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2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展21 數列中的結構不良問題（精講+精練）
一、數列中的結構不良問題
1．“結構不良問題”：題目所給的三個可選擇的條件是平行的，即無論選擇哪個條件，都可解答題目，而且，在選擇的三個條件中，并沒有哪個條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴謹、過程規范，都會得滿分．
2．數列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數列，利用公式法直接求和；
（2）對于型數列，其中是等差數列，是等比數列，利用錯位相減法求和；
（3）對于型數列，利用分組求和法；
（4）對于型數列，其中是公差為的等差數列，利用裂項相消法求和．
3．常見的裂項公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【典例1】（2021·全國·統考高考真題）已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①數列是等差數列：②數列是等差數列；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．
【詳解】選①②作條件證明③：
[方法一]：待定系數法+與關系式
設，則，
當時，；
當時，；
因為也是等差數列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系數法
設等差數列的公差為d，等差數列的公差為，
則，將代入，
化簡得對于恒成立．
則有，解得．所以．
選①③作條件證明②：
因為，是等差數列，
所以公差，
所以，即，
因為，
所以是等差數列.
選②③作條件證明①：
[方法一]：定義法
設，則，
當時，；
當時，；
因為，所以，解得或；
當時，，當時，滿足等差數列的定義，此時為等差數列；
當時，，不合題意，舍去.
綜上可知為等差數列.
[方法二]【最優解】：求解通項公式
因為，所以，，因為也為等差數列，所以公差，所以，故，當時，，當時，滿足上式，故的通項公式為，所以，，符合題意.
【題型訓練-刷模擬】
一、解答題
1．（2023春·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知公差為正數的等差數列的前項和為，________．請從以下二個條件中任選一個，補充在題干的橫線上，并解答下列問題：①成等比數列，②．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
2．（2023春·江蘇宿遷·高三江蘇省泗陽中學校考階段練習）設為等差數列的前n項和，是正項等比數列，且.在①，②，③這三個條件中任選一個，回答下列問題：
(1)求數列和的通項公式；
(2)如果，寫出的關系式，并求的值.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
3．（2023·全國·高三專題練習）在①a4是a3與a5﹣8的等差中項；②S2，S3+4，S4成等差數列中任選一個，補充在下列橫線上，并解答．
在公比為2的等比數列{an}中，Sn為數列{an}的前n項和，若_____．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和Tn．
4．（2023秋·河南·高三安陽一中校聯考階段練習）已知數列的前項和為，，且．
(1)證明：數列為等差數列；
(2)選取數列的第項構造一個新的數列，求的前項和．
5．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考階段練習）在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答所給問題.已知數列的前n項和為Sn，且滿足 .
(1)求與；
(2)記，求數列的前n項和Tn.
6．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前項和為，且， .請在①；②成等比數列；③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，記數列的前項和為，求證：．
7．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前項和為，且，________________．請在①；②，，成等比數列；③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
8．（2023·全國·高三專題練習）設數列是等比數列，其前項和為
(1)從下面兩個條件中任選一個作為已知條件，求的通項公式；
①；②；
(2)在（1）的條件下，若，求數列的前項和
9．（2023·全國·高三專題練習）從①；②；③三個選項中，任選一個填入下列空白處，并求解.已知數列，滿足，且，，______，求數列的前項和.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
10．（2023·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學校校考一模）已知數列 的前 項和為 ， 且 ， __________．請在 成等比數列; ， 這三個條件中任選一個補充在上面題干中， 并解答下面問題．
(1)求數列 的通項公式;
(2)設數列 的前 項和 ， 求證： ．
11．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學校考期末）在①；②；③，，三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．
已知正項數列的前n項和為，且______，
(1)求數列的通項公式；
(2)設，若數列滿足，求證：．
12．（2023·全國·高三專題練習）設首項為2的數列的前n項和為，前n項積為，且滿足______________．
條件①：；條件②：；條件③：．
請在以上三個條件中，選擇一個補充在上面的橫線處，并解答以下問題：
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．）
(1)求數列的通項公式；
(2)求證：數列的前n項和．
參考公式：．
13．（2023秋·湖北·高三湖北省云夢縣第一中學校聯考期末）已知數列的前n項和為，且，___________．請在①；②成等比數列；③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．.
