資源簡介

2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展18 解三角形中的結構不良問題（精講+精練）
一、“結構不良問題”的解題策略
（1）題目所給的三個可選擇的條件是平行的，無論選擇哪個條件，都可解答題目；
（2）在選擇的三個條件中，并沒有哪個條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴謹、過程規范，都會得滿分，但計算要細心、準確，避免出現低級錯誤導致失分．
二、“正弦定理”與“余弦定理”的選用策略
在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息．
（1）如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；
（2）如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；
（9）以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．
三、“邊化角”或“角化邊”的變換策略
（1）若式子中含有正弦的齊次式，優先考慮正弦定理“角化邊”；
（2）若式子中含有、、的齊次式，優先考慮正弦定理“邊化角”；
（9）若式子中含有余弦的齊次式，優先考慮余弦定理“角化邊”；
（4）代數式變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；
（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理．
【典例1】在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足
(1)求角B；
(2)在①的外接圓的面積為，②的周長為12，③，這三個條件中任選一個，求的面積的最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【分析】（1）由已知，根據給的，先使用正弦定理進行邊角轉化全部轉化成角的關系，然后再利用,把換掉，展開和差公式合并同類項，然后根據角B的取值范圍，即可完成求解；
（2）由已知，根據第（1）問計算出的角B，若選①，現根據給的外接圓的面積計算出外接圓半徑R，然后根據角B利用正弦定理計算出邊長b，然后使用余弦定理結合基本不等式求解ac的最值，即可完成面積最值得求解；若選②，利用，表示出三邊關系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值，然后再利用基本不等式找到ac與a+c的關系，從而求解出面積的最值；若選③，可根據邊長b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面積最值得求解.
【詳解】（1）∵
∴
∴
，∴
∵∴∴
∵，∴
（2）若選①，設的外接圓半徑為R，
則，∴
∴
由余弦定理，得：
即，當且僅當時，等號成立.即的面積的最大值為
若選②∵，∴
由余弦定理，
，又
∴
∴（舍）或，當且僅當時等號成立
∴，當且僅當時等號成立
若選③，由余弦定理，得：
即，當且僅當時，等號成立.
∴即的面積的最大值為
【題型訓練1-刷真題】
一、解答題
1．（2029·北京·統考高考真題）設函數．
(1)若，求的值．
(2)已知在區間上單調遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區間上單調遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
2．（2021·北京·統考高考真題）在中，，．
（1）求；
（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．
條件①：；
條件②：的周長為；
條件③：的面積為；
【題型訓練2-刷模擬】
一、解答題
1．（2029·四川·校聯考模擬預測）已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．在下列三個條件①，，且；②；③中任選一個，回答下列問題．
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值．
2．（2029·北京東城·統考模擬預測）已知函數.在下面兩個條件中選擇其中一個，完成下面兩個問題：
條件①：在圖象上相鄰的兩個對稱中心的距離為；
條件②：的一條對稱軸為.
(1)求ω；
(2)將的圖象向右平移個單位（縱坐標不變），得到函數的圖象，求函數在上的值域.
9．（2029·全國·模擬預測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．
在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______．
(1)求角C；
(2)若外接圓的面積為，求面積的最大值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
4．（2029·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）的內角的對邊分別為，，且______．
(1)求的面積；
(2)若，求．
在①，②這兩個條件中任選一個，補充在橫線中，并解答．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
5．（2029·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為的內心，記△OBC，的面積分別為，，，已知，．
(1)若為銳角三角形，求AC的取值范圍；
(2)在①；②；③中選一個作為條件，判斷△ABC是否存在，若存在，求出的面積，若不存在，說明理由．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．）
6．（2029·四川成都·四川省成都列五中學校考模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且__________，求的周長.請在下列三個條件中，選擇其中的一個條件補充到上面的橫線中，并完成作答.①；②的面積為；③.
注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一解答計分.
7．（2029·河北·統考模擬預測）在中，內角A，B，C對應的邊為a，b，c，的面積為S，若.
(1)當時，求A；
(2)若角B為的最大內角.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立，
①；②；③.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.
8．（2029·云南曲靖·統考模擬預測）在①；②；③這三個條件中選擇一個補充在下面問題中的橫線上，然后求解.
問題：在中，內角的對邊分別為，且，______.（說明：只需選擇一個條件填入求解，如果三個都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評分）
(1)求角的大小；
(2)求內切圓的半徑.
