資源簡介

2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展12 ω的值和取值范圍問題（精講+精練）
一、與對稱性有關
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相鄰兩條對稱軸之間的距離是；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相鄰兩個對稱中心的距離是；
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；
二、與單調性有關
三、與零點和極值點有關
對于區間長度為定值的動區間，若區間上至少含有k個零點，需要確定含有k個零點的區間長度，一般和周期相關，若在在區間至多含有k個零點，需要確定包含k+1個零點的區間長度的最小值，極值點的處理方法也是類似的.
【典例1】若存在實數，使得函數(>0)的圖象的一個對稱中心為(，0)，則ω的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【詳解】由于函數的圖象的一個對稱中心為，所以，所以，由于，則，
因為，所以可得：，故選：C
【典例2】已知函數在區間上單調遞減，則正實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】由題意知，，
令，解得，
又函數在區間上單調遞減，所以，解得，
當時，.故選：C.
【典例3】已知函數在上恰有2個不同的零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【詳解】由題意可得，
由，得，
因為函數在上恰有2個不同的零點，
所以，即，故選：A
【題型訓練1-刷真題】
1.（2023·全國·統考高考真題）已知函數在區間有且僅有3個零點，則的取值范圍是________．
2.（2022·全國·統考高考真題）（單選）設函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型訓練2-刷模擬】
1.與對稱性有關
一、單選題
1．（2023春·陜西西安·高三?？茧A段練習）將函數的圖象向右平移個單位長度得到曲線，若關于點對稱，則的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．（2023·浙江·統考二模）已知函數，若在區間是單調函數，且，則的值為（ ）．
A． B． C．或 D．或2
3．（2023·安徽馬鞍山·統考三模）記函數的最小正周期為，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·重慶·統考模擬預測）已知函數，若對于任意實數x，都有，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．8
5．（2023·全國·高三專題練習）設函數，其圖象的一條對稱軸在區間內，且的最小正周期大于，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全國·高三專題練習）若存在唯一的實數，使得曲線關于直線對稱，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖北黃岡·黃岡中學?？既＃┮阎瘮?，（）的圖象在區間內至多存在3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在區間[0，]上有且僅有3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
9．（2023春·廣東揭陽·高三校聯考階段練習）已知函數的最小正周期為T，若，且函數的圖象關于直線對稱，則的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
10．（2023·遼寧錦州·統考二模）已知函數，若使得的圖象在點處的切線與軸平行，則的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數是偶函數，且在上單調，則的最大值為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
2.與單調性有關
一、單選題
1．（2023·四川成都·石室中學?？既＃⒑瘮档膱D象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若在上單調遞增，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023·山東青島·統考三模）將函數圖象向左平移后，得到的圖象，若函數在上單調遞減，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的最小正周期為，且當時，函數取最小值，若函數在上單調遞減，則a的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·湖南·高三校聯考階段練習）已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川綿陽·統考三模）已知函數是區間上的增函數，則正實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·廣東·校聯考模擬預測）若函數是區間上的減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·上海奉賢·?？寄M預測）已知，函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在區間上單調遞增，且在區間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河北·統考模擬預測）已知函數在區間上不單調，則的最小正整數值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校聯考階段練習）已知函數在區間上單調遞增，若存在唯一的實數，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·湖南長沙·長郡中學?？级＃┖瘮岛阌?，且在上單調遞增，則的值為（ ）
A． B． C． D．或
12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數是偶函數，且在上單調，則的最大值為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
13．（2023春·安徽阜陽·高三?？茧A段練習）已知函數在上單調遞增，且當時，恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3.與零點、極值點有關
一、單選題
1．（2023·貴州畢節·統考模擬預測）已知函數，是的一個極值點，則的最小值為（ ）
A． B．1 C．2 D．
2．（2023·貴州畢節·統考模擬預測）已知函數的最小正周期為T，若，且是的一個極值點，則（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預測）已知函數在上有3個極值點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江蘇鎮江·江蘇省鎮江中學校考二模）已知函數在上存在零點，且在上單調，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江西上饒·校聯考模擬預測）若函數在區間上恰有唯一極值點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在內恰有4個極值點和3個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河南鄭州·三模）設函數在區間內恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎瘮翟谟星覂H有兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·陜西商洛·統考三模）記函數的最小正周期為，且，若在上恰有3個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·內蒙古赤峰·?？寄M預測）已知函數，若在區間上有且僅有個零點和條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全國·高三專題練習）記函數的最小正周期為.若，為的零點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
12．（2023·新疆·校聯考二模）若函數在區間上的三個零點為，，，且，且，則下列結論：（ ）
①的最小正周期為；
②在區間有3個極值點；
③在區間上單調遞增；
④為函數離原點最近的對稱中心．
其中正確結論的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展12 ω的值和取值范圍問題（精講+精練）
一、與對稱性有關
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相鄰兩條對稱軸之間的距離是；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相鄰兩個對稱中心的距離是；
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；
二、與單調性有關
三、與零點和極值點有關
對于區間長度為定值的動區間，若區間上至少含有k個零點，需要確定含有k個零點的區間長度，一般和周期相關，若在在區間至多含有k個零點，需要確定包含k+1個零點的區間長度的最小值，極值點的處理方法也是類似的.
