坐標為，
由拋物線的方程可知焦點的坐標為，
因為，
所以；
（2）由（1）可知兩個拋物線的方程分別為，
設直線，，
根據題意結合圖形可知：，且，
聯立，則，
同理聯立，則，
由，
所以，
即，
又因為，所以，
由，
聯立，所以，
故.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是由.
11．已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.當l經過C的焦點時，點A的坐標為.
(1)求C的方程；
(2)設OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由點A的坐標求得，結合雙曲線的定義求得，進一步計算得出雙曲線的方程即可；
（2）設直線PQ的方程為，與雙曲線聯立得出韋達定理，結合兩個向量共線的坐標表示求得，得到直線l的方程.
【詳解】（1）由已知C：，點A的坐標為，得，
焦點，，.
所以，，故C：.
（2）設l的方程為，則，故，
由已知直線PQ斜率存在，設直線PQ的方程為，故.
與雙曲線方程聯立得：，
由已知得，，設，，
則，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直線l：滿足條件.
12．橢圓的離心率為，過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線與橢圓相交于，兩點，與軸相交于點，若存在實數，使得，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據橢圓離心率公式，結合橢圓垂直于長軸的弦長公式進行求解即可；
（2）根據直線是否存在斜率，結合平面向量的坐標運算公式、一元二次方程根與系數關系分類討論進行求解即可.
【詳解】（1）因為該橢圓的離心率為，所以有，
在方程中，令，解得，
因為過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1，
所以有，由可得：，
所以橢圓的方程為；
（2）當直線不存在斜率時，由題意可知直線與橢圓有兩個交點，與縱軸也有兩個交點不符合題意；
當直線存在斜率時，設為，所以直線的方程設為，
于是有，
因為該直線與橢圓有兩個交點，所以一定有，
化簡，得，
設，于是有，
因為，
所以，
代入中，得，
于是有，
化簡，得，代入中，得.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是由向量等式得到.
19．已知橢圓的離心率為，點，為的左、右焦點，經過且垂直于橢圓長軸的弦長為9.

(1)求橢圓的方程；
(2)過點分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于A，B兩點，與直線交于點，若，且點滿足，求線段的最小值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由通徑性質、離心率和橢圓參數關系列方程求參數，即可得橢圓方程；
（2）討論直線斜率，設，，，為，注意情況，聯立橢圓方程應用韋達定理求，，結合、坐標表示得到，進而有求，再求坐標，應用兩點距離公式得到關于的表達式求最值，注意取值條件.
【詳解】（1）對于方程，令，則，解得，
由題意可得，解得，，
所以橢圓的方程為．
（2）由（1）得，若直線的斜率為0，則為與直線無交點，不滿足條件．
設直線：，若，則，則不滿足，所以．
設，，，
由得：，，
所以，．
因為，即，則，，
所以，解得，則，即，
直線：，聯立，解得，即，
∴，
當且僅當或時,等號成立，
∴的最小值為．