9．（2029·寧夏中衛·統考二模）在①；②；
③；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答．問題：在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且_______．
(1)求角C；
(2)若的內切圓半徑為，求．
10．（2029·重慶·統考模擬預測）如圖所示，已知圓是的外接圓，圓的直徑.設，，，在下面給出條件中選一個條件解答后面的問題，
①；
②；
③的面積為.選擇條件______.
(1)求的值；
(2)求的周長的取值范圍.
11．（2029·湖南益陽·統考模擬預測）中，角 的對邊分別為，從下列三個條件中任選一個作為已知條件，并解答問題.①；②；③的面積為.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范圍.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
12．（2029·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）在①，，；②；③三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．在中，內角的對邊分別是，且滿足________．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值．
19．（2029·山西呂梁·統考三模）在①；②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.
已知的內角，，所對的邊分別為，，，___________.
(1)求的值；
(2)若的面積為2，，求的周長.
注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
14．（2029·全國·模擬預測）從①，②（為的面積），③這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并加以解答．
在中，內角、、的對邊分別為、、，且______．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
15．（2029·河北邯鄲·統考二模）已知條件：①；②；③.
從三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.
問題：在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足：___________.
(1)求角的大小；
(2)若，與的平分線交于點，求周長的最大值.
注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分
16．（2029·海南·海口市瓊山華僑中學校聯考模擬預測）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答．
問題：已知函數______．
(1)求函數的最小正周期及單調遞減區間；
(2)在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S為的面積．若在處有最小值，求面積的最大值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
17．（2029·江蘇·校聯考模擬預測）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答．
在中，內角，，所對應的邊分別為，，，且滿足________．
(1)求；
(2)若，，為邊上的一點，且，求．
18．（2029·海南·統考模擬預測）在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答．
問題：已知△ABC中，點M在線段BC上，且， ，，．
(1)求的值；
(2)求AM的值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展18 解三角形中的結構不良問題（精講+精練）
一、“結構不良問題”的解題策略
（1）題目所給的三個可選擇的條件是平行的，無論選擇哪個條件，都可解答題目；
（2）在選擇的三個條件中，并沒有哪個條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴謹、過程規范，都會得滿分，但計算要細心、準確，避免出現低級錯誤導致失分．
二、“正弦定理”與“余弦定理”的選用策略
在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息．
（1）如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；
（2）如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；
（9）以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．
三、“邊化角”或“角化邊”的變換策略
（1）若式子中含有正弦的齊次式，優先考慮正弦定理“角化邊”；
（2）若式子中含有、、的齊次式，優先考慮正弦定理“邊化角”；
（9）若式子中含有余弦的齊次式，優先考慮余弦定理“角化邊”；
（4）代數式變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；
（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理．
【典例1】在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足
(1)求角B；
(2)在①的外接圓的面積為，②的周長為12，③，這三個條件中任選一個，求的面積的最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【分析】（1）由已知，根據給的，先使用正弦定理進行邊角轉化全部轉化成角的關系，然后再利用,把換掉，展開和差公式合并同類項，然后根據角B的取值范圍，即可完成求解；
（2）由已知，根據第（1）問計算出的角B，若選①，現根據給的外接圓的面積計算出外接圓半徑R，然后根據角B利用正弦定理計算出邊長b，然后使用余弦定理結合基本不等式求解ac的最值，即可完成面積最值得求解；若選②，利用，表示出三邊關系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值，然后再利用基本不等式找到ac與a+c的關系，從而求解出面積的最值；若選③，可根據邊長b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面積最值得求解.
【詳解】（1）∵
∴
∴
，∴
∵∴∴
∵，∴
（2）若選①，設的外接圓半徑為R，
則，∴
∴
由余弦定理，得：
即，當且僅當時，等號成立.即的面積的最大值為
若選②∵，∴
由余弦定理，
，又
∴
∴（舍）或，當且僅當時等號成立
∴，當且僅當時等號成立
若選③，由余弦定理，得：
即，當且僅當時，等號成立.
∴即的面積的最大值為
【題型訓練1-刷真題】
一、解答題
1．（2029·北京·統考高考真題）設函數．
(1)若，求的值．
(2)已知在區間上單調遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區間上單調遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1).
(2)條件①不能使函數存在；條件②或條件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的解析式化簡，根據在上的單調性及函數的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．
【詳解】（1）因為
所以，
因為，所以.
（2）因為，
所以，所以的最大值為，最小值為.
