資源簡介

【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展90 阿波羅尼斯圓和蒙日圓的問題（精講+精練）
一、阿波羅尼斯圓
1.阿波羅尼斯圓的定義
在平面上給定兩點，設點在同一平面上且滿足，當且時，點的軌跡是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓．（時點的軌跡是線段的中垂線）
2.阿波羅尼斯圓的證明
設．若（且），則點的軌跡方程是，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓．
證明：由及兩點間距離公式，可得，
化簡可得①，
（1）當時，得，此時動點的軌跡是線段的垂直平分線；
（2）當時，方程①兩邊都除以得，化為標準形式即為：
，∴點的軌跡方程是以為圓心，半徑為的圓．
圖① 圖② 圖③
【定理】為兩已知點，分別為線段的定比為的內外分點，則以為直徑的圓上任意點到兩點的距離之比為．
證明：以為例．如圖②，設，，則，
．過作的垂線圓交于兩點，由相交弦定理及勾股定理得，于是．
同時在到兩點距離之比等于的圓上，而不共線的三點所確定的圓是唯一的，
圓上任意一點到兩點的距離之比恒為．同理可證的情形．
9.阿波羅尼斯圓的相關結論
【結論1】當時，點B在圓內，點A在圓外；當時，點A在圓內，點B在圓外．
【結論2】因，故是圓的一條切線．若已知圓及圓外一點A，可以作出與之對應的點B，反之亦然．
【結論9】所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為，面積為．
【結論4】過點作圓的切線（為切點），則分別為的內、外角平分線．
【結論5】阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內分和外分所得的兩個分點，如圖所示，是的內分點，是的外分點，此時必有平分，平分的外角．
證明：如圖①，由已知可得（且），，又，
平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．
【結論6】過點作圓不與重合的弦，則AB平分．
證明：如圖③，連結，由已知（且），又，平分．
平分．
二、蒙日圓
1.蒙日圓的定義
在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸短半軸平方和的幾何平方根，這個圓叫蒙日圓，如圖1．
證明：設橢圓的方程為，則橢圓兩條互相垂直的切線交點的軌跡是蒙日圓：．①當題設中的兩條互相垂直的切線斜率均存在且不為時，可設（且），過的橢圓的切線方程為，由得，
由其判別式值為，得，
是這個關于的一元二次方程的兩個根，，
由已知點的坐標滿足方程．
②當題設中的兩條互相垂直的切線有斜率不存在或斜率為時，可得點的坐標為或，此時點也在圓上．
綜上所述：橢圓兩條互相垂直的切線交點的軌跡是蒙日圓：．
2.蒙日圓的幾何性質
【結論1】過圓上的動點作橢圓的兩條切線，則．
證明：設點坐標，由，得
，由其判別式的值為0，
得，
，是這個關于的一元二次方程的兩個根，，，，．
【結論2】設為蒙日圓O：上任一點，過點作橢圓的兩條切線，交橢圓于點為原點，則的斜率乘積為定值．
【結論9】設為蒙日圓O：上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為原點，則的斜率乘積為定值，且的斜率乘積為定值（垂徑定理的推廣）．
【結論4】過圓上的動點作橢圓的兩條切線，O為原點，則平分橢圓的切點弦．
證明：點坐標，直線斜率，由切點弦公式得到方程，，，由點差法可知，平分，如圖是中點．
【結論5】設為蒙日圓上任一點，過點P作橢圓的兩條切線，交蒙日圓O于兩點C，D，則的斜率乘積為定值．
【結論6】設為蒙日圓上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為原點，則的斜率乘積為定值：．
【結論7】設為蒙日圓上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為原點，則的最大值為，的最小值為．
【結論8】設為蒙日圓上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，則的最大值為的最小值為．
【典例1】設，是平面上兩點，則滿足(其中為常數，且)的點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，已知，，且.
（1）求點所在圓的方程.
（2）已知圓與軸交于，兩點(點在點的左邊)，斜率不為0的直線過點且與圓交于，兩點，證明：.
【詳解】（1）解：由題意可得，，即，
則，整理得，即圓的方程為.