14．（2023·全國·高三專題練習）在①；②，；③，.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整后的題目.
問題:已知為等差數列的前項和，若__________.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
15．（2023·全國·高三專題練習）在①數列的前n項和；②且，，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并求解：
(1)已知數列滿足__________，求的通項公式；
(2)已知正項等比數列滿足，，求數列的前n項和．
16．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的首項為1，前項和為，且滿足______.
①，；②；③.
從上述三個條件中選一個填在橫線上，并解決以下問題：
(1)求；
(2)求數列的前項和.
17．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知等差數列的前n項和為，，．
(1)求與；
(2)在下列兩個條件中選一個，求數列的前30項和．
①；②．
注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
18．（2023春·江蘇鹽城·高三校考階段練習）已知數列的前n項和為
(1)求數列的通項公式；
(2)令①；②；③從上面三個條件中任選一個，求數列的前項和注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
19．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列的前n項和為，若，且________．在①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并解答．
（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分）
(1)求的通項公式；
(2)設，求的前n項和．
20．（2023春·廣東惠州·高三校考階段練習）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．
問題：已知等差數列為其前n項和，若______________．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求證：數列的前n項和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
21．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，數列為等比數列且公比，滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)數列的前n項和為，若________，記數列滿足，求數列的前項和．
在①，②，，成等差數列，③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并對其求解．
注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
22．（2023春·四川·高三校聯考階段練習）在①，②這兩個條件中選一個合適的補充在下面的橫線上，使得問題可以解答，并寫出完整的解答過程.
問題：在各項均為整數的等差數列中，，公差為，且______.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和.
23．（2023·全國·高三專題練習）設等差數列的前項和為，已知，.
(1)求數列的通項公式及；
(2)若___________，求數列的前項和.
在①；②；③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并對其求解.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
24．（2023·全國·模擬預測）記公差為1的等差數列的前項和為，______．從下面①②③三個條件中任選一個補充在上面問題中的橫線處并作答．
①；②；③，，成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
25．（2023·河北衡水·河北衡水中學校考模擬預測）已知是首項為1的等差數列，公差是首項為2的等比數列，．
(1)求的通項公式；
(2)若數列的第項，滿足__________（在①②中任選一個條件），，則將其去掉，數列剩余的各項按原順序組成一個新的數列，求的前20項和．
①②．
26．（2023·全國·高三專題練習）已知公差為正數的等差數列中，，，構成等比數列，是其前項和，滿足.
(1)求數列的通項公式及前項和；
(2)若_________，求數列的前項和.
在①，②，③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
27．（2023·陜西漢中·高三西鄉縣第一中學校考階段練習）已知數列是公差不為零的等差數列，且，，成等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列的前n項和為，在①，； ②，；③，；這三個條件中任選一個，將序號補充在下面橫線處，并根據題意解決問題.問題：若，且______，求數列的前n項和.
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.）
28．（2023·全國·高三專題練習）已知數列，滿足：，，.
(1)求證：數列是等比數列；
(2)若___________（從下列三個條件中任選一個），求數列的前項和.①；②；③.
29．（2023·四川成都·成都實外校考模擬預測）數列的前n項和為滿足，已知．
(1)求；
(2)在①；②這兩個條件中任選一個作為條件，求數列的前n項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
30．（2023春·四川南充·高三閬中中學校考階段練習）已知等差數列與正項等比數列滿足，且，，既是等差數列，又是等比數列．
(1)求數列和的通項公式．
(2)在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成求解．若__，求數列的前項和．
31．（2023春·廣西·高三校聯考階段練習）已知數列的前項和為，在①且；②；③且，，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并求解：
(1)已知數列滿足______，求的通項公式；
(2)已知正項等比數列滿足，，求數列的前項和．
32．（2023·江西南昌·校聯考模擬預測）在①為等差數列，；②；③是等差數列，，，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.已知數列的前項和為，__________.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展21 數列中的結構不良問題（精講+精練）
一、數列中的結構不良問題
1．“結構不良問題”：題目所給的三個可選擇的條件是平行的，即無論選擇哪個條件，都可解答題目，而且，在選擇的三個條件中，并沒有哪個條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴謹、過程規范，都會得滿分．
2．數列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數列，利用公式法直接求和；
（2）對于型數列，其中是等差數列，是等比數列，利用錯位相減法求和；
（3）對于型數列，利用分組求和法；
（4）對于型數列，其中是公差為的等差數列，利用裂項相消法求和．
3．常見的裂項公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【典例1】（2021·全國·統考高考真題）已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①數列是等差數列：②數列是等差數列；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．
【詳解】選①②作條件證明③：
[方法一]：待定系數法+與關系式
設，則，
當時，；
當時，；
因為也是等差數列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系數法
設等差數列的公差為d，等差數列的公差為，
則，將代入，
化簡得對于恒成立．
則有，解得．所以．
選①③作條件證明②：
因為，是等差數列，
所以公差，
所以，即，
因為，
所以是等差數列.
