資源簡介

2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展22 數列與不等式（精講+精練）
一、數列與不等式
數列與不等式的結合，一般有兩類題:一是利用基本不等式求解數列中的最值;二是與數列中的求和問題相聯系,證明不等式或求解參數的取值范圍,此類問題通常是抓住數列通項公式的特征,多采用先求和后利用放縮法或數列的單調性證明不等式,求解參數的取值范圍.
1.常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
2.數學歸納法
（1）數學歸納法定義：對于某些與自然數有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當取第一個值時命題成立；然后假設當（，）時命題成立，證明當時命題也成立這種證明方法就叫做數學歸納法
注：即先驗證使結論有意義的最小的正整數，如果當時，命題成立，再假設當（，）時，命題成立．（這時命題是否成立不是確定的），根據這個假設，如能推出當時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數，，…，命題都成立．
（2）運用數學歸納法的步驟與技巧
①用數學歸納法證明一個與正整數有關的命題的步驟：
（1）證明：當取第一個值結論正確；
（2）假設當（，）時結論正確，證明當時結論也正確
由（1），（2）可知，命題對于從開始的所有正整數都正確
②用數學歸納法證題的注意事項
（1）弄錯起始．不一定恒為1，也可能或3（即起點問題）．
（2）對項數估算錯誤．特別是當尋找與的關系時，項數的變化易出現錯誤（即跨度問題）．
（3）沒有利用歸納假設．歸納假設是必須要用的，假設是起橋梁作用的，橋梁斷了就過不去了，整個證明過程也就不正確了（即偽證問題）．
（4）關鍵步驟含糊不清．“假設時結論成立，利用此假設證明時結論也成立”是數學歸納法的關鍵一步，也是證明問題最重要的環節，推導的過程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過程的嚴謹性、規范性（即規范問題）．
【典例1】（2021·天津·統考高考真題）已知是公差為2的等差數列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數列，．
（I）求和的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數列；
（ii）證明
【典例2】（2020·全國·統考高考真題）設數列{an}滿足a1=3，．
（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；
（2）求數列{2nan}的前n項和Sn．
【題型訓練-刷模擬】
1.數列不等式
一、單選題
1．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）已知數列的前項和為，若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·寧夏銀川·校聯考二模）已知數列滿足，數列的前n項和為，若對任意恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·河南駐馬店·統考二模）設數列的前項和為，，且，若恒成立，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．8
4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知是各項均為正數的數列的前項和，，，若對恒成立，則實數的最大值為（ ）
A． B．16 C． D．32
5．（2023·福建·統考模擬預測）已知數列滿足，，恒成立，則的最小值為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
6．（2023春·江西九江·高二校考期中）數列是首項和公比均為2的等比數列，為數列的前項和，則使不等式成立的最小正整數的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（2023·上海·高三專題練習）已知數列滿足，，存在正偶數使得，且對任意正奇數有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·浙江衢州·高二統考期末）已知等差數列的前項和為，且，若，數列的前項積為，則使的最大整數為（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
9．（2023·江西吉安·統考一模）已知數列滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．數列不可能為等差數列 B．對任意正數t，是遞增數列
C．若，則 D．若，數列的前n項和為，則
10．（2023·四川遂寧·校考模擬預測）若數列的前項和為，，則稱數列是數列的“均值數列”．已知數列是數列的“均值數列”且，設數列的前項和為，若對恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023春·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學校考期中）已知數列滿足，若存在實數，使單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022春·北京·高二清華附中校考期中）對于數列，若，都有（t為常數）成立，則稱數列具有性質．數列的通項公式為，且具有性質，則實數的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2023春·河南開封·高二校考期中）已知數列的前n項和為，，若對任意正整數n，，，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·安徽合肥·高二統考期末）在數列中，若，且對任意的有，則使數列前n項和成立的n最大值為（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
15．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
16．（2023春·上海·高三統考開學考試）設為正數列的前項和，，，對任意的，均有，則的取值為 .
17．（2023·陜西延安·校考一模）已知數列的前項和為，且，若，則正整數的最小值是 ．
18．（2023春·河南南陽·高二南陽中學校考階段練習）已知數列滿足，且對于任意的，都有恒成立，則實數的取值范圍 ．
19．（2023春·山東德州·高二校考階段練習）設數列的前項和為，且，若恒成立，則的最大值是 .
20．（2023·四川內江·校考模擬預測）已知數列的前n項和，設為數列的前n項和，若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍為 ．
21．（2023春·江西贛州·高二江西省全南中學校考期末）已知數列的前項和為，（），且，.若恒成立，則實數的取值范圍為 .
22．（2023春·遼寧錦州·高二校考階段練習）已知數列的首項，且滿足，則存在正整數n，使得成立的實數組成的集合為
23．（2021·江蘇·高二專題練習）已知正數數列滿足，且對任意，都有，則的取值范圍為 ．
三、解答題
24．（2024秋·湖北黃岡·高三浠水縣第一中學校考階段練習）已知數列的各項均為正數，其前項和滿足，數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)設數列的前項和為，若對一切恒成立，求實數的取值范圍.
25．（2023·全國·模擬預測）已知數列的前n項和為，，是公差為1的等差數列.
(1)求的通項公式；
(2)證明：.
26．（2023·湖南長沙·長郡中學校考一模）已知數列滿足，當時，.
(1)求數列的通項公式；
(2)已知數列，證明：.
27．（2023·江西上饒·校聯考模擬預測）已知公差不為0的等差數列的前項和為，且成等比數列，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，，求滿足條件的的最小值.
28．（2023春·云南·高三云南師大附中校考階段練習）數列滿足，數列的前n項和為，數列滿足，數列的前n項和為.
(1)求數列的前n項和；
(2)求證：
29．（2023·山東·沂水縣第一中學校聯考模擬預測）已知數列的前項和為，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：．
30．（2023·全國·高三專題練習）設，.
(1)若，求，及數列的通項公式；
(2)若，問：是否存在實數c，使得對所有成立？證明你的結論.
31．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯考階段練習）已知數列的前項和為.
(1)求數列的通項公式;
(2)若對一切正整數.不等式恒成立.求的最小值.
32．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知數列滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)若不等式對恒成立，求實數的取值范圍．
33．（2023春·江西贛州·高二江西省龍南中學校考期末）已知數列的前項和為，，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，的前項和為，若對任意的正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
34．（2023·遼寧錦州·統考模擬預測）記為數列的前項和，已知.
(1)求的通項公式；
(2)設單調遞增的等差數列滿足，且成等比數列.
（i）求的通項公式；
（ii）設，證明：.