14．如圖，正六邊形的邊長為2．已知雙曲線的焦點為A，D，兩條漸近線分別為直線．
(1)建立適當的平面直角坐標系，求的方程；
(2)過A的直線l與交于M，N兩點，，若點P滿足，證明：P在一條定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意建立平面直角坐標系，從而得到與，結合即可求得，，從而得解；
（2）先考慮直線為軸的情況，求得此時，再考慮直線不為軸的情況，聯立直線與雙曲線的方程得到，再結合求得，從而得到，由此得證.
【詳解】（1）依題意，以直線為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，如圖，
因為在正六邊形中，為正三角形，，，
設雙曲線的方程為，
由已知得的漸近線方程為，所以，
又焦距，所以，
又由，則，從而，
所以雙曲線的方程為.
（2）依題意，設，
當直線為軸時，不失一般性，則，
又由（1）知，故，
所以，從而，
則，即，解得；
當直線不為軸時，設的方程為，由可知，
聯立，消去，得，
則，，
因為，所以，
消去，得，
所以，
從而，
又也在直線上，
所以點在定直線上.
15．已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作斜率為的直線與交于兩點，與交于兩點，且與同向.
（i）當直線繞點旋轉時，判斷的形狀；
（ii）若，求直線的斜率.
【答案】(1)
(2)（i）為鈍角三角形. （ii）
【分析】（1）通過方程可知，通過與的公共弦的長為且與的圖象都關于軸對稱可得計算即得；
（2）設直線方程為，分別聯立直線與拋物線、直線與橢圓方程，利用韋達定理計算可得繼而判斷三角形形狀,再利用結合韋達定理計算即可可以求參.
【詳解】（1）的焦點為，所以，①
又與的公共弦長為，且與都關于軸對稱，所以公共點的橫坐標為，
代入可得縱坐標為，
所以公共點的坐標為，
代入中可得，②
聯立①②得，故的方程為.
（2）
設，
（i）設直線的方程為，
聯立得，
則，
，
所以為鈍角三角形.
（ii）因為與同向，且，所以，
從而，即，
所以，
聯立得，
則，
所以，即，
所以直線的斜率為.
16．已知橢圓，連接E的四個頂點所得四邊形的面積為4，是E上一點．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點，D為線段的中點，O為坐標原點，若E上存在點C，使得，求三角形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面積和的坐標建立方程組待定即可；
（2）設出直線方程，聯立直線與橢圓方程，由 D為線段的中點，利用韋達定理得到，即的坐標，又，則點坐標也可用表示，根據點在橢圓上，化簡得到的關系，由點線距及弦長公式求解面積，再由比例關系即可得到三角形的面積.
【詳解】（1）由題意知連接E的四個頂點所得四邊形的面積為，
又點在E上，得，
解得，，
故橢圓E的方程為．
（2）設直線的方程為，
由，消去得，
又，
得，設，，，則
，．
由，可得為三角形的重心，
所以，且，
，，
故由在橢圓E上，得，得，
，
又原點到直線的距離為，
所以，故．

17．已知雙曲線的離心率為，經過坐標原點O的直線l與雙曲線Q交于A，B兩點，點位于第一象限，是雙曲線Q右支上一點，，設
(1)求雙曲線Q的標準方程；
(2)求證：C，D，B三點共線；
(9)若面積為，求直線l的方程．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(9)
【分析】（1）根據離心率即可求解，
（2）利用坐標運算，結合點差法以及向量共線的坐標表示即可求解，
（9）根據三角形面積公式，利用聯立方程，韋達定理，代入化簡即可得到關于的方程，
【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，所以，解得，
所以雙曲線Q的標準方程為
（2）由得,又，所以
,，
由得①，
由于，在雙曲線上，所以，
相減得②
由①②得③，
由于，所以，
將③代入得，
所以，因此C，D，B三點共線
（9）設直線的方程為，
聯立直線與雙曲線的方程為：，
故，
所以，
直線的方程為，
聯立，
所以
由于軸，，所以，
所以，
由于，代入得，令，則，化簡得，由于，
所以，
因此，解得或
由于，所以，
故直線方程為
18．過坐標原點作圓的兩條切線，設切點為，直線恰為拋物線的準線.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)設點是圓的動點，拋物線上四點滿足：，，設中點為.
（i）證明：垂直于軸；
（ii）設面積為，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）
【分析】（1）設直線與軸交于，由三角形相似關系可得，由此可構造方程求得的值，從而得到拋物線方程；
（2）（i）根據共線向量可知為中點，結合點在拋物線上可確定為方程的兩根，由此可得韋達定理的結論；根據點縱坐標可知斜率為零，由此可得結論；
（ii）由，代入韋達定理，結合點在圓上，可化簡得到，根據二次函數最值的求法可求得結果.
【詳解】（1）
設直線與軸交于，則，
由圓的方程知：圓心，半徑，
為圓的切線，，又，
∽，，即
，解得：，拋物線的標準方程為：.
（2）設，，，
（i）由知：為中點，且在拋物線上，即，
又，，整理可得：；
由知：為中點，且在拋物線上，
同理可得：；
是方程的兩根，，，
點的縱坐標為，直線的斜率為，即垂直于軸.
（ii），，
，
在圓上，，
，
則當時，，
.
2.向量的數量積
一、解答題
1．已知拋物線：，斜率為的直線過定點，直線交拋物線于兩點，且位于軸兩側，（為坐標原點），求的值．
【答案】
【分析】設出直線的方程，與拋物線方程聯立，由根與系數的關系及數量積公式建立關于的方程，即可求得答案.
【詳解】由已知，設直線的方程為，
聯立直線與拋物線方程可得，消得，
.
方程的判別式
，
設，
則，，
，
由已知，故，
由，得，
故，解得或（舍去）
所以.

