資源簡介

2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展26 立體幾何中的軌跡問題（精講+精練）
一、立體幾何中的軌跡問題
立體幾何軌跡問題是以空間圖形為素材,去探究符合一定條件的點的運動軌跡,處于解析幾何和立體幾何的交匯處,要求學生有較強的空間想象能力、數學轉化和化歸能力,以及對解析幾何和立體幾何知識的全面掌握.常見的軌跡類型有直線、圓雉曲線、球面、橢球面.
二、常用的解決策略
(1)定義法:借助圓雉曲線的定義判斷.
(2)坐標法:建立合適的坐標系,用方程來表示所求點的軌跡,借助方程來判斷軌跡形狀.
(3)交軌法:運動的點同時在兩個空間幾何體上,如平面與圓雉、圓柱、球相交,球與球相交,等等.
(4)平面化:把空間幾何關系轉化到同一平面內,進而探究平面內的軌跡問題,使問題更易解決.空間問題平面化也是解決立體幾何題目的一般性思路.
三、軌跡是圓錐曲線的原理剖析
令平面與軸線的夾角為,圓雉的母線與軸的夾角為,如圖②.
當時,截口曲線為橢圓;
(2)當時,截口曲線為拋物線;
(3)當時,截口曲線為雙曲線.
圖②我們再從幾何角度來證明.
(1)如圖③,在圓錐內放兩個大小不同的球,使它們分別與截面切于點.在截口曲線上任取一點,過點作圓雉的母線,分別與兩球切于點.由球的性質可知,于是為定值,這樣截口曲線上的任一點到兩個定點的距離之和為常數,由橢圓的定義知,截口曲線是橢圓.
(2)如圖④,在互相倒置的兩個圓雉內放兩個大小不同的球,使它們分別與圓雉的側面、截面相切,兩個球分別與截面切于點.在截口曲線上任取一點,過點作圓雉的母線,分別與兩球切于點.由球的性質可知,于是為定值,這樣截口曲線上的任一點到兩個定點的距離之差的絕對值為常數,由雙曲線的定義知,截口曲線是雙曲線.
(3)如圖⑤,用平行于母線且垂直于軸截面的平面去截圓雉.在圓雉內放一個球,使它和圓雉的側面與截面相切,球與截面切于點.設為球與圓雉相切時切點構成的圓所在的平面,記.在截口曲線上任取一點,作直線與球相切于點,連結,有.在母線上取點(為與球的切點),使得.過點作,有點在上,且.另一方面,因為平面與垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲線是以點為焦點,為準線的拋物線.
1.平行、垂直有關的的軌跡問題
①平行有關的軌跡問題的解題策略
1.線面平行轉化為面面平行得軌跡;
2.平行時可利用法向量垂直關系求軌跡.
②垂直有關的軌跡問題的解題策略
1.可利用線線線面垂直，轉化為面面垂直，得交線求軌跡;
2.利用空間坐標運算求軌跡;
3.利用垂直關系轉化為平行關系求軌跡.
【典例1】如圖，在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中點，M在四邊形EFGH邊上及其內部運動，若MN∥面A1BD，則點M軌跡的長度是（　　）
A．a B．a C． D．
【答案】D
【分析】連接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，證得面A1BD∥面GHN，由已知得點M須在線段GH上運動，即滿足條件，由此可得選項.
【詳解】解：連接GH、HN、GN，∵在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是CC1、C1D1、DD1、CD的中點，N是BC的中點，
則GH∥BA1，HN∥BD，又面A1BD，BA1面A1BD，所以面A1BD，同理可證得面A1BD，
又，∴面A1BD∥面GHN，
又∵點M在四邊形EFGH上及其內部運動，MN∥面A1BD，
則點M須在線段GH上運動，即滿足條件，GH=a，則點M軌跡的長度是a.
【典例2】在正方體中，Q是正方形內的動點，，則Q點的軌跡是（ ）
A．點 B．線段 C．線段 D．平面
【答案】B
【分析】如圖，連接,證明,又，即得解.
【詳解】
如圖，連接,
因為平面,所以平面, 又平面,
所以,又.所以點在線段上.故選：B
2.距離、角度有關的的軌跡問題
①距離有關的軌跡問題的解題策略
1.距離，可轉化為在一個平面內的距離關系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識求解軌跡；
2.利用空間坐標計算求軌跡.
②角度有關的軌跡問題的解題策略
1.直線與面成定角，可能是圓錐側面;
2.直線與定直線成等角，可能是圓錐側面;
3.利用空間坐標系計算求軌跡.