35．（2023·海南海口·海南華僑中學校考一模）已知各項均為正數的數列滿足，其中是數列的前n項和.
(1)求數列的通項公式；
(2)若對任意，且當時，總有恒成立，求實數的取值范圍.
36．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，，若對任意的正整數n都有
(1)求數列的通項公式；
(2)記數列的前n項和為，若恒成立，求的最小值.
37．（2023·全國·高三專題練習）數列滿足，.
(1)求數列前項和；
(2)證明：對任意的且時，
38．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，數列的前項和為，證明：當時，
(1)；
(2)；
(3)．
39．（2023秋·廣東陽江·高三統考開學考試）已知數列中，是其前項的和，，.
(1)求，的值，并證明是等比數列；
(2)證明：.
40．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：.
41．（2023春·遼寧大連·高二校聯考期中）已知數列的前項和為，，是與的等差中項.
(1)求證：是等比數列，并求的通項公式；
(2)設，若數列是遞增數列，求的取值范圍；
(3)設，且數列的前項和為，求證：.
42．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）數列滿足，，，，．
(1)求的通項；
(2)若，恒成立，求的取值范圍．
43．（2023·全國·高三專題練習）設無窮數列滿足，．證明∶
(1)當時，．
(2)不存在實數c，使得對所有的n都成立．
2.數學歸納法
一、解答題
1．（2023·全國·高三專題練習）首項為正數的數列滿足．
(1)證明：若為奇數，則對，都是奇數；
(2)若對，都有，求的取值范圍．
2．（2023·全國·高三專題練習）設等比數列滿足.
(1)計算，猜想的通項公式并加以證明；
(2)求數列的前項和.
3．（2023·江西宜春·校聯考模擬預測）已知數列中，，．
(1)求的通項公式；
(2)若數列中，，證明：，（）．
4．（2023·全國·高三專題練習）設，給定數列，其中，，．證明：
(1)．
(2)如果，那么當時，必有．
5．（2023·全國·高三專題練習）在數列中，已知，，已知．證明：
(1)；
(2)．
6．（2022秋·廣東廣州·高三中山大學附屬中學校考期中）已知數列滿足：，．
(1)證明：為等差數列，并求的通項公式；
(2)數列，求滿足的最大正整數n．
7．（2023·四川宜賓·統考模擬預測）已知正項數列滿足，.
(1)計算,，猜想的通項公式并加以證明；
(2)若，求數列的前項和.
8．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）已知數列滿足，．
(1)計算：，猜想數列的通項公式，并證明你的結論；
(2)若，，求k的取值范圍．
9．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，．
(1)若數列是常數數列，求m的值．
(2)當時，證明：．
(3)求最大的正數m，使得對一切整數n恒成立，并證明你的結論．
10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數滿足，，．
(1)證明：．
(2)設是數列的前n項和，證明：．
11．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，證明：
(1)．
(2)，其中無理數．
12．（2023·全國·高三專題練習）已知每一項都是正數的數列滿足，．
(1)證明：．
(2)證明：．
(3)記為數列的前n項和，證明∶．
13．（2023·廣東·校聯考模擬預測）已知數列的前n項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，且數列的前n項和為，求證：當時，．
14．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學校考期末）已知數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)記數列的前項和為，證明：.
15．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，．
(1)若數列為單調遞減數列，求實數a的取值范圍．
(2)當時，設數列前n項的和為，證明：當時，．
16．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考三模）數列滿足，
(1)求的值；
(2)求數列前項和；
(3)令，，證明：數列的前項和滿足．
2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展22 數列與不等式（精講+精練）
一、數列與不等式
數列與不等式的結合，一般有兩類題:一是利用基本不等式求解數列中的最值;二是與數列中的求和問題相聯系,證明不等式或求解參數的取值范圍,此類問題通常是抓住數列通項公式的特征,多采用先求和后利用放縮法或數列的單調性證明不等式,求解參數的取值范圍.
1.常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
2.數學歸納法
（1）數學歸納法定義：對于某些與自然數有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當取第一個值時命題成立；然后假設當（，）時命題成立，證明當時命題也成立這種證明方法就叫做數學歸納法
注：即先驗證使結論有意義的最小的正整數，如果當時，命題成立，再假設當（，）時，命題成立．（這時命題是否成立不是確定的），根據這個假設，如能推出當時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數，，…，命題都成立．
（2）運用數學歸納法的步驟與技巧
①用數學歸納法證明一個與正整數有關的命題的步驟：
（1）證明：當取第一個值結論正確；
（2）假設當（，）時結論正確，證明當時結論也正確
由（1），（2）可知，命題對于從開始的所有正整數都正確
②用數學歸納法證題的注意事項
（1）弄錯起始．不一定恒為1，也可能或3（即起點問題）．
（2）對項數估算錯誤．特別是當尋找與的關系時，項數的變化易出現錯誤（即跨度問題）．
（3）沒有利用歸納假設．歸納假設是必須要用的，假設是起橋梁作用的，橋梁斷了就過不去了，整個證明過程也就不正確了（即偽證問題）．
（4）關鍵步驟含糊不清．“假設時結論成立，利用此假設證明時結論也成立”是數學歸納法的關鍵一步，也是證明問題最重要的環節，推導的過程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過程的嚴謹性、規范性（即規范問題）．
【典例1】（2021·天津·統考高考真題）已知是公差為2的等差數列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數列，．
（I）求和的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數列；
（ii）證明
【答案】（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【分析】（I）由等差數列的求和公式運算可得的通項，由等比數列的通項公式運算可得的通項公式；
（II）（i）運算可得，結合等比數列的定義即可得證；
（ii）放縮得，進而可得，結合錯位相減法即可得證.
【詳解】（I）因為是公差為2的等差數列，其前8項和為64．
所以，所以，
所以；
設等比數列的公比為，
所以，解得（負值舍去），
所以；
（II）（i）由題意，，
所以，
所以，且，
所以數列是等比數列；
（ii）由題意知，，
所以，
所以，
設，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
【點睛】關鍵點點睛：
最后一問考查數列不等式的證明，因為無法直接求解，應先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.
【典例2】（2020·全國·統考高考真題）設數列{an}滿足a1=3，．
（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；
（2）求數列{2nan}的前n項和Sn．
【答案】（1），，，證明見解析；（2）.
【分析】（1）方法一：（通性通法）利用遞推公式得出，猜想得出的通項公式，利用數學歸納法證明即可；
（2）方法一：（通性通法）根據通項公式的特征，由錯位相減法求解即可．
【詳解】（1）
［方法一］【最優解】：通性通法
由題意可得，，由數列的前三項可猜想數列是以為首項，2為公差的等差數列，即．
證明如下：
當時，成立；
假設時，成立.