選②③作條件證明①：
[方法一]：定義法
設，則，
當時，；
當時，；
因為，所以，解得或；
當時，，當時，滿足等差數列的定義，此時為等差數列；
當時，，不合題意，舍去.
綜上可知為等差數列.
[方法二]【最優解】：求解通項公式
因為，所以，，因為也為等差數列，所以公差，所以，故，當時，，當時，滿足上式，故的通項公式為，所以，，符合題意.
【題型訓練-刷模擬】
一、解答題
1．（2023春·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知公差為正數的等差數列的前項和為，________．請從以下二個條件中任選一個，補充在題干的橫線上，并解答下列問題：①成等比數列，②．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先設等差數列的公差為，再根據等差數列的求和公式和等比中項的性質，根據條件①②分別列出關于首項與公差的方程，解出的值，即可計算出數列的通項公式；
（2）先根據第（1）題的結果計算出數列的通項公式，再運用裂項相消法即可計算出前項和．
【詳解】（1）由題意，設等差數列的公差為，
方案一：選擇條件①
，
根據成等比數列得,代入得，又，
化簡整理，可得，
由于，所以 ，
，．
方案二：選擇條件②
由，可得，又，
解得，
，
（2）由（1）可得，
則
．
2．（2023春·江蘇宿遷·高三江蘇省泗陽中學校考階段練習）設為等差數列的前n項和，是正項等比數列，且.在①，②，③這三個條件中任選一個，回答下列問題：
(1)求數列和的通項公式；
(2)如果，寫出的關系式，并求的值.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，根據所選條件得到方程，求出、，即可求出通項公式；
（2）由（1）可得，即可得到、的關系，從而得到，再利用分組求和法及等比數列求和公式計算可得.
【詳解】（1）若選①，，
設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
則，解得或（舍去），
則，.
若選②，，
設等差數列的公差為，等比數的公比為.
因為，所以，解得，
所以.
又因為，所以，
解得，所以.
若選③，，
設等差數列的公差為，等比數列的公比為.
因為，
則，解得，
則，.
（2）因為，
所以，即，即，
所以
.
3．（2023·全國·高三專題練習）在①a4是a3與a5﹣8的等差中項；②S2，S3+4，S4成等差數列中任選一個，補充在下列橫線上，并解答．
在公比為2的等比數列{an}中，Sn為數列{an}的前n項和，若_____．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和Tn．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）選①利用等差中項公式與等比通項公式可求解；選②利用等差中項公式與等比求和公式可求解；
（2）求出的通項結合裂項法求和即可．
（1）選①：因為a3，a4，a5﹣8成等差數列，
所以2a4＝a3+a5﹣8，
所以，
解得，
所以．
選②：因為S2，S3+4，S4成等差數列，
所以2（S3+4）＝S2+S4，
即
所以，
解得，
所以；
（2）因為，
所以
所以
所以
4．（2023秋·河南·高三安陽一中校聯考階段練習）已知數列的前項和為，，且．
(1)證明：數列為等差數列；
(2)選取數列的第項構造一個新的數列，求的前項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據等差數列的定義證明即可；
（2）先求得的通項公式，再結合等比數列的求和公式求得．
【詳解】（1）解：證明：∵ ，
∴ 由已知得，
即．
∴ 數列是以2為公差的等差數列．
（2）解：由（1）知數列是以2為公差的等差數列，
又，首項為，
，
．
．
．
5．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考階段練習）在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答所給問題.已知數列的前n項和為Sn，且滿足 .