【典例1】若存在實數，使得函數(>0)的圖象的一個對稱中心為(，0)，則ω的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【詳解】由于函數的圖象的一個對稱中心為，所以，所以，由于，則，
因為，所以可得：，故選：C
【典例2】已知函數在區間上單調遞減，則正實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】由題意知，，
令，解得，
又函數在區間上單調遞減，所以，解得，
當時，.故選：C.
【典例3】已知函數在上恰有2個不同的零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【詳解】由題意可得，
由，得，
因為函數在上恰有2個不同的零點，
所以，即，故選：A
【題型訓練1-刷真題】
一、填空題
2．（2023·全國·統考高考真題）已知函數在區間有且僅有3個零點，則的取值范圍是________．
【答案】
【分析】令，得有3個根，從而結合余弦函數的圖像性質即可得解.
【詳解】因為，所以，
令，則有3個根，
令，則有3個根，其中，
結合余弦函數的圖像性質可得，故，
故答案為：.
二、單選題
1．（2022·全國·統考高考真題）設函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結合正弦函數的性質得到不等式組，解得即可．
【詳解】解：依題意可得，因為，所以，
要使函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．
故選：C．
【題型訓練2-刷模擬】
1.與對稱性有關
一、單選題
1．（2023春·陜西西安·高三校考階段練習）將函數的圖象向右平移個單位長度得到曲線，若關于點對稱，則的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】利用三角函數圖象變換結論求出變換后的函數圖象額解析式，再由余弦函數的對稱性的性質求的最小值.
【詳解】函數的圖象向右平移個單位長度
得到的曲線的函數解析式為，
由已知函數的圖象關于點對稱，
所以，，
所以，又，
所以的最小值是，
故選：B.
2．（2023·浙江·統考二模）已知函數，若在區間是單調函數，且，則的值為（ ）．
A． B． C．或 D．或2
【答案】B
【分析】由在區間是有單調性，可得范圍，從而得；由，可得函數關于對稱，又，有對稱中心為,討論與是否在同一周期里面相鄰的對稱軸與對稱中心即可.
【詳解】在區間是有單調性，，
，；
，函數關于對稱，
離最近對稱軸的距離為；
又，有對稱中心為；
由題意可知：若與為不是同一周期里面相鄰的對稱軸與對稱中心．
則，可得，,不符合舍去，
若與為同一周期里面相鄰的對稱軸與對稱中心．
那么：，可得，．
綜上可知
故選:B
3．（2023·安徽馬鞍山·統考三模）記函數的最小正周期為，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.
【詳解】函數的最小正周期，則，解得；
又，即是函數的一條對稱軸，
所以，解得.
又，當時，.
故選：C.
4．（2023·重慶·統考模擬預測）已知函數，若對于任意實數x，都有，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根據給定條件，可得函數圖象的對稱中心，再利用正弦函數的性質列式求解作答.
【詳解】因為對于任意實數x，都有，則有函數圖象關于點對稱，
因此，解得，而，
所以當時，取得最小值4.