【點睛】關鍵點點睛：（1）解答直線與拋物線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．
（2）涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
2．在平面直角坐標系中，為坐標原點.已知拋物線上任意一點到焦點的距離比它到軸的距離大1.
(1)求拋物線的方程；
(2)若過點的直線與曲線相交于不同的兩點，求的值；
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用拋物線的定義求出p值即得.
（2）設出直線的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理及數量積的坐標表示計算即得.
【詳解】（1）依題意，到拋物線焦點的距離為，則，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）顯然直線不垂直于y軸，設直線的方程為，
由消去x得：，顯然，設，
則，，
所以.

9．已知橢圓的離心率為，短軸的一個頂點到橢圓C的一個焦點的距離為2.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設直線交橢圓于，兩點，O為坐標原點，若，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）由橢圓的性質得出橢圓C的標準方程；
（2）聯立直線和橢圓方程，由韋達定理結合得出直線的方程.
【詳解】（1）∵短軸的一個頂點到橢圓C的一個焦點的距離為2，∴，
又橢圓C的離心率為，∴，故，
∴，
∴橢圓C的標準方程為.
（2）聯立，整理得，
∴，，
故，
∵，∴，
解得，滿足，
∴直線的方程為或.

4．已知橢圓：的離心率為，點，，分別是橢圓的左、右、上頂點，是的左焦點，坐標原點到直線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過的直線交橢圓于，兩點，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由離心率、等面積法及橢圓參數關系列方程求橢圓參數，即可得方程；
（2）討論直線的斜率，設的方程并聯立橢圓方程，應用韋達定理及向量數量積的坐標表示得到關于所設參數的關系式，進而求范圍.
【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，
根據題意解得
故的方程為.
（2）由（1）知：.
當直線的斜率為0時，點為橢圓的左、右頂點，
不妨取，此時，則.
當直線的斜率不為0或與軸垂直時，設其方程為，
代入橢圓并消去得，
設，則.
而，
所以
.
因為，所以，
所以.
綜上，的取值范圍為.