那么時，也成立.
則對任意的，都有成立；
［方法二］：構造法
由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項為3，公差為2的等差數列，所以．
［方法三］：累加法
由題意可得，．
由得，即，，……．以上各式等號兩邊相加得，所以．所以．當時也符合上式．綜上所述，．
［方法四］：構造法
，猜想．由于，所以可設，其中為常數．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項均為0的常數列，故，即．
（2）由（1）可知，
［方法一］：錯位相減法
，①
，②
由①②得：
，
即.
［方法二］【最優解】：裂項相消法
，所以．
［方法三］：構造法
當時，，設，即，則，解得．
所以，即為常數列，而，所以．
故．
［方法四］：
因為，令，則
，
，
所以．
故．
【整體點評】（1）方法一：通過遞推式求出數列的部分項從而歸納得出數列的通項公式，再根據數學歸納法進行證明，是該類問題的通性通法，對于此題也是最優解；
方法二：根據遞推式，代換得，兩式相減得，設，從而簡化遞推式，再根據構造法即可求出，從而得出數列的通項公式；
方法三：由化簡得，根據累加法即可求出數列的通項公式；
方法四：通過遞推式求出數列的部分項，歸納得出數列的通項公式，再根據待定系數法將遞推式變形成，求出，從而可得構造數列為常數列，即得數列的通項公式．
（2）
方法一：根據通項公式的特征可知，可利用錯位相減法解出，該法也是此類題型的通性通法；
方法二：根據通項公式裂項，由裂項相消法求出，過程簡單，是本題的最優解法；
方法三：由時，，構造得到數列為常數列，從而求出；
方法四：將通項公式分解成，利用分組求和法分別求出數列的前項和即可，其中數列的前項和借助于函數的導數，通過賦值的方式求出，思路新穎獨特，很好的簡化了運算．
【題型訓練-刷模擬】
1.數列不等式
一、單選題
1．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）已知數列的前項和為，若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用裂項相消求出，再將恒成立問題轉化為最值問題，進而求出結果.
【詳解】由，
得，
因為對任意的，不等式恒成立，
所以，
解得或.
故選：.
2．（2023·寧夏銀川·校聯考二模）已知數列滿足，數列的前n項和為，若對任意恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用裂項相消法求出，將不等式進行等價轉化，然后利用基本不等式即可求解.
【詳解】因為，
所以
，
因為對任意恒成立，
也即對任意恒成立，
因為
（當且僅當，也即時等號成立）
所以，
故選：.
3．（2023·河南駐馬店·統考二模）設數列的前項和為，，且，若恒成立，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】根據遞推公式構造數列，結合可得數列的通項公式，然后參變分離，利用對勾函數性質可解.
【詳解】因為，所以，所以數列是常數列，
又，所以，從而，
所以數列是以2為首項，1為公差的等差數列，故．
因為恒成立，所以恒成立，即恒成立．
設，則，從而．
記，由對勾函數性質可知，在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，，且，
所以的最小值是，所以．
故選：B
4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知是各項均為正數的數列的前項和，，，若對恒成立，則實數的最大值為（ ）
A． B．16 C． D．32
【答案】D
【分析】根據，求出和的通項公式，代入不等式計算，再根據基本不等式即可求解得出.
【詳解】，
數列是首項為、公比為2的等比數列，
，解得或（舍），
，即恒成立，
，當且僅當即時取等號，.
故選：.
5．（2023·福建·統考模擬預測）已知數列滿足，，恒成立，則的最小值為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】通過等差數列的定義求出的通項公式，再利用裂項相消法求出，進而確定m的最小值.
【詳解】，是等差數列，又∵，
∴，
故對，，
也符合上式，
，
故，即的最小值為1．
故選：C．
6．（2023春·江西九江·高二校考期中）數列是首項和公比均為2的等比數列，為數列的前項和，則使不等式成立的最小正整數的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】根據等比數列得，利用裂項求和可得，結合不等式的性質代入求解即可得答案.
【詳解】因為數列是首項和公比均為2的等比數列，所以，則，
所以，則，
不等式整理得，
當時，左邊，右邊，顯然不滿足不等式；
當時，左邊，右邊，顯然滿足不等式；
且當時，左邊，右邊，則不等式恒成立；
故當不等式成立時的最小值為9.
故選：B.
7．（2023·上海·高三專題練習）已知數列滿足，，存在正偶數使得，且對任意正奇數有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用累加法求出，對分為奇數、偶數兩種情況討論的單調性，結合能成立與恒成立的處理方法求出答案.
【詳解】因為，，
所以當時，，
又時也成立，
所以，
易得，當為奇數時，單調遞減；當為偶數時，單調遞增，
又當為正偶數時，存在，即，
所以，此時有，所以，
又對于任意的正奇數，，即，
所以或恒成立，所以或，
綜上，實數的取值范圍是，
故選：D．
8．（2023春·浙江衢州·高二統考期末）已知等差數列的前項和為，且，若，數列的前項積為，則使的最大整數為（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【分析】先判斷出，從而得到，，，故可判斷與1的大小關系.
【詳解】設等差數列的公差為，則，
故為各項為正數的等比數列.
因為，故，故，
故，，，
故，，
所以，
，
，
所以，
故選：B.
9．（2023·江西吉安·統考一模）已知數列滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．數列不可能為等差數列 B．對任意正數t，是遞增數列
C．若，則 D．若，數列的前n項和為，則
【答案】D
【分析】若為常數列1，1，1，…，此時，由此可判斷A；若存在正數t使得為遞增數列，則，顯然當時就不成立，由此判斷B；，結合基本不等式可判斷C；當時，，滿足題意；當時，由可得，則，，結合等比數列求和公式求解可判斷D.
【詳解】對于A，若為常數列1，1，1，…，此時，故數列可以是等差數列，故A錯誤；
對于B，由，∴，
若存在正數t使得為遞增數列，則，顯然當時不成立，故B錯誤；
對于C，已知，顯然數列各項均為正數，故，當且僅當時，等號成立，
又；時，，不滿足取等條件，則，即，故C錯誤；
對于D，當時，，滿足題意；
當時，由選項C知，累乘可得，∴，
∴，滿足題意，故D正確.
故選：D.
10．（2023·四川遂寧·校考模擬預測）若數列的前項和為，，則稱數列是數列的“均值數列”．已知數列是數列的“均值數列”且，設數列的前項和為，若對恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由題意可得，由可求出數列的通項公式，利用裂項相消法可求得，求出數列的最小值，可得出關于的不等式，解之即可.