若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數存在；
若選條件②：因為在上單調遞增，且，
所以,所以,,
所以，
又因為，所以，
所以，
所以，因為，所以.
所以，；
若選條件③：因為在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在處取得最小值，即.
以下與條件②相同．
2．（2021·北京·統考高考真題）在中，，．
（1）求；
（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．
條件①：；
條件②：的周長為；
條件③：的面積為；
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析．
【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；
（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；
若選擇②：由正弦定理結合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；
若選擇③：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.
【詳解】（1），則由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若選擇①：由正弦定理結合（1）可得，
與矛盾，故這樣的不存在；
若選擇②：由（1）可得，
設的外接圓半徑為，
則由正弦定理可得，
，
則周長，
解得，則，
由余弦定理可得邊上的中線的長度為：
；
若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，
則由余弦定理可得邊上的中線的長度為：
.
【題型訓練2-刷模擬】
一、解答題
1．（2029·四川·校聯考模擬預測）已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．在下列三個條件①，，且；②；③中任選一個，回答下列問題．
(1)求A；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）條件①：根據向量平行的坐標表示轉化，求得；條件②：根據正弦定理轉化為，求得；條件③：將條件中的余弦轉化為正弦，再用正弦定理與余弦定理求得.
（2）根據余弦定理及基本不等式求得面積的最大值．
【詳解】（1）選擇條件①，因為，，且，
所以，
即，所以，
由為銳角三角形可知，則，
故，，
選擇條件②，因為，由正弦定理可得，
由為銳角三角形可知，所以，
則，即，
由為銳角三角形可知，故．
選擇條件③，因為，
所以，
即，
由正弦定理可得，
根據余弦定理可得，
由為銳角三角形可知，故，
（2）因為，由（1）可得，
所以根據余弦定理可得，當且僅當時，等號成立，滿足條件．
則，
故面積的最大值為．
2．（2029·北京東城·統考模擬預測）已知函數.在下面兩個條件中選擇其中一個，完成下面兩個問題：
條件①：在圖象上相鄰的兩個對稱中心的距離為；
條件②：的一條對稱軸為.
(1)求ω；
(2)將的圖象向右平移個單位（縱坐標不變），得到函數的圖象，求函數在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函數的恒等變換對進行化簡，再分別由條件①②求的值．
（2）由三角函數的平移變換得的解析式，再由函數的定義域求值域即可．
【詳解】（1）
選①：圖象上相鄰兩個對稱中心的距離為，
則，則，
選②：的一條對稱軸為，
則，
，又，則，
于是
（2）將的圖象向右移個單位長度（縱坐標不變），
得到函數的圖象
，
，
，
的值域為．
9．（2029·全國·模擬預測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．
在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______．
(1)求角C；
(2)若外接圓的面積為，求面積的最大值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據正弦定理、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡計算，即可求出C；
（2）根據正弦定理可得，利用余弦定理和基本不等式計算可得，結合三角形的面積公式計算即可求解.
【詳解】（1）選條件①．
，
由正弦定理得．
因為，所以，
故．
因為，所以，得，
又，所以．
選條件②．
由得．
由正弦定理得，
得，
得．
而，所以，即，
而，所以．
選條件③．
由及正弦定理得，
因為，所以，
即，即，
所以，而，所以．
（2）設外接圓的半徑為R，則，故．
由正弦定理可得．
所以，
即，當且僅當時等號成立，
所以，
故面積的最大值為．
4．（2029·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）的內角的對邊分別為，，且______．
(1)求的面積；
(2)若，求．
在①，②這兩個條件中任選一個，補充在橫線中，并解答．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①則根據余弦定理得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根據面積公式即可得的面積；若選②根據向量數量積定義得 ，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根據面積公式即可得的面積；
（2）由正弦定理得即可求得的值.
