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2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展13 三角形中的“四心”問題（精講+精練）
一、三角形的四心定義
外心：三角形三邊的垂直平分線的交點為三角形的外心，外心到三個頂點的距離相等；
內心：三角形三個角的角平分線的交點為三角形的內心，內心到三邊的距離相等；
重心：三角形三條中線的交點為三角形的重心，重心為中線的三等分點；
垂心：三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心；
二、三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點．
（2）重心的性質：
①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．
②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等．
重要結論：（1）設點是△所在平面內的一點，則當點是△的重心時，有或（其中為平面內任意一點）；
（2）在向量的坐標表示中，若、、、分別是三角形的重心和三個頂點，且分別為、
、，，則有.
三、三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
注：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經過三角形的三個頂點．
②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數個．
重要結論：若點是△的外心，則 或
；反之，若或
，則點是△的外心。
四、三角形的內切圓與內心
（1）內切圓的有關概念：
與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．
（2）三角形內心的性質：
三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．
重要結論：若點是△的內心，則有；反之，若，則點是△的內心．
五、垂心
三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心.
重要結論：若是△的垂心，則或
，反之，若或
，則是△的垂心．
【典例1】若為的重心（重心為三條中線交點），且，則___．
【答案】
【解析】在中，取中點，連接，由重心的性質可得為的三等分點，且，
又為的中點，所以，所以，所以.故答案為：
【典例2】已知點是的內心、外心、重心、垂心之一，且滿足，則點一定是的（ ）
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】設中點為，所以，
所以，
即，所以，
又由為中點可得點在的垂直平分線上，所以點是的外心，故選：B
【典例3】已知O是平面上的一個定點，A B C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】C
【解析】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，
則的方向與的角平分線一致，
由，可得，即，
所以點P的軌跡為的角平分線所在直線，故點P的軌跡一定經過的內心.故選：C.
【典例4】設為的外心，若，則是的（ ）
A．重心（三條中線交點） B．內心（三條角平分線交點）
C．垂心（三條高線交點） D．外心（三邊中垂線交點）
【答案】C
【解析】在中，為外心，可得，
∵，∴，設的中點為，則，，
∴，可得在邊的高線上．同理可證，在邊的高線上，
故是三角形兩高線的交點，可得是三角形的垂心，故選：C
【題型訓練-刷模擬】
1.重心
一、單選題
1．（四川省瀘州市瀘縣第五中學2023屆高三下學期二診模擬考試文科數學試題）已知△ABC的重心為O，則向量（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習）O是平面內一定點，A，B，C是平面內不共線三點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．垂心 C．內心 D．重心
3．（陜西省西安地區八校2023屆高三下學期第二次聯考文科數學試題）在中，設，，為的重心，則用向量和為基底表示向量（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高三專題練習）設為的重心，則（ ）
A．0 B． C． D．
5．（2023·全國·高三專題練習）邊長為2的正中，G為重心，P為線段BC上一動點，則（ ）
A．1 B．2
C． D．
6．（陜西省西安市長安區2023屆高三一模理科數學試題）在平行四邊形中，為的重心，，則（ ）
A． B．2 C． D．3
7．（福建省福州第一中學2023屆高三適應性考試（三）數學試題）在三棱錐P-ABC中，點O為△ABC的重心，點D，E，F分別為側棱PA，PB，PC的中點，若，，，則=（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國·高三專題練習）已知，，是不在同一直線上的三個點，是平面內一動點，若，，則點的軌跡一定過的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心
9．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設x＝，y＝，則的值為（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
10．（2023·全國·高三專題練習）O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：＝，則直線AP一定通過△ABC的（　　）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
11．（江蘇省鹽城市2022-2023學年高三上學期11月模擬數學試題）在中，過重心E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點，設，，（，），則的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
12．（重慶市第八中學校2023屆高三上學期高考適應性月考（二）數學試題）在中，，G為的重心，若，則外接圓的半徑為（ ）
A． B．2 C． D．
13．（2023·全國·高三專題練習）記內角的對邊分別為，點是的重心，若則的取值是（ ）
A． B． C． D．
14．（吉林省吉林市2023屆高三第四次調研考試數學試題）點是的重心，，則（ ）
A．32 B．30 C．16 D．14
15．（貴州省畢節市2023屆高三診斷性考試（三）數學（文）試題）已知點G為三角形ABC的重心，且，當取最大值時，（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
16．（2023·全國·高三專題練習）已知為的重心，，，則的可能取值為（ ）
A． B．1 C． D．
17．（重慶市2023屆高三學業水平選擇性考試模擬調研（二）數學試題）如圖，是所在平面內任意一點，是的重心，則（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023·全國·高三專題練習）已知的重心為，過點的直線與邊，的交點分別為，，若，且與的面積之比為，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．3
三、填空題
19．（山東省濟寧市育才中學2022-2023學年高三上學期10月月考數學試題）在中，為重心，，，則= .
20．（黑龍江省齊齊哈爾市2023屆高三二模數學試題）已知等邊的重心為O，邊長為3，則 .
21．（2023·全國·高三專題練習）已知的重心為G，經過點G的直線交AB于D，交AC于E，若，，則 .
22．（2023·全國·高三專題練習）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若O為的重心，，，則 .