【典例3】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為底面ABCD內一點，若P到棱CD，A1D1距離相等的點，則點P的軌跡是（ ）
A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線
【答案】D
【分析】以D為坐標原點建立空間直角坐標系，求出點P的軌跡方程即可判斷.
【詳解】
如圖示，過P作PE⊥AB與E，過P作PF⊥AD于F，過F作FG∥AA1交A1D1于G，連結PG，由題意可知PE=PG
以D為坐標原點建立空間直角坐標系，設，由PE=PG得：
，平方得：即點P的軌跡是雙曲線.故選：D.
【典例4】正方體中，，分別為，的中點，是邊上的一個點（包括端點），是平面上一動點，滿足直線 與直線 夾角與直線與直線 的夾角相等，則點所在軌跡為（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．拋物線或雙曲線
【答案】D
【分析】根據題設分析可知：點軌跡為以為母線，為軸，為底面直徑的圓錐體，及其關于反向對稱的錐體與平面的交線，應用數形結合，結合平面與雙錐面相交所成曲線的性質判斷所在軌跡的形狀.
【詳解】由題設，點軌跡為以為母線，為軸，為底面直徑的圓錐體，及其關于反向對稱的錐體與平面的交線，如下圖示：
當是邊上移動過程中，只與下方錐體有相交，點軌跡為拋物線；
當是邊上移動過程中，與上方錐體也有相交，點軌跡為雙曲線；
故選：D
3.翻折有關的的軌跡問題
①翻折有關的軌跡問題的解題策略
1.翻折過程中尋找不變的垂直的關系求軌跡
2.翻折過程中尋找不變的長度關系求軌跡
3.可以利用空間坐標運算求軌跡
【典例5】1822年，比利時數學家 Dandelin利用圓錐曲線的兩個內切球，證明了用一個平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點即為橢圓的焦點），實現了橢圓截線定義與軌跡定義的統一性．在生活中，有一個常見的現象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個占正上方有一個點光源，將小球放置在地面，使得與小球相切．若，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，從而可得 ，，，利用勾股定理可得，再由離心率的定義即可求解.
【詳解】在中，設，
，，，，
， ∴長軸長，，則離心率.故選：A
【題型訓練2-刷模擬】
1.平行、垂直有關的的軌跡問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）正四棱錐的底面邊長為2，高為2，E是邊的中點，動點P在表面上運動，并且總保持，則動點P的軌跡的周長為（ ）
A． B． C．4 D．
2．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學校考模擬預測）在正四棱柱中，，，為中點，為正四棱柱表面上一點，且，則點的軌跡的長為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江西贛州·統考二模）在棱長為4的正方體中，點滿足，，分別為棱，的中點，點在正方體的表面上運動，滿足面，則點的軌跡所構成的周長為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，正方體的棱長為2，E，F分別為，的中點，點P是正方體表面上的動點，若平面，則點在正方體表面上運動所形成的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·高三專題練習）在棱長為1的正方體中，分別為，的中點，點在正方體的表面上運動，且滿足平面，則下列說法正確的是（ ）
A．點可以是棱的中點 B．線段的最大值為
C．點的軌跡是正方形 D．點軌跡的長度為
6．（2023·全國·高三專題練習）已知棱長為1的正方體，是的中點，動點在正方體內部或表面上，且平面，則動點的軌跡所形成區域的面積是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（2023·全國·高三專題練習）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點，已知，圓柱的高為5．若點在圓柱表面上運動，且滿足，則點的軌跡所圍成圖形的面積為 ．
8．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知正方體的棱長為，動點P在內，滿足，則點P的軌跡長度為 ．
9．（2023春·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學校考階段練習）若點是棱長為的正方體的內切球的球面上的動點，點為棱上的一點，且，，則動點的軌跡的長度為 ．
2.距離、角度有關的的軌跡問題
一、單選題
1．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）已知長方體的外接球的表面積為，，點P在四邊形內，且直線BP與平面所成角為，則長方體的體積最大時，動點P的軌跡長為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北·統考模擬預測）已知正四棱錐（底面為正方形，且頂點在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正四棱錐）P－ABCD的底面正方形邊長為2，其內切球O的表面積為，動點Q在正方形ABCD內運動，且滿足，則動點Q形成軌跡的周長為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山東淄博·統考三模）設A，B是半徑為3的球體O表面上兩定點，且，球體O表面上動點P滿足，則點P的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高三專題練習）在正方體中，E為的中點，F為底面ABCD上一動點，且EF與底面ABCD所成的角為．若該正方體外接球的表面積為，則動點F的軌跡長度為（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模擬預測）已知三棱錐的底面△ABC為等腰直角三角形，其頂點P到底面ABC的距離為4，體積為，若該三棱錐的外接球O的半徑為，則滿足上述條件的頂點P的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）在正四面體中，點為所在平面上的動點，若與所成角為定值， 則動點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
7．（2022秋·河南·高三期末）棱長為1的正方體中，點是側面上的一個動點（包含邊界），則下面結論正確的有（ ）
①若點滿足，則動點的軌跡是線段；
②若點滿足，則動點的軌跡是橢圓的一部分；
③在線段上存在點，使直線與．所成的角為；
④當在棱上移動時，的最小值是．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題
8．（2023春·湖南長沙·高三校聯考階段練習）在棱長為3的正方體中，為棱上一點，且，則正方體表面到點距離為的點的軌跡總長度為 .