【詳解】由題意，即，
當時，，
又，則滿足，故對任意的，，
則，
，
易知是遞增數列，所以，數列的最小值是，
由題意，整理可得，解得．
故選：B．
11．（2023春·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學校考期中）已知數列滿足，若存在實數，使單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法一：由單調遞增可得恒成立，則，分析和應用排除法確定正確選項；
解法二：借助函數的知識，將數列單調性轉化為函數單調性，結合函數圖象即可得解.
【詳解】解法一：由單調遞增，得，
由，得，
∴.
時，得①，
時，得，即②，
若，②式不成立，不合題意；
若，②式等價為，與①式矛盾，不合題意.
綜上，排除B，C，D.
解法二：設，函數對稱軸為，則，
聯立，可得兩函數的交點為，
若要，則，，所以，
又只要求存在實數，所以.
故選：A.
12．（2022春·北京·高二清華附中校考期中）對于數列，若，都有（t為常數）成立，則稱數列具有性質．數列的通項公式為，且具有性質，則實數的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據數列的新定義推得數列是遞增數列，從而得到，整理化簡得，構造函數，利用導數求得的最小值，從而得解.
【詳解】依題意，得，則，
所以數列是遞增數列，故，
因為，則，整理得，
令，則，
令，得；令，得；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，所以在或處取得最小值，
又，，所以，
故，則，
所以的取值范圍為.
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是理解數列新定義，推得是遞增數列，從而將問題轉化為關于的恒成立問題，從而得解.
13．（2023春·河南開封·高二校考期中）已知數列的前n項和為，，若對任意正整數n，，，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據與的關系結合等比數列的概念可得，進而可得，然后結合條件可得，然后分類討論即得.
【詳解】因為，
當時，，解得，
當時，，則，
即，又，
所以是首項為，公比為的等比數列，
所以，則，又，
所以為首項為2，公差為1的等差數列，
則，則，
所以，又，
則，又，
所以，
當n為奇數時，，而，則，解得；
當n為偶數時，，而，則；
綜上所述，實數的取值范圍為.
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據遞推關系構造數列求數列的通項公式，然后通過討論結合數列不等式恒成立問題即得.
14．（2022秋·安徽合肥·高二統考期末）在數列中，若，且對任意的有，則使數列前n項和成立的n最大值為（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【分析】由題知數列是等比數列，公比為，首項為，進而得，再根據錯位相減法得，進而將不等式轉化為，令，再結合其單調性求解即可.
【詳解】解：因為對任意的有，
所以，即數列是等比數列，公比為，首項為，
所以，，
所以，
，
所以
，
所以，
所以即為，
所以，
令，
則，即，
所以為單調遞減數列，
因為當時，，滿足，
當時，，不滿足，
所以成立的n最大值為，
所以，數列前n項和成立的n最大值為.
故選：B
15．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
（1）下面先證明．由，，則，，，化為：，
時，，
，，，，
，
又，
，可得，
時，，因此，得，
（2）下面證明．
，，化為：，
，
化為：，
，，，，，
，
，可得．
綜上可得：．
．
故選．
二、填空題
16．（2023春·上海·高三統考開學考試）設為正數列的前項和，，，對任意的，均有，則的取值為 .
【答案】2
【分析】由已知遞推式，結合與的關系及等比數列的定義，可判斷是公比為的正項等比數列，寫出、，根據題設不等式恒成立可得恒成立，即可求值.
【詳解】由題設知：當時，，即，
當時，，
綜上知：是公比為的正項等比數列，即，而，
∴由題設知：對任意的，有成立，又，
∴，整理得：恒成立，而時，
∴.
故答案為：2.
【點睛】關鍵點點睛：由與的關系及等比數列的定義求、，根據數列不等式恒成立求值即可.
17．（2023·陜西延安·校考一模）已知數列的前項和為，且，若，則正整數的最小值是 ．
【答案】6
【分析】根據的關系作差可得，進而求解，即可求解不等式.
【詳解】當時，；
當時，①，②，①-②整理得，
．又，
是以3為首項，3為公比的等比數列，
，
令，,
解得，
正整數的最小值是6．
故答案為：6
18．（2023春·河南南陽·高二南陽中學校考階段練習）已知數列滿足，且對于任意的，都有恒成立，則實數的取值范圍 ．
【答案】
【分析】根據題意，可知，即可得出，再分類討論n為奇數和偶數時實數的不同取值范圍，取交集即可．
【詳解】，，
兩式相減得：，
對于任意的，都有恒成立，對于任意的，都有恒成立，對于任意的恒成立，
當時，，由單調遞增，則；
當時，，因為單調遞減，則．
綜上所述，實數的取值范圍是：．
故答案為：
19．（2023春·山東德州·高二校考階段練習）設數列的前項和為，且，若恒成立，則的最大值是 .
【答案】
【分析】根據題意得到，求得，得到，把不等式的恒成立轉化為恒成立，設，化簡得到，結合的值，求得的最小值是，即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以數列是常數列，則，可得，故，
因為恒成立，所以恒成立，即恒成立，設，則，從而，
當時，，當時，，
因為，所以的最小值是，即，
所以實數的最大值為.
故答案為：.
20．（2023·四川內江·校考模擬預測）已知數列的前n項和，設為數列的前n項和，若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】利用的關系求出數列的通項公式，再用裂項相消法求得，再根據不等式的恒成立問題以及函數的單調性與最值，求實數的取值范圍.
【詳解】當時，，
當時，滿足上式，
所以.
所以，
所以，
由，可得，即，
因為函數在單調遞增，
所以當時，有最小值為10，
所以，所以，
所以實數的取值范圍為.
故答案為：.
21．（2023春·江西贛州·高二江西省全南中學校考期末）已知數列的前項和為，（），且，.若恒成立，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由得，兩式相減可證明數列為等差數列，繼而可求出，令，通過可知，當時，數列單調遞減，故可求出最大值，進而可求 的取值范圍.
【詳解】由，可得.
兩式相減，可得，所以數列為等差數列.
因為，，所以，所以，，
則.令，則.
當時，，數列單調遞減，
而，，，
所以數列中的最大項為1，故，
即實數的取值范圍為.
故答案為: .
22．（2023春·遼寧錦州·高二校考階段練習）已知數列的首項，且滿足，則存在正整數n，使得成立的實數組成的集合為
【答案】
【分析】先累加求得，再分析二次不等式有解可得或，再分析的最小值即可
【詳解】由題，，累加可得，故，顯然，故要存在正整數n，使成立，即，即或，故存在正整數n，使或，故或，即或，故直接分析的最小值即可.又，當為奇數時，；當為偶數時，，當且僅當時取得等號，綜上有，故或.
