資源簡介

2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展25 立體幾何中的截面問題（精講+精練）
一、截面問題的理論依據
(1)確定平面的條件
①不在同一平面的三點確定一個平面；②兩條平行線確定一個平面
(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線
(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內
(4)如果一條直線平行于一個平面，且經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
(5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行
二、截面問題的基本思路
1.定義相關要素
①用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面.
②此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線.
③此平面與幾何體的棱(或面)的交集(交點)叫做實截點.
④此平面與幾何體的棱(或面)的延長線的交點叫做虛截點.
⑤截面中能夠確定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本邏輯：找截點→連截線→圍截面
3.作截面的具體步驟
（1）找截點：方式1：延長截小面上的一條直線，與幾何體的棱、面(或其延長部分)相交，交點即截點
方式2：過一截點作另外兩截點連線的平行線，交幾何體的棱于截點
（2）連截線：連接同一平面內的兩個截點，成截線
（3）圍截面：將各截線首尾相連，圍成截面
三、作截面的幾種方法
（1）直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程。
（2）延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點。
（3）平行線法：過直線與直線外一點作截面，拖直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體的截面的交線。
模型演練：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖。可以先默認為中點，等完全理解了，再改成任意等分點
方法：兩點成線相交法或者平行法
特征：1.三點中，有兩點連線在表面上.本題如下圖是EF（這類型的關鍵）；
2.“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下圖.
方法二：平行線法，做法如下圖.
四、正方體中的基本截面類型
【典例1】用一個平面去截正方體，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五邊形 D．正六邊形
【答案】ABC
【分析】
根據正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個答案中的圖形進行比照，即可判斷選項．
【詳解】
當截面為三角形時，可能出現正三角形，但不可能出現直角三角形；
截面為四邊形時，可能出現矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現直角梯形；
當截面為五邊形時，不可能出現正五邊形；
截面為六邊形時，可能出現正六邊形，
故選：ABC．
【典例2】已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過點，C，E的平面截得的截面面積為______.
【答案】
【分析】在上取點，使得，連接，則四邊形是平行四邊形，
由勾股定理可得，再結合余弦定理與面積公式即可求解
【詳解】由題意，正四棱柱中，，，
可得，在上取點，使得，連接，則有，
所以四邊形是平行四邊形，由勾股定理可得
，
所以,所以，所以四邊形是平行四邊形的面積為，故答案為：
【典例3】如圖，在正方體中，，為棱的中點，為棱的四等分點（靠近點），過點作該正方體的截面，則該截面的周長是___________.
【答案】
【分析】首先根據面面平行的性質定理作出過點的正方體的截面，從而求截面的周長.
【詳解】如圖，取的中點，取上靠近點的三等分點，
連接，易證，則五邊形為所求截面.
因為，所以，
則，故該截面的周長是.故答案為：.
【典例4】已知三棱錐的所有棱長均相等，四個頂點在球的球面上，平面經過棱，，的中點，若平面截三棱錐和球所得的截面面積分別為，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平面截三棱錐所得三角形為正三角，即可求出三角形面積及外接圓面積，即可求解.
【詳解】設平面截三棱錐所得正三角邊長為a，截面圓的半徑為r，則，
由正弦定理可得，，，故選：B
【題型訓練-刷模擬】
1.截面形狀問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）用一平面去截一長方體，則截面的形狀不可能是（ ）
A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形
2．（2023·全國·高三專題練習）已知在正方體中，，，分別是，，的中點，則過這三點的截面圖的形狀是（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
3．（2023·全國·高三專題練習）已知在長方體中，，點，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長方體所得的截面形狀為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
4．（2023秋·江蘇南京·高三統考開學考試）在正方體中，過點B的平面與直線垂直，則截該正方體所得截面的形狀為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
5．（2023·河南·模擬預測）在正方體中，M，N分別為AD，的中點，過M，N，三點的平面截正方體所得的截面形狀為（ ）
A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形
6．（2023·全國·高三專題練習）在如圖所示的棱長為20的正方體中，點為的中點，點在側面上，且到的距離為6，到的距離為5，則過點且與垂直的正方體截面的形狀是（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
7．（2023·上海·高三統考學業考試）如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形為截面，長方形為底面，則四邊形的形狀為（ ）
A．梯形 B．平行四邊形
C．可能是梯形也可能是平行四邊形 D．不確定
2.求截面的面積
一、單選題
1．（2022春·山西朔州·高一校考階段練習）在正方體中，棱長為3，E為棱上靠近的三等分點，則平面截正方體的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·安徽合肥·高三統考期末）已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點，過 、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽蚌埠·統考一模）如圖，正方體的一個截面經過頂點及棱上一點，截面將正方體分成體積比為的兩部分，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·全國·高一專題練習）已知三棱錐的所有棱長均為3，球O與棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面積為，則球O的半徑為（ ）．
A．1 B． C． D．或
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）若球是正三棱錐的外接球，，點在線段上，，過點作球的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川內江·四川省內江市第六中學校考模擬預測）已知球O是正三棱錐（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點E是線段BC的中點，過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，過作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（ ）

A． B． C． D．
8．（2023·四川成都·校聯考模擬預測）在三棱錐中，平面，，，，點F為棱AV上一點，過點F作三棱錐的截面，使截面平行于直線VB和AC，當該截面面積取得最大值時，（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·安徽合肥·統考一模）已知正方體的棱長為4，M，N分別是側面和側面的中心，過點M的平面與直線ND垂直，平面截正方體所得的截面記為S，則S的面積為（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）在三棱錐中，，平面平面，三棱錐的所有頂點都在球的球面上，分別在線段上運動（端點除外），.當三棱錐的體積最大時，過點作球的截面，則截面面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·江蘇·高一專題練習）已知正四棱錐的底面邊長為2，側棱長為，SC的中點為E，過點E做與SC垂直的平面，則平面截正四棱錐所得的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學校考階段練習）已知正四棱錐的體積為，底面的面積為，點、分別為、的中點，點為的靠近點的三等分點，過點、、的平面將該四棱錐分成上、下兩部分，截面形狀為四邊形，則該四邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
13．（2023春·河北保定·高一定州一中校考階段練習）在棱長為2的正方體中，若E為棱的中點，則平面截正方體的截面面積為 ．
14．（2022·廣西桂林·校聯考二模）在三棱錐ABCD中，對棱，當平面α與三棱錐ABCD的某組對棱均平行時，則三棱錐ABCD被平面α所截得的截面面積最大值為 .
15．（2019春·上海·高二上海市新中高級中學校考階段練習）如圖，在正方體中，AB＝1，中點為Q，過三點的截面面積為 ．
16．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學校考二模）在正四棱臺中，，，M為棱的中點，當正四棱臺的體積最大時，平面截該正四棱臺的截面面積是 .
17．（2023·江西吉安·吉安三中校考一模）如圖，正方體的棱長為為的中點，為棱上的動點，過點的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是 .（請寫出所有正確命題的編號）
①當時，S為等腰梯形；
②當時，S與的交點滿足；
③當時，S為六邊形；
④當時，S的面積為.
3.求截面的周長
一、單選題
1．（2023·河南新鄉·統考三模）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，過三點的截面把正方體分成兩部分，則該截面的周長為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·四川南充·高三閬中中學校考階段練習）如圖，直四棱柱的所有棱長均為，，是側棱的中點，則平面截四棱柱所得的截面圖形的周長是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學校考模擬預測）已知正方體的棱長為2，點為線段的中點，若點平面，且平面，則平面截正方體所得截面的周長為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為2的正方體中，點P是棱AB上的動點，過，P三點作正方體的截面，若截面把正方體分成體積之比為7：25的兩部分，則該截面的周長為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·高三專題練習）在正方體中，，為棱的四等分點（靠近點），為棱的四等分點（靠近點），過點，，作該正方體的截面，則該截面的周長是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全國·高三專題練習）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長均為2，點E，F分別為棱BB1，A1C1的中點，若過點A，E，F作一截面，則截面的周長為（　　）
A．2+2 B． C． D．
7．（2023春·廣西南寧·高三南寧三中校考專題練習）已知正方體的棱長為4，E，F分別是棱，BC的中點，則平面截該正方體所得的截面圖形周長為（ ）
A．6 B．10 C． D．
二、填空題
8．（2023·全國·高三專題練習）已知長方體中，AB＝2，AD＝4，，E，F分別為，的中點，則過D，E，F三點截得長方體的截面周長為
9．（2023秋·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）如圖，正方體的棱長為4，E是側棱的中點，則平面截正方體所得的截面圖形的周長是 ．