9．（2023·全國·高三專題練習）已知三棱錐的外接球的半徑為，為等腰直角三角形，若頂點到底面的距離為4，且三棱錐的體積為，則滿足上述條件的頂點的軌跡長度是 ．
10．（2023·全國·唐山市第十一中學校考模擬預測）已知為正方體的內切球球面上的動點，為的中點，，若動點的軌跡長度為，則正方體的體積是 .
3.翻折有關的的軌跡問題
一、單選題
1．已知菱形的各邊長為.如圖所示，將沿折起，使得點到達點的位置，連接，得到三棱錐，此時，是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持，則點的軌跡的周長為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，正方形的邊長為為的中點，將沿向上翻折到，連接，在翻折過程中，下列說法中正確的是（ ）
①四棱錐的體積最大值為②．中點的軌跡長度為
③與平面所成角的正弦值之比為
④三棱錐的外接球半徑有最小值，沒有最大值
A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②③
3．如圖，在長方形ABCD中，AB=，BC=1，E為線段DC上一動點，現將AED沿AE折起，使點D在面ABC上的射影K在直線AE上，當E從D運動到C，則K所形成軌跡的長度為
A． B． C． D．
2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展26 立體幾何中的軌跡問題（精講+精練）
一、立體幾何中的軌跡問題
立體幾何軌跡問題是以空間圖形為素材,去探究符合一定條件的點的運動軌跡,處于解析幾何和立體幾何的交匯處,要求學生有較強的空間想象能力、數學轉化和化歸能力,以及對解析幾何和立體幾何知識的全面掌握.常見的軌跡類型有直線、圓雉曲線、球面、橢球面.
二、常用的解決策略
(1)定義法:借助圓雉曲線的定義判斷.
(2)坐標法:建立合適的坐標系,用方程來表示所求點的軌跡,借助方程來判斷軌跡形狀.
(3)交軌法:運動的點同時在兩個空間幾何體上,如平面與圓雉、圓柱、球相交,球與球相交,等等.
(4)平面化:把空間幾何關系轉化到同一平面內,進而探究平面內的軌跡問題,使問題更易解決.空間問題平面化也是解決立體幾何題目的一般性思路.
三、軌跡是圓錐曲線的原理剖析
令平面與軸線的夾角為,圓雉的母線與軸的夾角為,如圖②.
當時,截口曲線為橢圓;
(2)當時,截口曲線為拋物線;
(3)當時,截口曲線為雙曲線.
圖②我們再從幾何角度來證明.
(1)如圖③,在圓錐內放兩個大小不同的球,使它們分別與截面切于點.在截口曲線上任取一點,過點作圓雉的母線,分別與兩球切于點.由球的性質可知,于是為定值,這樣截口曲線上的任一點到兩個定點的距離之和為常數,由橢圓的定義知,截口曲線是橢圓.
(2)如圖④,在互相倒置的兩個圓雉內放兩個大小不同的球,使它們分別與圓雉的側面、截面相切,兩個球分別與截面切于點.在截口曲線上任取一點,過點作圓雉的母線,分別與兩球切于點.由球的性質可知,于是為定值,這樣截口曲線上的任一點到兩個定點的距離之差的絕對值為常數,由雙曲線的定義知,截口曲線是雙曲線.
(3)如圖⑤,用平行于母線且垂直于軸截面的平面去截圓雉.在圓雉內放一個球,使它和圓雉的側面與截面相切,球與截面切于點.設為球與圓雉相切時切點構成的圓所在的平面,記.在截口曲線上任取一點,作直線與球相切于點,連結,有.在母線上取點(為與球的切點),使得.過點作,有點在上,且.另一方面,因為平面與垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲線是以點為焦點,為準線的拋物線.
1.平行、垂直有關的的軌跡問題
①平行有關的軌跡問題的解題策略
1.線面平行轉化為面面平行得軌跡;
2.平行時可利用法向量垂直關系求軌跡.