23．（江蘇省南京市教學研究室2022屆高三下學期高考前輔導數學試題）在中，，，，為的重心，在邊上，且，則 ．
24．（2023·全國·高三專題練習）設為的重心，若，則 ．
25．（2023·全國·高三專題練習）若點為的重心，且，則的最大值為 ．
2.外心
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）點是平面外一點，且，則點在平面上的射影一定是的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
2．（2023·全國·高三專題練習）已知O為銳角三角形的外心，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（河南省名校青桐鳴2023屆高三3月聯考理科數學試題）已知點O為所在平面內一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
4．（廣東省佛山市第一中學2023屆高三4月一模數學試題）在中，設，那么動點的軌跡必通過的（ ）
A．垂心 B．內心 C．重心 D．外心
5．（山東省濱州市鄒平市第一中學2022-2023學年高三上學期期中考試數學試題）在中，內角所對的邊分別為，且，點為外心，則（ ）
A． B． C．10 D．20
6．（廣西南寧市第十九中學2023屆高三數學（文）信息卷（三）試題）的外心滿足，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．2
7．（重慶市2023屆高三第二次聯合診斷數學試題（康德卷））已知點是的外心，，，，若，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2020屆安徽省淮南市高三第一次模擬考試數學理科試題）在中，， ，點滿足，點為的外心，則的值為（ ）
A．17 B．10 C． D．
9．（2023·全國·高三專題練習）在中，，，，點為的外心，若，則（ ）
A． B． C． D．
10．（河北省邯鄲市部分學校2023屆高三下學期開學考試數學試題）已知O是的外心,且滿足,若在上的投影向量為,則（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全國·高三專題練習）在中，，為的外心，，，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
12．（2023·全國·高三專題練習）在中，是的外心 ，若，則（ ）
A． B．3 C．6 D．6
13．（福建省廈門第一中學2023屆高三下學期4月期中考試數學試題）已知平面向量 ，滿足，，點D滿足，E為的外心，則的值為（ ）
A． B． C． D．
14．（北京市八一學校2023屆高三模擬測試數學試題）已知O是的外心，外接圓半徑為2，且滿足，若在上的投影向量為，則（ ）
A． B． C．0 D．2
15．（安徽省黃山市2022-2023學年高三上學期第一次質量檢測數學試題）在中,,O是的外心,則的最大值為（ ）
A．1 B． C．3 D．
二、多選題
16．（2023春·江蘇南京·高三南京師范大學附屬中學江寧分校校聯考階段練習）設點是的外心，且，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若是正三角形，則
D．若，，，則四邊形的面積是
17．（2023秋·山西大同·高三統考階段練習）設為的外心，，，的角平分線交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023·廣東深圳·深圳中學校聯考模擬預測）已知的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知，，的面積S滿足，點O為的外心，滿足，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
19．（2023·河北·校聯考一模）已知O為的外心，若，且，則 .
20．（2023·河北·模擬預測）已知為的外心，，，則 ．
21．（2023·全國·高三專題練習）在中，為其外心，，若，則 ．
22．（2023·廣東廣州·廣州市第二中學校考模擬預測）已知O是的外心，，若且，則的面積為 .
23．（2023·海南省直轄縣級單位·校聯考一模）已知點O是銳角的外心，，，，若，則 ．
24．（2023·全國·高三專題練習）已知是的外心，且，則 ．
25．（2023·全國·高三專題練習）設為的外心，若，則的值為 .
3.內心
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）在中，，，，則直線通過的（ ）
A．垂心 B．外心 C．重心 D．內心
2．（安徽省淮南市2023屆高三上學期一模數學試題）在中，，點D，E分別在線段，上，且D為中點，，若，則直線經過的（ ）.
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
3．（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，，O為△ABC的內心，若，則x＋y的最大值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高三專題練習）在平面上有及內一點O滿足關系式：即稱為經典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現有則O為的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
5．（2023·全國·高三專題練面內及一點滿足，則點是的（ ）
A．重心 B．內心 C．外心 D．垂心
6．（山東省聊城市2021屆高三三模數學試題）在中，，，，M為BC中點，O為的內心，且，則（ ）
A． B． C． D．1
7．（2023·全國·高三專題練習）若O在△ABC所在的平面內，a，b，c是△ABC的三邊，滿足以下條件，則O是△ABC的（ ）
A．垂心 B．重心 C．內心 D．外心
8．（2023·全國·高三專題練習）在中，，動點M滿足，則直線AM一定經過的（ ）
A．垂心 B．內心 C．外心 D．重心
9．（2023·全國·高三專題練習）已知，為三角形所在平面上的一點，且點滿足：，則點為三角形的
A．外心 B．垂心 C．重心 D．內心
10．（2023·全國·高三專題練習）已知點O是ABC的內心，若，則cos∠BAC = （ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．（2023·全國·高三專題練習）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，設O為的內心，則的面積為 ．
12．（2023·天津·三模）設，，是的三個內角，的外心為，內心為．且與共線．若，則 ．
13．（2023·湖北·模擬預測）在中，，，，且，若為的內心，則 ．
14．（2023·全國·高三專題練習）已知G為的內心，且，則 ．
4.垂心
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面內一點，，，是平面內不共線的三點，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心
2．（2023·全國·高三專題練習）數學家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設點分別為任意的外心 重心 垂心，則下列各式一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中、、兩兩垂直，是在平面內的射影，則是的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
4．（2023·全國·高三專題練習）已知H為的垂心，，，M為邊BC的中點，則（ ）
A．20 B．10 C． D．
5．（2023·全國·高三專題練習）若為所在平面內一點，且則點是的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
6．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面上一定點，、、是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
7．（2023·全國·高三專題練習）已知H為的垂心，若，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全國·高三專題練習）設是所在平面上一點，點是的垂心，滿足，且，則角的大小是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全國·高三專題練習）已知為內任意一點，若滿足，則稱為的一個“優美點”．則下列結論中正確的有（ ）
①若，則點為的重心；
②若，，，則；
③若，則點為的垂心；
④若，，且為邊中點，則．
A．個 B．個 C．個 D．個
10．（2023·全國·高三專題練習）若是的垂心，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
11．（2023·全國·高三專題練習）對于給定的，其外心為O，重心為G，垂心為H，內心為Q，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．若A、P、Q三點共線，則存在實數使
12．（2023·全國·高三專題練習）點在所在的平面內，則以下說法正確的有（　　）
A．若，則點O為的重心
B．若，則點為的垂心
C．若，則點為的外心
D．若，則點為的內心
13．（2023春·遼寧·高三朝陽市第一高級中學校聯考階段練習）在所在的平面上存在一點，，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則點的軌跡不可能經過的外心
B．若，則點的軌跡不可能經過的垂心
C．若，則點的軌跡不可能經過的重心
D．若，，則點的軌跡一定過的外心
三、填空題
14．（2023·全國·高三專題練習）已知為的垂心（三角形的三條高線的交點），若，則 .
2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展13 三角形中的“四心”問題（精講+精練）
一、三角形的四心定義
外心：三角形三邊的垂直平分線的交點為三角形的外心，外心到三個頂點的距離相等；
內心：三角形三個角的角平分線的交點為三角形的內心，內心到三邊的距離相等；
重心：三角形三條中線的交點為三角形的重心，重心為中線的三等分點；
垂心：三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心；
二、三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點．
（2）重心的性質：
①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．
②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等．
重要結論：（1）設點是△所在平面內的一點，則當點是△的重心時，有或（其中為平面內任意一點）；
（2）在向量的坐標表示中，若、、、分別是三角形的重心和三個頂點，且分別為、
、，，則有.