【詳解】（1）若選①，由余弦定理得，整理得，則，
又，則，，則；
若選②，則，又，則，
又 ，得，則；
（2）由正弦定理得：，則，則，．
5．（2029·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點O為的內心，記△OBC，的面積分別為，，，已知，．
(1)若為銳角三角形，求AC的取值范圍；
(2)在①；②；③中選一個作為條件，判斷△ABC是否存在，若存在，求出的面積，若不存在，說明理由．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．）
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由題意，根據的內切圓的性質可得，利用正、余弦定理可得，結合角C的取值范圍即可求解；
（2）選擇①，根據正弦定理可得，由（1）得，方程無解即△ABC不存在．選擇②，根據三角恒等變換可得，由（1）得，解得，結合三角形的面積公式計算即可.選擇③，由（1），根據余弦定理可得，方程無解即△ABC不存在．
【詳解】（1）設的內切圓半徑為r，因為，
所以，化簡得：，
所以，因為，所以，所以，
因為，所以，
因為為銳角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以AC的取值范圍為．
（2）選擇①，因為，所以，
因為，所以，所以，
由（1）知，，所以，
整理得，方程無實數解，所以不存在．
選擇②，由得：，
所以，即，所以，
由（1）知，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的面積．
選擇③，因為，所以，
由（1）知，，所以，
整理得，
方程無實數解，所以不存在．
6．（2029·四川成都·四川省成都列五中學校考模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且__________，求的周長.請在下列三個條件中，選擇其中的一個條件補充到上面的橫線中，并完成作答.①；②的面積為；③.
注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一解答計分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據條件，利用和正弦的和角公式，化簡即可得出結果；
（2）選①，利用正弦定理和條件得出，選②，利用條件和三角形面積公式得出，選③，利用條件和數量積的定義得出
，再利用余弦定即可得到結果.
【詳解】（1）由正弦定理：，
因為，所以，
所以，因為，所以，得到，又，所以.
（2）若選①，根據正弦定理和（1）可知，，
所以，所以，得到，
若選②，由題知，得到，
若選③，即，由數量積定義得，得到，
故三個條件任選一個條件，都可以得到，
由余弦定理，得，整理得，
即，則或（舍去），
所以的周長為.
7．（2029·河北·統考模擬預測）在中，內角A，B，C對應的邊為a，b，c，的面積為S，若.
(1)當時，求A；
(2)若角B為的最大內角.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立，
①；②；③.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.
【答案】(1)；
(2)答案見詳解.
【分析】（1）由題意，根據正弦定理、特殊角的三角函數值和輔助角公式化簡計算可得，即可求解；
（2）分別以①②③中選取2個作為條件，根據正、余弦定理和三角形的面積公式計算，可證得第9個條件成立.
【詳解】（1），
由正弦定理得，
當時，，
得，即，
又，所以，得；
（2）若選①②為條件.
，
由余弦定理得，又，所以.
由（1），得，
有，又，解得.
又，得，
由正弦定理得，即，
解得，所以，即③成立；
若選①③為條件.
，
由余弦定理得，又，所以.
由，得.
由（1）得，由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，則，即②成立；
若選②③為條件.
，
由（1）得，由正弦定理得，所以.
由余弦定理得，
即，有，
即，等式兩邊同時平方，得，
解得或.
當時，，則，與B為的最大內角矛盾，
故，又由余弦定理得，
即，即①成立.
8．（2029·云南曲靖·統考模擬預測）在①；②；③這三個條件中選擇一個補充在下面問題中的橫線上，然后求解.
問題：在中，內角的對邊分別為，且，______.（說明：只需選擇一個條件填入求解，如果三個都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評分）
(1)求角的大小；
(2)求內切圓的半徑.
【答案】(1)條件選擇見解析，
(2)
【分析】（1）選①，利用正弦定理化邊為角，再根據兩角差的正弦公式化簡即可得解；
選②，根據兩角差的余弦公式結合三角形內角和定理化簡即可；
選③，利用正弦定理化邊為角，再結合商數關系化簡即可；
（2）先利用余弦定理求出，再根據三角形的面積公式求出面積，再根據等面積法即可得解.
【詳解】（1）選①，由正弦定理得，
因為，所以，所以，
化簡得，所以，
因為，所以；
選②，因為，
所以，
所以，
又因為，所以；
選③，因為，由正弦定理得，
而，
，
因為，所以，
又因為，所以；
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
設內切圓的半徑為周長為，
因為，故，
所以，即內切圓的半徑為.
9．（2029·寧夏中衛·統考二模）在①；②；
③；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答．問題：在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且_______．
(1)求角C；
(2)若的內切圓半徑為，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選擇①根據兩角和的正切公式化簡可得角，選擇②由正弦定理統一為邊，再由余弦定理求解，選擇③根據正弦定理統一為角，由輔助角公式求解；
（2）由余弦定理及三角形面積公式聯立求解即可.