故答案為：
23．（2021·江蘇·高二專題練習）已知正數數列滿足，且對任意，都有，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由已知可得出，解得，結合，可得，令，求出數列的最大項的值，可得出的取值范圍，進而可得出的取值范圍.
【詳解】由題意可知，對任意，都有，則，則，
整理可得，，
解不等式可得，
當時，，所以，，
令，
則數列為單調遞減數列，所以，，，
所以，.
下面來說明，當時，對任意的，.
由雙勾函數的單調性可知，函數在上為減函數，在上為增函數，
，則，可得，
由雙勾函數的單調性可知，函數在上為增函數，
則，可得，
假設當時，，
由于函數在上為增函數，則，
可得.
由上可知，當時，對任意的，.
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用數列不等式恒成立求數列首項的取值范圍，解題的關鍵就是由得出關于的不等式，通過解不等式可得出關于數列不等式恒成立，進而轉化為數列最值來求解.
三、解答題
24．（2024秋·湖北黃岡·高三浠水縣第一中學校考階段練習）已知數列的各項均為正數，其前項和滿足，數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)設數列的前項和為，若對一切恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得，再根據，作差得到數列是以為首項，為等差的等差數列，即可求出通項公式；
（2）由（1）可得，利用裂項相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得到，即可得解.
【詳解】（1）由，得，
當時，，解得，
當時，，
化簡得，
∴數列是以為首項，為等差的等差數列，
所以.
（2）由（1）可得，
∴數列的前項和.
∵，
∴單調遞增，∴，
∵，
∴，
若使得對一切恒成立，則，解得，
∴實數的取值范圍是.
25．（2023·全國·模擬預測）已知數列的前n項和為，，是公差為1的等差數列.
(1)求的通項公式；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據等差數列的通項公式，求出的通項公式，得到與的關系，得到與的關系，利用累乘法即可求得的通項公式.
（2）由（1）結論求得，對進行放縮并裂項，即可得結論.
【詳解】（1）當時，，所以，
則，即，
當時，，
則，即，
由題可知，，故，
當時，
，
當時，滿足，
故的通項公式為.
（2）證明：由（1）可知：，
所以，
所以
.
26．（2023·湖南長沙·長郡中學校考一模）已知數列滿足，當時，.
(1)求數列的通項公式；
(2)已知數列，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）當時，由已知等式變形可得，利用累加法可求得在時的表達式，然后檢驗時的情形，綜合可得出數列的通項公式；
（2）當時，驗證所證不等式成立，當時，由放縮法可得出，再結合等比數列求和公式可證得原不等式成立，綜合可得出結論.
【詳解】（1）解：當時，在等式兩邊同除后得，
所以，，
上述等式累加得，即，所以，.
又時，滿足該式，故.
（2）解：由，所以，，
所以，，
當時，，
當時，.
綜上所述，對任意的，.
27．（2023·江西上饒·校聯考模擬預測）已知公差不為0的等差數列的前項和為，且成等比數列，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，，求滿足條件的的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）設等差數列的公差為，由成等比，求得，再由，求得或者，進而得到，即可求得數列的通項公式；
（2）由（1）求得，得到，
令，進而得到的最小值.
【詳解】（1）解：設等差數列的公差為，因為成等比，所以，
可得，整理得，
又因為，所以，
因為，所以，
可得，解得或者，
當時， ，不合題意舍去；
當時， ，則，
所以數列的通項公式為.
（2）解：由，可得，
所以，
當時，
，
令，可得，
即，解得，所以的最小值為.
28．（2023春·云南·高三云南師大附中校考階段練習）數列滿足，數列的前n項和為，數列滿足，數列的前n項和為.
(1)求數列的前n項和；
(2)求證：
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由遞推公式，可得為等比數列，求出通項后得，利用分組求和求數列的前n項和；
（2）利用放縮得，裂項相消求和證得.
【詳解】（1）由，得，
故是以為首項，為公比的等比數列，
所以，得．
，
所以數列的前項和為．
（2）證明：，
所以，
，，故．
29．（2023·山東·沂水縣第一中學校聯考模擬預測）已知數列的前項和為，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）解法一：由已知等式變形可得，計算出的值，再利用累乘法可求得數列的通項公式；
解法二：由已知條件計算出的值，推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，即可求得數列的通項公式，進而可求得數列的通項公式；
（2）利用錯位相減法求出，進而可證得結論成立.
【詳解】（1）解：解法一：由題①，，即②，由①②得，
由得，
所以當時，，
也滿足，
所以數列的通項公式為；
解法二：由題，①，，即②，由①②得，
由，得，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，，
所以數列的通項公式為．
（2）證明：由（1）知，
所以，
兩式作差得，
所以.
30．（2023·全國·高三專題練習）設，.
(1)若，求，及數列的通項公式；
(2)若，問：是否存在實數c，使得對所有成立？證明你的結論.
【答案】(1)，，
(2)存在，證明見解析
【詳解】（1）當時，由題意得.又，所以數列是首項為0，公差為1的等差數列，則.
由題意知，所以.
取，3，得，.
【反思】也可根據及題意計算得，，猜想，再用數學歸納法給出證明.
（2）（解法1）利用數學歸納法.
設，則.
令，即，解得.
下面用數學歸納法證明加強命題：.
當時，，，所以成立.
假設當時命題成立，即.
因為在上為減函數，所以，故.
因此，所以.
因此，即當時命題也成立.
綜上，存在，使得對一切成立.
（解法2）當時，由題意得，從而得到
.①
假設存在實數c，使得對所有都成立，又，則
.
結合式①得.由，解得.
由式①得
.
解得.
綜上，得.
故存在，使得對一切成立.
31．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯考階段練習）已知數列的前項和為.
(1)求數列的通項公式;
(2)若對一切正整數.不等式恒成立.求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關系得到,即,再利用等差數列的通項公式求解即可;
（2）根據（1）的結論得到對一切正整數恒成立,分離參數轉化為求解數列最小值問題.令,設當時,最大,列不等式組求解即可.
【詳解】（1）當時,,得,
當時,,
整理得,
等式兩邊同除得,
則數列是以為首項,為公差的等差數列,
所以,
則.
（2）不等式對一切正整數恒成立,
即對一切正整數恒成立.
令,設當時,最大,
則,
解得,
因為,
所以,
又,
則,
即的最小值為.
32．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知數列滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)若不等式對恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用兩式相減可得結果；
（2）將不等式恒成立化為對恒成立，再利用數列的單調性求出右邊的最小值即可得解.