②垂直有關的軌跡問題的解題策略
1.可利用線線線面垂直，轉化為面面垂直，得交線求軌跡;
2.利用空間坐標運算求軌跡;
3.利用垂直關系轉化為平行關系求軌跡.
【典例1】如圖，在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中點，M在四邊形EFGH邊上及其內部運動，若MN∥面A1BD，則點M軌跡的長度是（　　）
A．a B．a C． D．
【答案】D
【分析】連接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，證得面A1BD∥面GHN，由已知得點M須在線段GH上運動，即滿足條件，由此可得選項.
【詳解】解：連接GH、HN、GN，∵在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是CC1、C1D1、DD1、CD的中點，N是BC的中點，
則GH∥BA1，HN∥BD，又面A1BD，BA1面A1BD，所以面A1BD，同理可證得面A1BD，
又，∴面A1BD∥面GHN，
又∵點M在四邊形EFGH上及其內部運動，MN∥面A1BD，
則點M須在線段GH上運動，即滿足條件，GH=a，則點M軌跡的長度是a.
【典例2】在正方體中，Q是正方形內的動點，，則Q點的軌跡是（ ）
A．點 B．線段 C．線段 D．平面
【答案】B
【分析】如圖，連接,證明,又，即得解.
【詳解】
如圖，連接,
因為平面,所以平面, 又平面,
所以,又.所以點在線段上.故選：B
2.距離、角度有關的的軌跡問題
①距離有關的軌跡問題的解題策略
1.距離，可轉化為在一個平面內的距離關系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識求解軌跡；
2.利用空間坐標計算求軌跡.
②角度有關的軌跡問題的解題策略
1.直線與面成定角，可能是圓錐側面;
2.直線與定直線成等角，可能是圓錐側面;
3.利用空間坐標系計算求軌跡.
【典例3】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為底面ABCD內一點，若P到棱CD，A1D1距離相等的點，則點P的軌跡是（ ）
A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線
【答案】D
【分析】以D為坐標原點建立空間直角坐標系，求出點P的軌跡方程即可判斷.
【詳解】
如圖示，過P作PE⊥AB與E，過P作PF⊥AD于F，過F作FG∥AA1交A1D1于G，連結PG，由題意可知PE=PG
以D為坐標原點建立空間直角坐標系，設，由PE=PG得：
，平方得：即點P的軌跡是雙曲線.故選：D.
【典例4】正方體中，，分別為，的中點，是邊上的一個點（包括端點），是平面上一動點，滿足直線 與直線 夾角與直線與直線 的夾角相等，則點所在軌跡為（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．拋物線或雙曲線
【答案】D
【分析】根據題設分析可知：點軌跡為以為母線，為軸，為底面直徑的圓錐體，及其關于反向對稱的錐體與平面的交線，應用數形結合，結合平面與雙錐面相交所成曲線的性質判斷所在軌跡的形狀.
【詳解】由題設，點軌跡為以為母線，為軸，為底面直徑的圓錐體，及其關于反向對稱的錐體與平面的交線，如下圖示：
當是邊上移動過程中，只與下方錐體有相交，點軌跡為拋物線；
當是邊上移動過程中，與上方錐體也有相交，點軌跡為雙曲線；
故選：D
3.翻折有關的的軌跡問題
①翻折有關的軌跡問題的解題策略
1.翻折過程中尋找不變的垂直的關系求軌跡
2.翻折過程中尋找不變的長度關系求軌跡
3.可以利用空間坐標運算求軌跡
【典例5】1822年，比利時數學家 Dandelin利用圓錐曲線的兩個內切球，證明了用一個平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點即為橢圓的焦點），實現了橢圓截線定義與軌跡定義的統一性．在生活中，有一個常見的現象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個占正上方有一個點光源，將小球放置在地面，使得與小球相切．若，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，從而可得 ，，，利用勾股定理可得，再由離心率的定義即可求解.
【詳解】在中，設，
，，，，
， ∴長軸長，，則離心率.故選：A
【題型訓練2-刷模擬】
1.平行、垂直有關的的軌跡問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）正四棱錐的底面邊長為2，高為2，E是邊的中點，動點P在表面上運動，并且總保持，則動點P的軌跡的周長為（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】由題意，動點P的軌跡為過E且垂直的平面與正四棱錐的交線，再根據線面垂直的性質求解即可.
【詳解】如圖，設交于，連接，由正四棱錐的性質可得，平面，因為平面，故.
又，，平面，故平面.
由題意，則動點P的軌跡為過E且垂直的平面與正四棱錐的交線，即如圖，則平面.
由線面垂直的性質可得平面平面，又由面面平行的性質可得，，，又E是邊的中點，故分別為的中位線.
由題意，故.
