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2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展16 解三角形中三角形面積和周長（邊）的最值（范圍）問題（精講+精練）
1.正弦定理
.（其中為外接圓的半徑）
（邊化角）
（角化邊）
2.余弦定理：
9.三角形面積公式：
=
4.三角形內(nèi)角和定理：
在△ABC中，有.
5.基本不等式（優(yōu)先用基本不等式）
①
②
6.利用正弦定理化角（函數(shù)角度求值域問題）
利用正弦定理，，代入面積公式，化角，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積或者周長的最值。
【典例1】若，，求的最大值．建議使用兩種方法來解決：
法一：余弦定理＋不等式．
法二：正弦定理＋輔助角公式＋三角形面積公式．
【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面積公式即可求得最大值；
方法二：利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)可化簡得到，結(jié)合的范圍，由正弦型函數(shù)值域的求法可求得的范圍，代入三角形面積公式即可求得最大值.
解：方法一：由余弦定理得：，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為；
方法二：由正弦定理得：，
；
，，，，
，的最大值為.
【典例2】若，，求周長的取值范圍．建議使用兩種方法來解決：
法一：余弦定理＋不等式＋三角形三邊關(guān)系．
法二：正弦定理＋輔助角公式．
【分析】方法一：利用余弦定理構(gòu)造方程，根據(jù)可求得的最大值，結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得結(jié)果；
方法二：利用正弦定理角化邊，可將化為，結(jié)合的范圍，由正弦型函數(shù)值域的求法可求得結(jié)果.
解：方法一：由余弦定理得：，
又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，
解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
又，，周長的取值范圍為；
方法二：由正弦定理得：，
，
，，，，
即周長的取值范圍為.
【題型訓(xùn)練1-刷真題】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=9，求周長的最大值.
9．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．
【題型訓(xùn)練2-刷模擬】
1.面積的最值（范圍）問題
一、解答題
1．（2029·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，滿足.
(1)求角；
(2)若點(diǎn)D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面積的最小值.
2．（2029·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值.
9．（2029·河北秦皇島·秦皇島一中校考二模）已知內(nèi)角所對(duì)的邊長分別為.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
4．（2029·新疆喀什·校考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)求∠C.
(2)若，求面積的最小值.
5．（2029·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知的三個(gè)內(nèi)角分別為、、，其對(duì)邊分別為、、，若．
(1)求角的值；
(2)若，求面積的最大值．
6．（2029春·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求角的值；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
7．（2029·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，，D為邊上一點(diǎn)，平分．
(1)求角A；
(2)求面積的最小值．
8．（2029·全國·高三專題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為．
(1)求；
(2)若，且，求面積的取值范圍．
9．（2029·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為.
(1)若外接圓的半徑為，求面積的最大值；
(2)若內(nèi)切圓的半徑為，求面積的最小值.
10．（2029·全國·高三專題練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
(1)求；
(2)若，且，求面積的取值范圍．
11．（2029·江西·校聯(lián)考二模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.
(1)求角；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
12．（2029·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，點(diǎn)、在邊上，，求面積的最小值.
19．（2029·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，其中，．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC面積的最大值．
14．（2029·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．
(1)求A；
(2)點(diǎn)D在邊上，且，，求面積的最大值．
15．（2029·江西·江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若，求三角形ABC面積的最大值．
16．（2029·湖南長沙·周南中學(xué)校考三模）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，.
(1)求；
(2)若，求面積的最小值.
2.周長（邊）的最值（范圍）問題
一、解答題
1．（2029春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，.
(1)求；
(2)若，求周長的最小值.
2．（2029·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知
(1)求角A的大小．
(2)若，求c的取值范圍．
9．（2029秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）已知平面四邊形中，，若，的面積為．
(1)求的長；
(2)求四邊形周長的最大值．
4．（2029·全國·模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別是，，，滿足．
(1)求角的大小；
(2)若的外接圓半徑為，求周長的取值范圍．
5．（2029·河北張家口·張家口市宣化第一中學(xué)校考三模）在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求BC邊上的高AD的最大值．
6．（2029·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，C=.
(1)當(dāng) 時(shí)，求的面積;
(2)求周長的取值范圍.
7．（2029·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范圍．
8．（2029·重慶·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A、、所對(duì)的邊分別為、、，已知．
(1)求角A的大小；
(2)點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且滿足，求的取值范圍．
9．（2029·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范圍.