10．（2023春·上海黃浦·高三格致中學校考開學考試）正三棱柱中，所有棱長均為2，點、分別為棱、的中點，若過點、、作一截面，則截面的周長為 .
11．（2023·山東泰安·統考模擬預測）在棱長為的正方體中，點分別是、、的中點，則過線段且平行于平面的截面圖形的周長為 .
12．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，，，，，為線段上的一動點，則過三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為 ．

4.圓柱、圓錐、球的截面問題
一、單選題
1．（2023·山西陽泉·陽泉市第一中學校校考模擬預測）圓錐的母線長為4，側面積是底面積的倍，過圓錐的兩條母線作圓錐的截面，則該截面面積的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．
2．（2023·廣西·統考模擬預測）一個圓錐的底面圓和頂點都恰好在球的球面上，且球心在圓錐體內部，若球的表面積為，到圓錐底面圓的距離為1，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津紅橋·統考二模）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知球的一個截面的面積為，球心到該截面的距離比球的半徑小1，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·高三專題練習）圓柱內有一內接正三棱錐，過棱錐的一條側棱和高作截面，正確的截面圖是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·陜西西安·高三西安市鐵一中學校考期末）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
7．（2023·全國·高三專題練習）從一個底面圓半徑與高均為2的圓柱中挖去一個正四棱錐（以圓柱的上底面為正四棱錐底面的外接圓，下底面圓心為頂點）而得到的幾何體如圖所示，今用一個平行于底面且距底面為1的平面去截這個幾何體，則截面圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國·高三專題練習）若過圓錐的軸的截面為邊長為4的等邊三角形，正方體的頂點，，，在圓錐底面上，，，，在圓錐側面上，則該正方體的棱長為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·海南海口·海南中學校考二模）傳說古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（ ）

