資源簡介

2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展15 平面向量中的最值（范圍）問題（精講+精練）
一、平面向量中的最值（范圍）問題
平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合．其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量夾角、系數的范圍等，解題思路通常有兩種：
一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據平面圖形的特征直接進行判斷；
二是“數化”，即利用平面向量的坐標運算，先把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方程的有解等問題，然后利用函數、不等式、方程有關知識來解決．
二、極化恒等式
設a，b是平面內的兩個向量，則有
證明：，①，②
將兩式相減可得，這個等式在數學上我們稱為極化恒等式．
①幾何解釋1（平行四邊形模型）以，為一組鄰邊構造平行四邊形，，則，由，得．
即“從平行四邊形一個頂點出發的兩個邊向量的數量積是和對角線長與差對角線長平方差的”．
②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結論的基礎上，若設M為對角線的交點，則由變形為，得，
該等式即是極化恒等式在三角形中的體現，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型．
注：具有三角幾何背景的數學問題利用極化恒等式考慮尤為簡單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數量積可轉化為中線長與半底邊長的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長度(數量)之間的橋梁，實現向量與幾何、代數的巧妙結合．
【典例1】（極化恒等式的應用）已知中，，且的最小值為，若為邊上任意一點，求的最小值．
解：令（其中），則三點共線（如圖），從而的幾何意義表示點到直線的距離為，這說明是等邊三角形，為邊上的高，故．
取的中點，則由向量極化恒等式可得，
其中為點到邊的距離．
即當點在垂足（非端點）處時，達到最小值．
【典例2】（數量積的最值（范圍））已知，若點M是所在平面內的一點，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示，
依題意，所以，
，所以，
所以.故選：C.
【典例3】（模的最值（范圍））已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】在中，設，則，
因為，即，所以為等邊三角形，
以為鄰邊作平行四邊形，設交于點，
可得，則，
因為，取的起點為，
可知的終點的軌跡為以點為圓心，半徑為的圓，
如圖，當點為的延長線與圓的交點時，的最大值為；
當點為線段與圓的交點時，的最小值為；
所以.故選：A.
【典例4】（夾角的最值（范圍））平面向量，滿足，且，則與夾角的余弦值的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由兩邊平方得，又，則.
，當時取等號.則與夾角的余弦值的最大值.故選：A.
【題型訓練-刷模擬】
1.極化恒等式的應用
1．如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑， ，則
A． B． C． D．
2．如圖，在中，點是線段上一動點.若以為圓心 半徑為1的圓與線段交于兩點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如圖，在中，是的中點，在邊上，且，與交于點，若，則的值是
A． B． C． D．3
4．已知的斜邊的長為4，設是以為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知圖中正六邊形的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點P在正六邊形的邊上運動，為圓O的直徑，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．已知邊長為2的正方形ABCD內接于圓O，點P是正方形ABCD四條邊上的動點，MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，為鈍角，是邊上的兩個動點，且，若的最小值為，則__________．
8．如圖，圓為的內切圓，已知，過圓心的直線交圓于兩點，則的取值范圍是_________．
2.數量積的最值（范圍）問題
一、單選題
1．（2023·河南安陽·統考三模）已知菱形的邊長為，，為菱形的中心，是線段上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點分別在上，且，點是圓弧上的動點（包括端點），則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·河南新鄉·新鄉市第一中學校考模擬預測）在中，，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江蘇鎮江·江蘇省鎮江中學校考模擬預測）已知半徑為1的圓O上有三個動點A，B，C，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學校考二模）已知△ABC是單位圓O的內接三角形，若，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2023·全國·高三專題練習）已知邊長為2的菱形中，點為上一動點，點滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全國·高三專題練習）已知菱形ABCD的邊長為2，，點E在邊BC上，，若G為線段DC上的動點，則的最大值為（ ）
A．2 B．
C． D．4
8．（2023·全國·高三專題練習）圓為銳角的外接圓，，點在圓上，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．（2023·江蘇鹽城·統考三模）在中，，，，則的取值范圍是 .
10．（2023·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）如圖所示，△ABC是邊長為8的等邊三角形，點P為AC邊上的一個動點，長度為6的線段EF的中點為點B，則的取值范圍是 .
11．（2023·全國·高三專題練習）如圖，中，為中點，為圓心為、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是 .