10．（2029秋·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期末）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．
(1)求B；
(2)若的面積等于，求的周長的最小值．
11．（2029·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，求的周長的取值范圍．
12．（2029·甘肅蘭州·蘭州五十九中校考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.
(1)若a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差為2，求c的值；
(2)若△ABC的外接圓面積為π，求△ABC周長的最大值.
19．（2029·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若為銳角三角形，，求周長范圍．
14．（2029·湖南·鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考三模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若.
(1)求的值；
(2)若的面積為，求周長的最大值.
15．（2029·陜西西安·長安一中校考二模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知．
(1)求B；
(2)若為銳角三角形，且，求△ABC周長的取值范圍．
16．（2029·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，．
(1)若，求出的值；
(2)若為銳角三角形，，求邊長的取值范圍．
17．（2029·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在中,為的角平分線,且.
(1)若,,求的面積;
(2)若,求邊的取值范圍.
18．（2029·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周長的取值范圍．
2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展16 解三角形中三角形面積和周長（邊）的最值（范圍）問題（精講+精練）
1.正弦定理
.（其中為外接圓的半徑）
（邊化角）
（角化邊）
2.余弦定理：
9.三角形面積公式：
=
4.三角形內(nèi)角和定理：
在△ABC中，有.
5.基本不等式（優(yōu)先用基本不等式）
①
②
6.利用正弦定理化角（函數(shù)角度求值域問題）
利用正弦定理，，代入面積公式，化角，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積或者周長的最值。
【典例1】若，，求的最大值．建議使用兩種方法來解決：
法一：余弦定理＋不等式．
法二：正弦定理＋輔助角公式＋三角形面積公式．
【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面積公式即可求得最大值；
方法二：利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)可化簡得到，結(jié)合的范圍，由正弦型函數(shù)值域的求法可求得的范圍，代入三角形面積公式即可求得最大值.
解：方法一：由余弦定理得：，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為；
方法二：由正弦定理得：，
；
，，，，
，的最大值為.
【典例2】若，，求周長的取值范圍．建議使用兩種方法來解決：
法一：余弦定理＋不等式＋三角形三邊關(guān)系．
法二：正弦定理＋輔助角公式．
【分析】方法一：利用余弦定理構(gòu)造方程，根據(jù)可求得的最大值，結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得結(jié)果；
方法二：利用正弦定理角化邊，可將化為，結(jié)合的范圍，由正弦型函數(shù)值域的求法可求得結(jié)果.
解：方法一：由余弦定理得：，
又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，
解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
又，，周長的取值范圍為；
方法二：由正弦定理得：，
，
，，，，
即周長的取值范圍為.
【題型訓(xùn)練1-刷真題】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)椋矗?br/>而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．
2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=9，求周長的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.
【詳解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，
解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
周長，周長的最大值為.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)周長的最大值為．
[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合
在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當(dāng)時(shí)，，
所以周長的最大值為．
9．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．
【答案】（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大小；
（II）方法二：結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.
【詳解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
結(jié)合余弦定理，
∴，
即，
即，即，
即，
∵為銳角三角形，∴，
∴，
所以，
又B為的一個(gè)內(nèi)角，故.
[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角
由，結(jié)合正弦定理可得：
為銳角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因?yàn)椋⒗糜嘞叶ɡ碚淼茫?br/>即.
結(jié)合，得.
由臨界狀態(tài)（不妨取）可知.
而為銳角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化簡得
故的取值范圍是.
[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)
結(jié)合(1)的結(jié)論有：
.
由可得：，，
則，.即的取值范圍是.
【題型訓(xùn)練2-刷模擬】
1.面積的最值（范圍）問題
一、解答題
1．（2029·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，滿足.
(1)求角；
(2)若點(diǎn)D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理邊角化即可求解，
（2）由面積公式以及基本不等式即可求解.
【詳解】（1）由可得：，
由余弦定理知，，
又，因此.-
（2）∵ ，即 ，
∴ ≥
∴ab≥，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a，即a=，b=取等號(hào)
∴=≥
∴△ABC面積的最小值為
2．（2029·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦邊角關(guān)系得，根據(jù)余弦定理求的余弦值，進(jìn)而確定其大小；
（2）由已知和余弦定理得，再由求面積最大值，注意取值條件.