（2）證明：對于圓，令，得或，所以，.
設直線的方程為，，.
由得，
則，.
則直線與關于軸對稱，即.
【典例2】已知橢圓的一個焦點為，離心率為．
（I）求橢圓的標準方程；
（II）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程．
【詳解】（I）可知，又，故橢圓的標準方程為．
（II）設兩切線為，
①當軸或//軸時，對應//軸或軸，可知或．
②當與軸不垂直且不平行時，，設的斜率為，則的斜率為，的方程為，聯立，得，
∵直線與橢圓相切，∴，得
，整理得
（*），是方程（*）的一個根，同理是方程（*）的另一個根，其中，點的軌跡方程為，又或滿足上式．綜上知：點P的軌跡方程為．
【題型訓練-刷模擬】
1.阿波羅尼斯圓
一、單選題
1．（2029·全國·高三專題練習）我們都知道：平面內到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓．后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內有兩點和，且該平面內的點滿足，若點的軌跡關于直線對稱，則的最小值是（ ）
A．10 B．20 C．90 D．40
2．（2029·全國·高三專題練習）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數且的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現有橢圓為橢圓長軸的端點，為橢圓短軸的端點，，分別為橢圓的左右焦點，動點滿足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
9．（2092秋·江西宜春·高三江西省豐城中學校考期中）阿波羅尼斯是古希臘著名的數學家，對圓錐曲線有深刻而系統的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2029·廣西·統考模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他研究發現：如果一個動點到兩個定點的距離之比為常數（且），那么點的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點到，的距離比為，則點到直線：的距離的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2029·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是阿氏圓.若對任意實數，直線與圓恒有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2029·全國·校聯考模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得 阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值，且的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，，點滿足.設點的軌跡為曲線，則下列說法錯誤的是（ ）
A．的方程為
B．當三點不共線時，則
C．在C上存在點M，使得
D．若，則的最小值為
7．（2029·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知平面上兩定點A，B，則所有滿足（且）的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓.已知動點P在棱長為6的正方體的一個側面上運動，且滿足，則點P的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
8．（2029秋·云南保山·高三統考期末）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得 阿基米德齊名，他發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值且的點的軌跡是一個圓，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，點滿足，設點的軌跡為曲線，下列結論正確的是（ ）
A．曲線的方程為
B．曲線與圓外切
C．曲線被直線截得的弦長為
D．曲線上恰有三個點到直線的距離為1
9．（2024·全國·高三專題練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓．”后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系中，，，點滿足，點的軌跡為曲線，下列結論正確的是（ ）
A．曲線的方程為
B．直線與曲線有公共點
C．曲線被軸截得的弦長為
D．面積的最大值為
10．（2029·全國·高三專題練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系中，，，點滿足．設點的軌跡為，則（ ）．
A．軌跡的方程為
B．在軸上存在異于，的兩點，，使得
C．當，，三點不共線時，射線是的角平分線
D．在上存在點，使得
11．（2029春·湖南長沙·高三湖南師大附中校聯考階段練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點，的距離之比為定值（，且）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，，，點滿足.設點的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（ ）
A．的方程為
B．當，，三點不共線時，則
C．在上存在點，使得
D．若，則的最小值為
三、填空題
12．（2029·全國·高三專題練習）阿波羅尼斯（約前262—前190年）證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點，，動點P滿足，則點P的軌跡方程是 ．
19．（2029春·上海閔行·高三上海市七寶中學校考開學考試）阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點A，B間的距離為9，動點滿足，則的范圍為 .
14．（2029·全國·高三專題練習）阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現有，，當的面積最大時，則的長為 .
15．（2029·河北衡水·校聯考二模）希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得 阿基米德齊名.他發現：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，點是滿足的阿氏圓上的任一點，若拋物線的焦點為，過點的直線與此阿氏圓相交所得的最長弦與最短弦的和為 .