即動點P的軌跡的周長為.

故選：A
2．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學校考模擬預測）在正四棱柱中，，，為中點，為正四棱柱表面上一點，且，則點的軌跡的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定的條件，結合正四棱柱的結構特征，作出過點垂直于的正四棱柱的截面即可計算作答.
【詳解】在正四棱柱中，連接，如圖，，平面，
因為平面，則，又平面，
，則平面，又平面，則，
取中點，連接，在平面內過作，交于，顯然，
而平面，則平面，有，
又平面，，于是平面，而平面，因此，
因為平面，，從而平面，
連接，則點的軌跡為平面與四棱柱的交線，即，
因為，即有，又，
于是，有，，
所以點的軌跡長為.
故選：A
【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.
3．（2023·江西贛州·統考二模）在棱長為4的正方體中，點滿足，，分別為棱，的中點，點在正方體的表面上運動，滿足面，則點的軌跡所構成的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出輔助線，找到點的軌跡，利用勾股定理求出邊長，得到周長.
【詳解】延長，交的延長線與，連接，分別交，于，
過點作交于點，過點作交于點，
因為平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因為，所以平面平面，
過點作交于點，
連接，則
則平行四邊形（點除外）為點的軌跡所構成的圖形，
因為正方體棱長為4，，分別為棱，的中點，，
所以，
因為，所以，
過點作⊥于點，則，
則由幾何關系可知，所以，
由勾股定理得，
所以點的軌跡所構成的周長為.
故選：D
4．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，正方體的棱長為2，E，F分別為，的中點，點P是正方體表面上的動點，若平面，則點在正方體表面上運動所形成的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要滿足平面，只需要尋找一個平面，使該平面經過，且與平面平行即可, 取的中點G，的中點H，連結.證明出面面.得到點在正方體表面上運動所形成的軌跡為三角形，求出周長即可.
【詳解】取的中點G，的中點H，連結.
正方體的棱長為2.為中點，所以,所以且.
因為為分別為的中點，所以,且，所以四邊形為平行四邊形，所以.
因為面，面，所以面.
同理可證：面.
又,面,面,
所以面面.
所以點在正方體表面上運動所形成的軌跡為三角形.
因為正方體的棱長為2，所以,
所以三角形的周長為.
故選：B
5．（2023·全國·高三專題練習）在棱長為1的正方體中，分別為，的中點，點在正方體的表面上運動，且滿足平面，則下列說法正確的是（ ）
A．點可以是棱的中點 B．線段的最大值為
C．點的軌跡是正方形 D．點軌跡的長度為
【答案】B
【分析】如圖，取棱的中點，連接，進而證明平面平面，再結合題意可知直線必過點，進而取中點，連接，證明平面即可得四邊形為點的軌跡，再根據幾何關系依次判斷各選項即可.
【詳解】解：如圖，取棱的中點，連接，
因為分別為，的中點，
所以，在中，，由于平面，平面，
所以平面，
因為，所以，四邊形為平行四邊形，
所以，因為平面，平面，
所以，平面，
因為，平面，
所以，平面平面，
由于為體對角線的中點，
所以，連接并延長，直線必過點，
故取中點，連接，
所以，由正方體的性質易知，
所以，四邊形是平行四邊形，，，
因為，，，
所以，共線，即平面，
所以，四邊形為點的軌跡，故A選項錯誤；
由正方體的棱長為，所以，四邊形的棱長均為，且對角線為，，
所以，四邊形為菱形，周長為，故CD選項錯誤，
由菱形的性質知，線段的最大值為，故B選項正確.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于取棱的中點，進而證明平面平面，再根據面面平行的性質求解點軌跡即可求解.
6．（2023·全國·高三專題練習）已知棱長為1的正方體，是的中點，動點在正方體內部或表面上，且平面，則動點的軌跡所形成區域的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點M做平面的平行截面，再求四邊形面積即可.
【詳解】
如圖所示 E、F、G、M分別是、、、的中點，
則，，所以平面，平面，且，
所以平面 平面，故點P的軌跡為矩形.
，所以，所以.
故選：A
【點睛】本題考查面面平行的判定和面面平行的性質，以及正方體的截面問題，屬綜合中檔題.
二、填空題
7．（2023·全國·高三專題練習）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點，已知，圓柱的高為5．若點在圓柱表面上運動，且滿足，則點的軌跡所圍成圖形的面積為 ．
【答案】10
【分析】先推出平面，設過的母線與上底面的交點為，過的母線與上底面的交點為，連，推出平面，從而可得點的軌跡是矩形，計算這個矩形的面積即可得解.