【詳解】（1）由已知，
即，由正弦邊角關(guān)系得，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理，得，又，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，故的面積的最大值為.
9．（2029·河北秦皇島·秦皇島一中校考二模）已知內(nèi)角所對(duì)的邊長分別為.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求角的大小；
（2）法一：由已知可得，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及三角形面積公式可得即可得范圍；法二：根據(jù)三角形為銳角三角形，應(yīng)用幾何法找到邊界情況求面積的范圍.
【詳解】（1）由余弦定理得，即，
所以，又，則.
（2）法一：為銳角三角形，，則，
所以，可得，
又，則，故
由，即而，
所以，故面積的取值范圍為.
法二：由，畫出如圖所示三角形，
為銳角三角形，
點(diǎn)落在線段（端點(diǎn)除外）上，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
.
4．（2029·新疆喀什·校考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)求∠C.
(2)若，求面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合正余弦定理分析運(yùn)算；
（2）根據(jù)題意利用正弦定理可得，結(jié)合基本不等式解得，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>即，
整理得，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
且，可得
（2）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br/>整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
解得，
則面積，
所以面積的最小值為.
5．（2029·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知的三個(gè)內(nèi)角分別為、、，其對(duì)邊分別為、、，若．
(1)求角的值；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、弦化切以及三角恒等變換可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用余弦定理可求出的最大值，再利用三角形的面積公式可求得的最大值.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br/>所以，
，且，
由正弦定理可得，
即，
因?yàn)椋瑒t，則，
又因?yàn)椋?
（2）解：由余弦定理，可得.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以.
所以，面積，
所以，面積的最大值為．
6．（2029春·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求角的值；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦，利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一用角表示，再利用兩角和與差的正、余弦公式整理可得角.
（2）把的面積表示為的形式，代入已知量利用正弦定理將面積統(tǒng)一用角、表示，再利用角、的關(guān)系消元轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的值域.
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，
由正弦定理得，
，
，故，
.
（2）因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知得到，
故，解得.
又由正弦定理得：
又，
故.故的取值范圍是
7．（2029·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，，D為邊上一點(diǎn)，平分．
(1)求角A；
(2)求面積的最小值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用題給條件和正弦定理余弦定理即可求得角A；
（2）利用題給條件求得，再利用均值定理求得最小值，進(jìn)而求得面積的最小值．
【詳解】（1）由，可得，
整理得，則，
又，則.
（2）過點(diǎn)D作于E，作于F，
又，則，
則，
則，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
則，則，
則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
則面積的最小值為．
8．（2029·全國·高三專題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為．
(1)求；
(2)若，且，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將切化弦得到，即可得解；
（2）利用正弦定理將邊化角，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及誘導(dǎo)公式得到，即可求出的取值范圍，在結(jié)合三角形面積公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>在中，，所以，則．
因?yàn)椋裕?br/>（2）由及正弦定理得，
所以．
由余弦定理得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
因?yàn)椋裕瑒t，
所以，因?yàn)榈拿娣e為，
所以面積的取值范圍是．
9．（2029·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為.
(1)若外接圓的半徑為，求面積的最大值；
(2)若內(nèi)切圓的半徑為，求面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由條件可得角，用面積公式表示出面積，用余弦定理找到、的關(guān)系式，然后用基本不等式即可求解；
（2）求得角后，由內(nèi)切圓的半徑為，可得邊長的關(guān)系式，然后用基本不等式化和為積，進(jìn)而解不等式即可求解.
【詳解】（1）由得，，
所以，又，所以，
所以，因?yàn)椋裕?br/>由外接圓的半徑為，則得，
由余弦定理得，，即，
所以，解得
所以，故面積的最大值為.
（2）如圖，圓是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是、、，

由，內(nèi)切圓的半徑為，所以，
則，，
所以，
即得，
而，所以，
所以，解得舍去），
所以，
故面積的最小值為.
10．（2029·全國·高三專題練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
(1)求；
(2)若，且，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得出，結(jié)合，即可得出答案；
（2）由得出，由余弦定理得出，再由及得出，結(jié)合三角形面積公式，即可得出面積的范圍．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以．
由余弦定理得．
因?yàn)椋?br/>所以．
（2）由及正弦定理，得，
所以，
由余弦定理得，，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)椋?br/>所以，則，
所以，
因?yàn)榈拿娣e為，
所以面積的取值范圍是．
11．（2029·江西·校聯(lián)考二模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.