16．（2029·湖南長沙·長沙市實驗中學校考三模）已知平面上兩定點A、B，則所有滿足（且）的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為的圓．這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓．已知棱長為9的正方體ABCD-A1B1C1D1表面上動點P滿足，則點P的軌跡長度為 ．
四、解答題
17．（2029·全國·高三專題練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得 阿基米德齊名，他發現：“平面內到兩個定點，的距離之比為定值且的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，，，動點滿足.設點的軌跡為.
(1)求曲線的方程；
(2)若曲線和無公共點，求的取值范圍.
18．（2029·全國·高三專題練面上兩點A、B，則所有滿足且k不等于1的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱阿氏圓.已知圓上的動點P滿足：其中O為坐標原點，A點的坐標為.
(1)直線上任取一點Q，作圓的切線，切點分別為M，N，求四邊形面積的最小值；
(2)在（1）的條件下，證明：直線MN恒過一定點并寫出該定點坐標.
19．（2029秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點與兩定點，的距離之比，是一個常數，那么動點的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點分別為橢圓的右焦點與右頂點，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）如圖，過右焦點斜率為的直線與橢圓相交于，（點在軸上方），點，是橢圓上異于，的兩點，平分，平分．
①求的取值范圍；
②將點、、看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若外接圓的面積為，求直線的方程．
2.蒙日圓
一、單選題
1．（2029·全國·高三專題練習）加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓 的蒙日圓的半徑為（ ）
A．9 B．4 C．5 D．6
2．（2029·全國·高三專題練習）畫法幾何創始人蒙日發現：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸 短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
9．（2029秋·新疆烏魯木齊·高三校考階段練習）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”．他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：（）的蒙日圓為，則橢圓Γ的離心率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2029·江西·統考模擬預測）定義：圓錐曲線的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是以坐標原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓的方程為，是直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線與橢圓相切于、兩點，是坐標原點，連接，當為直角時，則（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．（2029·海南·統考模擬預測）畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：過橢圓外一點作橢圓的兩條互相垂直的切線，那么這一點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓為圓，若圓不透明，則一束光線從點出發，經軸反射到圓上的最大路程是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
6．（2029·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，其蒙日圓方程為，M為蒙日圓上的一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若面積的最大值為96，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B． C． D．
7．（2029·貴州畢節·校考模擬預測）加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（ ）

A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日圓方程為
C．若為正方形，則的邊長為 D．長方形的面積的最大值為18
8．（2029·全國·高三專題練習）研究發現橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，這個圓叫做橢圓的蒙日圓．設橢圓的焦點為，，為橢圓上的任意一點，為橢圓的蒙日圓的半徑．若的最小值為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
9．（2029秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學校聯考階段練習）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”．他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：的蒙日圓為C：，過C上的動點M作的兩條切線，分別與C交于P，Q兩點，直線PQ交于A，B兩點，則下列結論不正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B． 面積的最大值為
C．M到的左焦點的距離的最小值為
D．若動點D在上，將直線DA，DB的斜率分別記為，，則
二、多選題
10．（2029·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖乙）．已知長方形R的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的離心率為 B．橢圓C的蒙日圓方程為
C．橢圓C的蒙日圓方程為 D．長方形R的面積最大值為18
11．（2029·全國·高三專題練習）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”、“微分幾何之父”．他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則（ ）
A．橢圓的離心率為
B．面積的最大值為
C．到的左焦點的距離的最小值為
D．若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則
12．（2029秋·重慶永川·高三重慶市永川北山中學校校考期末）在橢圓中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓.該圓由法國數學家最新發現.若橢圓，則下列說法中正確的有（ ）
A．橢圓外切矩形面積的最大值為
B．點為蒙日圓上任意一點，點，當最大值時
C．過橢圓的蒙日圓上一點，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于點，若存在，則為定值
D．若橢圓的左右焦點分別為，過橢圓上一點和原點作直線與蒙日圓相交于，且，則
19．（2029·江蘇鹽城·校考三模）畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓.分別為橢圓的左、右焦點，直線的方程為，為橢圓的蒙日圓上一動點，分別與橢圓相切于兩點，為坐標原點，下列說法正確的是（ ）
A．橢圓的蒙日圓方程為
B．記點到直線的距離為，則的最小值為
C．一矩形四條邊與橢圓相切，則此矩形面積最大值為
D．的面積的最小值為，最大值為
三、填空題
14．（2029·全國·高三專題練習）法國數學家蒙日（Monge，）發現：橢圓的兩條互相垂直切線的交點的軌跡方程為：，這個圓被稱為蒙日圓．若某橢圓對應的蒙日圓方程為，則 ．
15．（2029·全國·高三專題練習）若橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓中心，則稱這個圓為蒙日圓.若橢圓的蒙日圓的半徑為，則橢圓的離心率為 .