5．已知橢圓的右頂點為，上頂點為，左 右焦點分別為為原點，且，過點作斜率為的直線與橢圓交于另一點，交軸于點.
(1)求橢圓的方程；
(2)設為的中點，在軸上是否存在定點，對于任意的都有？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在定點滿足題意.
【分析】（1），結合，即可求解；
（2）設直線的方程為：，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理，求得，設在x軸上存在定點，對于任意的都有，由求解.
【詳解】（1）由題意得，
又，.
橢圓的方程為.
（2）設直線的方程為：，
令得，即，
聯立，得，
所以，
則，，
若在x軸上存在定點，對于任意的都有，
則，即，
解得，
所以存在定點.
6．已知橢圓的上、下頂點分別為，已知點在直線：上，且橢圓的離心率．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設是橢圓上異于的任意一點，軸，為垂足，為線段的中點，直線交直線于點，為線段的中點，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根據上下頂點的定義，結合離心率的定義，建立方程，可得答案；
（2）設，，則點滿足橢圓方程，根據題意，易得、，計算即可
【詳解】（1）
且點在直線：上，，
又， ，，
橢圓的標準方程為.
（2）
設，，則，且，
為線段的中點，，
，直線的方程為：，
令，得，
，為線段的中點，，
，，
7．已知雙曲線，直線過雙曲線的右焦點且交右支于兩點，點為線段的中點，點在軸上，．
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)若，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）根據等軸雙曲線方程即可求解漸近線方程，
（2）聯立直線與雙曲線方程得韋達定理，即可根據向量數量積的幾何意義將其轉化為，由坐標運算即可求解.
【詳解】（1）由題知，，所以雙曲線的漸近線方程為．
（2）雙曲線的右焦點坐標為，
由題知，直線AB的斜率不為0，設直線方程為，代入雙曲線中，
化簡可得：，
設,則．
則
∴線段中點的坐標為，
直線方程為．
（i）當時，點恰好為焦點，此時存在點或，使得．
此時直線方程為．
（ii）當時，令可得，可得點的坐標為，
由于所以，
由，即，也即：．
化簡可得，解出，
由于直線要交雙曲線右支于兩點，所以，即，故舍去．
可得直線的方程為．
綜上：直線方程為或或．

8．已知雙曲線：經過點，其中一條漸近線為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)一條過雙曲線的右焦點且縱截距為的直線，交雙曲線于，兩點，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用雙曲線的漸近線方程和點的坐標列式求解即可；
（2）根據雙曲線方程求出焦點進而得到直線方程，與雙曲線方程聯立得到韋達定理的形式，根據代入韋達定理即可求解.
【詳解】（1）因為雙曲線的漸近線方程為，所以①，
又因為點在雙曲線上，所以②，
①②聯立解得，，
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）可知雙曲線中，
所以右焦點坐標為，即直線的橫截距為，
又因為直線的縱截距為，所以直線的方程為，即，

聯立得，
設，，則，，
所以.
【點睛】本題考查直線與雙曲線綜合應用問題，涉及雙曲線方程的求解、平面向量數量積的求解問題，求解數量積的關鍵是能夠將所求量轉化為符合韋達定理的形式，通過直線與雙曲線聯立得到韋達定理的結論，代入可整理出結果.
9．已知雙曲線的中心在原點，焦點，在坐標軸上，離心率為，且過點．
(1)求雙曲線方程；
(2)若點在雙曲線上，求證：；
(9)在（2）的條件下，求的面積．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(9)6
【分析】（1）首先根據離心率設出雙曲線方程，再代入點的坐標，即可求解；
（2）首先將點代入雙曲線方程求，再根據斜率公式或是數量積公式，證明垂直；
（9）根據（1）（2）的結果，代入面積公式，即可求解.
【詳解】（1）因為，
所以可設雙曲線方程為．
因為過點，所以，即．
所以雙曲線方程為，即
（2）由（1）可知，雙曲線中，所以，不妨設，分別為雙曲線的左右焦點，
則，．
方法一：，，
因為點在雙曲線上，
所以，，
所以,
所以，所以．
方法二：因為，
，
所以．
因為點在雙曲線上，
所以，即，
所以．

（9）的底邊長，
的高，
所以．
10．已知雙曲線C的漸近線為，右焦點為，右頂點為A.
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點（與點A不重合），當時，求直線l的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用給定的漸近線方程設出雙曲線方程，再利用待定系數法求解作答.
（2）設出直線l的方程，與雙曲線方程聯立，利用韋達定理結合垂直關系的坐標表示，求解作答.
【詳解】（1）雙曲線的漸近線化為，設雙曲線的方程為，
即，又雙曲線的右焦點，則，解得，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）由（1）知，，設直線的方程為，顯然，
由消去整理得，顯然，，
而，則
，
化簡得，即，而，解得，
所以直線的方程為，即.