12．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在中，已知，點D，E分別在邊AB，AC上，且 ，點F為線段DE上的動點，則的取值范圍是 ．
13．（2023·全國·高三專題練習）在中，是其外心，，，.邊，上分別有兩動點，，線段恰好將分為面積相等的兩部分.則的最大值為 .
14．（2023·河北·統考模擬預測）如圖，在邊長為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交，于點，．當點在劣弧上運動時，的最小值為 ．
3.模的最值（范圍）問題
一、單選題
1．（2023·陜西榆林·校考模擬預測）已知向量，滿足，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·新疆·統考二模）已知向量，滿足，，（θ為與的夾角），則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·北京海淀·校考三模）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，都是單位向量，若，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江·模擬預測）已知在三角形ABC中，，點M，N分別為邊AB，AC上的動點，，其中，點P，Q分別為MN，BC的中點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全國·高三專題練習）在長方形中，，，點在邊上運動，點在邊上運動，且保持，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全國·高三專題練習）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·重慶·統考三模）已知均為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，則的最大值為 ．
12．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量 滿足，則的最大值是 ．
13．（2023·全國·高三專題練面向量滿足，與的夾角為，且則的最小值是 ．
14．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考期末）已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為 .
15．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）已知平面向量，，且滿足，若為平面單位向量，則的最大值
16．（2023·全國·高三專題練習）已知為正交基底，且，分別為的中點，若，則的最小值為 .
17．（2023·全國·高三專題練習）已知為坐標原點，向量，，，滿足，，若，則的取值范圍是
4.夾角的最值（范圍）問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，若向量，的夾角是銳角，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習）已知非零向量，的夾角為，，且，則夾角的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習）已知與均為單位向量，其夾角為．若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）已知單位向量，若對任意實數x，恒成立，則向量的夾角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量，滿足，記與夾角為，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全國·高三專題練面向量，滿足，且，則與夾角的正弦值的最大值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，滿足，，則與的夾角的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全國·高三專題練習）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全國·高三專題練面向量滿足，則與夾角最大值時為（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全國·高三專題練習）已知不共線的平面向量，滿足，，，則與的夾角的余弦取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量、、滿足，則與所成夾角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
12．（2023·高三課時練習）已知向量、滿足，，且，則與的夾角的取值范圍是 .
13．（2023春·重慶·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知非零向量，滿足，且，則的最大值為 ．
14．（2023·全國·高三專題練習）已知△ABC的面積為S滿足，且，與的夾角為θ.則與夾角的取值范圍 ．
15．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考二模）已知單位向量，若對任意實數，恒成立，則向量的夾角的最小值為 .
16．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角的最大值是 ．
17．（2023·北京海淀·高三專題練習）已知平面向量滿足，則向量與夾角的最大值是 ．
2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展15 平面向量中的最值（范圍）問題（精講+精練）
一、平面向量中的最值（范圍）問題
平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合．其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量夾角、系數的范圍等，解題思路通常有兩種：
一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據平面圖形的特征直接進行判斷；
二是“數化”，即利用平面向量的坐標運算，先把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方程的有解等問題，然后利用函數、不等式、方程有關知識來解決．
二、極化恒等式
設a，b是平面內的兩個向量，則有
證明：，①，②
將兩式相減可得，這個等式在數學上我們稱為極化恒等式．
①幾何解釋1（平行四邊形模型）以，為一組鄰邊構造平行四邊形，，則，由，得．
即“從平行四邊形一個頂點出發的兩個邊向量的數量積是和對角線長與差對角線長平方差的”．
②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結論的基礎上，若設M為對角線的交點，則由變形為，得，
該等式即是極化恒等式在三角形中的體現，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型．
注：具有三角幾何背景的數學問題利用極化恒等式考慮尤為簡單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數量積可轉化為中線長與半底邊長的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長度(數量)之間的橋梁，實現向量與幾何、代數的巧妙結合．
【典例1】（極化恒等式的應用）已知中，，且的最小值為，若為邊上任意一點，求的最小值．
解：令（其中），則三點共線（如圖），從而的幾何意義表示點到直線的距離為，這說明是等邊三角形，為邊上的高，故．
取的中點，則由向量極化恒等式可得，
其中為點到邊的距離．
即當點在垂足（非端點）處時，達到最小值．
【典例2】（數量積的最值（范圍））已知，若點M是所在平面內的一點，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示，
依題意，所以，
，所以，
所以.故選：C.