A． B． C． D．
10．（2023·江西南昌·江西師大附中校考三模）已知正方體的棱長為，為棱上的一點，且滿足平面平面，則平面截四面體的外接球所得截面的面積為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）在矩形中，，將沿對角線翻折至的位置，使得平面平面，則在三棱錐的外接球中，以為直徑的截面到球心的距離為（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全國·高三專題練習）某圓錐母線長為，底面半徑為，則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
13．（2023秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習）已知圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，高為h，平面經過圓臺的兩條母線，設截此圓臺所得的截面面積為S，則（ ）
A．當時，S的最大值為
B．當時，S的最大值為
C．當時，S的最大值為
D．當時，S的最大值為
二、填空題
14．（2023·全國·高三專題練習）已知圓錐頂點為P，底面的中心為O，過直線OP的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，則該圓錐的體積為 .
15．（2023·全國·高三專題練習）將一個直角邊長為2的等腰直角三角形繞其直角邊所在的直線旋轉一周所得圓錐的內切球的表面積為 ．
16．（2023·海南·校聯考模擬預測）已知某球的體積為，該球的某截面圓的面積為，則球面上的點到該截面圓心的最大距離為 ．
17．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高級中學校考階段練習）已知點，，是圓錐表面上的點，該圓錐的側面展開圖為以點為圓心，4為半徑的半圓，點是弧的中點，點是弧的中點（如圖），以圓錐底面圓心為球心，半徑為2的球被平面所截，則截面面積為 .
18．（2023·陜西西安·校聯考一模）某圓錐的底面半徑為1，高為3，在該圓錐內部放置一個正三棱柱，則該正三棱柱體積的最大值為 ．
19．（2023·上海·高三專題練習）在圓柱中，底面圓半徑為，高為，上底面圓的直徑為,是底面圓弧上的一個動點，繞著底面圓周轉，則的面積的范圍 ．
20．（2023·重慶·統考模擬預測）已知三棱錐中，Q為BC中點，，側面底面，則過點Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為 ．
21．（2023·江西上饒·校聯考模擬預測）已知四棱錐的各個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是線段AB上一點，且．過點M作球O的截面，所得截面圓面積的最小值為，則＝ ．
22．（2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習）已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為的正三角形，三棱錐的體積為，為的中點，則過點的平面截球所得截面面積的最小值是 .
2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展25 立體幾何中的截面問題（精講+精練）
一、截面問題的理論依據
(1)確定平面的條件
①不在同一平面的三點確定一個平面；②兩條平行線確定一個平面
(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線
(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內
(4)如果一條直線平行于一個平面，且經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
(5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行
二、截面問題的基本思路
1.定義相關要素
①用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面.
②此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線.
③此平面與幾何體的棱(或面)的交集(交點)叫做實截點.
④此平面與幾何體的棱(或面)的延長線的交點叫做虛截點.
⑤截面中能夠確定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本邏輯：找截點→連截線→圍截面
3.作截面的具體步驟
（1）找截點：方式1：延長截小面上的一條直線，與幾何體的棱、面(或其延長部分)相交，交點即截點
方式2：過一截點作另外兩截點連線的平行線，交幾何體的棱于截點
（2）連截線：連接同一平面內的兩個截點，成截線
（3）圍截面：將各截線首尾相連，圍成截面
三、作截面的幾種方法
（1）直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程。
（2）延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點。
（3）平行線法：過直線與直線外一點作截面，拖直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體的截面的交線。
模型演練：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖。可以先默認為中點，等完全理解了，再改成任意等分點
方法：兩點成線相交法或者平行法
特征：1.三點中，有兩點連線在表面上.本題如下圖是EF（這類型的關鍵）；
2.“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下圖.
方法二：平行線法，做法如下圖.
四、正方體中的基本截面類型
【典例1】用一個平面去截正方體，所得截面不可能是（ ）
A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五邊形 D．正六邊形
【答案】ABC
【分析】
根據正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個答案中的圖形進行比照，即可判斷選項．
【詳解】
當截面為三角形時，可能出現正三角形，但不可能出現直角三角形；
截面為四邊形時，可能出現矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現直角梯形；
當截面為五邊形時，不可能出現正五邊形；
截面為六邊形時，可能出現正六邊形，
故選：ABC．
【典例2】已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過點，C，E的平面截得的截面面積為______.
【答案】
【分析】在上取點，使得，連接，則四邊形是平行四邊形，
由勾股定理可得，再結合余弦定理與面積公式即可求解
【詳解】由題意，正四棱柱中，，，
可得，在上取點，使得，連接，則有，
所以四邊形是平行四邊形，由勾股定理可得
，
所以,所以，所以四邊形是平行四邊形的面積為，故答案為：
【典例3】如圖，在正方體中，，為棱的中點，為棱的四等分點（靠近點），過點作該正方體的截面，則該截面的周長是___________.
【答案】
【分析】首先根據面面平行的性質定理作出過點的正方體的截面，從而求截面的周長.
【詳解】如圖，取的中點，取上靠近點的三等分點，
連接，易證，則五邊形為所求截面.
因為，所以，
則，故該截面的周長是.故答案為：.
【典例4】已知三棱錐的所有棱長均相等，四個頂點在球的球面上，平面經過棱，，的中點，若平面截三棱錐和球所得的截面面積分別為，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平面截三棱錐所得三角形為正三角，即可求出三角形面積及外接圓面積，即可求解.
【詳解】設平面截三棱錐所得正三角邊長為a，截面圓的半徑為r，則，
由正弦定理可得，，，故選：B
【題型訓練-刷模擬】
1.截面形狀問題
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）用一平面去截一長方體，則截面的形狀不可能是（ ）
A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形
【答案】D
【分析】用平面去截正方體時最多和六個面相交得六邊形.
【詳解】
如圖，用平面去截正方體時最多和六個面相交得六邊形，
因此截面的形狀可能有：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，
不可能為七邊形，
故選:D.
2．（2023·全國·高三專題練習）已知在正方體中，，，分別是，，的中點，則過這三點的截面圖的形狀是（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】D
【分析】利用平行畫出截面，進而判斷出正確答案.
【詳解】分別取、、的中點、、，連接、、，
在正方體中，，，分別是，，的中點，
，，，
六邊形是過，，這三點的截面圖，
過這三點的截面圖的形狀是六邊形．
故選：D
3．（2023·全國·高三專題練習）已知在長方體中，，點，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長方體所得的截面形狀為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】C
【分析】連接并延長交的延長線于點，連接并延長交于點，
過點作交于點，連接，即可得到截面圖形，從而得解.
【詳解】如圖連接并延長交的延長線于點，連接并延長交于點，
過點作交于點，連接，
則五邊形即為平面截該長方體所得的截面多邊形.
其中因為，，，
所以，則，所以，
又，所以，所以，
則，
顯然，則，所以.
故選：C
4．（2023秋·江蘇南京·高三統考開學考試）在正方體中，過點B的平面與直線垂直，則截該正方體所得截面的形狀為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】A
【分析】作出輔助線，證明出⊥平面，所以⊥，同理可證明⊥，得到⊥平面，故平面即為平面，得到截面的形狀.
【詳解】連接，
因為⊥平面，平面，
所以⊥，
又四邊形為正方形，所以⊥，
又，平面，
所以⊥平面，
因為平面，
所以⊥，
同理可證明⊥，
因為，平面，
故⊥平面，
故平面即為平面，
則截該正方體所得截面的形狀為三角形.

故選：A
5．（2023·河南·模擬預測）在正方體中，M，N分別為AD，的中點，過M，N，三點的平面截正方體所得的截面形狀為（ ）
A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形
【答案】B
【分析】在上取點，且，取中點為，在上取點，且.通過，可得，進而得出，.通過證明，得出.同理得出，即可得出正方體的截面圖形.
【詳解】
在上取點，且，取中點為，連接.
在上取點，且，連結.
因為，，
所以，所以.
又，所以，所以，
所以，.
因為分別為的中點，所以，且.
根據正方體的性質，可知，且，
所以，，且，
所以，四邊形是平行四邊形，
所以，，所以.
同理可得，.
所以，五邊形即為所求正方體的截面.
故選：B.
6．（2023·全國·高三專題練習）在如圖所示的棱長為20的正方體中，點為的中點，點在側面上，且到的距離為6，到的距離為5，則過點且與垂直的正方體截面的形狀是（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】B
【分析】根據線面垂直的判定與性質，以及正方體的截面的性質、平面的基本性質，即可求解.
【詳解】如圖所示，過點作分別交于點 ，因為，可得，
在正方體中，平面，所以
又,所以平面,平面,所以
過作交于點，則,設
則,所以，即,則
所以
在正方形中，取 的中點，連接
則與,則
所以,即
取的中點，過作交于點，連接，則
又平面,所以,由
所以平面，所以
又，所以 平面
連接，過作,由，則，所以(且)
連接，則四邊形為梯形，所以 平面
所以截面的形狀為四邊形邊形.
故選：B.
7．（2023·上海·高三統考學業考試）如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形為截面，長方形為底面，則四邊形的形狀為（ ）
A．梯形 B．平行四邊形
C．可能是梯形也可能是平行四邊形 D．不確定
【答案】B
【分析】根據長方體的性質，結合面面平行的性質有，即知的形狀.
【詳解】由長方體的性質：各對面平行，易知，
∴為平行四邊形.
故選：B
2.求截面的面積
一、單選題
1．（2022春·山西朔州·高一校考階段練習）在正方體中，棱長為3，E為棱上靠近的三等分點，則平面截正方體的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意運用基本事實作出截面，根據截面的幾何特征求其面積即可.
【詳解】延長交于點，連接交于點，如圖，
在正方體中，面面，
面面，面面
，又
四邊形是梯形，且為平面截正方體的截面.
又，在等腰梯形中，過作，
.
故選：C.
2．（2022秋·安徽合肥·高三統考期末）已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點，過 、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】畫出圖形，可得最大面積的截面四邊形為等腰梯形，根據梯形的面積公式求解即可.
【詳解】如圖所示，最大面積的截面四邊形為等腰梯形，
其中，高為，
故面積為.
故選:D．
3．（2023·安徽蚌埠·統考一模）如圖，正方體的一個截面經過頂點及棱上一點，截面將正方體分成體積比為的兩部分，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】畫出截面，得到截面把正方體分為三棱臺和另一幾何體，根據棱臺體積公式求出，進而求出的值.
【詳解】設正方體棱長為1，，
如圖所示，該截面把正方體分為幾何體和另一幾何體，
由面面平行的性質可知：，
延長，相交于點，則平面，且平面，
又平面平面，
所以在直線上，即三線共點，
所以幾何體為三棱臺，
其中三棱臺上底面積是，下底面積為，高等于1，
所以，解得：，
所以.
故選：C
4．（2023春·全國·高一專題練習）已知三棱錐的所有棱長均為3，球O與棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面積為，則球O的半徑為（ ）．
A．1 B． C． D．或
【答案】B
【分析】過點P向底面ABC作垂線，垂足為，連接，由球O截平面ABC所得的截面面積為，得截面圓的半徑為，設球O的半徑為R，得，過O作PA的垂線，垂足為D，得∽，可得，進而求得．
【詳解】過點P向底面ABC作垂線，垂足為，連接，則球心O在線段或其延長線上，
為正的中心，則，．
設球O的半徑為R，因為球O截平面ABC所得的截面面積為，
所以截面圓的半徑為，所以，．
過O作PA的垂線，垂足為D，則，
∽，所以．
①當點O在線段上時，，即，
則，且，解得；
②當點O在線段的延長線上時，，即，
則，且，解得或，
當時，點O，重合，此時點O不在線段的延長線上，故舍去；當時，切點D不在棱PA上，不符合題意．
綜合①②可知，，
故選：B．
5．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）若球是正三棱錐的外接球，，點在線段上，，過點作球的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設是球心，是等邊三角形的中心，在三角形中，有，可求得，再利用可得過且垂直的截面圓最小即可.
【詳解】
如圖所示，其中是球心，是等邊三角形的中心，
可得，，
設球的半徑為，在三角形中，由，
即，解得，即，
所以，
因為在中，，，
所以，，，
由題知，截面中面積最小時，截面圓與垂直，
設過且垂直的截面圓的半徑為，則，
所以，最小的截面面積為.
故選：A
6．（2023·四川內江·四川省內江市第六中學校考模擬預測）已知球O是正三棱錐（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點E是線段BC的中點，過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如圖，是在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，當截面垂直于時截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.
【詳解】如圖：