(1)求角；
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊，余弦定理求解即可；
（2）由題知，進(jìn)而結(jié)合正弦定理得，再根據(jù)面積公式，結(jié)合三角恒等變換求解即可.
【詳解】（1）解：因?yàn)?br/>所以
整理可得，
所以，由正弦定理可得：.
由余弦定理知，，
因?yàn)椋?br/>（2）解：由（1）知，，所以，
又是銳角三角形，
所以，且，解得，
因?yàn)椋烧叶ɡ碇海?br/>所以
所以
因?yàn)椋?br/>所以，所以
所以，面積的取值范圍為.
12．（2029·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，點(diǎn)、在邊上，，求面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 用余弦定理將用邊表示后，再用余弦定理即可求得角；
（2），用面積公式將的面積表示為角的函數(shù)進(jìn)行求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ恚茫?br/>化簡整理得：，
由余弦定理，得，
因?yàn)椋裕唇堑拇笮?
（2）如圖：

設(shè)，
在中，由正弦定理，得，
由（1）和可知，，，
所以，在中，同理可得，
因?yàn)椋?br/>，
因?yàn)椋裕?br/>所以當(dāng)，即時(shí)面積取得最小值為.
19．（2029·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，其中，．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式即可得解；
方法二：利用余弦定理化角為邊，即可得解；
（2）利用余弦定理結(jié)合已知及基本不等式求出的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.
【詳解】（1）方法一：由，
根據(jù)正弦定理邊化角得：，
即，所以，
因?yàn)椋裕郑裕?br/>又，所以；
方法二：由，
根據(jù)余弦定理：得，
即，
因?yàn)椋裕?br/>所以，又，得；
（2）由（1）及余弦定理知，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，化簡得，
因?yàn)椋裕?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
所以的面積，
所以面積的最大值為.
14．（2029·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．
(1)求A；
(2)點(diǎn)D在邊上，且，，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化邊再結(jié)合余弦定理求得A即可；
（2）由向量建立等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式求得面積的最大值即可.
【詳解】（1）∵，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）根據(jù)題意可得，
所以平方可得．
又，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
即面積的最大值為．
15．（2029·江西·江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若，求三角形ABC面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角為邊即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再根據(jù)平方關(guān)系求出，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，即，
所以，所以；
（2），故，
則，
則，
當(dāng)時(shí)，，
所以三角形ABC面積的最大值為．
16．（2029·湖南長沙·周南中學(xué)校考三模）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，.
(1)求；
(2)若，求面積的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的余弦公式化簡可得出，即可求得的值；
（2）分析可知、均為銳角，利用兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式可得出，求出的最小值，即可求得的最小值.
【詳解】（1）解：，
.
由正弦定理得.
.
因?yàn)椋瑒t，
，，
則，
所以，，即，
所以，，
，即.
（2）解：由（1）得.
若，則、均為鈍角，則，矛盾，
所以，，，此時(shí)、均為銳角，合乎題意，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且為鈍角.
，則，且為銳角，
由，解得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
，.
因此，面積的最小值為.
2.周長（邊）的最值（范圍）問題
一、解答題
1．（2029春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，.
(1)求；
(2)若，求周長的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）利用正弦定理邊角互化即可求解；
（2）利用余弦定理結(jié)合均值不等式求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫?br/>又因?yàn)椋裕从校?br/>又因?yàn)椋?
（2）因?yàn)椋?br/>所以由余弦定理可得，
當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，
故周長的最小值9.
2．（2029·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知
(1)求角A的大小．
(2)若，求c的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化即可得，結(jié)合余弦定理即可求解；
（2）根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式，即可由得，即可求解.