三、三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
注：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經過三角形的三個頂點．
②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數個．
重要結論：若點是△的外心，則 或
；反之，若或
，則點是△的外心。
四、三角形的內切圓與內心
（1）內切圓的有關概念：
與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．
（2）三角形內心的性質：
三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．
重要結論：若點是△的內心，則有；反之，若，則點是△的內心．
五、垂心
三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心.
重要結論：若是△的垂心，則或
，反之，若或
，則是△的垂心．
【典例1】若為的重心（重心為三條中線交點），且，則___．
【答案】
【解析】在中，取中點，連接，由重心的性質可得為的三等分點，且，
又為的中點，所以，所以，所以.故答案為：
【典例2】已知點是的內心、外心、重心、垂心之一，且滿足，則點一定是的（ ）
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】設中點為，所以，
所以，
即，所以，
又由為中點可得點在的垂直平分線上，所以點是的外心，故選：B
【典例3】已知O是平面上的一個定點，A B C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】C
【解析】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，
則的方向與的角平分線一致，
由，可得，即，
所以點P的軌跡為的角平分線所在直線，故點P的軌跡一定經過的內心.故選：C.
【典例4】設為的外心，若，則是的（ ）
A．重心（三條中線交點） B．內心（三條角平分線交點）
C．垂心（三條高線交點） D．外心（三邊中垂線交點）
【答案】C
【解析】在中，為外心，可得，
∵，∴，設的中點為，則，，
∴，可得在邊的高線上．同理可證，在邊的高線上，
故是三角形兩高線的交點，可得是三角形的垂心，故選：C
【題型訓練-刷模擬】
1.重心
一、單選題
1．（四川省瀘州市瀘縣第五中學2023屆高三下學期二診模擬考試文科數學試題）已知△ABC的重心為O，則向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】△ABC的重心O為三角形三條中線的交點，為中線的三等分點，根據向量線性運算的幾何表示結合條件即得.
【詳解】設分別是的中點，
由于是三角形的重心，
所以.
故選：C.
2．（2023·全國·高三專題練習）O是平面內一定點，A，B，C是平面內不共線三點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．垂心 C．內心 D．重心
【答案】D
【分析】根據向量線性關系可得，結合的幾何意義判斷所過的點，即可得答案.
【詳解】由題設，
而所在直線過中點，即與邊上的中線重合，且，
所以P的軌跡一定通過的重心.
故選：D
3．（陜西省西安地區八校2023屆高三下學期第二次聯考文科數學試題）在中，設，，為的重心，則用向量和為基底表示向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出圖形，根據平面向量的線性運算即可求解.
【詳解】如圖，為的重心，延長交于點，
由題意可知，，
所以，
所以，
故選：A.
4．（2023·全國·高三專題練習）設為的重心，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的線性運算即可求解.
【詳解】因為為重心，
所以，
所以，
故選：B.
5．（2023·全國·高三專題練習）邊長為2的正中，G為重心，P為線段BC上一動點，則（ ）
A．1 B．2
C． D．
【答案】B
【分析】建立適當的直角坐標系，根據題意求出點和點的坐標，利用平面向量數量積的坐標運算即可求解.
【詳解】如圖：以所在直線為軸，線段的垂直平分線所在直線為軸，建立如圖所示直角坐標系，由題意可知：，
因為G為的重心，所以，
因為點為線段上一動點，設點，
所以，，則，
故選：．
6．（陜西省西安市長安區2023屆高三一模理科數學試題）在平行四邊形中，為的重心，，則（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】設與相交于點，根據為的重心，化簡得到，結合，求得和的值，即可求解.
【詳解】如圖所示，設與相交于點，由為的重心，
可得為的中點，且，
則，
因為，所以，故.
故選：A.
7．（福建省福州第一中學2023屆高三適應性考試（三）數學試題）在三棱錐P-ABC中，點O為△ABC的重心，點D，E，F分別為側棱PA，PB，PC的中點，若，，，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據空間向量的線性運算，結合重心的性質即可求解.
【詳解】取中點為，
三個式子相加可得,
又
,
故選：D

8．（2023·全國·高三專題練習）已知，，是不在同一直線上的三個點，是平面內一動點，若，，則點的軌跡一定過的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心
【答案】B
【分析】設出的中點，利用向量的運算法則化簡；據向量共線的充要條件得到在三角形的中線上，利用三角形的重心定義：三中線的交點，得到選項
【詳解】解：如圖，取的中點，連接，
則．又，
，即．
又，
點在射線上．
故的軌跡過的重心．
故選：B．
9．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設x＝，y＝，則的值為（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】A
【分析】由向量共線的推論知且，結合已知有，再由重心的性質有，根據平面向量基本定理列方程組即可求值.
【詳解】由題意且，而x＝，y＝，
所以，
又G是△ABC的重心，故，
所以，可得，即.
故選：A
10．（2023·全國·高三專題練習）O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：＝，則直線AP一定通過△ABC的（　　）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【分析】取線段BC的中點E，則．動點P滿足：，，則．即可判斷出結論．
【詳解】取線段BC的中點E，則．
動點P滿足：，，
則
則.
則直線AP一定通過△ABC的重心．
故選：C．
11．（江蘇省鹽城市2022-2023學年高三上學期11月模擬數學試題）在中，過重心E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點，設，，（，），則的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】先利用平面向量基本定理及三點共線得到，利用基本不等式“1的妙用”求出最小值.
【詳解】在中，E為重心，所以，
設，，（，）
所以，，所以.
因為M、E、N三點共線，所以，
所以（當且僅當，即，時取等號）．
故的最小值是3．
故選：C．
12．（重慶市第八中學校2023屆高三上學期高考適應性月考（二）數學試題）在中，，G為的重心，若，則外接圓的半徑為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先由條件判定△ABC為等邊三角形，再求得△ABC的邊長，利用正弦定理求△ABC外接圓的半徑即可解決.
【詳解】由，可得，則有，
又在中，，G為的重心，則為等邊三角形，
∵，則，
∴外接圓的半徑為
故選：C．
13．（2023·全國·高三專題練習）記內角的對邊分別為，點是的重心，若則的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平向向量的線性運算得到，再由直角三角形斜邊中線是斜邊的一半與三角形重心的性質求得，從而利用平面向量的數量積運算得到，結合余弦定理整理得，從而求得.