是在底面的射影，由正弦定理得，的外接圓半徑.
由勾股定理得棱錐的高設球的半徑為，
則，解得，
所以，即與重合，
所以當過點E作球O的截面垂直于時，截面面積最小，
此時截面半徑為，截面面積為.故選：A.
7．（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，過作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】易得正方體外接球的球心在其中心點處，要使過的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段的中點求解.
【詳解】解：如圖，

正方體外接球的球心在其中心點處，球的半徑，
要使過的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段的中點，
連接，則，
所以，
此時截面圓的半徑，
此時，截面面積的最小值.
故選：C.
8．（2023·四川成都·校聯考模擬預測）在三棱錐中，平面，，，，點F為棱AV上一點，過點F作三棱錐的截面，使截面平行于直線VB和AC，當該截面面積取得最大值時，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通過作平行線作出題中的截面，并結合線面平行以及線面垂直說明其為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達式，結合二次函數性質確定截面面積取得最大值時參數的值，解直角三角形即可求得答案.
【詳解】根據題意，在平面VAC內，過點F作，交VC于點E；
在平面VBC內，過點E作，交BC于點Q；
在平面VAB內，過點F作，交AB于點D，連接DQ，如圖所示，
因為，則∽，設其相似比為k，即，
則；
又因為，，，
由余弦定理得，，則，即．
又平面，平面，所以，．
又，則，．
因為，則∽，則，
因為，所以，即,
同理可得，即，
因為，，則，
故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，
故平面，同理平面，
即四邊形為截面圖形；
又平面，平面，則，
又，所以．
故平行四邊形為矩形，則，
所以當時，有最大值，則，
在中，,
故選：B
9．（2023·安徽合肥·統考一模）已知正方體的棱長為4，M，N分別是側面和側面的中心，過點M的平面與直線ND垂直，平面截正方體所得的截面記為S，則S的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量確定截面形狀，再計算截面面積作答.
【詳解】正方體的棱長為4，建立如圖所示的空間直角坐標系，
側面的中心，側面的中心，而，有，
顯然點M在平面與平面的交線上，設為這條交線上任意一點，
，而平面，則，
即，令，得點，令，得點，連，
平面與平面必相交，設為這條交線上任意一點，，
由，即，令，得點，連，
因為平面平面，則平面與平面的交線過點G，與直線FE平行，
過G作交于，，
由得，即，顯然平面與平面都相交，
則平面與直線相交，令交點為，，由得，
連接得截面五邊形，即截面為五邊形，
，取中點，連接，則，
在中，，
的面積，
在中，，
邊上的高，
梯形面積，
所以S的面積為.
故選：C
【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.
10．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）在三棱錐中，，平面平面，三棱錐的所有頂點都在球的球面上，分別在線段上運動（端點除外），.當三棱錐的體積最大時，過點作球的截面，則截面面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中點,證得為球心，利用二次函數求出三棱錐的體積最大時的取值，當垂直于截面時，截面圓的面積最小，求得截面圓的半徑.
【詳解】如圖，取的中點,連接,
因為，所以，即為球心，
則球的半徑,又,所以,
又平面平面，平面平面平面.
所以平面，
設，則,所以，
所以三棱錐的體積.
當時,取得最大值，
由于，在中，由余弦定理得:

根據球的性質可知，當垂直于截面時，截面圓的面積最小，
設此時截面圓的半徑為，所以.
則截面面積的最小值為.
故選:C.
11．（2023·江蘇·高一專題練習）已知正四棱錐的底面邊長為2，側棱長為，SC的中點為E，過點E做與SC垂直的平面，則平面截正四棱錐所得的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意垂直關系可得平面截正四棱錐所得的截面面為四邊形，結合根據相似求長度，進而根據面積公式即可求解.
【詳解】連接，
由題意可得：，即為等邊三角形，
且E為SC的中點，可得，
故平面，
連接，設，連接，
可得平面，
且平面，則，
，平面，所以平面，
平面，則，
在直線取一點，連接，使得，
在中，，
因為，可得，
故，
同理在棱取一點，使得，連接，則，
故平面截正四棱錐所得的截面面為四邊形，
因為，則//，
由，可得，
所以四邊形的面積.
故選：A.
12．（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學校考階段練習）已知正四棱錐的體積為，底面的面積為，點、分別為、的中點，點為的靠近點的三等分點，過點、、的平面將該四棱錐分成上、下兩部分，截面形狀為四邊形，則該四邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接、，設，連接，連接并延長交于點，連接、、、，在中，過點作交于點，交于點，過點作交于點，證明出，計算出、的長，進而可求得截面四邊形的面積.
【詳解】連接、，設，連接，
易知為正四棱錐的高，連接交于點．
因為點、分別為、的中點，則，
因為，所以，為的中點．
連接并延長交于點，連接、、、，
因為四邊形為正方形，則，
因為平面，平面，所以，，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，，則，
四邊形為所求的截面四邊形，如圖1．
因為正四棱錐的體積為，底面的面積為，
所以底面是邊長為的正方形，則，
由，可得，
在中，過點作交于點，交于點，
過點作交于點，如圖2．
因為，則．
又為的中點，為的中點，所以，，
，，
所以，，
則，，所以，
故，所以，則，
得．
故四邊形的面積為，
故選：C．
【點睛】方法點睛：用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面，利用平面的性質確定截面形狀是解決截面問題的關鍵．
（1）平面的四個公理及推論；
（2）直線和平面平行的判定和性質；
（3）兩個平面平行的性質；
（4）球的截面的性質．
二、填空題
13．（2023春·河北保定·高一定州一中校考階段練習）在棱長為2的正方體中，若E為棱的中點，則平面截正方體的截面面積為 ．
【答案】
【分析】作出截面截面，為的中點，則可得截面是邊長為的菱形，求出其面積即可.
【詳解】如圖，在正方體中，
平面平面，
平面與平面的交線必過且平行于，
故平面經過的中點，連接，得截面，
易知截面是邊長為的菱形，其對角線，
，截面面積．
故答案為：．
14．（2022·廣西桂林·校聯考二模）在三棱錐ABCD中，對棱，當平面α與三棱錐ABCD的某組對棱均平行時，則三棱錐ABCD被平面α所截得的截面面積最大值為 .
【答案】3
【分析】每組對棱棱長相等，所以可以把三棱錐ABCD放入長方體中，設長寬高分別為x，y，z，求出，由線面平行得線線平行，證明當是所在棱中點時面積最大，按截面與哪對棱平行分類討論求得截面面積的最大值.
【詳解】因為每組對棱棱長相等，所以可以把三棱錐ABCD放入長方體中，設長寬高分別為x，y，z，則，則.
當平面α與三棱錐ABCD的對棱AB，CD均平行時，截而為四邊形EFGH，，，
設，則，，同理，（或其補角）是異面直線所成的角，
，其中為定值，
，時，取得最大值，即截面面積最大，此時是所在棱中點，
由長方體性知最大面積為長方體上下底面面積的一半，
同樣地，當平面a與三棱錐ABCD的對棱AC，BD均平行時，截面最大面積為；當平面α與三棱錐ABCD的對棱AD，BC均平行時，截面最大面積為.
故答案為：3.
15．（2019春·上海·高二上海市新中高級中學校考階段練習）如圖，在正方體中，AB＝1，中點為Q，過三點的截面面積為 ．
【答案】
【分析】先作出經過三點的截面，如圖所示為梯形，然后求出截面的面積即可
【詳解】解：如圖所示，取的中點P，連接、AQ和，
∵分別是，的中點，
∴，且，
∵，∴，
所以四邊形是過三點的截面，且四邊形是梯形，
∵AB＝1，
∴，，，
且等腰梯形的高為，
∴截面面積為，
故答案為：
16．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學校考二模）在正四棱臺中，，，M為棱的中點，當正四棱臺的體積最大時，平面截該正四棱臺的截面面積是 .
【答案】
【分析】設，上底面和下底面的中心分別為，，過作，該四棱臺的高，可求得該四棱臺的體積為，利用基本不等式可得該四棱臺的體積的最大值，此時，，.取，的中點，，連接，，可得平面就是截面，求解即可.
【詳解】設，上底面和下底面的中心分別為，，過作，
該四棱臺的高，
在上下底面由勾股定理可知，.
在梯形中，，
所以該四棱臺的體積為，
所以，
當且僅當，即時取等號，此時，，.
取，的中點，，連接，，顯然有，
由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面.
顯然，
在直角梯形中，，
因此在等腰梯形中，，
同理在等腰梯形中，，
在等腰梯形中，設，，
則，
，
所以梯形的面積為.
故答案為:.
【點睛】總結點睛：
解決與幾何體截面的問題，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）根據空間中的線面關系，找到線線平行或者垂直，進而確定線面以及面面關系，
（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含幾何體的各種元素以及體現這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；
（3）求長度下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于長度的方程，并求解.
17．（2023·江西吉安·吉安三中校考一模）如圖，正方體的棱長為為的中點，為棱上的動點，過點的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是 .（請寫出所有正確命題的編號）
①當時，S為等腰梯形；
②當時，S與的交點滿足；
③當時，S為六邊形；
④當時，S的面積為.
【答案】①②④
【分析】①作出輔助線，找到S為四邊形，證明出其為等腰梯形；②作出輔助線，找到S，利用各邊長度與相似，求出；③在②的分析基礎上，得到S為五邊形；④作出輔助線，得到S為菱形，求出對角線，進而求出面積.
【詳解】當時，S為等腰梯形，理由如下：
如圖1，連接，，因為為的中點，為上的中點，
所以∥，
所以四邊形為S，其中，
所以S為等腰梯形，①正確；
當時，S與的交點滿足，理由如下：
如圖2，延長至點E，使得，連接EA，EQ交于點R，
取AD中點N，DE中點M，連接MQ，MN，PN，
則，DN=CP，所以四邊形CQMD與四邊形PCDN均為平行四邊形，
所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四邊形MNPQ為平行四邊形，
所以PQ∥MN，由中位線的性質可知：MN∥AE，所以PQ∥AE，
所以四邊形AEQP即為S，其中，
所以，所以，②正確；
當時，S為五邊形，理由如下：
如圖3，根據②的分析，隨著Q點在圖2的基礎上沿著向上移動，
則點E點沿著射線向上移動，此時AE與相交于點G，
EQ與相交于點R，連接GR，故所截得的S為五邊形，故③錯誤；
當時，S的面積為，理由如下：
如圖4，點Q與重合，此時G為的中點，可證得：∥，AP∥GQ，
其中，所以S為菱形APQG，
且，S的面積為，④正確.
故答案為：①②④
3.求截面的周長
一、單選題
1．（2023·河南新鄉·統考三模）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，過三點的截面把正方體分成兩部分，則該截面的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】畫出截面圖形，利用已知條件，轉化求解截面周長即可．
【詳解】如圖，取BC的中點，連接EF，AF，,
、分別為棱、的中點，則，正方體中，則有，所以平面為所求截面，
因為正方體的棱長為2，所以，，，所以四邊形的周長為.
故選：A.
2．（2023春·四川南充·高三閬中中學校考階段練習）如圖，直四棱柱的所有棱長均為，，是側棱的中點，則平面截四棱柱所得的截面圖形的周長是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用作延長線找交點法，得出截面圖形為梯形，求出梯形周長即為所求.
【詳解】連接 與的延長線交于點, 連 接與交于點,
因為 , 所以為的中點, 則為的中點,
所以截面為梯形 ,
因為所有棱長均為2,，
所以,,
,
,
故梯形 的周長為 .
故選：D.
3．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學校考模擬預測）已知正方體的棱長為2，點為線段的中點，若點平面，且平面，則平面截正方體所得截面的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】記的中點分別為E，F，先證三角形即為平面截正方體所得截面，然后可得周長.
【詳解】記的中點分別為E，F，連接，
由正方體性質可知，平面，
因為平面，所以
又為正方形，所以
因為，平面，所以平面，
因為平面，所以
因為P，E分別為的中點，所以，所以，
同理可證，
又，平面
所以平面，
所以三角形即為平面截正方體所得截面，
易知三角形為正三角形，
所以截面周長為.
故選：C