【詳解】（1）當時，，得，
當時，，
整理得，即，
又時，也適合上式，
故.
（2）若不等式對恒成立，即對恒成立，
即對恒成立，
令，
則
，
則為遞增數列，所以當時，取得最小值，
所以.
33．（2023春·江西贛州·高二江西省龍南中學校考期末）已知數列的前項和為，，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，的前項和為，若對任意的正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列的定義以及的關系求解；
（2）利用錯位相減法可求得，在根據題意得即可求解.
【詳解】（1）由，得，又，
所以數列是以為首項，公差為1的等差數列，
∴，即，
∴當時，
，
又不滿足上式，所以.
（2）由（1）知，∴，
∴，①
，②
① ②得：，
整理得，
又因為對任意的正整數，恒成立，所以，
∵，
∴在上單調遞增，，
由，可得，
所以實數的取值范圍是.
34．（2023·遼寧錦州·統考模擬預測）記為數列的前項和，已知.
(1)求的通項公式；
(2)設單調遞增的等差數列滿足，且成等比數列.
（i）求的通項公式；
（ii）設，證明：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）證明見解析.
【分析】（1）由數列的遞推關系式得到，再根據等比數列的通項公式，即可求解；
（2）（i）設數列的公差為，根據題意，結合等比中項公式列出方程，求得，再利用等差數列的通項公式，即可求解；
（ii）由（i）得到，利用放縮法和裂項求和，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，可得，
兩式相減可得，即，
則，
又因為，可得，
所以當時，，即，
當時，不滿足上式，
所以數列的通項公式為
（2）解：（i）設數列的公差為，
因為成等比數列，且，
所以，
整理得，解得或，
因為，可得，
又因為，所以數列的通項公式為.
（ii）由（i）知，，
可得，
當時，；
當時，，
綜上可得，對于任意，都有.
35．（2023·海南海口·海南華僑中學校考一模）已知各項均為正數的數列滿足，其中是數列的前n項和.
(1)求數列的通項公式；
(2)若對任意，且當時，總有恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由與的關系式即可證得數列是以1為首項，2為公差的等差數列，即可求出數列的通項公式；
（2）由等差數列的前n項和公式求出，再由裂項相消法可證明，即可求出實數的取值范圍.
【詳解】（1）∵，∴
當時，，解得.
當時，，
即，
∵，∴，
∴數列是以1為首項，2為公差的等差數列，
∴.
（2）因為，所以
∴當時， ，
∴
，
∴，
∴實數的取值范圍為.
36．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，，若對任意的正整數n都有
(1)求數列的通項公式；
(2)記數列的前n項和為，若恒成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用數列通項和前n項和的關系求解；
（2）由（1）得到，從而得到，再分n為奇數和n為偶數，結合恒成立求解.
【詳解】（1）由，
得當時，有，
二式相減并化簡得，
由于，則，
所以有，
又，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列，
所以
（2）結合（1）可知，
所以，
當n為奇數時，，
又，
所以單調遞增，又時，，
所以隨著Tn的增大而增大，
則，，
當n為偶數時，，
，
所以單調遞減，又時，，
所以隨著Tn的增大而減小，
所以則，，
綜上：，且，
又因為恒成立，
所以，所以的最小值為.
37．（2023·全國·高三專題練習）數列滿足，.
(1)求數列前項和；
(2)證明：對任意的且時，
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據和的形式，求通項.常寫出式子取n以及n-1的形式作差，并檢驗n=1時的情況，求得為等比數列，求和即可；
（2）證明數列不等式，常用放縮法.放縮后構造函數，用單調性證明不等式成立.
【詳解】（1）當時，
當時，
兩式相減得：
所以，又符合此式，
綜上所述，
所以數列為等比數列，首項為1，公比為，所以
（2）由（1）可知，所以
故只需證明
下面先證明對任意的且都有
記，則在上恒成立，
所以在上是增函數，又，故
當且時，，所以，即
所以，，…，累加的原式得證
38．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，數列的前項和為，證明：當時，
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）直接作差得，根據差的符號可得．轉化為證明，利用反證法可得；再證，利用得與同號，即得結論；
（2）放縮構造裂項：，即得，再根據裂項求和法可得；
（3）放縮構造裂項：，再利用裂項相消法求和得結論.
【詳解】（1）由于，則．
若，則，與矛盾，從而，
所以.
又，
所以，與同號.
又，則，即．
（2）由于，則，
所以，，
即，
所以.
當時，
，
從而.
當時，，從而．
（3）由（1）知，，，
所以，，
所以，．
39．（2023秋·廣東陽江·高三統考開學考試）已知數列中，是其前項的和，，.
(1)求，的值，并證明是等比數列；
(2)證明：.
【答案】(1)，，證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題目條件代入即可求出，的值，利用構造法即可證明是等比數列；
（2）根據（1）求出，再結合放縮法即可進行證明.
【詳解】（1）由，得，
所以，，
由，得，
所以，.
證明如下：
由，得，
所以，
所以，所以，
所以，
因為，所以，，
即數列是以為首項，以為公比的等比數列.
（2）由（1）知，，
，，
，
因為，所以，
于是，
其中，
于是，
所以.
即.
40．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）變形，是以為首項，1為公差的等差數列，即可求解；
（2）根據題意解得，，由此證明.
【詳解】（1），又，
是以為首項，1為公差的等差數列，
.
（2）由（1），，
，
，
.
41．（2023春·遼寧大連·高二校聯考期中）已知數列的前項和為，，是與的等差中項.
(1)求證：是等比數列，并求的通項公式；
(2)設，若數列是遞增數列，求的取值范圍；
(3)設，且數列的前項和為，求證：.
【答案】(1)證明見解析，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）依題意可得，再根據，作差得到，即可得到，再由，即可得證，從而求出的通項公式；
（2）由（1）可知，即可得到，依題意可得，即可得到，再分為奇數、偶數兩種情況討論，參變分離，分別求出參數的取值范圍，即可得解；
（3）首先證明，即可證明當時，，即可得證.
【詳解】（1）證明：是與的等差中項，
①，
于是有②，
①②，即，
，
又，，，
，，
，即有，
又，，
是以為首項，為公比的等比數列，
所以，.
（2）由（1）可知，，
，，
所以，
是遞增數列，，，
當是奇數時，，即恒成立，
數列單調遞增，，
當是偶數時，，即恒成立
數列單調遞減，，
綜上，的取值范圍是.
（3），，
即，
當時，
.
，，
當時，，綜上所述，.