【典例3】（模的最值（范圍））已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】在中，設，則，
因為，即，所以為等邊三角形，
以為鄰邊作平行四邊形，設交于點，
可得，則，
因為，取的起點為，
可知的終點的軌跡為以點為圓心，半徑為的圓，
如圖，當點為的延長線與圓的交點時，的最大值為；
當點為線段與圓的交點時，的最小值為；
所以.故選：A.
【典例4】（夾角的最值（范圍））平面向量，滿足，且，則與夾角的余弦值的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由兩邊平方得，又，則.
，當時取等號.則與夾角的余弦值的最大值.故選：A.
【題型訓練-刷模擬】
1.極化恒等式的應用
1．如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑， ，則
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為圓半徑為1是直徑，所以根據向量加法和減法法則知：；又是直徑，所以則
故選 B
2．如圖，在中，點是線段上一動點.若以為圓心 半徑為1的圓與線段交于兩點，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由題意，，且，，
所以，，
所以，
易知，當時，最小，
所以，即，解得，
故的最小值為．故選 B
3．如圖，在中，是的中點，在邊上，且，與交于點，若，則的值是
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】過作交于.因為M是AC的中點，故是的中點，
故是的中位線，故且.又，故，故且.
故，故，，故.
又，故，即.
化簡得，所以.故選 A
4．已知的斜邊的長為4，設是以為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，在上，不妨取的中點，則．
設圓的半徑為，而，則：
．
因此的取值范圍是．故選C
5．已知圖中正六邊形的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點P在正六邊形的邊上運動，為圓O的直徑，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為正六邊形的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，所以正六邊形的內切圓的半徑為，外接圓的半徑，
又由
，
因為，即，可得，
所以的取值范圍是.故選：D
6．已知邊長為2的正方形ABCD內接于圓O，點P是正方形ABCD四條邊上的動點，MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設圓的半徑為，則，所以.
如圖，根據向量加法的三角形法則可知
，，且，
所以.
由已知可得，正方形上的點到點的距離，
所以，所以.
故選：D.
7．在中，，為鈍角，是邊上的兩個動點，且，若的最小值為，則__________．
【解析】取的中點，取，，
，
因為的最小值，
所以．作，垂足為，如圖，
則，又，所以，
因為，
所以由正弦定理得：，，
所以
．故答案為：.
8．如圖，圓為的內切圓，已知，過圓心的直線交圓于兩點，則的取值范圍是_________．
【解析】圓O的半徑為1，考慮到P、Q兩點都是動點，不妨將，這樣一轉化，，，而，若，則．
若Q在的投影為的中點時，，因此的取值范圍是．
2.數量積的最值（范圍）問題
一、單選題
1．（2023·河南安陽·統考三模）已知菱形的邊長為，，為菱形的中心，是線段上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，其中，將、用基底表示，再利用平面向量數量積的運算性質可求得的最小值.
【詳解】設，其中，
由平面向量數量積的定義可得，
，
因為為菱形的中心，則，
所以，
，
因此，的最小值為.
故選：C.
2．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點分別在上，且，點是圓弧上的動點（包括端點），則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，設，則，利用平面向量的坐標運算得，結合基本不等式即可求得最值.
【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系

則，設，則，
所以，
因為，所以，又，則，所以，當且僅當時，等號成立
則的最大值為，所以的最大值為，即的最小值為.
故選：A.
3．（2023·河南新鄉·新鄉市第一中學校考模擬預測）在中，，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，利用余弦定理可求得，根據向量數量積定義可得，利用三角形三邊關系可求得的范圍，結合二次函數性質可求得結果.
【詳解】設，則，
由余弦定理得：，
；
，，，
即的取值范圍為.
故選：D.
4．（2023·江蘇鎮江·江蘇省鎮江中學校考模擬預測）已知半徑為1的圓O上有三個動點A，B，C，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐標系，求出相關點和向量的坐標，用數量積的坐標運算.，轉化為直線與圓有公共點求參數最值問題.
【詳解】因為，又，所以，所以，
以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系：

則，，設，則，
，，
所以，
設，即，
依題意直線與圓有公共點，
所以，得，
所以的最小值為.
故選：A
5．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學校考二模）已知△ABC是單位圓O的內接三角形，若，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由題設易知且，，進而求即可得答案.
【詳解】由圓O是△ABC的外接圓，且，故，
所以，，
則
，
僅當時等號成立.