【點睛】思路點睛：如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可.
11．已知雙曲線：（，）的左頂點為，到的一條漸近線的距離為．
(1)求的方程；
(2)過點的直線與交于，兩點，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）由題意知，取雙曲線的一條漸近線，再根據點到直線的距離公式即可得到與關系式，從而求得，進而可求得的方程；
（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，則可得到，的坐標，進而可直接求解的值；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，聯立直線的方程和的方程可得到關于的一元二次方程，從而可得到，，代入即可求解的值，綜上，即可得到的值．
【詳解】（1）由題意知，的一條漸近線方程為，即，
所以到的一條漸近線的距離為，所以，
又，解得，所以的方程為．
（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，易得，或，，
所以；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，
聯立，得，
所以，解得，
所以，，
所以
．
綜上，．
12．已知雙曲線的一條漸近線是，右頂點是
(1)求雙曲線的方程
(2)若直線：與雙曲線有兩個交點、，且 是原點，求的取值范圍
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用雙曲線的頂點坐標以及漸近線方程即可求得雙曲線方程；
（2）設點，，由可知，再將直線方程與雙曲線方程聯立，利用韋達定理即可得到關于的不等式，并結合判別式大于零，即可求出的范圍.
【詳解】（1）由雙曲線的右頂點為，則，
漸近線即，則， 故雙曲線方程為．
（2）將雙曲線方程和直線方程聯立得，
則，即 ，解得且，
設， 則， ，
，
因為，所以，即，
解得或，
又，綜合可得，的取值范圍是.
19．已知O為坐標原點，位于拋物線C：上，且到拋物線的準線的距離為2．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知點，過拋物線焦點的直線l交C于M，N兩點，求的最小值以及此時直線l的方程．
【答案】(1)
(2)19；．
【分析】（1）根據拋物線的定義計算即可；
（2）根據韋達定理及二次函數最值計算即可.
【詳解】（1）根據題意可得，
又，解方程組得，，
故所求拋物線C方程，
（2）
設點，，拋物線的焦點坐標為．
當直線l的斜率等于0時，不存在兩個交點，不符合題意；
當直線l的斜率不等于0時，不妨設過拋物線焦點的直線l的方程為：；
聯立拋物線方程可得，消去x得：，
，得，
由韋達定理得，，
易知，
故
．
所以當時，取得最小值為19．
此時直線l的方程為．
14．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線有兩個不同的交點和，且（其中為原點），求的范圍；
(9)對于（2）中的點和，在軸上是否存在點使為等邊三角形，若存在請求出的值；不存在則說明理由.
【答案】(1)
(2)
(9)存在，
【分析】（1）設雙曲線的方程，用待定系數法求出，的值；
（2）將直線方程與雙曲線的方程聯立，消元得到一個關于的一元二次方程，求解判別式，利用韋達定理和已知條件求出參數的取值范圍即可；
（9）分和兩種情況討論，結合（2）的結論和弦長公式求出，利用點到直線的距離公式和題干條件即可求解.
【詳解】（1）設雙曲線的方程為，則，再由得，
故的方程為.
（2）將代入得
由直線與雙曲線交于不同的兩點得：
，且①
，，則，
，
又，得，，
即，解得：②，故的取值范圍為.
（9）當時，點坐標為，即，
此時，點到的距離，顯然不合題意；
當時，線段的中垂線方程為，
令，得，由①知，且，
由（2）知：
點到的距離，且，
即，，滿足范圍，
故.
15．如圖，已知拋物線，過點且斜率為的直線交拋物線于，兩點，拋物線上的點，設直線，的斜率分別為，.