【詳解】因為是圓柱下底面圓的直徑，所以，
又，，平面，所以平面，
設過的母線與上底面的交點為，過的母線與上底面的交點為，連，
因為平面，平面，所以，
因為，平面，所以平面，
所以點在平面內，又點在圓柱的表面，所以點的軌跡是矩形，
依題意得，，，所以，
所以矩形的面積為.
故點的軌跡所圍成圖形的面積為.
故答案為：.
8．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知正方體的棱長為，動點P在內，滿足，則點P的軌跡長度為 ．
【答案】
【分析】確定正方體對角線與的交點E，求出確定軌跡形狀，再求出軌跡長度作答.
【詳解】在正方體中，如圖，
平面，平面，則，而，
平面，于是平面，又平面，
則，同理，而平面，因此平面，
令交平面于點E，由，得，
即，解得，而，于是，
因為點P在內，滿足，則，
因此點P的軌跡是以點為圓心，1為半徑的圓在內的圓弧，
而為正三角形，則三棱錐必為正三棱錐，為正的中心，
于是正的內切圓半徑，
則，即，，
所以圓在內的圓弧為圓周長的，即點P的軌跡長度為．故答案為：
【點睛】思路點睛：涉及立體圖形中的軌跡問題，若動點在某個平面內，利用給定條件，借助線面、面面平行、垂直等性質，確定動點與所在平面內的定點或定直線關系，結合有關平面軌跡定義判斷求解.
9．（2023春·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學校考階段練習）若點是棱長為的正方體的內切球的球面上的動點，點為棱上的一點，且，，則動點的軌跡的長度為 ．
【答案】
【分析】由題意畫出圖形，上取點，使得，連接，由線面垂直的判定定理和性質，可得平面，所以點的軌跡為平面與球的截面圓周，求出截面圓的半徑即可得出答案.
【詳解】
如圖所示，在上取點，使得，連接
，
又平面，
又，平面，平面，平面
平面
又點是棱長為的正方體的內切球的球面上的動點且，可得點的軌跡為平面與球的截面圓周.
連接,則
又
又在平面，則到平面的距離：
又
設到平面的距離為，則，解得
又正方體的內切球得半徑
則截面圓的半徑，
因此可得動點的軌跡的長度為.
故答案為：
【點睛】本題是一道空間線面位置關系及多面體與球的內切等位置關系與距離、體積的計算等能力的綜合運用．解答時先將問題轉化和化歸為平面與球的截面圓周的周長問題，進而轉化為到平面的距離為，運用等體積法求出，借助截面圓的半徑與球的半徑，球心距之間的關系求出截面圓周的半徑，最后求出截面圓的周長也即為動點的軌跡的長度.
2.距離、角度有關的的軌跡問題
一、單選題
1．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）已知長方體的外接球的表面積為，，點P在四邊形內，且直線BP與平面所成角為，則長方體的體積最大時，動點P的軌跡長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由題意得到長方體體積最大時，得到幾何體的棱長，設，相交于點，由平面，確定線面角，從而確定點的軌跡，從而得解.
【詳解】因為長方體的外接球的表面積為，設外接球的半徑為，
所以，解得或（舍去），即外接球的直徑為，
設，，則，可得，
所以，當且僅當時，等號成立．
如圖，設，相交于點，
因為，，平面，
所以平面，直線與平面所成角為，
所以，故，則點的軌跡是以為圓心，半徑的半圓弧，
所以動點的軌跡長為．
故選：C
2．（2023·河北·統考模擬預測）已知正四棱錐（底面為正方形，且頂點在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正四棱錐）P－ABCD的底面正方形邊長為2，其內切球O的表面積為，動點Q在正方形ABCD內運動，且滿足，則動點Q形成軌跡的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等體積法及幾何關系求出關于動點Q的等式關系 ，根據相關幾何意義即可求出動點Q形成軌跡的周長.
【詳解】設內切球O的半徑為R，則，∴．
如圖，連接AC與BD，設交點為F，取AD的中點E，連接PE，PF，EF．
根據等體積法得，
∴，整理得，又，
解得，．∴，，．
在中，．
∴點Q在以點F為圓心，為半徑的圓上，其周長為．
故選：C．
3．（2023·山東淄博·統考三模）設A，B是半徑為3的球體O表面上兩定點，且，球體O表面上動點P滿足，則點P的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐標系，根據確定軌跡為圓，轉化到空間得到軌跡為兩球的交線，計算球心距，對應圓的半徑為，再計算周長得到答案.
【詳解】以所在的平面建立直角坐標系，為軸，的垂直平分線為軸，
，則，，設，，
則，整理得到，
故軌跡是以為圓心，半徑的圓，
轉化到空間中：當繞為軸旋轉一周時，不變，依然滿足，
故空間中的軌跡為以為球心，半徑為的球，
同時在球上，故在兩球的交線上，為圓.