(1)求與；
(2)記，求數列的前n項和Tn.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據與的關系，逐個條件進行列方程，計算求解即可.
（2）利用錯位相減法進行計算求解即可.
【詳解】（1）選①，由①得，，時，，得；
時，，得，故為首項是，公比是的等比數列，；.
選②，由②得，，得，
時，；
時，，整理得，
，故為等比數列，首項為，公比，故，
.
選③，，則，，
則，得，故為等比數列，首項為，公比，故，
.
（2）根據題意，，得
，
，
兩式相減，得
，
，
6．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前項和為，且， .請在①；②成等比數列；③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，記數列的前項和為，求證：．
【答案】(1)詳見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）選取一個條件利用等差等比數列的相關知識通過公式法即可求得通項公式.
（2）利用放縮和裂項相消即可證明不等式.
【詳解】（1）由已知，所以
所以數列是等差數列，公差，
若選①
又因為，所以，
解得，所以.
若選②
又因為成等比數列，所以
所以，解得
所以.
若選③
又因為，所以
解得，所以
（2）因為，由（1）知，，所以
所以，所以
所以
又因為，所以
7．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前項和為，且，________________．請在①；②，，成等比數列；③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）確定數列是首項為，公差為1的等差數列，利用等差數列和等比數列公式分別計算三種情況得到答案.
（2）確定，再利用錯位相減法計算得到答案.
【詳解】（1），所以，即，
所以數列是首項為，公差為1的等差數列．
若選①：由，得，即，
所以，解得．所以，
即數列的通項公式為．
若選②：由，，成等比數列，得，
則，所以，所以．
若選③：因為，所以，所以，
所以．
（2），則，
則，，
兩式相減得：，
故．
8．（2023·全國·高三專題練習）設數列是等比數列，其前項和為
(1)從下面兩個條件中任選一個作為已知條件，求的通項公式；
①；②；
(2)在（1）的條件下，若，求數列的前項和
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）設等比數列的公比為若選①，根據求解即可；若選②，根據兩式相減可得公比，再代入求得即可；
（2）代入（1）中可得，再根據等比數列的前項和公式求解即可
【詳解】（1）設等比數列的公比為，，
若選①，，，
時，，
可得，，
所以；
若選②，，所以，
可得，所以，，；
（2），，所以，
所以是公比為首項為的等比數列，
故.
9．（2023·全國·高三專題練習）從①；②；③三個選項中，任選一個填入下列空白處，并求解.已知數列，滿足，且，，______，求數列的前項和.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】選①，選②，選③
【分析】先根據遞推公式可得，進而得到.選①：化簡可得，直接可得；選②：化簡可得，再代入裂項求和即可；選③：，錯位相減求和即可.
【詳解】因為，所以，
又因為，所以，所以，.
選①：，
所以，
選②：，
所以，
選③：，所以，
，
兩式相減，可得
10．（2023·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學校校考一模）已知數列 的前 項和為 ， 且 ， __________．請在 成等比數列; ， 這三個條件中任選一個補充在上面題干中， 并解答下面問題．
(1)求數列 的通項公式;
(2)設數列 的前 項和 ， 求證： ．
【答案】(1)任選一條件，都有 ；
(2)證明見解析
【分析】（1）根據得到數列 是首項為 ， 公差為 1 的等差數列，然后利用等差數列的通項公式或前項和公式列方程求解即可；
（2）利用錯位相減法得到，即可得到，然后根據得到數列是遞增數列，即可得到.
【詳解】（1）因為， 所以 ， 即 ，
所以數列 是首項為 ， 公差為 1 的等差數列， 其公差 ．
若選，
由， 得 ， 即，
所以， 解得 ，
所以， 即數列 的通項公式為；
若選，，成等比數列，
由，，成等比數列， 得 ，
則， 所以 ， 所以；
若選，
因為，所以 ， 所以 ，
所以.
（2）由題可知，所以，
，
兩式相減得
，
所以，
所以，又，
所以數列是遞增數列，，故.