【詳解】依題意，作出圖形，
因為點是的重心，所以是的中點，故，
由已知得，
因為，所以，
又因為點是的重心，所以，則，
又因為，所以，則，
又由余弦定理得，所以，整理得，
因為，令，則，
所以，
則.
故選：D.
.
14．（吉林省吉林市2023屆高三第四次調研考試數學試題）點是的重心，，則（ ）
A．32 B．30 C．16 D．14
【答案】A
【分析】利用勾股定理和向量垂直數量積為0，列向量方程求解即可.
【詳解】記，
因為是的重心，
所以，，
因為
所以
整理得
所以，解得，即
故選：A
15．（貴州省畢節市2023屆高三診斷性考試（三）數學（文）試題）已知點G為三角形ABC的重心，且，當取最大值時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題設可得，結合，及余弦定理可得，根據基本不等式即可求解.
【詳解】由題意，所以，
即，所以，所以，
又，，
則，
所以，即，
由，，，
所以，
所以，當且僅當時等號成立，
又在上單調遞減，，
所以當取最大值時，.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：此題考查向量的數量積運算及余弦定理的應用，解題的關鍵是結合三角形重心的性質和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查轉化思想，屬于較難題.
二、多選題
16．（2023·全國·高三專題練習）已知為的重心，，，則的可能取值為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】CD
【分析】利用重心性質把用表示后平方求模，得出其取值范圍后可得正確選項．
【詳解】如圖，是的重心，記，
則，
，
又，即，所以，當且僅當時等號成立，
所以．即．只有CD滿足．
故選：CD．
17．（重慶市2023屆高三學業水平選擇性考試模擬調研（二）數學試題）如圖，是所在平面內任意一點，是的重心，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用平面向量的線性運算可判斷ABC選項；利用平面向量數量積的運算性質可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，由題意可知，、、分別為、、的中點，
所以，，
同理可得，，
所以，，A錯；
對于B選項，由重心的性質可知，，，
由A選項可知，，
所以，，B對；
對于C選項，由重心的性質可知，，，
所以，
，C對；
對于D選項，，
同理可得，，
因此，，D對.
故選：BCD.
18．（2023·全國·高三專題練習）已知的重心為，過點的直線與邊，的交點分別為，，若，且與的面積之比為，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】BD
【分析】設，利用重心的性質，把用、表示，再由，，三點共線得關于，的方程，再由三角形面積比得關于，的另一方程，聯立即可求得實數的值．
【詳解】解：如圖，，，即，設，則，
三點共線，，，
所以，與的面積之比為，， 即，化簡得，解得或3.
故選：BD
三、填空題
19．（山東省濟寧市育才中學2022-2023學年高三上學期10月月考數學試題）在中，為重心，，，則= .
【答案】
【分析】設中點為，根據向量線性表示可得，，然后根據向量數量積的運算律結合條件即得.
【詳解】設中點為，
為的重心且，
，，
因為，，
所以.
故答案為：.
20．（黑龍江省齊齊哈爾市2023屆高三二模數學試題）已知等邊的重心為O，邊長為3，則 .
【答案】
【分析】根據給定條件，利用正三角形的性質結合數量積的定義求解作答.
【詳解】在等邊中，延長交于，如圖，
因為為重心，則，，
所以.
故答案為：
21．（2023·全國·高三專題練習）已知的重心為G，經過點G的直線交AB于D，交AC于E，若，，則 .
【答案】3
【分析】先由向量的線性運算求得，再由G，D，E三點共線得，即可求得.
【詳解】
如圖，設F為BC的中點，則，又，，
則，又G，D，E三點共線，∴，即.
故答案為：3.
22．（2023·全國·高三專題練習）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若O為的重心，，，則 .
【答案】
【分析】根據及余弦定理建立方程得出，再由余弦定理求解即可．
【詳解】連接AO，延長AO交BC于D，
由題意得D為BC的中點，，所以，
因為，
所以，得.
故
故答案為：
23．（江蘇省南京市教學研究室2022屆高三下學期高考前輔導數學試題）在中，，，，為的重心，在邊上，且，則 ．
【答案】
【分析】根據為的重心，得到，再由和，利用等面積法求得，進而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐標原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，利用坐標法求解.
【詳解】解：因為為的重心，
所以，
因為，
所以，則，
因為，所以，
即，
所以，
在中，．
方法一：因為，
，
所以，
．
方法二：以坐標原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，
則，，
由方法一可知，，
所以．
24．（2023·全國·高三專題練習）設為的重心，若，則 ．
【答案】
【分析】注意到結論“為重心，則”，不妨創設條件：，則可得直角三角形，從而可得.
【詳解】因為為重心，則，
又因為，
不妨設，所以，
所以，所以，
所以
故答案為：.
25．（2023·全國·高三專題練習）若點為的重心，且，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】設中點為，連接，可得，，利用平面向量的加法和減法運算得出，，由此可得，化簡得出，利用余弦定理結合基本不等式可求得的最小值，進而可求得的最大值.
【詳解】設中點為，連接，角、、的對邊為、、，
，為的中點，所以，，
，即，
，，
可得，，
由余弦定理得，當且僅當時，等號成立，
所以，.
因此，的最大值為.
故答案為：.
【點睛】本題考查三角形中角的正弦值最值的計算，考查了平面向量數量積的應用，考查計算能力，屬于中等題.
2.外心
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）點是平面外一點，且，則點在平面上的射影一定是的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】過點作平面，因為，得到，即可求解.
【詳解】如圖所示，過點作平面，
可得，
因為，可得，
所以為的外心.
故選：A.
2．（2023·全國·高三專題練習）已知O為銳角三角形的外心，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據平面向量數量積的定義和運算運算性質，結合余弦的二倍角公式、三角形外心的性質進行求解即可.
【詳解】設銳角三角形的外接圓的半徑為，即，
，
，顯然是銳角，
因為O為銳角三角形的外心，所以O在銳角三角形內部，
由圓的性質可知：，顯然是銳角，
，或舍去，
故選：A
3．（河南省名校青桐鳴2023屆高三3月聯考理科數學試題）已知點O為所在平面內一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【分析】由，利用數量積的定義得到，從而得到點O在邊AB的中垂線上，同理得到點O在邊AC的中垂線上判斷.