球心距為，
為直角三角形，對應圓的半徑為，
周長為.
故選：D
4．（2023·全國·高三專題練習）在正方體中，E為的中點，F為底面ABCD上一動點，且EF與底面ABCD所成的角為．若該正方體外接球的表面積為，則動點F的軌跡長度為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取AD的中點H，連接EH，判斷出為EF與底面ABCD所成的角，即．設正方體的棱長為a，利用外接球的表面積求出.判斷出F的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD區域內的部分，利用弧長公式求出動點F的軌跡的長度.
【詳解】
如圖1，取AD的中點H，連接EH，則.
在正方體中，底面ABCD，所以底面ABCD.
所以為EF與底面ABCD所成的角，則．
設正方體的棱長為a，因為該正方體外接球的表面積為，
所以，解得，
所以，從而，
所以F的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD區域內的部分，如圖2．
在圖2中，，
所以，則，
根據對稱性可知，所以，
故動點F的軌跡周長為．
故選：A
5．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模擬預測）已知三棱錐的底面△ABC為等腰直角三角形，其頂點P到底面ABC的距離為4，體積為，若該三棱錐的外接球O的半徑為，則滿足上述條件的頂點P的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三棱錐的體積，求解底邊邊長，求出的外接圓半徑，以及球心到底面的距離，判斷頂點的軌跡是一個截面圓的圓周，進而求解周長即可．
【詳解】依題意得，設底面等腰直角三角形的直角邊長為，
三棱錐的體積
解得：
的外接圓半徑為
球心到底面的距離為
，
又頂點P到底面ABC的距離為4，
頂點的軌跡是一個截面圓的圓周
當球心在底面和截面圓之間時，
球心到該截面圓的距離為，
截面圓的半徑為，
頂點P的軌跡長度為；
當球心在底面和截面圓同一側時，
球心到該截面圓的距離為，故不成立．
綜上所述，頂點P的軌跡的總長度為．
故選：D．
6．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）在正四面體中，點為所在平面上的動點，若與所成角為定值， 則動點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【答案】B
【分析】把條件轉化為與圓錐的軸重合，面與圓錐的相交軌跡即為點的軌跡后即可求解.
【詳解】以平面截圓錐面，平面位置不同，生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓.令與圓錐的軸線重合，如圖所示，則圓錐母線與所成角為定值，所以面與圓錐的相交軌跡即為點的軌跡.根據題意，不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓. 面不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可能是雙曲線.可進一步計算與平面所成角為，即時，軌跡為拋物線，時，軌跡為橢圓， ，所以軌跡為橢圓.
故選：B.
【點睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問題，考查了轉化化歸思想，屬于難題.
7．（2022秋·河南·高三期末）棱長為1的正方體中，點是側面上的一個動點（包含邊界），則下面結論正確的有（ ）
①若點滿足，則動點的軌跡是線段；
②若點滿足，則動點的軌跡是橢圓的一部分；
③在線段上存在點，使直線與．所成的角為；
④當在棱上移動時，的最小值是．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】對于①，證明平面即可解決；對于②，若，則在以為軸，母線所在直線為的圓錐曲線的側面上，即可解決；對于③，當為中點時，此時最小，計算得即可解決；對于④，平面旋轉到與平面重合，連接交于，即可解決.
【詳解】連接
所以，
又正方體中，平面，
因為平面，
所以，
又平面，
所以平面，
所以只要在線段上，就有，
所以動點的軌跡是線段；故①正確；
若，
則在以為軸，母線所在直線為的圓錐曲線的側面上，
平面與圓錐的軸斜交，截圓錐的側面所得的截線是橢圓，故②正確；
因為
所以與所成的角等于與所成的角，
當為中點時，
此時最小，
在中，
所以不可能為.故③錯誤；
如圖，將平面旋轉到與平面重合，
連接交于，
此時的最小值為故④錯誤；
故選：B.
二、填空題
8．（2023春·湖南長沙·高三校聯考階段練習）在棱長為3的正方體中，為棱上一點，且，則正方體表面到點距離為的點的軌跡總長度為 .
【答案】
【分析】根據以為球心，為半徑的球與正方體表面的交線長度來求得軌跡總長度.
【詳解】以為球心，為半徑的球與正方體表面的交線長度即為所求，
在平面和平面上軌跡是以為圓心，為半徑，
圓心角為的兩段弧，弧長為，
在平面上的軌跡是以為圓心，1為半徑，圓心角為的弧，弧長為，
在平面上的軌跡是以為圓心，2為半徑，圓心角為的弧，弧長為，
因此，軌跡的總長度為.