11．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學校考期末）在①；②；③，，三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答．注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．
已知正項數列的前n項和為，且______，
(1)求數列的通項公式；
(2)設，若數列滿足，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）選擇條件①，因式分解計算可得，再根據與的關系結合相減法即可求解數列的通項公式；選擇條件②，直接根據與的關系結合相減法，可得遞推關系式，確定列是等差數列，按照等差數列通項公式即可得；選擇條件③，利用累乘法求解，再根據與的關系結合相減法即可求解數列的通項公式；
（2）由（1）得，則，直接按照裂項相消法求和即可證明不等式.
【詳解】（1）解：選擇條件①，因為，所以，
因為，所以，則，
當時，，
所以兩式相減得：，即，則，
當時，，所以符合上式，
所以；
選擇條件②，因為，
當時，，
所以兩式相減得：，整理得，
因為，所以，
當時，，所以或（舍），
所以數列是以為首項，為公差的等差數列，則；
選擇條件③，因為，所以，
累乘得：，，
所以，，又符合式子，所以，，
當時，，
所以兩式相減得：，即，
又符合上式，所以；
（2）由（1）得：，則，
所以
.
12．（2023·全國·高三專題練習）設首項為2的數列的前n項和為，前n項積為，且滿足______________．
條件①：；條件②：；條件③：．
請在以上三個條件中，選擇一個補充在上面的橫線處，并解答以下問題：
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．）
(1)求數列的通項公式；
(2)求證：數列的前n項和．
參考公式：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】(1)選擇①，由條件證明為等差數列，結合等差數列通項公式求的通項公式；
選擇②，由條件，結合關系，證明，利用累乘法求數列的通項公式；
選擇③，先證明，由此得為常數，再求數列的通項公式；
(2)求，利用裂項相消法求，由此完成證明.
【詳解】（1）若選擇條件①：因為，所以，又，
所以數列是首項為2，公差為1的等差數列．
所以，所以．
若選擇條件②：因為，所以．
當時，，整理得，，
所以，
累乘得，，
當時，，符合上式，
所以．
若選擇條件③：因為，所以，即，
所以，所以數列為常數列，
又，所以，即．
（2）由（1）知：，結合參考公式可得
所以
所以
.
13．（2023秋·湖北·高三湖北省云夢縣第一中學校聯考期末）已知數列的前n項和為，且，___________．請在①；②成等比數列；③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】首先由，可得為首項為，公差為1的等差數列.
對于（1），當選①②時，代入，可得數列的通項公式，若選③，
由可得數列的通項公式；
對于（2），由（1）可知，則，后利用錯位相減法可得答案.
【詳解】（1），所以，即，
所以數列是首項為，公差為1的等差數列．
若選①：由，得，即，
解得．所以，即數列的通項公式為，．
若選②：由成等比數列，得，
解得，所以，．
若選③：因為，解得，
所以，．
（2），則，
則，，
兩式相減得：，
故，．
14．（2023·全國·高三專題練習）在①；②，；③，.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整后的題目.
問題:已知為等差數列的前項和，若__________.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①，利用與關系可推導得到；若選②，利用等差數列通項公式可構造方程求得公差，進而得到；若選③，利用等差數列求和公式可構造方程求得公差，進而利用等差數列通項公式求得；
（2）由（1）可得，采用裂項相消法可求得.
【詳解】（1）若選條件①，當時，；
當且時，；
經檢驗：滿足；
；
若選條件②，設等差數列的公差為，則，
解得：，；
若選條件③，設等差數列的公差為，則，
解得：，.
（2）由（1）得：，
.
15．（2023·全國·高三專題練習）在①數列的前n項和；②且，，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并求解：
(1)已知數列滿足__________，求的通項公式；
(2)已知正項等比數列滿足，，求數列的前n項和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）若選①，時，利用和的關系可求出，檢驗即可得出答案；若選②，由已知可推得是等差數列，根據已知求出公差，即可得出的通項公式；
（2）由（1）知，進而根據已知可得，.代入整理裂項可得 ，求和即可得出結果.
【詳解】（1）若選①：數列的前n項和.
當時，，
當時，，上式仍成立，
∴的通項公式為．
若選②：且，.
由可得，所以是和的等差中項，
所以是等差數列.
設公差為，則由，可得，所以.