【詳解】解：根據題意，，即，
所以，則向量在向量上的投影為的一半，
所以點O在邊AB的中垂線上，同理，點O在邊AC的中垂線上，
所以點O為該三角形的外心．
故選：B．
4．（廣東省佛山市第一中學2023屆高三4月一模數學試題）在中，設，那么動點的軌跡必通過的（ ）
A．垂心 B．內心 C．重心 D．外心
【答案】D
【分析】設線段的中點為，推導出，結合外心的定義可得出結論.
【詳解】設線段的中點為，則、互為相反向量，
所以，，
因為，即，
所以，，即，
即，即，
所以，垂直且平分線段，
因此動點的軌跡是的垂直平分線，必通過的外心.
故選：D.
5．（山東省濱州市鄒平市第一中學2022-2023學年高三上學期期中考試數學試題）在中，內角所對的邊分別為，且，點為外心，則（ ）
A． B． C．10 D．20
【答案】C
【分析】結合圖形，利用垂徑定理得到，再利用向量的線性運算及數量積運算即可求得結果.
【詳解】記的中點為，連結，如圖，
因為點為的外心，為的中點，所以，則，
所以.
故選：C.
6．（廣西南寧市第十九中學2023屆高三數學（文）信息卷（三）試題）的外心滿足，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】從這個條件可以考慮設的中點為，從而得到三點共線可求.
【詳解】設的中點為，則可化為
即為， 三點共線且，為等腰三角形，
由垂徑定理得，代入數據得,
解之：，.
故選：B.
7．（重慶市2023屆高三第二次聯合診斷數學試題（康德卷））已知點是的外心，，，，若，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】如圖，點O在、上的射影是點、，根據數量積的幾何意義求出、，再根據數量積的定義求出，最后根據數量積的運算律得到、的方程組，解得再代入計算可得.
【詳解】如圖，點O在、上的射影是點、，它們分別為、的中點．
由數量積的幾何意義，可得，．
又，所以，
又，
所以，即．
同理，即，解得．
所以．
故選：C.
8．（2020屆安徽省淮南市高三第一次模擬考試數學理科試題）在中，， ，點滿足，點為的外心，則的值為（ ）
A．17 B．10 C． D．
【答案】D
【解析】將用向量和表示出來，再代入得，，求出代入即可得出答案.
【詳解】取的中點，連接，
因為為的外心，，
，
，
，
同理可得，
故選：D.
【點睛】本題考查數量積的運算，關鍵是要找到一對合適的基底表示未知向量，是中檔題.
9．（2023·全國·高三專題練習）在中，，，，點為的外心，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，再求出，得到,（1），同理得到，（2），解之即得解.
【詳解】由題得,
由余弦定理得，
所以，
因為點為的外心，
所以,
所以,（1）
同理,（2）
解（1）（2）得.
故選：C
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是找到關于的方程，其中一個是根據平面向量的數量積定義得到方程，另外一個是平面向量的線性運算和數量積的運算得到方程.
10．（河北省邯鄲市部分學校2023屆高三下學期開學考試數學試題）已知O是的外心,且滿足,若在上的投影向量為,則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據得到點位置,進而得到是以A為直角頂點的直角三角形,過向作垂線,垂足為,連接,根據在上的投影向量為,找出之間等量關系,進而得到之間關系,根據直角三角形得到,在直角三角形中,即可求得.
【詳解】解:由題知,,
所以,
即,所以三點共線,且是的中點,
因為O是的外心,所以是圓的直徑,
故是以A為直角頂點的直角三角形,
過向作垂線,垂足為,連接,如圖所示:
因為在上的投影向量為,
所以在上的投影向量為:
,
而,
則.
故選:C.
11．（2023·全國·高三專題練習）在中，，為的外心，，，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】設的中點為D,E，將，變為，根據數量積的幾何意義可得，同理求得，根據數量積的定義即可求得答案.
【詳解】如圖，設的中點為D,E，連接OD,OE,則 ,
故，即 ,
即，故,
，即 ,
即，故,
故,
故選：B
12．（2023·全國·高三專題練習）在中，是的外心 ，若，則（ ）
A． B．3 C．6 D．6
【答案】C
【分析】取中點H，連接，由已知及正弦定理可求，，再根據平面向量的數量積運算求解即可．
【詳解】如圖，取中點H，連接，
則，，所以，
在中，，，由正弦定理得，
所以，
所以，
故選：C．
13．（福建省廈門第一中學2023屆高三下學期4月期中考試數學試題）已知平面向量 ，滿足，，點D滿足，E為的外心，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出，的夾角，作出平面直角坐標系，表達出各點的坐標，即可求出的值.
【詳解】由題意，，
∵，解得：，
∴兩向量夾角，
∵，
以為坐標原點, ,垂直于所在直線為,軸建立平面直角坐標系, 如圖所示,
則, 設, 由, 知,
解得,
∴
又E為的外心，
∴，
∴為等邊三角形,
∴，
∴,
∴.
故選：B.
14．（北京市八一學校2023屆高三模擬測試數學試題）已知O是的外心，外接圓半徑為2，且滿足，若在上的投影向量為，則（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】由已知可得且，根據已知投影向量可得，進而有，再由即可得求結果.
【詳解】由，故為中點，又O是的外心，
易知：，且，
由在上的投影向量，即，
所以，
由圖，.
故選：A
15．（安徽省黃山市2022-2023學年高三上學期第一次質量檢測數學試題）在中,,O是的外心,則的最大值為（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】取中點為,將寫為,展開后,將作為一組基底,將其他向量寫為的形式,再將三角形的邊和角代入,用余弦定理將邊角之間關系代入上式,再用正弦定理求出變量范圍,求出最大值即可.
【詳解】解:由題知,記的三邊為,
因為O是的外心,
記中點為,
則有,
所以
且,
所以
①,
在中,由余弦定理得:
,
即,
即,
代入①中可得:
,
在中,由正弦定理得:
,
所以,
所以,
當時取等,
故的最大值為3.
故選:C
二、多選題
16．（2023春·江蘇南京·高三南京師范大學附屬中學江寧分校校聯考階段練習）設點是的外心，且，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若是正三角形，則
D．若，，，則四邊形的面積是
【答案】ACD
【分析】分別根據平面向量三點共線定理及三角形外心的性質判斷即可求解.