【詳解】（1）由已知條件及正弦定理，得，
即．整理得．
由余弦定理，得．
又因?yàn)椋裕?br/>（2）由正弦定理，得．
又，，所以．
因?yàn)闉殇J角三角形，所以 解得．
所以，則，
所以，即c的取值范圍為
9．（2029秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）已知平面四邊形中，，若，的面積為．
(1)求的長；
(2)求四邊形周長的最大值．
【答案】(1)
(2)周長的最大值為
【分析】（1）由的面積求得，再由余弦定理求的長；
（2）與已知，由余弦定理求的最大值，即可得四邊形周長的最大值．
【詳解】（1）在中，由題意有，解得，
又由余弦定理得， 所以 ．
（2），，設(shè)，
四邊形周長設(shè)為，則，由題可知，，
在中，由余弦定理得( ，
則 所以，即 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，
所以 ，即四邊形周長的最大值為
4．（2029·全國·模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別是，，，滿足．
(1)求角的大小；
(2)若的外接圓半徑為，求周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；
（2）先利用正弦定理求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合三角函數(shù)即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，即，
所以，所以，
又因，所以；
（2）因?yàn)榈耐饨訄A半徑為，
所以，
所以，
則，
由三角形為銳角三角形，，得，則，所以，
所以周長的取值范圍為.
5．（2029·河北張家口·張家口市宣化第一中學(xué)校考三模）在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求BC邊上的高AD的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化簡已知等式即得解；
（2）利用余弦定理和基本不等式求出，再求出，即得解.
【詳解】（1）根據(jù)正弦定理可得，
又，∴．
∵,∴．
（2），∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
∵，∴，
∴，
∴，∴AD的最大值為.
6．（2029·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，C=.
(1)當(dāng) 時(shí)，求的面積;
(2)求周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得，分類討論可求出a，b的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得出結(jié)論；
（2）由余弦定理及已知條件可得，利用基本不等式可得，解得，從而可求得周長的最大值.
【詳解】（1）由，得 ，
即，
即，
當(dāng) 時(shí)，，得;
當(dāng)時(shí)，，由正弦定理得，
由余弦定理及已知條件可得，
聯(lián)立. 解得，
故三角形的面積為.
（2）法一：由余弦定理可得:，
由得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b取等號(hào).
又，即.
即周長的取值范圍是.
法二:，
中，由正弦定理有，
.
即周長的取值范圍是.
7．（2029·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角的內(nèi)角和定理，利用正弦定理的邊角化及兩角差的正弦公式，結(jié)合銳角三角形求出角的范圍及正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由及余弦定理，得，
由銳角，知，
所以．
（2）由（1）知，得，故，
由正弦定理，得，
由為銳角三角形得解得，
∴，
∴．故的取值范圍為.
8．（2029·重慶·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A、、所對(duì)的邊分別為、、，已知．
(1)求角A的大小；
(2)點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且滿足，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等變換化簡即可；
（2）利用正弦定理將線段比值轉(zhuǎn)化為關(guān)于C的三角函數(shù)值計(jì)算范圍即可.
【詳解】（1）由，結(jié)合正弦定理可得：
因?yàn)椋约矗?br/>所以，而，所以；
（2）
由知:，所以，即
在中，有，，
由正弦定理可得：
所以
由可得，所以.
9．（2029·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式求出，即可得解；
（2）利用正弦定理將邊化角，轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，再由的取值范圍，求出的范圍.
【詳解】（1）由，即，
得，
由正弦定理可得，
所以，
所以，因?yàn)椋裕?br/>所以，又，所以.
（2）由正弦定理，
所以
.
因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以，解得，
所以，，
所以，，所以的取值范圍為.
10．（2029秋·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期末）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．
(1)求B；
(2)若的面積等于，求的周長的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)輔助角公式及三角函數(shù)即可得解；
（2）由題意可得ac＝4，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出答案.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
∵，所以，
所以，∴；
（2）解：依題意，∴ac＝4，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又由余弦定理得，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)取等號(hào)，
所以的周長最小值為．
11．（2029·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，求的周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得，進(jìn)而求得.
（2）結(jié)合正弦定理以及三角恒等變換的知識(shí)將三角形的周長表示為三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)值域的求法求得三角形的周長的取值范圍.
【詳解】（1）由，
得，
由正弦定理得，
所以，
又因?yàn)椋裕?br/>由于，所以角；
（2）由（1）知，所以，則，
由正弦定理：得，
所以，．
所以
．
因?yàn)椋裕?br/>所以．
所以，
所以周長的取值范圍為．
12．（2029·甘肅蘭州·蘭州五十九中校考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.
(1)若a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差為2，求c的值；
(2)若△ABC的外接圓面積為π，求△ABC周長的最大值.
【答案】(1)7
(2)2＋.