所以的通項公式為．
（2）解：設的公比為.
由（1）知，
又，所以，
即，又，所以，
所以，的通項公式為.
則，
所以．
16．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的首項為1，前項和為，且滿足______.
①，；②；③.
從上述三個條件中選一個填在橫線上，并解決以下問題：
(1)求；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當選①時，分為奇數，偶數時，分別計算即可得到結果；當選②時，根據與的關系，即可得到結果；當選③時，根據條件得到是常數數列，從而得到結果；
（2）根據題意，由裂項相消法即可得到結果.
【詳解】（1）選①
因為，所以當為奇數時，；
同理，當為偶數時，.
所以.
選②
因為，（*）所以當時，，（**）
（*）-（**），得，即，
所以數列是首項為1的常數列，
所以.
選③
因為，所以，所以數列是首項為的常數列，
所以，所以當時，.
當時，也符合上式.所以.
（2）由（1）得，，
所以
17．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知等差數列的前n項和為，，．
(1)求與；
(2)在下列兩個條件中選一個，求數列的前30項和．
①；②．
注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)選①，；選②，.
【分析】（1）由條件得出與d的方程組求解，即可由公式法得出結果；
（2）①由裂項相消法求和，②由分組求和法求和.
【詳解】（1）由得①，
由得②，
聯立①②解得，∴；
（2）選①，，
∴數列的前30項和；
選②，，
∴數列的前30項和；
18．（2023春·江蘇鹽城·高三校考階段練習）已知數列的前n項和為
(1)求數列的通項公式；
(2)令①；②；③從上面三個條件中任選一個，求數列的前項和注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】(1)根據的關系求通項公式；
(2)選①，利用錯位相減法求和，選②，利用裂項相消求和，選③，利用并項求和以及等差數列前項和公式.
【詳解】（1），
兩式相減得，
數列是以2為首項，2為公比的等比數列，
；
（2）由（1）可知，
若選①：，
.
兩式相減得：，
所以.
若選②：
.
若選③：
當為偶數時，
當為奇數時，.
綜上得：.
19．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列的前n項和為，若，且________．在①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并解答．
（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分）
(1)求的通項公式；
(2)設，求的前n項和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根據等差數列的通項公式與前和公式結合已知條件求出首項和公差，進而即可求出通項公式；
(2)由(1)得，再利用分組求和法即可求得.
【詳解】（1）設等差數列的首項為，公差為d，
若選擇條件①，
由題可得，解得，
若選擇條件②，
由題可得，解得，
.
（2）由(1)知，選擇兩個條件中的任何一個，都有，
則，
20．（2023春·廣東惠州·高三校考階段練習）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．
問題：已知等差數列為其前n項和，若______________．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求證：數列的前n項和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）選①由與的關系求解即可；選②③由等差數列的通項公式與求和公式求解即可；（2）由（1）可得，利用裂項相消法證明即可.
【詳解】（1）若選①：在等差數列中，，
當時，，
也符合，
∴；
若選②：在等差數列中，
，
，解得
；
若選③：在等差數列中，
，解得
；
（2）證明：由（1）得，
所以
21．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，數列為等比數列且公比，滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)數列的前n項和為，若________，記數列滿足，求數列的前項和．
在①，②，，成等差數列，③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并對其求解．
注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據給定條件，求出數列的公比，進而判斷數列為等差數列，再求出通項作答.
（2）選①②③，分別求出數列的通項，結合（1），利用分組求和法求解作答.
【詳解】（1）因為，，，，
令得，又數列為等比數列，即有，而，解得，則，
因此，即數列是以1為首項，2為公差的等差數列，
所以.
（2）若選①，由（1）知數列是公比為2的等比數列，
由得，，解得，則，
因此，
即有數列的奇數項是以1為首項4為公差的等差數列，偶數項是以4為首項4為公比的等比數列，
所以．
選②，由（1）及，，成等差數列得，即，，則，
因此，
即有數列的奇數項是以1為首項4為公差的等差數列，偶數項是以4為首項4為公比的等比數列，
所以．
若選③，由（1）及得，解得，則，
因此，
即有數列的奇數項是以1為首項4為公差的等差數列，偶數項是以4為首項4為公比的等比數列，
所以．
22．（2023春·四川·高三校聯考階段練習）在①，②這兩個條件中選一個合適的補充在下面的橫線上，使得問題可以解答，并寫出完整的解答過程.