故選：A
6．（2023·全國·高三專題練習）已知邊長為2的菱形中，點為上一動點，點滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據，根據線性運算進行變換可求得；以菱形對角線交點為原點，對角線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，利用坐標表示出，得到關于的二次函數，求得二次函數最小值即為結果.
【詳解】由題意知：，設

以與交點為原點，為軸，為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系：
，，設
則，
當時，
本題正確選項：
【點睛】本題考查向量數量積的運算問題，涉及到利用定義的運算和數量積的坐標運算，解題關鍵是能夠通過線性運算進行變換，通過數量積運算的定義求得夾角；再通過建立平面直角坐標系的方式，將問題轉化為坐標運算，通過函數關系求解得到最值.
7．（2023·全國·高三專題練習）已知菱形ABCD的邊長為2，，點E在邊BC上，，若G為線段DC上的動點，則的最大值為（ ）
A．2 B．
C． D．4
【答案】B
【分析】利用向量的數量積的定義及數量積的運算，結合向量的線性運算即可求解.
【詳解】由題意可知，如圖所示
因為菱形ABCD的邊長為2，，
所以,，
設，則
，
因為，所以,
,
,
當時，的最大值為.
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：解決此題的關鍵是利用向量的線性運算求出，結合向量數量積定義和運算即可.
8．（2023·全國·高三專題練習）圓為銳角的外接圓，，點在圓上，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把轉化為，由余弦定理、數量積的定義得，討論的位置得，結合銳角三角形恒成立，即可得范圍.
【詳解】由為銳角三角形，則外接圓圓心在三角形內部，如下圖示，
又，而，若外接圓半徑為r，
則，故，且，即，
由，
對于且在圓上，當為直徑時，當重合時，
所以，
綜上，，
銳角三角形中，則，即恒成立，
所以，則恒成立，
綜上，.故選: C
二、填空題
9．（2023·江蘇鹽城·統考三模）在中，，，，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理和向量數量積的定義得，再根據的范圍和正切函數的值域即可求出其范圍.
【詳解】根據正弦定理得，即，
，
，
，
即的取值范圍.
故答案為：.
10．（2023·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）如圖所示，△ABC是邊長為8的等邊三角形，點P為AC邊上的一個動點，長度為6的線段EF的中點為點B，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由向量的數量積公式得出，求出的最大值和最小值即可得出結果.
【詳解】由線段EF的中點為點B，得出.
.當點P位于點A或點C時，取最大值8.
當點P位于的中點時，取最小值，即，
∴的取值范圍為，∴的取值范圍為.
故答案為：.
11．（2023·全國·高三專題練習）如圖，中，為中點，為圓心為、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由向量的運算得出，再由的范圍得出的取值范圍.
【詳解】
，且.
即
設與的夾角為，則.
因為，所以.
故答案為：
12．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在中，已知，點D，E分別在邊AB，AC上，且 ，點F為線段DE上的動點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】設，以為基底，將分別用表示，再結合數量積的運算律把用表示，再結合二次函數的性質即可得解.
【詳解】因為，
所以，
設，
則
，
，
則
，
對于，其開口向上，對稱軸為，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，取得最大值，
當時，取得最小值，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題考查了平面向量的線性運算及數量積的運算，以為基底，將分別用表示，是解決本題的關鍵.
13．（2023·全國·高三專題練習）在中，是其外心，，，.邊，上分別有兩動點，，線段恰好將分為面積相等的兩部分.則的最大值為 .
【答案】
【分析】利用余弦定理求出，再由正弦定理求出外接圓半徑，利用外心定義及數量積定義計算出、及的值，又，利用數量積運算表示，利用基本不等式即可求出最值.
【詳解】在中，由余弦定理即及，，.
得，設，
因為線段恰好將分為面積相等的兩部分，
所以，
因為是其外心，所以，，
由正弦定理得，
且，
又，
所以
因為，且，所以，
當且僅當時即，等號成立，
此時，即的最大值為.故答案為：
14．（2023·河北·統考模擬預測）如圖，在邊長為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交，于點，．當點在劣弧上運動時，的最小值為 ．
【答案】
【分析】以點為坐標原點建立平面直角坐標系，設，利用平面向量數量積的坐標表示結合三角函數的性質即可得解.
【詳解】如圖，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，
則，設，
則，
則，
由，得，
所以當，即時，取得最小值.
故答案為：.