故選：C
5．（2023·全國·高三專題練習）設函數，其圖象的一條對稱軸在區間內，且的最小正周期大于，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先利用輔助角公式化簡，再求出函數的對稱軸方程，由圖像的一條對稱軸在區間內，求出的取值范圍，驗證周期得答案
【詳解】解：，
由，得，
取，得，取，得，
由，得，此時，
由，得，此時，不合題意，
依次當取其它整數時，不合題意，所以的取值范圍為，
故選：C
6．（2023·全國·高三專題練習）若存在唯一的實數，使得曲線關于直線對稱，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意得，，只有唯一的值落在中，從而列不等式組可求出答案.
【詳解】由，，得，，
，
因為存在唯一的實數，使得曲線關于直線對稱，
所以只有唯一的值落在（）中，
所以，解得，
故選：C．
7．（2023·湖北黃岡·黃岡中學?？既＃┮阎瘮?，（）的圖象在區間內至多存在3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據，，得到，數形結合得到，求出答案.
【詳解】因為，，
所以，
畫出的圖象，
要想圖象在區間內至多存在3條對稱軸，則，
解得.
故選：A
8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在區間[0，]上有且僅有3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【答案】C
【分析】求出函數的對稱軸方程為，，原題等價于有3個整數k符合，解不等式即得解.
【詳解】解：，
令，，則，，
函數f（x）在區間[0，]上有且僅有3條對稱軸，即有3個整數k符合，
，得，則，
即，∴.
故選：C.
9．（2023春·廣東揭陽·高三校聯考階段練習）已知函數的最小正周期為T，若，且函數的圖象關于直線對稱，則的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據，求得，再根據余弦函數的對稱性即可得出答案.
【詳解】，
，
因為，所以，
則，
又因函數的圖象關于直線對稱，
所以，所以，
又因為，
所以當時，.故選：C.
10．（2023·遼寧錦州·統考二模）已知函數，若使得的圖象在點處的切線與軸平行，則的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先利用輔助角公式化簡函數，根據題意得函數在上存在對稱軸，利用整體代換列不等式，解不等式即可求出最值.
【詳解】，
因為使得的圖象在點處的切線與軸平行，
所以函數在上存在最值，即函數在上存在對稱軸，
令，得，
因為，所以，
即，則，
又，故時，取最小值為，
故選：A
11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數是偶函數，且在上單調，則的最大值為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
【答案】C
【分析】由、是偶函數得到，再由在上單調可得可得答案.
【詳解】因為，所以，
則①.，因為是偶函數，
所以直線是圖象的對稱軸，所以②.
由①②可得，，又，所以，
則，
因為在上單調，的最小正周期為，
所以，解得，故的最大值為5，經檢驗，在上單調.
故選：C.
2.與單調性有關
一、單選題
1．（2023·四川成都·石室中學?？既＃⒑瘮档膱D象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若在上單調遞增，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】求出的解析式，根據在上單調遞增得可得答案.
【詳解】將的圖象向右平移個單位長度后得到
的圖象，
因為，所以，
因為在上單調遞增，所以，即，
所以的最大值為.
故選：A.
2．（2023·山東青島·統考三模）將函數圖象向左平移后，得到的圖象，若函數在上單調遞減，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三角函數的圖像變換及單調性計算即可.
【詳解】向左平移，
得，
時，，在上單調遞減，
即，故.
故選：C
3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的最小正周期為，且當時，函數取最小值，若函數在上單調遞減，則a的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據最小正周期求出，根據當時，函數取最小值，求出，從而，由得到，由單調性列出不等式，求出，得到答案.
【詳解】因為，所以，
故，所以，解得：，
因為，所以只有當時，滿足要求，
故，因為，所以，
故，解得：，
故a的最小值為.
故選：A
4．（2023春·湖南·高三校聯考階段練習）已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據余弦函數圖像性質可得單調區間長度小于等于半周期，即可得，再利用整體代換法即可求得， 取即可得出結果.
【詳解】函數的最小正周期，
所以，即．
當時，，
依題意知，，
解得，又
∴當時成立，．
故選：A．
5．（2023·四川綿陽·統考三模）已知函數是區間上的增函數，則正實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據求得，再利用余弦函數的單調區間建立即可求解.