問題：在各項均為整數的等差數列中，，公差為，且______.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列通項公式的基本計算求解即可；
（2）根據錯位相減法計算求解即可.
【詳解】（1）解：若選①，則，，故不能選①，
若選②：依題意可得，解得
故．
（2）解：由（1）知，，
則，
所以，
所以
，
故．
23．（2023·全國·高三專題練習）設等差數列的前項和為，已知，.
(1)求數列的通項公式及；
(2)若___________，求數列的前項和.
在①；②；③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并對其求解.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)，；
(2)見解析.
【分析】（1）根據等差數列前項和公式和通項公式即可得到關于的方程組，解出即可；
（2）選①則，利用乘公比錯位相減法即可求出；選①則，則用裂項相消法即可求出；選③則，分奇偶討論即可求出.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，首項為，則，
,解得，
所以.
（2）選①：由（1）知,,所以
,.兩式相減得:
所以.
選②：由（1）,
所以.
選③：由（1）,則，
當為偶數時，，
當為奇數時，，
所以.
24．（2023·全國·模擬預測）記公差為1的等差數列的前項和為，______．從下面①②③三個條件中任選一個補充在上面問題中的橫線處并作答．
①；②；③，，成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）選①②，利用等差數列通項及前n項和，求出即可；選③，利用等比中項列式求出即可作答.
（2）由（1）的結論，求出，再利用錯位相減法求和作答.
【詳解】（1）選條件①，，則，即，而公差，因此，
所以.
選條件②，，則，而公差，解得
所以.
選條件③，，，成等比數列，即，，成等比數列，有，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
，
則，
兩式相減得，
所以．
25．（2023·河北衡水·河北衡水中學校考模擬預測）已知是首項為1的等差數列，公差是首項為2的等比數列，．
(1)求的通項公式；
(2)若數列的第項，滿足__________（在①②中任選一個條件），，則將其去掉，數列剩余的各項按原順序組成一個新的數列，求的前20項和．
①②．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等差和等比數列的通項公式，列出基本量方程組，即可求解；
（2）若選擇①，得，可知剩下的項就是原數列的奇數項，代入等比數列求和公式，即可求解；
若選擇②，，根據，討論為奇數和偶數兩種情況，即可判斷求解.
【詳解】（1）設的公差為的公比為，
因為，所以，
聯立消得，解得或與矛盾，
故，代回計算得，
所以
（2）若選①，則有，
所以剩余的項就是原數列的奇數項，
相當于剩余的項以2為首項，4為公比的等比數列，
所以；
若選②，則有，
因為，
所以當時，對應的為整數，滿足，
當時，對應的不為整數，不滿足，
所以剩余的項就是原數列的奇數項，
相當于剩余的項以2為首項，4為公比的等比數列，
所以；
26．（2023·全國·高三專題練習）已知公差為正數的等差數列中，，，構成等比數列，是其前項和，滿足.
(1)求數列的通項公式及前項和；
(2)若_________，求數列的前項和.
在①，②，③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)，
(2)答案見解析
【分析】（1）由題知，進而結合等差數列通項公式解方程即可得，，再求解通項公式與前項和；
（2）選①：結合（1）得，進而根據分組求和的方法求解即可；
選②：結合（1）得，進而結合裂項求和的方法求解即可；
選③：結合（1）得，再根據錯位相減法求解即可；
【詳解】（1）解：設等差數列的公差為，
依題意可得，則
解得，，
所以，數列的通項公式為.
綜上：， ；
（2）解：選①
由（1）可知：
∴
∵
∴
選②
由（1）可知：
∴
∵
選③
由（1）可知：，∴
∵
則
于是得
兩式相減得，
所以.
27．（2023·陜西漢中·高三西鄉縣第一中學校考階段練習）已知數列是公差不為零的等差數列，且，，成等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列的前n項和為，在①，； ②，；③，；這三個條件中任選一個，將序號補充在下面橫線處，并根據題意解決問題.問題：若，且______，求數列的前n項和.