【詳解】（1）選擇①：由已知得，
所以，
在中，，所以．
選擇②：由已知及正弦定理得，
所以，所以，
因為，所以．
選擇③：由正弦定理可得，
又，所以，則，
則，故．
又因為，所以，
解得．
（2）由余弦定理得，①
由等面積公式得．
即．
整理得，②
聯立①②，解得，
所以．
10．（2029·重慶·統考模擬預測）如圖所示，已知圓是的外接圓，圓的直徑.設，，，在下面給出條件中選一個條件解答后面的問題，
①；
②；
③的面積為.選擇條件______.
(1)求的值；
(2)求的周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①利用正弦定理將邊化角，再結合兩角和的余弦公式及誘導公式求出，在利用正弦定理計算可得；若選②，根據同角三角函數的基本關系、和差角公式及誘導公式求出，在利用正弦定理計算可得；若選③，利用面積公式及余弦定理求出，在利用正弦定理計算可得；
（2）由題知，設，，利用正弦定理得到，，再根據三角恒等變換公式及正弦函數的性質計算可得.
【詳解】（1）若選①，因為，
由正弦定理可得，
顯然，所以，
即，所以，所以，又，所以，
因為外接圓的半徑，所以.
若選②，因為，
所以，
即，
所以，
所以，所以，又，所以，
因為外接圓的半徑，所以.
若選③，的面積為，則，
由余弦定理可得，所以，所以，又，所以，
因為外接圓的半徑，所以.
（2）由題知，設，，
由正弦定理，
所以，，
所以
，
因為，所以，所以，
所以.
11．（2029·湖南益陽·統考模擬預測）中，角 的對邊分別為，從下列三個條件中任選一個作為已知條件，并解答問題.①；②；③的面積為.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范圍.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)選擇條件見解析，
(2)
【分析】（1）選①②時，利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換即可求得答案；選③時，龍三角形面積公式結合余弦定理即可求得答案；
（2）方法一：利用三角恒等變換化簡為只含有一個三角函數的形式，結合正弦函數性質，即可得答案；
方法二：利用余弦定理可得，再由正弦定理邊化角，可得，結合基本不等式即可求得答案.
【詳解】（1）選擇①由正弦定理可得，，
因為，所以 ，即，
因為，所以，所以，
所以，即；
選擇②，則，
由正弦定理得 ，
因為，所以 ，即，
因為，所以，所以，即；
選擇③由，
可得 ，即，
所以，由于，故.
（2）方法一：
因為，所以，
所以，
所以，
即的取值范圍為
方法二：由余弦定理，，
再由正弦定理，，
因為，
所以，
即，當且僅當時“=”成立.
又因為，，所以 ，
即的取值范圍為.
12．（2029·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）在①，，；②；③三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．在中，內角的對邊分別是，且滿足________．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選①：由，得到，利用正弦定理和三角形內角性質化簡得到，求得，即可求解；
選②：由正弦定理和三角函數的性質得到，得到，即可求解；
選③：由余弦定理求得，即可求解；
（2）由余弦定理求得，結合基本不等式求得，結合面積公式，即可求解.
【詳解】（1）解：選①：因為，
由，可得，
由正弦定理得:
，
因為，可得，所以，
又因為，可得，所以，
因為，所以.
選②：因為，
由正弦定理得，
又因為，可得，則，
即，可得，
因為，所以.
選③：因為，可得，
由余弦定理得，
又因為，所以.
（2）解：因為，且，
由余弦定理知，即，
可得，
又由，當且僅當時，等號成立，
所以，
所以的面積，
即的面積的最大值為.
19．（2029·山西呂梁·統考三模）在①；②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.
已知的內角，，所對的邊分別為，，，___________.
(1)求的值；
(2)若的面積為2，，求的周長.
注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據所選條件，利用正弦定理邊化角，結合兩角和的正弦公式化簡，可求的值；
（2）由面積公式求得，再利用余弦定理求得，可得的周長.
【詳解】（1）若選①，由已知得，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，又，
由，，解得.
若選②，由已知及正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
又，所以，所以，又，
由，，解得.
（2）由的面積為2，得，所以，
由（1）可得，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周長為.
14．（2029·全國·模擬預測）從①，②（為的面積），③這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并加以解答．
在中，內角、、的對邊分別為、、，且______．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選條件①：利用正弦定理結合余弦定理可得出，求出的值，結合角的取值范圍可求得角的值；
選條件②：利用三角形的面積公式結合切化弦可求得的值，結合角的取值范圍可求得角的值；
選條件③：利用正弦定理結合兩角和的正弦公式可得出的值，結合角的取值范圍可求得角的值；
（2）利用余弦定理可得出，利用基本不等式結合三角形三邊關系可求得的取值范圍.