4．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為2的正方體中，點P是棱AB上的動點，過，P三點作正方體的截面，若截面把正方體分成體積之比為7：25的兩部分，則該截面的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如圖所示，過點作,交于點,則四邊形就是過點的截面，設，，根據已知求出即得解.
【詳解】解：如圖所示，過點作,交于點,則四邊形就是過點的截面，設，，
則臺體的體積，
解之得，
所以,,
所以截面的周長為.
故選：D
5．（2023·全國·高三專題練習）在正方體中，，為棱的四等分點（靠近點），為棱的四等分點（靠近點），過點，，作該正方體的截面，則該截面的周長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據正方體的特征，作出過點，，的該正方體的截面，計算相關線段的長，即可求得答案.
【詳解】設為的三等分點，靠近B點，連接,并延長交延長線于P，
設為的三等分點，靠近點，連接,并延長交延長線于Q，
則∽，由于，故,
同理求得,故兩點重合，則,
故，而，故,
同理可得,即四邊形為平行四邊形，
連接,則五邊形即為過點，，所作的正方體的截面，
由題意可知
故該截面的周長是 ，
故選：C
6．（2023·全國·高三專題練習）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長均為2，點E，F分別為棱BB1，A1C1的中點，若過點A，E，F作一截面，則截面的周長為（　　）
A．2+2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意先作出截面，進而算出截面各邊的長度，最后得到答案.
【詳解】如圖，在正三棱柱中，延長AF與CC1的延長線交于M，連接EM交B1C1于P，連接FP，則四邊形AEPF為所求截面.
過E作EN平行于BC交CC1于N，則N為線段CC1的中點，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，
在中，，則，
在中，，則，
在中，，則，
在中，，
由余弦定理：，則，
所以截面周長為：.
故選：B.
【點睛】本題主要考查幾何體的截面問題，其中根據空間幾何體的結構特征，利用平面的性質作出幾何體的截面是問題的關鍵，平常注意方法的總結和歸納.
7．（2023春·廣西南寧·高三南寧三中校考專題練習）已知正方體的棱長為4，E，F分別是棱，BC的中點，則平面截該正方體所得的截面圖形周長為（ ）
A．6 B．10 C． D．
【答案】D
【分析】取的中點，連接,則,取的中點，連接，延長交于，連接交于點，連接，作出截面圖形，然后再分別求出各邊長，從而得出答案.
【詳解】取的中點，連接,則,取的中點，連接，則
所以, 則直線平面
延長交于，連接交于點，連接,則為的中點.
則平面截該正方體所得的截面圖形為
由條件可得,則, 則
,
取 的中點，連接，則，所以
所以,則
則
所以截面圖形周長為
故選：D
二、填空題
8．（2023·全國·高三專題練習）已知長方體中，AB＝2，AD＝4，，E，F分別為，的中點，則過D，E，F三點截得長方體的截面周長為
【答案】
【分析】利用確定平面的公里，作延長以及平行，可得截面，根據中位線以及勾股定理，可得答案.
【詳解】延長EF分別交，的延長線于點M，N，連接MD，ND，分別交，于點Q，P，
連接PF，EQ，則過D，E，F三點截得長方體的平面為五邊形DQEFP．
過F點作，過E點作，所以是的中點，是的中點．
在中，，，所以．
在中，，所以，AQ＝2，
則，，．
同理在中，，在中，，CP＝2，
所以，，所以截面周長為．
故答案為：.
9．（2023秋·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）如圖，正方體的棱長為4，E是側棱的中點，則平面截正方體所得的截面圖形的周長是 ．

【答案】
【分析】過點作的平行線即可延展平面，則可得到截面，再求周長即可.
【詳解】取中點，連接，,

∵中點為，E是側棱的中點，
∴,,
又在直角三角形中,
∴,
∵正方體中，
∴四邊形為平行四邊形,
∴
∴,
四點共面，即為正方體的截面.
在直角三角形中,
同理,則截面周長為.
故答案為:.
10．（2023春·上海黃浦·高三格致中學校考開學考試）正三棱柱中，所有棱長均為2，點、分別為棱、的中點，若過點、、作一截面，則截面的周長為 .
【答案】
【分析】將正三棱柱擴大成正三棱柱，其中，再解三角形可得答案.
【詳解】如下圖所示，將正三棱柱擴大成正三棱柱，其中，
則點E為AH1的中點，點F為AC2的中點，設 ，則 ，所以過點A、E、F的截面為AEGF，
因為和均為兩直角邊分別為2， 1的直角三角形，所以，
在中，連接H1F交于，則為的重心，
所以，因為，所以，
又因為平面，所以三角形為直角三角形，且，所以，所以截面的周長為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題考查幾何體的截面的相關計算，關鍵在于根據公理作出所求的截面，再運用解三角形的相關知識得以解決.
11．（2023·山東泰安·統考模擬預測）在棱長為的正方體中，點分別是、、的中點，則過線段且平行于平面的截面圖形的周長為 .
【答案】
【分析】結合面面平行性質定理畫出截面圖形，再求出截面圖形的邊長，即可得出答案.
【詳解】取的中點為，連接，，
因為點分別是、、的中點，
由正方體性質可得，所以四點共面，
因為，平面，平面，
所以平面，
因為，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
四邊形即為經過線段且平行于平面的截面圖，
正方體棱長為，所以，，，，
所以截面圖形周長為.
故答案為：.

12．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，，，，，為線段上的一動點，則過三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為 ．

【答案】/
【分析】利用直三棱柱的側面展開圖求解即可.
【詳解】由題意可知過三點的平面截該三棱柱所得截面的周長即的周長，
因為直三棱柱，所以各側面均為矩形，
所以，
直三棱柱的側面部分展開圖如圖所示，