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設等差數列的公差為d，根據，，成等比數列，由求解；
（2）選①，由，，得到時，求解；選②，由，，得到時，，兩式相減求解；選③，由，，得到時，，兩式相減求解.進而得到，再利用分組求和求解.
【詳解】（1）解：設等差數列的公差為d，
因為，，成等比數列，
所以，
解得或（舍去）.
所以，.
（2）選①，由，，
當時，，當時等式也成立，
所以，
選②，由，，①
當時，，②
②-①得，即，
所以是首項為1，公比為2的等比數列，
當時等式也成立，
所以，
選③，由，，①
當時
當時，，②
②-①得 ，即，又 ，
所以是首項為1，公比為2的等比數列，
所以，
則，
，
28．（2023·全國·高三專題練習）已知數列，滿足：，，.
(1)求證：數列是等比數列；
(2)若___________（從下列三個條件中任選一個），求數列的前項和.①；②；③.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：因為，
所以，
所以，
又因為，所以數列是首項為1公比為的等比數列；
（2）由（1）知，
又因為，
所以數列為常數列.
若選條件①或③，均可得，
所以，所以.
若選②，因為，所以，又因為，
所以，所以，所以，所以.
29．（2023·四川成都·成都實外校考模擬預測）數列的前n項和為滿足，已知．
(1)求；
(2)在①；②這兩個條件中任選一個作為條件，求數列的前n項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)選①：
選②：
【分析】（1）利用與的關系求得的通項公式；
（2）求出的通項公式，利用分組求和求得.
【詳解】（1）由題意，當時，，解得，
當時，由, 可得,
兩式相減，可得:，整理得，
又，∴數列是以1為首項，為公比的等比數列，
∴.
（2）選①：
由(1)可得，.
則
.
選②：由(1)可得，
則
.
30．（2023春·四川南充·高三閬中中學校考階段練習）已知等差數列與正項等比數列滿足，且，，既是等差數列，又是等比數列．
(1)求數列和的通項公式．
(2)在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成求解．若__，求數列的前項和．
【答案】(1)，
(2)答案見解析
【分析】（1）確定，得到，解得答案.
（2）若選擇①，，若選擇②，，若選擇③，，分別利用裂項相消法，錯位相減法和裂項相消法計算得到答案.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，正項等比數列的公比為，
根據題意，即，
解得或（舍），故，，
（2）若選條件①：，
；
若選條件②：
，
兩式相減得：
整理得到：；
若選條件③：
，
.
31．（2023春·廣西·高三校聯考階段練習）已知數列的前項和為，在①且；②；③且，，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并求解：
(1)已知數列滿足______，求的通項公式；
(2)已知正項等比數列滿足，，求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①，由已知可推得，進而得出數列是常數列，從而得出；若選②，由已知推得，進而根據與的關系，即可推得；若選③，根據等差中項的性質，可推得數列是等差數列.然后由已知求得，即可得出.
（2）根據已知可求出，然后根據對數運算以及裂項化簡可得，然后相加即可得出.
【詳解】（1）若選①且
由可得.
又，
所以數列是常數列，且，所以.
若選②
由已知可得，.
當時，有；
當時，有，
，
兩式作差可得，，
所以.
又滿足，所以.
若選③且，
由可得，，
所以，數列是等差數列.
又，，
所以，所以，
所以.
（2）由（1）知，，所以.
設等比數列公比為，
由已知可得，解得，
所以.
所以，
所以.
32．（2023·江西南昌·校聯考模擬預測）在①為等差數列，；②；③是等差數列，，，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.已知數列的前項和為，__________.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列通項公式和前n項和公式以及由遞推關系求通項的方法代入即可求解；（2）兩次使用乘工筆錯位相減即可求解.
【詳解】（1）若選①，設的公差為，
由題意可得解得，
所以.
若選②，當時，，解得；
由題得，
所以當時，，
作差得，
即，
又，
所以，
所以是公差為2的等差數列，
所以.
若選③，設的公差為，
所以，
所以，
因為，
所以，
解得或（舍去），
所以，
當時，，
當時，，也滿足，
所以.
（2）由（1）可得，所以.
所以，①
所以，②
①-②得，
令③
則，④
③-④得，
所以，
所以，
所以.
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