【詳解】，，
又因為函數是區間上的增函數，
解得
因為為正實數，所以，從而，
又，所以正實數的取值范圍是為.
故選：C
6．（2023·廣東·校聯考模擬預測）若函數是區間上的減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據函數在區間上是減函數，對進行分類討論，再分別解之即可.
【詳解】函數是區間上的減函數，則
①當時，則，則由得，故，則無解.
②當時，則，則由得，故 ，則有.
綜上①②知：.
故選：B
7．（2023·上海奉賢·校考模擬預測）已知，函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據正弦函數的單調性求出函數的單調遞減區間，然后根據條件給出的區間建立不等式關系進行求解即可.
【詳解】由，得，
即函數的單調遞減區間為，
令，則函數其中一個的單調遞減區間為：
函數在區間內單調遞減，
則滿足，得，所以的取值范圍是.
故選：D.
8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在區間上單調遞增，且在區間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用輔助角公式變形函數，結合函數單調區間和取得最值的情況，利用整體法即可求得參數的范圍.
【詳解】依題意，函數，，
因為在區間上單調遞增，由，則，
于是且，解得且，即，
當時，，因為在區間上只取得一次最大值，
因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：B
9．（2023·河北·統考模擬預測）已知函數在區間上不單調，則的最小正整數值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由二倍角公式以及輔助角公式化簡，進而根據為正整數，由的范圍，即可結合正弦函數的單調區間進行求解.
【詳解】，
由于為正整數，
當時，，此時
故此時在上單調，時不符合，
當時，，此時且
故此時在先增后減，因此不單調，符合，
當時，，此時，
而的周期為，此時在上不單調，符合，但不是最小的正整數，同理要求符合，但不是最小的正整數，
故選：B
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校聯考階段練習）已知函數在區間上單調遞增，若存在唯一的實數，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理可得，結合題意結合正弦函數性質分析運算.
【詳解】由題意可得：，且，
①因為，可得，
若存在唯一的實數，使得，
則，解得；
②又因為，且，
可得，
若函數在區間上單調遞增，
注意到，則，解得；
綜上所述：的取值范圍是.故答案為：B.
11．（2023·湖南長沙·長郡中學校考二模）函數恒有，且在上單調遞增，則的值為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由題意可得時取得最大值，可得.根據單調性可得，即，根據可求的值.
【詳解】因為恒有，所以當時取得最大值，
所以，得.
因為在上單調遞增，所以,即，得.
因為，所以.
因為在上單調遞增，
所以,得.
所以，且，，解得，.故.故選：B.
12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數是偶函數，且在上單調，則的最大值為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
【答案】C
【分析】由、是偶函數得到，再由在上單調可得可得答案.
【詳解】因為，所以，
則①.，因為是偶函數，
所以直線是圖象的對稱軸，所以②.
由①②可得，，又，所以，
則，
因為在上單調，的最小正周期為，
所以，解得，故的最大值為5，經檢驗，在上單調.
故選：C.
13．（2023春·安徽阜陽·高三校考階段練習）已知函數在上單調遞增，且當時，恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知，分別根據函數在區間上單調遞增，在時，恒成立，列出不等關系，通過賦值，并結合的本身范圍進行求解.
【詳解】由已知，函數在上單調遞增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因為函數在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因為，當時，由①②可知：，解得；
當時，由①②可知：，解得.
所以的取值范圍為.
故選：B.
【點睛】在處理正弦型、余弦型三角函數性質綜合問題時，通常使用整體代換的方法，將整體范圍滿足組對應的單調性或者對應的條件關系，羅列出等式或不等式關系，幫助我們進行求解.
3.與零點、極值點有關
一、單選題
1．（2023·貴州畢節·統考模擬預測）已知函數，是的一個極值點，則的最小值為（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】根據極值點的定義結合正弦函數圖像的性質，是的一條對稱軸，可求得表達式，即可求出答案.
【詳解】由是的一個極值點，結合正弦函數圖像的性質可知，是的一條對稱軸，
即，，求得，
，
當時，的最小值為.