(1)求的取值范圍；
(2)過點作直線的垂線，垂足為.求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以點橫坐標為自變量，用坐標表示，轉化為函數值域求解即可；
（2）利用數量積的幾何意義將轉化為，再向量坐標化，轉化為函數最值求解即可.
【詳解】（1）直線的方程為，代入拋物線得：
，解得或，所以，
因為，
所以，，
則有，
又，則有，故的取值范圍是.
（2）由（1）知，，
所以，，
，
令，，
則，
由于當時，，當時，，
故，即的最大值為.
16．在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為、，橢圓與軸正半軸的交點為點，且為等腰直角三角形．
(1)求橢圓的離心率；
(2)已知斜率為的直線與橢圓相切于點，點在第二象限，過橢圓的右焦點作直線的垂線，垂足為點，若，求橢圓的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等腰直角三角形的幾何性質可得出，根據、、的關系可求得橢圓的離心率的值；
（2）由題意，設直線的方程為，設切點，將直線的方程與橢圓的方程聯立，由可得出、的等量關系，求出點的坐標，寫出直線的方程，求出點的坐標，根據求出的值，即可得出橢圓的方程.
【詳解】（1）解：設橢圓的半焦距為，由已知得點，
因為為等腰直角三角形，且為的中點，所以，即，
所以，有．
（2）解：由（1）知，設橢圓方程為，
因為切點在第二象限，且直線的斜率為，
設直線的方程為，設點，
因為直線與橢圓相切，聯立可得，
由，可得，即，
所以，，，所以，
因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為，
則直線的方程為，
聯立，可得，即點，
又因為、，
有，，
．
所以，所以橢圓的方程為．
17．已知圓心為H的圓和定點，B是圓上任意一點，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點M，當點B在圓上運動時，點M的軌跡記為曲線C．
(1)求C的方程．
(2)如圖所示，過點A作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F，求的取值范圍
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由l是線段AB的中垂線得，根據橢圓定義可得答案；
（2）由直線EF與直線PQ垂直可得，①當直線PQ的斜率不存在時，直線EF的斜率為零，可取，，，，可得；②當直線PQ的斜率為零時，直線EF的斜率不存在，同理可得；③當直線PQ的斜率存在且不為零時，直線EF的斜率也存在，于是可設直線PQ的方程為，設直線EF的方程為，將直線PQ的方程代入曲線C的方程，令，利用韋達定理代入，根據的范圍可得答案．
【詳解】（1）由，得，所以圓心為，半徑為4，
連接MA，由l是線段AB的中垂線，得，
所以，又，
根據橢圓的定義可知，點M的軌跡是以A，H為焦點，4為長軸長的橢圓，
所以，，，所求曲線C的方程為；
（2）由直線EF與直線PQ垂直，可得，
于是，
①當直線PQ的斜率不存在時，直線EF的斜率為零，
此時可不妨取，，，，
所以，
②當直線PQ的斜率為零時，直線EF的斜率不存在，同理可得，
③當直線PQ的斜率存在且不為零時，直線EF的斜率也存在，于是可設直線PQ的方程為，，，，，
則直線EF的方程為，
將直線PQ的方程代入曲線C的方程，并整理得，，
所以，，
于是
，
將上面的k換成，可得，
所以，
令，則，于是上式化簡整理可得，
，
由，得，所以，
綜合①②③可知，的取值范圍為．
18．已知對稱軸都在坐標軸上的橢圓C過點與點，過點的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，直線，分別交直線于E，F兩點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）設橢圓C的方程為，由兩點得出橢圓C的標準方程；
（2）聯立直線l與橢圓方程，由直線的方程得出坐標，再由韋達定理以及數量積公式，得出的范圍，進而得出的最值.
【詳解】（1）設橢圓C的方程為且，
因為橢圓C過點與點，所以，解得.
所以橢圓C的標準方程為.
（2）設直線，
由，得，
即，則.
直線的方程分別為.
令，則.
則，
，
所以
.
因為，所以.
即的取值范圍為.
所以存在最小值，且最小值為.
【點睛】關鍵點睛：解決問題（2）時，關鍵在于利用韋達定理將雙變量變為單變量問題，從而由的范圍，得出的取值范圍.
19．已知橢圓C：的短軸長為2，離心率為．點，直線：．
(1)證明：直線與橢圓相交于兩點，且每一點與的連線都是橢圓的切線；
(2)若過點的直線與橢圓交于兩點，與直線交于點，求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知求得橢圓方程，聯立直線與橢圓方程，即可證得線與橢圓相交于兩點，設交點，得直線的方程為，代入橢圓方程，整理成關于的一元二次方程，即可證明的連線都是橢圓的切線；
（2）根據四點共線，要證即證，設，不妨設，則證明轉化為，設直線的方程為，聯立直線與直線，直線與橢圓，利用坐標關系即可證明結論.
【詳解】（1）由題意可知，因此，則橢圓方程為：
因為由消去可得，，
則該方程有兩個不相等的實根，所以直線與橢圓相交于兩點；
設為直線與橢圓的交點，則，，
直線的方程為，即，代入橢圓方程得，
所以，
整理得，
即，所以，
故是橢圓的切線.
（2）因為四點共線，由（1）可知在線段外，在線段內，所以與的方向相同，與的方向相同，
要證，只需要，即證，
設，不妨設，
因為四點共線，所以等價于，即，
顯然，
設直線的方程為，即，
由，可得；
由可得，
從而可知，
因此
，
所以結論成立.
20．已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過的直線與交于兩點，過的左頂點作的垂線，垂足為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.
（2）設出直線的方程并與雙曲線方程聯立，化簡寫出根與系數關系，由得到直線與直線垂直，利用相似三角形證得結論成立.
【詳解】（1）的右焦點為，
漸近線方程為，
，
，
的方程為：；
（2）設方程為，
聯立得：，
，
，
設，則，，
，
，
，
直線與直線垂直，
在中，
，
，
即.