3.模的最值（范圍）問題
一、單選題
1．（2023·陜西榆林·校考模擬預測）已知向量，滿足，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量的數量積與模的關系消元化簡計算即可.
【詳解】設向量，的夾角為，則，
易知，即
所以，所以，即.
故選：D.
2．（2023·新疆·統考二模）已知向量，滿足，，（θ為與的夾角），則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】由平面向量數量積的運算，結合平面向量的模長的計算公式求解即可.
【詳解】因為向量，滿足，，（θ為與的夾角），
則，
則
，
當且僅當時取等號，
即的最小值為1，即的最小值為1.
故選：C.
3．（2023·北京海淀·校考三模）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】設，，根據求出，再根據得到，最后根據向量模的坐標表示及二次函數的性質計算可得.
【詳解】依題意設，，
由，所以，則，
又，且，
所以，即，
所以，當且僅當時取等號，
即的最大值為.
故選：C
4．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，都是單位向量，若，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根據數量積的運算律得到，設，即可得到，再由求出的范圍，即可得解.
【詳解】由，得，即．
設，則，顯然，
所以．
又，所以，
所以，即的最大值為．
故選：C．
5．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在平面內一點，作，，，取的中點，計算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.
【詳解】在平面內一點，作，，，則，則，
因為，則，故為等腰直角三角形，則，
取的中點，則，
所以，，所以，，
因為，
所以，，則，
所以，.
當且僅當、同向時，等號成立，故的最大值為.
故選：B.
6．（2023·浙江·模擬預測）已知在三角形ABC中，，點M，N分別為邊AB，AC上的動點，，其中，點P，Q分別為MN，BC的中點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據，再計算，得到函數，最后根據二次函數在區間最值的求法即可求解.
【詳解】，
則，
而，
，
而的對稱軸為，
故當時，，
故選：B
7．（2023·全國·高三專題練習）在長方形中，，，點在邊上運動，點在邊上運動，且保持，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立坐標系，設，表示出各點的坐標，根據向量的模和三角函數的圖象和性質即可求出．
【詳解】解：如圖，以為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，
，，
，
則，，，
設，則，
則，，
，，
，，
，
，其中，
，
當時，，當時，，
當時，取得最大值，最大值為．
故選：A．
8．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據已知條件可得，，，設，，，可得點的軌跡為圓，由圓的性質即可求解.
【詳解】因為，所以，，
，因為，所以，
設，，，
，，
所以，
即，
所以點在以為圓心，半徑的圓上，
表示圓上的點與定點的距離，
所以的最小值為，
故選：D.
9．（2023·全國·高三專題練習）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意不妨設，設，由模的坐標表示得點在圓上，由的幾何意義，只要求得圓心到原點的距離后可得結論．
【詳解】由題意不妨設，設，則．
∵，∴，即表示圓心為，半徑為1的圓，設圓心為P，∴．
∵表示圓P上的點到坐標原點的距離，，∴的取值范圍為，
故選：C．
10．（2023·重慶·統考三模）已知均為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將向量的起點平移到原點，設向量，，的終點分別為，將化為，得點在以為直徑的圓上，利用圓的知識可求出結果.
【詳解】將向量的起點平移到原點，設向量，，的終點分別為，
則，，
由得，得，
則點在以為直徑的圓上，
因為均為單位向量，且夾角為，不妨設，，
則，，所以以為直徑的圓的圓心，半徑為，
又，所以，
即的最大值為.
故選：D
二、填空題
11．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】利用向量模的坐標形式可求的最大值.
【詳解】，所以
當時，的最大值為：.
故答案為：.
12．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量 滿足，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】由題意可設的坐標，設，利用求得的終點的軌跡方程，即可求得答案.
【詳解】因為是平面內兩個互相垂直的單位向量，
故不妨設，設，
由得：，
即，即，
則的終點在以為圓心，半徑為的圓上，
故的最大值為，
故答案為：
13．（2023·全國·高三專題練面向量滿足，與的夾角為，且則的最小值是 ．
【答案】
【分析】設，，設，根據結合數量積的運算求得C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,利用的幾何意義可求得答案.
【詳解】由題意不妨設O為坐標原點，令，，設，
由于,
∴，∴，
即，故C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,
故，
故答案為：
14．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考期末）已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為 .
【答案】
【分析】令，進而根據向量模的不等式關系得，且，再求向量的模，并結合二次函數性質即可得答案.