【詳解】對選項A：因為，則，，三點共線，且點是的外心，
所以，所以為中點，所以是以為直角頂點的直角三角形，故A對；
對選項B：因為，則，，三點共線，
易知是以為直角頂點的直角三角形，且為的中點，則，，故B錯；
對選項C：因為是正三角形，故，則，故C對；
對選項D：因為，故在外，又，
所以，又，，則，故D對.
故選:：ACD.
17．（2023秋·山西大同·高三統考階段練習）設為的外心，，，的角平分線交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】對于A、B：根據題意結合正弦定理可得，結合平面向量的線性運算求；對于C、D：根據外心的性質結合平面向量的數量積運算求解.
【詳解】在中，有正弦定理可得，可得，
在中，有正弦定理可得，可得，
因為，，為的角平分線，
可知，
則，
可得，
所以，即，
可得，
故A正確，B錯誤；
分別取的中點，連接，可知，
因為為的外心，則，
，
所以，
故C正確；D錯誤.
故選：AC.

18．（2023·廣東深圳·深圳中學校聯考模擬預測）已知的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知，，的面積S滿足，點O為的外心，滿足，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】已知，結合余弦定理化簡求得，再利用三角形面積公式求出，即可判斷A；根據平面向量的混合運算法則，計算的值即可判斷B；先利用余弦定理求出a的值，再根據正弦定理即可判斷C；根據平面向量的混合運算法則，列方程組求出和的值，即可判斷D.
【詳解】解：對于A，已知，則，
由余弦定理可知，所以，即，
等號兩邊同時平方，可得，
則，即，
因為，所以，
則，即，
因為，則，
，A選項正確；
對于B，，
因為點O為的外心，所以，，
則，B選項正確；
對于C，由余弦定理，
由正弦定理，則，C選項錯誤；
對于D，因為，則，
即，所以①，
同理，
即，所以②，
聯立①②，解得，，D選項正確；
故選：ABD.
三、填空題
19．（2023·河北·校聯考一模）已知O為的外心，若，且，則 .
【答案】
【分析】由平面向量數量積公式進行求解.
【詳解】由圓的性質可得，，
故.
故答案為：
20．（2023·河北·模擬預測）已知為的外心，，，則 ．
【答案】
【分析】由題意畫圖，然后結合數量積的性質及運算求解即可.
【詳解】如圖：分別為的中點，則
故答案為：.
21．（2023·全國·高三專題練習）在中，為其外心，，若，則 ．
【答案】
【分析】設外接圓的半徑是，對兩邊同時平方，由數量積的公式可求出，設，則在等腰中，求出，再由求出答案.
【詳解】設外接圓的半徑是，
．
設，則在等腰中，．
所以．
故答案為：.
22．（2023·廣東廣州·廣州市第二中學校考模擬預測）已知O是的外心，，若且，則的面積為 .
【答案】或24
【分析】根據外心特點可知，，利用向量數量積的定義和運算律，結合可構造方程組求得，進而得到，利用三角形面積公式可求得結果.
【詳解】為的外心，，
，，
，
即；①
，
即；②
由得，③
把③代入①②得，解得或.
又，
當時，，；
當時，，.
故答案為：或24.
23．（2023·海南省直轄縣級單位·校聯考一模）已知點O是銳角的外心，，，，若，則 ．
【答案】
【分析】先應用外心是垂直平分線的交點,再應用數量積的幾何意義求得和列出方程組求解即可.
【詳解】如圖，點O在AB、AC上的射影是點D、E，它們分別為AB、AC的中點．
由數量積的幾何意義，可得，．
依題意有，即．
同理，即．
將兩式相加得，所以．
故答案為: .
24．（2023·全國·高三專題練習）已知是的外心，且，則 ．
【答案】
【分析】設外接圓半徑為1，通過移項平方解得，，，再求出，，，再利用向量夾角公式即可求解.
【詳解】，即，設，
兩邊同平方得，解得，
同理可得，，
，
，則，
，，
.
故答案為：.
25．（2023·全國·高三專題練習）設為的外心，若，則的值為 .
【答案】
【分析】設外接圓的半徑為，由已知條件可得，即且，取的中點，連接可得，計算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解.
【詳解】
設外接圓的半徑為，
因為，所以，
所以，且，
取的中點，連接，則，
因為，所以，即，
所以，
在中由余弦定理可得：
，
在中，由正弦定理可得：，
故答案為：.
3.內心
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）在中，，，，則直線通過的（ ）
A．垂心 B．外心 C．重心 D．內心
【答案】D
【分析】根據向量的加法的幾何意義，結合菱形的對角線為相應角的平分線，得到在的角平分線上，從而作出判定.
【詳解】因為,∴，
設,則，
又，
∴在的角平分線上，
由于三角形中,
故三角形的邊上的中線，高線，中垂線都不與的角平分線重合，
故經過三角形的內心，而不經過外心，重心，垂心，
故選D.
2．（安徽省淮南市2023屆高三上學期一模數學試題）在中，，點D，E分別在線段，上，且D為中點，，若，則直線經過的（ ）.
A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】根據題意，可得四邊形為菱形，即可得到平分，從而得到結果.
【詳解】
因為，且D為中點，，
則，
又因為，則可得四邊形為菱形，
即為菱形的對角線，
所以平分，即直線經過的內心
故選:A
3．（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，，O為△ABC的內心，若，則x＋y的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，根據三點共線可得，結合圖像分析運算．
【詳解】如圖：圓O在邊上的切點分別為，連接，延長交于點
設，則，則
設
∵三點共線，則，即
即
故選：D．
4．（2023·全國·高三專題練習）在平面上有及內一點O滿足關系式：即稱為經典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現有則O為的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】利用三角形面積公式，推出點O到三邊距離相等。
【詳解】記點O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內心.
故選：B
5．（2023·全國·高三專題練面內及一點滿足，則點是的（ ）
A．重心 B．內心 C．外心 D．垂心
【答案】B
【分析】由可得，，從而可知，是角平分線，即可得點的性質.
【詳解】解：由知，，
即，即 ，則是 的角平分線，
同理，即，則是的角平分線，
則點是的內心.
故選:B.
【點睛】本題考查了平面向量的數量積運算，考查了向量的夾角，考查了三角形的“三心”.本題的關鍵是結合數量積運算得到，.在三角形中，中線的交點為重心，角平分線的交點為內心，高的交點為垂心，三邊垂直平分線的交點為外心.