21．在平面直角坐標系中，雙曲線的左、右焦點分別為的離心率為2，直線過與交于兩點，當時，的面積為9.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知都在的右支上，設的斜率為.
①求實數的取值范圍；
②是否存在實數，使得為銳角？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)①②不存在，理由見解析
【分析】（1）由已知條件可得，然后利用勾股定理結合雙曲線的定義，及的面積可求出，再由離心率可求出，從而可求得雙曲線的方程，
（2）①設直線，代入雙曲線方程化簡，利用根與系數的關系結合判別式可求出實數的取值范圍；②假設存在實數，使為銳角，則，所以，再結合前面的式子化簡計算即可得結論.
【詳解】（1）因為，所以.
則，所以，
的面積.
又的離心率為，所以.
所以雙曲線的方程為.
（2）①根據題意，則直線，
由，得，
由，得恒成立.
設，則，
因為直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點，
所以，即，
所以，解得.
②假設存在實數，使為銳角，所以，即，
因為，
所以，
由①得，
即解得，
與矛盾，故不存在.

22．已知離心率為的雙曲線，直線與C的右支交于兩點，直線l與C的兩條漸近線分別交于兩點，且從上至下依次為，．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1），根據雙曲線離心率表示出的關系，可得雙曲線漸近線方程，記，進而可求得的坐標表達式，聯立可得根與系數關系式，從而推出與的中點均為同一個點P，結合，推出是線段的兩個四等分點，即可求得，從而，即可求得，可得答案；
（2）利用（1）的結論，可求得，利用三角形面積公式結合數量積的運算，將面積化為，結合向量的坐標運算，即可求得答案.
【詳解】（1）設，設的中點為，
記，則直線即，
因為雙曲線的離心率為，所以，故，
于是雙曲線的漸近線為．
聯立,解得,即，
同理由,解得,即，于是．
聯立,消去x，得．
即,需滿足，
由韋達定理，得，
所以，，說明與的中點均為同一個點P，
所以，關于點P對稱，關于點P對稱，所以，
因為，所以是線段的兩個四等分點，
故P點縱坐標為，所以，
于是，即，結合，
解得，滿足，則，
故所求雙曲線方程為．
（2）由（1）可知，，
于是．
設，則
，
代入，
得，
故的面積為．
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