【詳解】設，則，
所以，
，
由二次函數性質可得，，即：
所以，
所以的最小值為
故答案為： .
15．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）已知平面向量，，且滿足，若為平面單位向量，則的最大值
【答案】
【分析】先根據平面向量的數量積公式求出與的夾角，根據條件，可設，再設，根據平面向量的坐標運算和數量積公式，以及三角恒等變換和三角函數的性質得出，即可求出結果.
【詳解】解：，設與的夾角為，
，
，又，則，
不妨設，再設，
則
，
即，
所以的最大值為.
故答案為：.
16．（2023·全國·高三專題練習）已知為正交基底，且，分別為的中點，若，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由為正交基底，且，結合向量的線性運算和數量積運算可得，再由分別為的中點，可得，再利用基本不等式可求得其最小值.
【詳解】因為為正交基底，所以，
因為，
所以，
所以，
因為分別為的中點，，
所以
，
當且僅當時取等號，
所以的最小值為，
故答案為：
17．（2023·全國·高三專題練習）已知為坐標原點，向量，，，滿足，，若，則的取值范圍是
【答案】[11，13]
【分析】依題意可得、、三點在以為圓心，1為半徑的圓上，且是圓的直徑，所以，設、的夾角為，根據數量積的運算律及定義得到，再根據余弦函數的性質計算可得.
【詳解】解：因為，
所以、、三點在以為圓心，1為半徑的圓上，
又，
所以，所以，
所以是圓的直徑，
所以，
所以，
設、的夾角為，
則
，
因為，
所以，
所以，
所以，
即的取值范圍是.
故答案為：
4.夾角的最值（范圍）問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，若向量，的夾角是銳角，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題知，進而解不等式組即可得答案.
【詳解】因為，，
所以，
因為向量，的夾角是銳角，所以，解得，且．
所以，實數的取值范圍是.
故選：C
2．（2023·全國·高三專題練習）已知非零向量，的夾角為，，且，則夾角的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】應用向量數量積運算律及題設可得，注意等號成立條件，結合已知不等條件求范圍，即可得最小值.
【詳解】由有，即，
前一個等號成立條件為，整理得.
由于，所以，于是夾角為的最小值為.
故選：C
3．（2023·全國·高三專題練習）已知與均為單位向量，其夾角為．若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由向量模與夾角的公式得，進而結合向量的夾角范圍求解即可.
【詳解】解：因為與均為單位向量，其夾角為，，
所以，即，
因為 ，所以，即.
故選：C
4．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）已知單位向量，若對任意實數x，恒成立，則向量的夾角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量數量積與模長的關系結合一元二次不等式恒成立的解法計算即可.
【詳解】設向量的夾角為θ，因為，所以，
則，即恒成立.
所以，解得，
故的夾角的取值范圍是.
故選：A.
5．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量，滿足，記與夾角為，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量的數量積把用表示后，利用函數的知識可得最小值．
【詳解】設，則，
令，則，，
由得，，
∴時，取得最大值，∴的最小值為．
故選：D．
【點睛】本題考查平面向量的夾角，掌握關鍵是由平面向量的數量積把表示為的函數，然后由函數的性質得出最小值．
6．（2023·全國·高三專題練面向量，滿足，且，則與夾角的正弦值的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設，，則，設，，，根據均值不等式計算最值，再利用同角三角函數關系得到答案.
【詳解】如圖所示：設，，則，設，，，
，
當，即時等號成立，故，
當最小時，最大，
故與夾角的正弦值的最大值為.
故選：B
7．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，滿足，，則與的夾角的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】設與夾角為，，由，可得，整理可得，根據均值不等式和余弦函數圖象，即可求得與的夾角的最大值.
【詳解】設與夾角為，
整理可得：，即
，代入
可得
可得：，即
整理可得：
當且僅當，即取等號
故，結合，
根據余弦函數圖象可知最大值：
故選：A.
【點睛】本題主要考查了求兩個向量夾角最值問題，解題關鍵是掌握向量數量積公式和根據均值不等式求最值的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.
8．（2023·全國·高三專題練習）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用，與即可確定在上的投影與在上的投影，方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，即可確定，的橫坐標，設出坐標由得到兩向量縱坐標的關系后，列出，夾角的余弦值的式子，利用基本不等式確定余弦值的范圍，即可確定，夾角的范圍，注意即，的夾角為銳角.