故選：A.
2．（2023·貴州畢節·統考模擬預測）已知函數的最小正周期為T，若，且是的一個極值點，則（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用正弦函數的周期確定的范圍，再由極值點求出的值作答.
【詳解】函數的最小正周期為，于是，解得，
因為是的一個極值點，則，解得，
所以.
故選：D
3．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預測）已知函數在上有3個極值點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意求出的范圍，然后根據正弦函數的性質及題意建立不等關系，求得參數的取值范圍即可.
【詳解】因為，，
所以 ，
因為函數在上有3個極值點，
所以，
解得，
所以的取值范圍為，
故選：C.
4．（2023·江蘇鎮江·江蘇省鎮江中學?？级＃┮阎瘮翟谏洗嬖诹泓c，且在上單調，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函數的圖象與性質可得及，
繼而可得，計算可得結果.
【詳解】化簡，
在時，，該區間上有零點，故，
又時單調，則，即，
故
故選：C
5．（2023·江西上饒·校聯考模擬預測）若函數在區間上恰有唯一極值點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據余弦函數的圖象特征，根據整體法即可列出不等式滿足的關系進行求解．
【詳解】當，，
由于在區間上恰有唯一極值點，
故滿足，解得，
故選：B．
6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在內恰有4個極值點和3個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】輔助角化簡，由已知上恰有4個極值點和3個零點，數形結合列不等式求參數的范圍.
【詳解】由且，
因為，所以，
又在內恰有4個極值點和3個零點，
由正弦函數的圖象知：，解得：，
所以實數的取值范圍是.
故選：C
7．（2023·河南鄭州·三模）設函數在區間內恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據正弦函數的性質列不等式求解.
【詳解】時，，，因此由題意，解得．故選：A．
8．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎瘮翟谟星覂H有兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化簡得到，結合和三角函數的性質，列出不等式，即可求解.
【詳解】由函數，
因為，可得，則，
又由函數在僅有兩個零點，且，
則滿足，解得.
故選：C．
9．（2023·陜西商洛·統考三模）記函數的最小正周期為，且，若在上恰有3個零點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由求得，使用整體換元法求得的范圍， 根據在上恰有3個零點列出滿足的不等式關系求解即可.
【詳解】因為的最小正周期為T，所以．
又，所以，
當時，，
由在上恰有3個零點，得，
解得．
故選：A
10．（2023·內蒙古赤峰·?？寄M預測）已知函數，若在區間上有且僅有個零點和條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先把函數的關系式變形成余弦型函數，進一步利用余弦型函數的性質的應用即可求出的取值范圍．
【詳解】函數 ，
令，由，則，
又函數在區間上有且僅有個零點和條對稱軸，
即在區間上有且僅有個零點和條對稱軸，
作出的圖象如下，
所以，得．
故選：D．
11．（2023·全國·高三專題練習）記函數的最小正周期為.若，為的零點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】先求出函數的周期，再由可求出，然后由為的零點，可求得結果.
【詳解】因為的最小正周期為，且，
所以，
因為，所以，
所以，
因為為的零點，
所以，
所以，解得，
因為，所以的最小值為4，
故選：C
12．（2023·新疆·校聯考二模）若函數在區間上的三個零點為，，，且，且，則下列結論：（ ）
①的最小正周期為；
②在區間有3個極值點；
③在區間上單調遞增；
④為函數離原點最近的對稱中心．
其中正確結論的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】先利用條件求出，再利用三角函數的圖像與性質，以及的零點、極值點，逐一對各個選項分析判斷即可得到結果．
【詳解】令，則由，得，
所以，由，得到
如圖，由的圖像與性質知，，，
即
化簡得，
將代入得，所以，故①正確；
對于②，因為，
由的圖像與性質知，函數的極值點，即函數的最值點，
所以由，得到，
又因為，所以或，
所以在區間上有且僅有2個極值點，故②錯誤；
對于③，由，，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，
由，得到，由，得到，
所以在區間在上單調遞增，在區間上單調遞減，故③錯誤；
對于④，令，解得，當時，為最小，
所以函數離原點最近的對稱中心為，故④錯誤．
故選：B．
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