6．（山東省聊城市2021屆高三三模數學試題）在中，，，，M為BC中點，O為的內心，且，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】在直角三角形ABC中，求得內切圓半徑，用表示出，而，從而求得.
【詳解】由題知，，根據三角形面積與周長和內心的關系求得，內切圓半徑，四邊形AEOF為矩形，
則，又
則
則，則
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：求得內切圓半徑，得到，從而利用，求得參數值即可.
7．（2023·全國·高三專題練習）若O在△ABC所在的平面內，a，b，c是△ABC的三邊，滿足以下條件，則O是△ABC的（ ）
A．垂心 B．重心 C．內心 D．外心
【答案】C
【分析】由得，即可得平分，
同理證得平分，平分，即可得出答案.
【詳解】且，，
化簡得，設，又與分別為和方向上的單位向量，
平分，又共線，故平分，同理可得平分，平分，故O是△ABC的內心.
故選：C.
8．（2023·全國·高三專題練習）在中，，動點M滿足，則直線AM一定經過的（ ）
A．垂心 B．內心 C．外心 D．重心
【答案】B
【分析】延長AC，使得AC=CD，則，由，得，從而可得AM平分，即可得出結論.
【詳解】解：延長AC，使得AC=CD，
則，
因為，所以，
因為，所以，
所以是等腰三角形，
所以點M在BD的中垂線上，所以AM平分，
直線AM一定經過的內心.
故選：B.
9．（2023·全國·高三專題練習）已知，為三角形所在平面上的一點，且點滿足：，則點為三角形的
A．外心 B．垂心 C．重心 D．內心
【答案】D
【分析】在上分別取單位向量，記，則平分，用表示出，代入條件所給等式，用表示出，則可證明三點共線，即平分.同理證得在其它兩角的平分線上，由此求得是三角形的內心.
【詳解】在，上分別取點使得，則，作菱形，則由所以為的平分線.因為，所以，所以，所以三點共線，即在的平分線上. .同理證得在其它兩角的平分線上，由此求得是三角形的內心.，故選D.
【點睛】本小題主要考查平面向量的加法運算，考查三點共線的證明，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.
10．（2023·全國·高三專題練習）已知點O是ABC的內心，若，則cos∠BAC = （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，則四邊形為菱形，設該菱形的邊長為，則，表示出內切圓的半徑，根據等積法可以求出的長，然后轉化為等腰三角形處理即可
【詳解】解：由，設，則四邊形為平行四邊形，
因為點O是ABC的內心，所以，
所以四邊形為菱形，設該菱形的邊長為，則，
因為∥，，
所以的內切圓半徑，
所以，
所以，解得，
所以為等腰三角形，
所以，
故選：C
二、填空題
11．（2023·全國·高三專題練習）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，設O為的內心，則的面積為 ．
【答案】
【分析】通過正弦定理和余弦定理可得，通過三角形面積公式可得內接圓半徑為，進而可得結果.
【詳解】當時，由正弦定，可得，
結合，由余弦定理，解之得，
若O為的內心，則設的內接圓半徑為，
由，可得，，
故，∴，
∴，
故答案為：.
12．（2023·天津·三模）設，，是的三個內角，的外心為，內心為．且與共線．若，則 ．
【答案】2
【分析】由O，I分別是三角形的外心和內心，利用與共線得到線段的長度關系，用，表示出相應線段，得到等式.
【詳解】
設內切圓半徑為r，過O，I分別作BC的垂線，垂足分別為M，D，
則，，
因為與共線，所以，又因為，，
所以，
因為，所以，
即，所以.
故答案為：2
13．（2023·湖北·模擬預測）在中，，，，且，若為的內心，則 ．
【答案】
【分析】根據數量積的定義和三角形的面積公式和余弦定理求，證明為直角三角形，再求內切圓半徑，結合向量運算公式求.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
所以，又，，
所以，所以，
由余弦定理可得，又，
所以，又，所以，
所以為以為斜邊的直角三角形，
設的內切圓與邊相切于點，內切圓的半徑為，
由直角三角形的內切圓的性質可得，故，
因為，所以，
因為，所以，所以
所以.
故答案為：.
14．（2023·全國·高三專題練習）已知G為的內心，且，則 ．
【答案】/
【分析】本題利用結論得，結合本題的條件與正弦定理得，即，同理得到另外兩角相等，則得到的大小.
【詳解】首先我們證明一個結論：
已知是所在平面上的一點，,,為的三邊長，若,則是的內心.
證明:,
則,
等式兩邊同時除以得，
，
表示方向上的單位向量，同理表示方向上的單位向量，則由平行四邊形定則可知表示的角平分線方向上的向量，
則為的角平分線，同理、分別為的角平分線，所以是的內心.
于是我們得到本題的一個結論．
又∵，
∴由正弦定理與題目條件可知．
由可得，
可得，同理可得，即．
故答案為：.
【點睛】結論點睛：三角形四心與向量的關系結論：
重心：1.已知是所在平面上的一點，若,則是的重心.
2.已知是所在平面上的一點，若,則是的重心.
垂心：1.已知是所在平面上的一點，若,則是的垂心.
2.已知是所在平面上的一點，若
則是的垂心.
內心：本題中的結論.
外心：1.已知是所在平面上的一點，若,則是的外心.
2.已知是所在平面上的一點，若
,則是的外心.
4.垂心
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面內一點，，，是平面內不共線的三點，若，一定是的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心
【答案】C
【分析】結合向量數量積的運算求得正確答案.
【詳解】由題意知，中，，
則，
即，
所以，
即，
同理，，；
所以是的垂心.
故選：C
2．（2023·全國·高三專題練習）數學家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設點分別為任意的外心 重心 垂心，則下列各式一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據三點共線和長度關系可知AB正誤；利用向量的線性運算可表示出，知CD正誤.
【詳解】
依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，，，，A錯誤，B錯誤；
，C錯誤；
，D正確.
故選：D.
3．（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中、、兩兩垂直，是在平面內的射影，則是的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】連接，利用線面垂直的判定定理和性質定理可以得到，，進而得點是垂心.