則在矩形中，
所以過三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為，
故答案為：
4.圓柱、圓錐、球的截面問題
一、單選題
1．（2023·山西陽泉·陽泉市第一中學校校考模擬預測）圓錐的母線長為4，側面積是底面積的倍，過圓錐的兩條母線作圓錐的截面，則該截面面積的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【分析】設圓錐底面半徑為，母線為，軸截面頂角為，則根據題意可得與的關系，從而可求出為鈍角，由此可得當圓錐兩條母線互相垂直時，截面面積最大，然后可求得結果.
【詳解】設圓錐底面半徑為r，母線為l，軸截面頂角為，則，得，
所以，
因為為銳角，所以，即，則θ為鈍角，
所以當圓錐兩條母線互相垂直時，截面面積最大，最大值為.
故選：A.
2．（2023·廣西·統考模擬預測）一個圓錐的底面圓和頂點都恰好在球的球面上，且球心在圓錐體內部，若球的表面積為，到圓錐底面圓的距離為1，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意求圓錐底面圓的半徑和母線，進而求側面積.
【詳解】設球的半徑為，則，解得.
設圓錐底面圓的半徑為，則，
圓錐的高為3，圓錐的母線長為，
所以該圓錐的側面積為.
故選：A.
【點睛】本題考查圓錐的外接球，考查直觀想象的核心素養.
3．（2023·天津紅橋·統考二模）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用圓的面積公式和球心到截面圓的距離、截面圓半徑及球的半徑的關系，結合球的體積公式即可求解.
【詳解】設截面圓的半徑為，球的半徑為,
由題意可知，解得，，
所以球的體積為.
故選：D.
4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知球的一個截面的面積為，球心到該截面的距離比球的半徑小1，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設截面圓的半徑為，球的半徑為，依題意得到且，即可求出，從而求出球的表面積.
【詳解】依題意設截面圓的半徑為，球的半徑為，因為截面的面積為，所以，
又，即，解得，
所以球的表面積.
故選：B
5．（2023·全國·高三專題練習）圓柱內有一內接正三棱錐，過棱錐的一條側棱和高作截面，正確的截面圖是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據截面在圓柱底面所形成的截痕直接判斷即可.
【詳解】圓柱底面為正三棱錐底面三角形的外接圓，如下圖所示，
則過棱錐的一條側棱和高作截面，棱錐頂點為圓柱上底面的中心，可得截面圖如下圖，
故選：D.
6．（2023秋·陜西西安·高三西安市鐵一中學校考期末）如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【答案】D
【分析】根據截面的位置，可判斷截面圖形的形狀.
【詳解】一個圓柱挖去一個圓錐后，剩下的幾何體被一個豎直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形除去一條邊，
當截面經過圓柱上下底面的圓心時，圓錐的截面為三角形除去一條邊，所以①正確；
當截面不經過圓柱上下底面的圓心時，圓錐的截面為拋物線的一部分，所以⑤正確；
故選:D
【點睛】本題考查了空間幾何體的結構特征，幾何體截面形狀的判斷，屬于中檔題.
7．（2023·全國·高三專題練習）從一個底面圓半徑與高均為2的圓柱中挖去一個正四棱錐（以圓柱的上底面為正四棱錐底面的外接圓，下底面圓心為頂點）而得到的幾何體如圖所示，今用一個平行于底面且距底面為1的平面去截這個幾何體，則截面圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出截面截圓柱所得的圓面的面積，再求出截面截正四棱錐所得的正方形的面積，從而得出答案.
【詳解】截面圖形應為圓面中挖去一個正方形，且圓的半徑是2，
則截面圓的面積為：
設正四棱錐的底面正方形邊長為，則，所以
正四棱錐的底面正方形的面積為
由圓錐中截面的性質，可得圓面中挖去一個正方形與正四棱錐的底面正方形相似
設圓面中挖去一個正方形的面積為，正四棱錐的底面正方形為
則,從而
所以截面圖形的面積為．
故選：C．
8．（2023·全國·高三專題練習）若過圓錐的軸的截面為邊長為4的等邊三角形，正方體的頂點，，，在圓錐底面上，，，，在圓錐側面上，則該正方體的棱長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設正方體棱長為，根據題意得，分析求解即可.
【詳解】根據題意過頂點和正方體上下兩個平面的對角線作軸截面如下所示：
所以，，所以，，
為矩形，設，所以，所以，
所以，即，即，解得.
故選：C.
9．（2023·海南海口·海南中學校考二模）傳說古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】過作于，設到平面的距離為，平面截得球的截面圓的半徑為，由求解判斷.
【詳解】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，過作于，如圖所示：

則由題可得，
設平面截得球的截面圓的半徑為，
當EF在底面圓周上運動時，
到平面的距離
所以
所以平面截得球的截面面積最小值為，
故D正確；
故選：D.
10．（2023·江西南昌·江西師大附中校考三模）已知正方體的棱長為，為棱上的一點，且滿足平面平面，則平面截四面體的外接球所得截面的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意證得是的中點，由四面體的外接球的直徑為，得到半徑，設是外接球的球心，求得球心到平面的距離，根據球的截面圓的性質，求得截面圓的半徑，進而求得截面圓的面積.
【詳解】在正方體中，設平面平面，且平面，
由平面平面，可得，所以是的中點，
又四面體的外接球的直徑為，可得半徑，
設是的中點即球心，球心到平面的距離為，
又設與的交點為，則，則，
則，則截面圓的半徑，
所以截面圓的面積為.
故選：A．

11．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）在矩形中，，將沿對角線翻折至的位置，使得平面平面，則在三棱錐的外接球中，以為直徑的截面到球心的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖，取的中點為，連接，過作，垂足為，連接，可證為三棱錐的外接球的球心，利用解直角三角形可求，據此可求球心到以為直徑的截面的距離.
【詳解】如圖，取的中點為，連接，過作，垂足為，連接.
因為三角形為直角三角形，故，
同理，故，
所以為三棱錐的外接球的球心，而，