【詳解】（1）解：選條件①：因為，所以由正弦定理得，
由余弦定理得，整理得，
由余弦定理得，因為，所以；
選條件②：因為，
由三角形的面積公式可得，
因為、，則，，所以，，
因為，所以；
選條件③：因為，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，．
因為、，則，所以，故.
（2）解：由及正弦定理得，所以．
又由（1）知，所以由余弦定理得，
由基本不等式可得，
即，當且僅當時取等號，
又，所以，
所以的取值范圍為．
15．（2029·河北邯鄲·統考二模）已知條件：①；②；③.
從三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.
問題：在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足：___________.
(1)求角的大小；
(2)若，與的平分線交于點，求周長的最大值.
注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分
【答案】(1)條件選擇見解析，；
(2).
【分析】（1）選①，利用余弦定理求解作答；選②，利用二倍角正弦、正弦定理邊化角求解作答；選③，利用二倍角的余弦公式計算作答.
（2）根據給定條件，結合（1）的結論求出，再利用正弦定理結合三角恒等變換求解作答.
【詳解】（1）選擇條件①，，
在中，由余弦定理得，
整理得，則，又，
所以.
選擇條件②，，
于是，
在中，由正弦定理得，，
因為，則，即，
因為，因此，即，又，
所以.
選擇條件③，，
在中，因為，即，
則，又，即有，則，
所以.
（2）由（1）知，，有，
而與的平分線交于點，即有，于是，
設，則，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，，
所以的周長為
，由，得，
則當，即時，的周長取得最大值，
所以周長的最大值為.
16．（2029·海南·海口市瓊山華僑中學校聯考模擬預測）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答．
問題：已知函數______．
(1)求函數的最小正周期及單調遞減區間；
(2)在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S為的面積．若在處有最小值，求面積的最大值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)最小正周期，單調遞減區間為
(2)
【分析】（1）三個條件中任選一個，利用三角恒等變換化簡，根據三角函數的性質求解；
（2）根據的解析式及三角函數的性質求得，．由余弦定理結合基本不等式可得，從而可得面積的最大值．
【詳解】（1）選擇條件①：
．
所以函數的最小正周期．
令，解得，
所以函數的單調遞減區間為．
選擇條件②：
，
所以函數的最小正周期．
令，解得，
所以函數的單調遞減區間為．
選擇條件③：
，
所以函數的最小正周期．
令，解得，
所以函數的單調遞減區間為．
（2）因為，
所以當，即時，．
因為在處有最小值，且，所以，．
由余弦定理可得，
所以，
當且僅當時取等號，故面積的最大值為．
17．（2029·江蘇·校聯考模擬預測）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答．
在中，內角，，所對應的邊分別為，，，且滿足________．
(1)求；
(2)若，，為邊上的一點，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選①：由條件和正弦定理得，根據得出，根據二倍角公式得出，進而得出，再結合的范圍即可求出；選②：由二倍角公式及同角三角函數的平方關系得出，解出，再結合的范圍即可求出；
（2）首先在中，由余弦定理求出和，在中，由正弦定理得出，由得出代入，結合二倍角公式即可得出答案．
【詳解】（1）選擇①：
在中，由正弦定理，得．
因為，
所以，
所以，
因為，所以，
因為，所以，
所以，
因為，所以，
因為，
所以，
所以，所以．
選擇②：
因為，
所以，
所以，
所以，即，
解得或（舍去），
因為，所以．
（2）在中，由余弦定理，
得，解得，
，
在中，由正弦定理得：，
得，
因為，
所以，
所．
18．（2029·海南·統考模擬預測）在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答．
問題：已知△ABC中，點M在線段BC上，且， ，，．
(1)求的值；
(2)求AM的值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選擇條件①，利用切化弦公式、正弦兩角和公式、正弦定理進行求解；
選擇條件②，利用余弦二倍角公式、正弦定理進行求解；
（2）由，得，接合余弦定理進行求解.
【詳解】（1）若選擇條件①：
依題意，，，
故，
即，
由正弦定理，得．
在△ABM中，有，①
在△ACM中，有，②
因為，所以，
又
所以得．
若選擇條件②：
因為，
所以，
即，由正弦定理，得，
故．
在△ABM中，有，①
在△ACM中，有．②
因為，所以，又
所以得．
（2）由（1）可知，，
在△ABM中，，
在△ACM中，，
因為，所以，
所以，所以．
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