42．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）數列滿足，，，，．
(1)求的通項；
(2)若，恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據遞推公式找出數列規律，得到是等比數列，由此求出其通項公式，繼而得到的通項；
（2）將代入不等式中，可知不等式左邊為正數，右邊符號不確定，因此分類討論n為偶數和奇數時的取值范圍，取交集即可.
【詳解】（1）因為，，所以，
又，其中，，
由此可得，
所以，，
所以是以為首項，為公比的等比數列.
所以，解得，其中，，
檢驗：根據通項公式計算可得，，所以.
（2）由（1）可知，
當為奇數時，，
當時，取最小值，即，解得或；
當為偶數時，，
當時，取最小值，即，解得或；
綜上：或，
故的取值范圍為.
43．（2023·全國·高三專題練習）設無窮數列滿足，．證明∶
(1)當時，．
(2)不存在實數c，使得對所有的n都成立．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）當時，結合基本不等式可得，對已知遞推式兩邊平方，當時，利用放縮法可證得結論；
（2）利用反證法，假設存在常數使得對所有的都成立，然后平方后利用放縮法推理即可.
【詳解】（1）由知．
當時，，當且僅當時取等號；
當時，
……
．
所以．
（2）假設存在常數使得對所有的都成立，
則，
下面先證明：（且），
令（），則，
所以在上遞增，
所以，
所以當時，，
所以（且），
所以，
即．
當足夠大時，矛盾．
所以假設不成立，不存在（這里用到不等式）．
【點睛】關鍵點點睛：此題考查數列與不等式的綜合問題，考查了導數的應用，考查數列不等式恒成立問題，解題有關鍵是對已知遞推式兩邊平方，然后連續利用放縮法可證得結論，考查數學計算能力和邏輯推理能力，屬于難題.
2.數學歸納法
一、解答題
1．（2023·全國·高三專題練習）首項為正數的數列滿足．
(1)證明：若為奇數，則對，都是奇數；
(2)若對，都有，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)或
【分析】（1）利用數學歸納法進行證明；
（2）利用，得到不等式，求出或，作差法得到與，從而對，都有，得到的取值范圍.
【詳解】（1）因為，則，所以，
又首項為正數，則
利用數學歸納法證明：
已知是奇數，時成立．
假設是奇數，其中為正整數，則由遞推關系得是奇數，即時也成立．
由，可知對任何，都是奇數．
（2）由，得，于是或．
，
因為所有的均大于0，因此與同號．
因此，對一切都有的充要條件是或．
2．（2023·全國·高三專題練習）設等比數列滿足.
(1)計算，猜想的通項公式并加以證明；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用遞推公式得出，猜想得出的通項公式，利用數學歸納法證明即可；
（2）由錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）由，， ，，
猜想的通項公式為.
證明如下：（數學歸納法）
①.當時，結論顯然成立；
②.假設時結論成立，即成立；其中，
則，即時，結論也成立，
由①和②可知，∴
（2）解法一：
令，則前項和 （1）
由（1）兩邊同乘以2得： （2）
由（1）（2）得，
化簡得.
解法二：由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
3．（2023·江西宜春·校聯考模擬預測）已知數列中，，．
(1)求的通項公式；
(2)若數列中，，證明：，（）．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意可得，即數列是首項為，公比為的等比數列，由等比數列的通項公式即可求出的通項公式；
（2）由用數學歸納法證明即可.
【詳解】（1）由題設：，
，
，
．
所以，數列是首項為，公比為的等比數列，
＝，
即的通項公式為，．
（2）用數學歸納法證明．
（ⅰ）當時，因，，所以
，結論成立．
（ⅱ）假設當時，結論成立，即，
也即．
當時，
，
又，
所以
．
也就是說，當時，結論成立．
根據（ⅰ）和（ⅱ）知，．
4．（2023·全國·高三專題練習）設，給定數列，其中，，．證明：
(1)．
(2)如果，那么當時，必有．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）用數學歸納法可證；作商可證；
（2）用反證法可證.
【詳解】（1）先用數學歸納法可證：
①當時，，結論成立.
②假設當時結論成立，即，
那么當時，，
即.
由①②可知對任意時都有，亦有.
∵，
∴．
綜上可知，．
（2）假設當時，．
由（1）知單調遞減，∴．
從而，
∴．
∵，∴，∴．
這與題設條件矛盾．∴假設不成立．當時，必有．
5．（2023·全國·高三專題練習）在數列中，已知，，已知．證明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用數學歸納法證明即可；
（2）根據，利用裂項相消法，結合放縮法即可求解.
【詳解】（1）時，，
假設，，
則時，，
綜上，，
所以，
即
（2）由題可得，
即，
,
∴，．
6．（2022秋·廣東廣州·高三中山大學附屬中學校考期中）已知數列滿足：，．
(1)證明：為等差數列，并求的通項公式；
(2)數列，求滿足的最大正整數n．
【答案】(1)證明見解析，
(2)13
【分析】（1）法一：化簡已知條件得到，從而證得為等差數列，并求得.法二：先猜想，然后利用數學歸納法進行證明，再結合等差數列的定義證得為等差數列.
（2）利用分組求和法求得，結合函數的單調性求得正確答案.
【詳解】（1）法一：①，得②，
②－①，得，即，
所以數列是等差數列，
又，∴，，公差，所以．
法二：令時，，，，
令時，，猜想．
下面數學歸納法證明：
①當時，，，，
②假設當時，，
則當時，，
解得，所以成立．
綜上所述，時，．
，所以數列是等差數列.
（2），
所以，
即
因為在上單調遞增，
，，
所以滿足條件的最大正整數為13．
7．（2023·四川宜賓·統考模擬預測）已知正項數列滿足，.
(1)計算,，猜想的通項公式并加以證明；
(2)若，求數列的前項和.
【答案】(1),,,證明見解析;
(2).
【分析】（1）分別,，即可求得,,由此可猜想，用數學歸納法證明即可；
（2）結合（1）的結論可得的表達式，分組求和即可求得答案.
【詳解】（1）當時，；
當時，；
猜想.
證明如下：
當時，成立；
假設時，成立；
那么時，,
即時，，
則對任意的，都有成立.
（2）由題意得，
.
8．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）已知數列滿足，．
(1)計算：，猜想數列的通項公式，并證明你的結論；
(2)若，，求k的取值范圍．
【答案】(1)，，，，，證明見解析
(2)
【分析】（1）根據遞推式寫出對應項，并猜測通項公式，應用數學歸納法證明即可；
（2）利用作差法求的最小項，根據恒成立求參數范圍.
【詳解】（1）由題設，，，，
猜測，數學歸納法證明如下：
由上及已知有均滿足，
假設，成立，則，滿足上式；
綜上，且.