因為，平面，平面平面，
平面平面，故平面，
而平面，故.
在直角三角形中，，故，
故，
在直角三角形中，，
故，故.
設球心到以為直徑的截面的距離為，
則，
故選：B.
【點睛】思路點睛：三棱錐外接球的球心，可根據球心的定義來判斷（即球心到各頂點的距離相等），而球面截面圓的半徑、球心到截面的距離、球的半徑可構成直角三角形.
12．（2023·全國·高三專題練習）某圓錐母線長為，底面半徑為，則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出圓錐的高，設過圓錐頂點的截面為，設，表示的面積，再運用基本不等式求最值即可．
【詳解】設圓錐頂點為，底面直徑為，圓心，另有一任意弦，為的中點，連接、、，
如圖，設為過圓錐頂點的截面，
因為底面，，
因為，為的中點，所以，
由題意可知：，，
設，，則，，
所以，
，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
故過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為．
故選：A．
13．（2023秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習）已知圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，高為h，平面經過圓臺的兩條母線，設截此圓臺所得的截面面積為S，則（ ）
A．當時，S的最大值為
B．當時，S的最大值為
C．當時，S的最大值為
D．當時，S的最大值為
【答案】D
【分析】通過將圓臺補成圓錐，利用圖形分和討論即可.
【詳解】如圖,將圓臺補成圓錐.
設圓臺的母線長為,則,等腰梯形為過兩母線的截面.
設，由，得,
則，
當時，，當最大，即截面為軸截面時面積最大，
則的最大值為.
當時,，當時，截面面積最大，
則的最大值為.
故選：D.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵的是通過補圖，利用三角形相似和三角形面積公式得到，然后再分和討論即可.
二、填空題
14．（2023·全國·高三專題練習）已知圓錐頂點為P，底面的中心為O，過直線OP的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，則該圓錐的體積為 .
【答案】
【分析】由題設正三角形的邊長為，得到底面圓的半徑為，圓錐的高為，結合圓錐的體積公式，即可求解.
【詳解】由題意，過直線的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，
設正三角形的邊長為，可得，解得，
∴底面圓的半徑為，圓錐的高為，
所以該圓錐的體積為.
故答案為：.
15．（2023·全國·高三專題練習）將一個直角邊長為2的等腰直角三角形繞其直角邊所在的直線旋轉一周所得圓錐的內切球的表面積為 ．
【答案】
【分析】作圓錐的軸截面，利用等面積法求出內切球的半徑，即可求得內切球的表面積.
【詳解】依題意，作圓錐的軸截面為等腰直角三角形，
截得其內切球的大圓是此等腰直角三角形的內切圓，
圓錐的底面半徑為2，則其母線長為，
設圓錐的內切球半徑為r，
則，所以，
所以內切球的表面積為 故答案為：
16．（2023·海南·校聯考模擬預測）已知某球的體積為，該球的某截面圓的面積為，則球面上的點到該截面圓心的最大距離為 ．
【答案】3
【分析】先求出球心到平面的距離為，再求點到該截面圓的最大距離.
【詳解】設截面圓的半徑為，球的半徑為，球心到平面的距離為，
則，
因為球的體積為所以
因為截面圓的面積為，所以，故，
所以，
所以球面上的點到該截面圓圓心的最大距離為，故最大距離為.
故答案為:.
17．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高級中學校考階段練習）已知點，，是圓錐表面上的點，該圓錐的側面展開圖為以點為圓心，4為半徑的半圓，點是弧的中點，點是弧的中點（如圖），以圓錐底面圓心為球心，半徑為2的球被平面所截，則截面面積為 .
【答案】
【分析】還原圓錐，作出示意圖，求得底面圓半徑，進而根據等體積法求得底面圓心到截面圓的距離，從而求得截面圓的半徑，可得答案.
【詳解】根據題意，還原圓錐如下所示：D點在如圖示 的中點處，
不妨設該圓錐底面半徑為，高為，底面圓圓心為，
根據題意，，圓錐底面圓周長為，
解得，
由勾股定理可得，
平面截以圓錐底面圓心為球心，半徑為2的球的截面為一個圓，
不妨設截面圓半徑為，設球心到面的距離為，
在中，，，
則，
由等體積法可得，，
即，
解得，
故可得，，
故截面圓面積為，
故答案為：
18．（2023·陜西西安·校聯考一模）某圓錐的底面半徑為1，高為3，在該圓錐內部放置一個正三棱柱，則該正三棱柱體積的最大值為 ．
【答案】
【分析】作出對應的圖形，設正三棱柱上底面外接圓的半徑為r，利用題意得出三棱柱的高，，進而求出體積的表達式，利用導數求出體積的最值即可.
【詳解】如圖，設正三棱柱上底面外接圓的半徑為r，三棱柱的高為h,根據題意作出圓錐的軸截面，
由可得，則該三棱柱的高，，
則該三棱柱的體積，，
當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；
所以時，V取得最大值，且最大值為．
故答案為：.
19．（2023·上海·高三專題練習）在圓柱中，底面圓半徑為，高為，上底面圓的直徑為,是底面圓弧上的一個動點，繞著底面圓周轉，則的面積的范圍 ．
【答案】
【分析】根據題意，設上頂面圓心記為，下底面圓心記為，連接，過點作，垂足為點，由于為定值，則的大小隨著的長短變化而變化，由圖可知當點與點重合時以及當點與點重合，分別求解的最大值和最小值，即可得到的面積的范圍．
【詳解】解：如圖1，設上底面圓心記為，下底面圓心記為，
連接，過點作，垂足為點，
則，
根據題意，為定值2，所以的大小隨著的長短變化而變化，
如圖2所示，當點與點重合時，，
此時取得最大值為；
如圖3所示，當點與點重合，取最小值2，
此時取得最小值為，
綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：.
20．（2023·重慶·統考模擬預測）已知三棱錐中，Q為BC中點，，側面底面，則過點Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】連接，找到球心到平面和平面的射影為和的中心,，再通過面面垂直的性質定理和線面垂直的性質定理得到，再利用勾股定理求出相關長度，找到截面圓的最值情況，代入計算即可得到答案.
【詳解】連接,由,
可知：和是等邊三角形,
設三棱錐外接球的球心為,
所以球心到平面和平面的射影是和的中心,，
是等邊三角形,為中點,所以,
又因為側面底面,側面底面，側面，
所以底面,而底面,因此,
所以是矩形,應為和是邊長為4的等邊三角形,
所以兩個等邊三角形的高,
在矩形中,，
連接,所以,
設過點的平面為,當時,此時所得截面的面積最小,該截面為圓形,
可得,
因此圓的半徑為,
所以此時面積為,當點在以為圓心的大圓上時,此時截面的面積最大,
面積為:,所以截面的面積范圍為.
故答案為：.

21．（2023·江西上饒·校聯考模擬預測）已知四棱錐的各個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是線段AB上一點，且．過點M作球O的截面，所得截面圓面積的最小值為，則＝ ．
【答案】或
【分析】根據給定的幾何體，確定球心O的位置并求出球半徑，再利用球的截面圓性質及余弦定理求解作答.
【詳解】在等腰梯形中，連接，如圖，
因為，，，則，，
于是，取中點，連接，則，得均為正三角形，
即有，即是梯形外接圓圓心，
而O為四棱錐的外接球球心，因此平面，又PA⊥平面ABCD，
則，而為球O的弦，則過點O垂直于的平面必過的中點E，連接，
于是，而，即有，四邊形為矩形，，
因此球O的半徑，過點M的球O的最小截面圓所在平面必垂直于，
而此截面圓半徑為，則，連接，在中，，
在中，，，
即有，解得或，
所以或.
故答案為：或
【點睛】關鍵點睛：解決與球有關的內切或外接問題時，關鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質求解.
22．（2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習）已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為的正三角形，三棱錐的體積為，為的中點，則過點的平面截球所得截面面積的最小值是 .
【答案】
【分析】先根據條件可證明，，，故三棱錐放入正方體中，正方體的外接球即是三棱錐的外接球，從而即可求出球的半徑，過點的平面截球所得截面面積的最小時，截面與垂直，求得截面圓半徑即可．
【詳解】設在底面上的射影為，如圖，

因為，由全等得為的中心，
由題可知，，由，解得
在正中，可得.
從而直角三角形中解得.
同理，又是邊長為的正三角形，
所以，則，同理，，
因此正三棱錐可看作正方體的一角，
正方體的外接球與三棱錐的外接球相同，正方體對角線的中點為球心.
記外接球半徑為，則，
過點的平面截球所得截面面積的最小時，截面與垂直，此時截面圓半徑滿足，
由得，所以，所以截面面積的最小值為.
故答案為：
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