故答案為：
9．（2023·全國·高三專題練習）已知三棱錐的外接球的半徑為，為等腰直角三角形，若頂點到底面的距離為4，且三棱錐的體積為，則滿足上述條件的頂點的軌跡長度是 ．
【答案】
【分析】設直角邊的邊長為，根據三棱錐的體積為，求得，進而求得外接圓半徑為，得出球心到底面的距離，得出球心到該截面圓的距離，進而求得截面圓的半徑，即可求得點的軌跡長度.
【詳解】設底面等腰直角三角形的直角邊的邊長為，
∴頂點到底面的距離為4且三棱錐的體積為，
∴，解得，
∴的外接圓半徑為，
∴球心到底面的距離為，
又∵頂點到底面的距離為4，
∴頂點的軌跡是一個截面圓的圓周（球心在底面和截面圓之間）且球心到該截面圓的距離為，
∵截面圓的半徑，
∴頂點的軌跡長度是，
故答案是：．
【點睛】解題方法點撥：
1、立體幾何中的動態問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；
2、解答方法：一般時根據線面平行，線面垂直的判定定理和性質定理，結合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；
10．（2023·全國·唐山市第十一中學校考模擬預測）已知為正方體的內切球球面上的動點，為的中點，，若動點的軌跡長度為，則正方體的體積是 .
【答案】
【分析】將動點的軌跡轉化到平面與內切球的交線，其交線為圓，根據軌跡長度可求得圓的半徑，利用射影定理與中位線性質，求出到截面的距離，再利用勾股定理即可求出內切球的半徑，即可得正方體的棱長，即可求體積.
【詳解】如圖所示：
正方體，設，則內切球的半徑，
其中為的中點，取的中點，連接,
則有：,
又,平面，
所以平面，
所以動點的軌跡是平面截內切球的交線，
即平面截內切球的交線，
因為正方體，，
如圖所示：
連接,則有且，
，且，
設到平面的距離為：，
則在三棱錐中，有，
所以，
即，
解得：，
截面圓的半徑，
所以動點的軌跡長度為：，
即，解得，
所以，正方體的體積：，
故答案為：.
3.翻折有關的的軌跡問題
一、單選題
1．已知菱形的各邊長為.如圖所示，將沿折起，使得點到達點的位置，連接，得到三棱錐，此時，是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持，則點的軌跡的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取中點，作，設點軌跡所在平面為，設三棱錐外接球的球心為的中心分別為，則可得平面平面，且四點共面，求出三棱錐外接球半徑和到平面的距離，從而可求出平面截外接球所得截面圓的半徑，進而可得結果.
【詳解】取中點，連接，
則，平面
∴平面，，又，
∴，
則三棱錐的高，
三棱錐體積為；
作，設點軌跡所在平面為，
則平面經過點且，
設三棱錐外接球的球心為的中心分別為，
易知平面平面，且四點共面，
由題可得，，
解Rt ，得，又，
則三棱錐外接球半徑，
易知到平面的距離，
故平面截外接球所得截面圓的半徑為，
∴截面圓的周長為，即點軌跡的周長為.
故答案為：.
2．如圖，正方形的邊長為為的中點，將沿向上翻折到，連接，在翻折過程中，下列說法中正確的是（ ）
①四棱錐的體積最大值為②．中點的軌跡長度為
③與平面所成角的正弦值之比為
④三棱錐的外接球半徑有最小值，沒有最大值
A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【分析】根據題意，根據四棱錐的體積公式，以及線面角的概念和三棱錐的外接球概念作圖，逐個選項進行判斷即可求解
【詳解】由已知梯形面積為，直角斜邊
上的高為.當平面平面時，四棱錐的
體積取最大值. ①正確；
取中點為，則平行且相等，四邊形是平行四邊形，
所以，點的軌跡與點的軌跡完全相同，過作的垂線，垂足為
的軌跡是以為圓心，為半徑的半圓弧，從而
中點的軌跡長度為.②錯誤；
由四邊形是平行四邊形知，
則平面，則到平面距離相等，
故，與平面所成角的正弦值之比為等于. ③正確；
外接圓半徑為是中點，根據正弦定理
外接圓半徑為是圓與圓公共弦，.
設三棱錐外接球球心為，半徑為，
則
因為，所以，所以最小值為，沒有最大值. ④正確；
故選：C
3．如圖，在長方形ABCD中，AB=，BC=1，E為線段DC上一動點，現將AED沿AE折起，使點D在面ABC上的射影K在直線AE上，當E從D運動到C，則K所形成軌跡的長度為
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
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