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2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展14 平面向量中等和線的應(yīng)用（精講+精練）
一、平面向量共線定理
已知，若，則A，B，C三點共線，反之亦然.
二、等和線
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點P在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線.
當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k=1；
當(dāng)?shù)群途€在O點和直線AB之間時，；
當(dāng)直線AB在點O與等和線之間時，；
當(dāng)?shù)群途€過O點時，k=0；
若兩等和線關(guān)于O點對稱，則定值k互為相反數(shù).
三、證明步驟
如圖1，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根據(jù)點的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和的值
①若時，則射線與無交點，由知，存在實數(shù)，使得
而，所以，于是
②若時，
（i）如圖1，當(dāng)在右側(cè)時，過作，交射線于兩點，則
，不妨設(shè)與的相似比為
由三點共線可知：存在使得：
所以
（ii）當(dāng)在左側(cè)時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關(guān)于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以，于是
綜合上面的討論可知：圖1中用線性表示時，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。
我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖1中，過作邊的垂線，設(shè)點在上的射影為，直線交直線于點，則 (的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍
一般解題步驟：（1）確定單位線（當(dāng)時的等和線）；（2）平移等和線，分析何處取得最值；
（3）從長度比計算最值.
【典例1】設(shè)是邊上的點，,若，則 =（ ）
【解析】因為，所以，因為，所以，由于此時等和線為，所以，即.
【典例2】如圖，四邊形是邊長為1的正方形，點在的延長線上，且，點是（含邊界）的動點，設(shè)，則的最大值為（ ）
【解析】當(dāng)點位于點時，過點作，交的延長線于,則，且，所以，所以.
故答案為：.
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
一、單選題
1.已知為的外心，若且，則（ ）
2.在中，為邊上的任意一點，點在線段上，且滿足，，則的值為　　
A． B． C．1 D．4
3.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若，則的最大值為（ ）
A.3 B. C. D.2
4.在中，點D是線段BC上任意一點，且滿足，若存在實數(shù)m和n，使得，則m+n=（ ）
A. B. C. D.
5.已知拋物線的焦點為F，點，過點F且斜率為1的直線交拋物線于AB兩點，點P為拋物線上任意一點，若，則m+n的最小值為（ ）
A. B. C. D.
6.在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為( )
7.已知是內(nèi)一點，且，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
二、填空題
1.如圖，在同一個平面內(nèi)，向量的模分別為1，1，，與的夾角為，且，與的夾角為，若，則m+n=______.
2.已知P是內(nèi)任一點，且滿足，，則y+2x的取值范圍是_____.
3.如圖，正六邊形，是內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)，則的取值范圍是____________
2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展14 平面向量中等和線的應(yīng)用（精講+精練）
一、平面向量共線定理
已知，若，則A，B，C三點共線，反之亦然.
二、等和線
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點P在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線.
當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k=1；
當(dāng)?shù)群途€在O點和直線AB之間時，；
當(dāng)直線AB在點O與等和線之間時，；
當(dāng)?shù)群途€過O點時，k=0；
若兩等和線關(guān)于O點對稱，則定值k互為相反數(shù).
三、證明步驟
如圖1，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根據(jù)點的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和的值
①若時，則射線與無交點，由知，存在實數(shù)，使得
而，所以，于是
②若時，
（i）如圖1，當(dāng)在右側(cè)時，過作，交射線于兩點，則
，不妨設(shè)與的相似比為
由三點共線可知：存在使得：
所以
（ii）當(dāng)在左側(cè)時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關(guān)于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以，于是
綜合上面的討論可知：圖1中用線性表示時，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。
我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖1中，過作邊的垂線，設(shè)點在上的射影為，直線交直線于點，則 (的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍
一般解題步驟：（1）確定單位線（當(dāng)時的等和線）；（2）平移等和線，分析何處取得最值；
（3）從長度比計算最值.
【典例1】設(shè)是邊上的點，,若，則 =（ ）
【解析】因為，所以，因為，所以，由于此時等和線為，所以，即.
【典例2】如圖，四邊形是邊長為1的正方形，點在的延長線上，且，點是（含邊界）的動點，設(shè)，則的最大值為（ ）
【解析】當(dāng)點位于點時，過點作，交的延長線于,則，且，所以，所以.
故答案為：.
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
一、單選題
1.已知為的外心，若且，則（ ）
【解析】過點作于，過點作于，
過點作交的延長線于，交的延長線于，
因為則，從而有,
而三角形的外接圓的半徑為，所以,
且，所以，所以,
所以,故，由于，因此.
2.在中，為邊上的任意一點，點在線段上，且滿足，若，則的值為　　
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【解析】設(shè)，，
所以
，
又，
所以．
故選：．
3.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若，則的最大值為（ ）
A.3 B. C. D.2
【解析】：根據(jù)圖形可知，當(dāng)點P在圓上運動到與A點距離最大時
有最大值，此時，過A點作BD的垂線，如圖所示垂足分別為M、N，則
答案：A
4.在中，點D是線段BC上任意一點，且滿足，若存在實數(shù)m和n，使得，則m+n=（ ）
A. B. C. D.
【解析】 ，則，
所以，則
答案：C
5.已知拋物線的焦點為F，點，過點F且斜率為1的直線交拋物線于AB兩點，點P為拋物線上任意一點，若，則m+n的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【解析】因，則，當(dāng)?shù)群途€相切于拋物線時有最小值，過C作
兩等和線的垂線，垂足分別為T、S，則
由拋物線方程為可得直線AB方程為，，故
切點為，此時切線方程為，，
則
答案：A
6.在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為( )
【解析】：如圖所示：
過作的垂線，垂足為，則，
當(dāng)三點共線時，高線最長，即
7.已知是內(nèi)一點，且，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為是內(nèi)一點，且
所以O(shè)為的重心
在內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時，最小，此時
所以，即
當(dāng)M與C重合時，最大，此時
所以，即
因為在內(nèi)且不含邊界
所以取開區(qū)間，即
所以選B
8.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】
作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，
設(shè)，則，
∵BC//EF，∴設(shè)，則
∴，
∴
∴故選：A.
二、填空題
1.如圖，在同一個平面內(nèi)，向量的模分別為1，1，，與的夾角為，且，與的夾角為，若，則m+n=______.
【解析】連接AB，過C點作AB的平行線，則，
在中，由題意可知,
所以，根據(jù)三角形張角定理得，所以，則
答案：3
2.已知P是內(nèi)任一點，且滿足，，則y+2x的取值范圍是_____.
【解析】（D為AB中點）
所以當(dāng)?shù)群途€過點B時，y+2x有最大值,當(dāng)?shù)群途€過點A時，y+2x有最小值，又因P是內(nèi)任一點，故不能取等號，所以
答案：
3.如圖，正六邊形，是內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)，則的取值范圍是____________
【解析】：連接因為正六邊形，
由對稱性知道
，設(shè)與交于點，與交于點，
當(dāng)在上時，在上射影最小為；
當(dāng)與重合時，在上射影最大為；
則
設(shè)則
則
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