（2）取，故，
當時，當時，且為最小項，
所以有，則.
9．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，．
(1)若數列是常數數列，求m的值．
(2)當時，證明：．
(3)求最大的正數m，使得對一切整數n恒成立，并證明你的結論．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)正數m的最大值是2，證明見解析
【分析】（1）由可求出m的值；
（2）由，得兩式相減化簡可證得結論；
（3）假設，則可得與矛盾，所以要使得對一切整數n恒成立，只可能是，然后利用數學歸納法證明.
【詳解】（1）若數列是常數列，則，
解得．
顯然，當時，有．
（2）由條件得，
得．
因為，，
以上兩式相減得．
因為，，，
所以，
所以與同號．
因為，所以，
所以．
（3）首先證明．
假設，因為，
所以．
這說明，當時，越來越大，顯然不可能滿足．
所以要使得對一切整數n恒成立，只可能是．
下面用數學歸納法證明當時，恒成立．
當時，顯然成立．
假設當時成立，即，
則當時，成立．
綜上可知對一切正整數n恒成立．
因此，正數m的最大值是2．
【點睛】關鍵點點睛：此題考查數列與不等式的綜合問題，考查反證法和數學歸納法，第（3）問解題的關鍵是先利用反證法得到，然后再利用反證法證明時，恒成立即可，考查數學計算能力，屬于較難題.
10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數滿足，，．
(1)證明：．
(2)設是數列的前n項和，證明：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用數學歸納法及不等式證明即可；
（2）變形，進而可得，放縮可得 ，由此證得結論．
【詳解】（1）先用數學歸納法證明．
當時結論成立，假設時結論成立，即，則，
∴．
故當時結論也成立，由歸納原理知對成立．
作出函數的圖象，如圖，，的方程，

根據割線的位置易知，
從而．
綜上可知．
（2）∵，且，
設，，
則，∴在上單調遞減，
∴當時，，即.
∴．
∵，∴，
∴，，
∴．
從而．
11．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，證明：
(1)．
(2)，其中無理數．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）使用數學歸納法證明；
（2）把進行變形，整體可變形為乘法結構，然后取對數，最后利用函數不等式進行裂項放縮，結合累加法及數列求和證明．
【詳解】（1）以下用數學歸納法證明．
①當時，，不等式成立．
②假設當時不等式成立，即．
當時，．
∴當時，不等式也成立．
綜上可知，對所有成立．
（2）由（1）知，由得．
不等號兩邊取以為底的對數，可得．
令，則，
∴在上單調遞增，故，即，
∴，
即，
則，，…，，
累加可得
，
∴，∴．
12．（2023·全國·高三專題練習）已知每一項都是正數的數列滿足，．
(1)證明：．
(2)證明：．
(3)記為數列的前n項和，證明∶．
【答案】(1)證明見解析.
(2)證明見解析.
(3)證明見解析.
【分析】（1）解法一可利用數學歸納法證明；解法二構造函數，利用單調性證明.
（2）用數學歸納法由（1）知，再由數學歸納法可證.
（3）由，得，再求和即可.
【詳解】（1）解法一：由題意知，．
①當時，，，，成立．
②假設時，結論成立，即．
∵，
∴．
故時，結論也成立．
由①②可知，對于，都有成立．
解法二：，，，成立．
令，顯然單調遞減．
∵，假設，
則，即，
故，即．
故對于，都有成立．
（2）由（1）知，∴．
同理，由數學歸納法可證，．
猜測．下面給出證明．
∵，∴與異號．
注意到，知，，
即．
∴，
從而可知．
（3）
，
∴
，
∴
．
13．（2023·廣東·校聯考模擬預測）已知數列的前n項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，且數列的前n項和為，求證：當時，．
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題可得，后由可得數列的通項公式；
（2）由（1）可得，，后由數學歸納法可證明結論.
【詳解】（1）由題，時，有，則
，
則.
注意到，則.
（2）由（1）可得，則
當時，.
故所證結論相當于，，.
當時，結論顯然成立；
假設時，結論成立，則，
當時，因，，則.
綜上，結論成立.
14．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學校考期末）已知數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)記數列的前項和為，證明：.
【答案】(1)；
(2)證明見解析
【分析】（1）根據已知兩式化簡，分別求得和.
（2）由（1）利用求和公式可得，再利用數學歸納法即可得證.
【詳解】（1）因為，所以，
又，所以，
所以，.
（2）由（1）知，，，
則，
，
當時，，，故；
當時，，，故；
假設當時，，
所以當時，，
因為，所以，
故，則，即，
所以，則，
綜上：.
15．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，．
(1)若數列為單調遞減數列，求實數a的取值范圍．
(2)當時，設數列前n項的和為，證明：當時，．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由數列單調性和作差法得到，再利用數學歸納法得到，，得到結論；
（2）利用數學歸納法證明出，從而得到當時，，由題目條件得到，結合等比數列求和公式證明出，從而證明出結論.
【詳解】（1）∵，
∴．
下面由及數學歸納法證明，過程如下：
，假設，
則，即，證畢；
從而可由及數學歸納法證明，理由如下：
，故，滿足，
假設，則，
結合，可得，證畢；
（2）由已知得，，
，
可證，理由如下：
因為，所以，即，
，故，即，
假設，，
則，，
從而，，證畢.
當時，．
由得
．
∴當時，．
【點睛】數列不等式問題，常常需要進行放縮，放縮后變形為等差數列或等比數列，在結合公式進行證明，又或者放縮后可使用裂項相消法進行求和，常常使用作差法和數學歸納法，導數法等，技巧性較強.
16．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考三模）數列滿足，
(1)求的值；
(2)求數列前項和；
(3)令，，證明：數列的前項和滿足．
【答案】(1)；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】(1)根據已知條件，分別取n＝1，2，3即可依次算出；
(2)用作差法求出的通項公式，再求其前n項和；
(3)求，猜想，用數學歸納法證明；用導數證明，令，得，用這個不等式對放縮即可得證.
【詳解】（1）依題，
；
（2）依題當時，，
，又也適合此式，
，
數列是首項為1，公比為的等比數列，故；
（3），，
，
，
，
猜想： ①
下面用數學歸納法證明：
(i)當n＝1，2時，已證明①成立；
(ii)假設當時，①成立，即.
從而
.
故①成立.
先證不等式 ②
令，
則.
，即②成立.
在②中令，得到 ③
當時，；
當時，由①及③得：
.
證明完畢.
【點睛】本題是數列的綜合性大題，關鍵是猜想，并用數學歸納法證明；根據結論構造不等式，令，得，然后用這個不等式對放縮.
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