【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)把用表示，然后由余弦定理可求得；
（2）設(shè)B＝θ，求出外接圓半徑后由正弦定理把用表示，從而把三角形周長表示為的函數(shù)，由三角恒等變換化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)后，利用正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值．
【詳解】（1）∵a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差為2，
∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4，
∵C＝，由余弦定理得
cos ＝＝＝－，
整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2，
又a＝c－4>0，則c>4，∴c＝7.
（2）設(shè)B＝θ，外接圓的半徑為R，則πR2＝π，
解得R＝1，由正弦定理可得
＝＝＝2R＝2，
∴＝＝＝2，
可得b＝2sin θ，a＝2sin ，c＝，
∴△ABC的周長＝2sin θ＋2sin ＋
＝2sin θ＋2sin cos θ－2cos sin θ＋
＝sin θ＋cos θ＋＝2sin ＋，
又θ∈，∴<θ＋，
∴當(dāng)θ＋＝，即θ＝時(shí)，△ABC的周長取得最大值2＋.
19．（2029·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若為銳角三角形，，求周長范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）應(yīng)用正弦定理及余弦定理解三角形即可；
（2）先應(yīng)用正弦定理用角表示邊長，再根據(jù)銳角三角形求角的范圍，最后求三角函數(shù)的值域即得.
【詳解】（1）在中，由射影定理得，
則題述條件化簡為，
由余弦定理得．
可得
所以.
（2）在中，
由正弦定理得，
則周長，
因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)闉殇J角三角形，，
則得，
故．
14．（2029·湖南·鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考三模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若.
(1)求的值；
(2)若的面積為，求周長的最大值.
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）法一：設(shè)，，由正弦定理得到，利用積化和差公式得到，求出答案；
法二：設(shè)，，由正弦定理得到，由三角恒等變換得到，求出答案；
（2）由面積公式得到，由正弦定理結(jié)合三角恒等變換得到，結(jié)合的范圍，求出最值.
【詳解】（1）法一：
設(shè)，，
在中，由正弦定理得，，，
代入已知化簡得，
又在中有：，
即，
∵，
即，所以，所以.
法二：設(shè)，，
在中，由正弦定理得，，，
代入已知化簡得，
又在中有：，
即，
∵
，
即，所以，所以.
（2）在中有，，
即，
由正弦定理得：，
故，，
，
因在中，，，，
所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，周長取得最大值12.
15．（2029·陜西西安·長安一中校考二模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知．
(1)求B；
(2)若為銳角三角形，且，求△ABC周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合正、余弦定理分析運(yùn)算即可；
（2）由（1）的結(jié)論，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換求解作答.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，
且，故.
（2）由正弦定理可得，
可得，
則
，
因?yàn)椋瑒t，
且為銳角三角形，則，解得，
可得，則，
所以，
故周長的取值范圍為.
16．（2029·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，．
(1)若，求出的值；
(2)若為銳角三角形，，求邊長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由立方差公式及余弦定理求出，由將弦化切，利用兩角和的正弦公式求出，從而求出，最后根據(jù)兩角差的余弦公式計(jì)算可得；
（2）由正弦定理得到，再轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻茫?br/>即，因?yàn)椋裕?br/>所以，因?yàn)椋裕?br/>由，所以，
所以，所以，
即，所以，所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以
.
（2）因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，
所以，解得，
又，由正弦定理，
所以
，
因?yàn)椋裕裕裕?br/>即邊長的取值范圍為.
17．（2029·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在中,為的角平分線,且.
(1)若,,求的面積;
(2)若,求邊的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)得到的長,再利用三角形的面積公式求解即可;
（2）設(shè),,根據(jù)得到,在中,利用余弦定理得到,由兩者相等結(jié)合的取值范圍即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?
所以,
得:,
解得,
所以.
（2）設(shè),,
由得
,
即,
所以,
又在中,
所以,
得,
因?yàn)榍?
得,
則,
所以,
即邊的取值范圍為.
18．（2029·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）根據(jù)正弦定理得到，從而得到，求出，得到，，從而求出周長的取值范圍.
【詳解】（1），由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因?yàn)椋?br/>所以；
（2）銳角中，，，
由正弦定理得：，
故，
則
，
因?yàn)殇J角中，，
則，，
解得：，
故，，
則，
故，
所以三角形周長的取值范圍是.
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