【詳解】解：連接，
點是在平面內的射影，面，
面，，
∵、、兩兩垂直，∴，
∵平面，平面，
∴平面，平面，
∵平面，平面，
∴，
面，面，
面，面，
面，面，
；
∴是△的高線的交點，記為垂心．
故選：D

4．（2023·全國·高三專題練習）已知H為的垂心，，，M為邊BC的中點，則（ ）
A．20 B．10 C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的線性運算，，，而，代入計算即可．
【詳解】由題意，，，
．
故選：B．
【點睛】本題考查平面向量的數量積，解題關鍵是利用向量加減法法則得到，由，這樣＝，這兩個向量都可以用表示，這就與已知條件建立了聯系．
5．（2023·全國·高三專題練習）若為所在平面內一點，且則點是的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】D
【分析】由得到，從而得到，同理證明即可.
【詳解】，
得，即；
，
得，即；
，
，即，所以為的垂心.
故選：D.
6．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面上一定點，、、是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】D
【分析】計算的值，可得出結論.
【詳解】因為，
，
，因此，點的軌跡經過的垂心，
故選：D.
7．（2023·全國·高三專題練習）已知H為的垂心，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】，，利用、得，，解得， 再利用平方共線可得答案.
【詳解】依題意，，同理．
由H為△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，
即，解得，
，又，
所以．
故選：C．
8．（2023·全國·高三專題練習）設是所在平面上一點，點是的垂心，滿足，且，則角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量的減法運算可得，從而可得，設點是邊的中點，即，進而點在邊的中垂線上，即點是的外心，利用向量的數量積求出的值，從而可得角的大小.
【詳解】因為，所以，
即，，
即（點是邊的中點），所以點在邊的中垂線上.
同理點在邊的中垂線上.因此點是的外心.
設外接圓的半徑是.
.
故選：D
【點睛】本題考查了向量的減法、向量的加法以及向量數量積的定義，屬于中檔題.
9．（2023·全國·高三專題練習）已知為內任意一點，若滿足，則稱為的一個“優美點”．則下列結論中正確的有（ ）
①若，則點為的重心；
②若，，，則；
③若，則點為的垂心；
④若，，且為邊中點，則．
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】D
【分析】設中點為，由已知等式可得，由重心性質可知①正確；取中點，中點，由已知等式可得，則可得與到直線距離之比，由此可知②正確；由可得，即，同理得，，由垂心定義知③正確；由已知等式可得，由此知④正確.
【詳解】對于①，當時，；
設中點為，則，即，
為的重心，①正確；
對于②，當，，時，，，
取中點，中點，
，，，即，
到直線距離與到直線距離之比為：，即；
又為中點，點到直線距離，，
，即，②正確；
對于③，由得：，
，同理可得：，，
為的垂心，③正確；
對于④，當，，時，，，
又為邊中點，，
又，，，④正確.
故選：D.
10．（2023·全國·高三專題練習）若是的垂心，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用垂心的性質，連接并延長交于，得到，把已知條件中的式子化簡，得到，再兩邊同乘以，利用數量積、正弦定理進行整理化簡，得到，再把化為，整理后得到值.
【詳解】在中，，
由，
得，
連接并延長交于，
因為是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因為，所以，
由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，
而，所以得到，
故選：C.
二、多選題
11．（2023·全國·高三專題練習）對于給定的，其外心為O，重心為G，垂心為H，內心為Q，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．若A、P、Q三點共線，則存在實數使
【答案】BCD
【分析】直接利用三角形的內心，外心，垂心，重心的相關關系，向量的線性運算的應用判斷A、B、C、D的結論．
【詳解】解：對于A：給定的，其外心為，所以，故A不正確；
對于B：因為為給定的的垂心，故，
即,
解得：,故B正確；
對于C：因為重心為G，則有，，所以，故C正確；
對于D：由于點在的平分線上，為單位向量，所以與的平分線對應向量共線，所以存在實數使，故D正確．
故選：BCD．
12．（2023·全國·高三專題練習）點在所在的平面內，則以下說法正確的有（　　）
A．若，則點O為的重心
B．若，則點為的垂心
C．若，則點為的外心
D．若，則點為的內心
【答案】AC
【分析】運用平面向量共線向量定理即可判斷A選項，對于其它選項運用平面向量數量積的運算律及性質逐一判斷即可.
【詳解】對于A，設邊、、的中點分別為、、
,則，所以
所以、、三點共線，即點在中線上，同理點在中線上，
則是的重心.故A正確
對于B，若，則，所以
所以為的外心，故B錯誤
對于C，設邊、、的中點分別為點、、，
則,所以為線段的中垂線，
同理、分別為線段、的中垂線，所以是的外心，故C正確
對于D，由已知，，
即垂直，也即點在邊的高上；同理，點也在邊的高上，
所以則是的垂心，故D錯誤.
故選：AC
13．（2023春·遼寧·高三朝陽市第一高級中學校聯考階段練習）在所在的平面上存在一點，，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則點的軌跡不可能經過的外心
B．若，則點的軌跡不可能經過的垂心
C．若，則點的軌跡不可能經過的重心
D．若，，則點的軌跡一定過的外心
【答案】ABD
【分析】由，結合向量共線的推論判斷的軌跡，討論形狀判斷A、B正誤；根據重心的性質得判斷C；根據題設確定，，點的軌跡，討論形狀判斷D.
【詳解】若，根據向量共線的推論知：共線，即在直線上，
中，則的中點為三角形外心，故有可能為外心，A錯；
中或，則或為三角形垂心，故有可能為垂心，B錯；
若為的重心，必有，此時，C對；
若，，結合，則點在一個以AB、AC為鄰邊的平行四邊形內（含邊界），
為銳角三角形，其外心在內，則必過外心；
為直角三角形，其外心為斜邊中點，則必過外心；
為鈍角三角形且，其外心在外，即邊的另一側，
如下圖示，點在平行四邊形內（含邊界），
此時，當外心在內（含邊界），則必過外心；當外心在外（如下圖為的中垂線），則不過外心；
所以，，，的軌跡不一定過的外心，D錯.
故選：ABD
三、填空題
14．（2023·全國·高三專題練習）已知為的垂心（三角形的三條高線的交點），若，則 .
【答案】
【分析】由題可得，，利用，得，，可得， 再利用平方關系結合條件即得.
【詳解】因為，
所以，同理，
由H為△ABC的垂心，得，即，
可知，即，
同理有，即，可知，即，
所以， ，又，
所以．
故答案為：.
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