【詳解】設，，，以O為原點，方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，
，，，
，，三者直接各自的夾角都為銳角，
，，，
，，即在上的投影為1，在上的投影為3，
，，如圖
，
即，且
則，
由基本不等式得，
，
與的夾角為銳角，
，
由余弦函數可得：與夾角的取值范圍是，
故選：C.
9．（2023·全國·高三專題練面向量滿足，則與夾角最大值時為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據條件對兩邊平方即可得出,從而可求出,進而即可得出然后根據基本不等式即可得出求出向量夾角的最大值,判斷出，.
【詳解】因為平面向量滿足，所以，
所以，所以.
由夾角公式，（當且僅當，即時等號成立）.
因為，所以，即時最大.
此時.
故選：D
10．（2023·全國·高三專題練習）已知不共線的平面向量，滿足，，，則與的夾角的余弦取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不妨設，由題意得到向量的終點的軌跡，結合條件，利用雙曲線上點的特征，數形結合得到結論.
【詳解】∵，不妨設，由，得，
令，其對應點N的軌跡是以（﹣2，0），（2，0）為焦點的雙曲線的右支，
方程為：，
實半軸為1，虛半軸為，又，則，
此時與x軸的夾角為，
則滿足的N在圖中雙曲線N點的上方或在雙曲線上與N點關于x軸對稱的點下方的位置，如圖位置：
又雙曲線的漸近線為，所以與的夾角范圍為，所以與的夾角的余弦取值范圍為
故選：B．
11．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量、、滿足，則與所成夾角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設與夾角為，與所成夾角為，利用平面向量的數量積可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范圍，即可得解.
【詳解】設與夾角為，與所成夾角為，
，
所以，，①
，②
又，③
②與③聯立可得，④
①④聯立可得，
當且僅當時，取等號，，，則，
故與所成夾角的最大值是，
故選：A.
【點睛】方法點睛：求平面向量夾角的方法：
（1）定義法：利用向量數量積的定義得，其中兩向量的取值范圍是；
（2）坐標法：若非零向量、，則.
二、填空題
12．（2023·高三課時練習）已知向量、滿足，，且，則與的夾角的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據給定條件，利用平面向量的數量積求出向量夾角的余弦范圍作答.
【詳解】因為，，且，則有，
因此，而，余弦函數在上單調遞減，即有，
所以與的夾角的取值范圍是.
故答案為：
13．（2023春·重慶·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知非零向量，滿足，且，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】將兩邊平方，再利用基本不等式即可得解.
【詳解】，則，
當且僅當，即時，取等號，
所以，
所以的最大值為.
故答案為：.
14．（2023·全國·高三專題練習）已知△ABC的面積為S滿足，且，與的夾角為θ.則與夾角的取值范圍 ．
【答案】.
【分析】由題，結合面積公式，向量點乘定義，可得，進一步討論θ的取值范圍即可
【詳解】由題，，∴，
，，θ為銳角，
∵，即，又，
∴，即，∴，
，
故答案為：
15．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考二模）已知單位向量，若對任意實數，恒成立，則向量的夾角的最小值為 .
【答案】
【分析】把兩邊平方得到關于的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的條件以及兩向量夾角的余弦公式求得結果.
【詳解】，是單位向量，由得：，
依題意，不等式對任意實數恒成立，
則，解得，
而，則，
又，函數在上單調遞減，
因此，
所以向量，的夾角的取值范圍為.則向量的夾角的最小值為.
故答案為：.
16．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角的最大值是 ．
【答案】
【分析】根據條件化簡整理可得，然后利用向量的夾角公式和均值不等式即可求解.
【詳解】由，得．
又由，得，則，
即，即，
所以，
當且僅當時取等號，所以向量與的夾角的最大值是.
故答案為：.
17．（2023·北京海淀·高三專題練習）已知平面向量滿足，則向量與夾角的最大值是 ．
【答案】
【分析】設，利用向量的數量積運算求得，再利用向量夾角余弦的表示，結合基本不等式即可得解.
【詳解】因為，
所以，
設，則當與同向時，取得最大值為，
當與反向時，取得最小值為，故，
又，則，
所以，
設與的夾角為，則，
由于在上單調遞減，故要求的最大值，則求的最小值即可，
因為，當且僅當，即時等號成立，
所以，即的最小值為，
因為，所以此時，即向量與夾角的最大值為.
故答案為：
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