16．（2029春·吉林長春·高三長春十一高校考開學考試）“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓中心，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓C：的蒙日圓方程為，則橢圓C的離心率為 ．
17．（2029·全國·高三專題練習）畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓方程為，橢圓的離心率為，為蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于、兩點，則面積的最大值為 .（用含的代數式表示）
四、解答題
18．（2029秋·浙江寧波·高三期末）法國數學家加斯帕爾·蒙日被譽為畫法幾何之父.他在研究橢圓切線問題時發現了一個有趣的重要結論：一橢圓的任兩條互相垂直的切線交點的軌跡是一個圓，尊稱為蒙日圓，且蒙日圓的圓心是該橢圓的中心，半徑為該橢圓的長半軸與短半軸平方和的算術平方根.已知在橢圓中，離心率，左、右焦點分別是、，上頂點為Q，且，O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程，并請直接寫出橢圓C的蒙日圓的方程；
(2)設P是橢圓C外一動點（不在坐標軸上），過P作橢圓C的兩條切線，過P作x軸的垂線，垂足H，若兩切線斜率都存在且斜率之積為，求面積的最大值.
19．（2029·河南·校聯考模擬預測）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓過，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的蒙日圓上一點，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點，若，存在，證明：為定值.
【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）
素養拓展90 阿波羅尼斯圓和蒙日圓的問題（精講+精練）
一、阿波羅尼斯圓
1.阿波羅尼斯圓的定義
在平面上給定兩點，設點在同一平面上且滿足，當且時，點的軌跡是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓．（時點的軌跡是線段的中垂線）
2.阿波羅尼斯圓的證明
設．若（且），則點的軌跡方程是，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓．
證明：由及兩點間距離公式，可得，
化簡可得①，
（1）當時，得，此時動點的軌跡是線段的垂直平分線；
（2）當時，方程①兩邊都除以得，化為標準形式即為：
，∴點的軌跡方程是以為圓心，半徑為的圓．
圖① 圖② 圖③
【定理】為兩已知點，分別為線段的定比為的內外分點，則以為直徑的圓上任意點到兩點的距離之比為．
證明：以為例．如圖②，設，，則，
．過作的垂線圓交于兩點，由相交弦定理及勾股定理得，于是．
同時在到兩點距離之比等于的圓上，而不共線的三點所確定的圓是唯一的，
圓上任意一點到兩點的距離之比恒為．同理可證的情形．
9.阿波羅尼斯圓的相關結論
【結論1】當時，點B在圓內，點A在圓外；當時，點A在圓內，點B在圓外．
【結論2】因，故是圓的一條切線．若已知圓及圓外一點A，可以作出與之對應的點B，反之亦然．
【結論9】所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為，面積為．
【結論4】過點作圓的切線（為切點），則分別為的內、外角平分線．
【結論5】阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內分和外分所得的兩個分點，如圖所示，是的內分點，是的外分點，此時必有平分，平分的外角．
證明：如圖①，由已知可得（且），，又，
平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．
【結論6】過點作圓不與重合的弦，則AB平分．
證明：如圖③，連結，由已知（且），又，平分．
平分．
二、蒙日圓
1.蒙日圓的定義
在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸短半軸平方和的幾何平方根，這個圓叫蒙日圓，如圖1．
證明：設橢圓的方程為，則橢圓兩條互相垂直的切線交點的軌跡是蒙日圓：．①當題設中的兩條互相垂直的切線斜率均存在且不為時，可設（且），過的橢圓的切線方程為，由得，
由其判別式值為，得，
是這個關于的一元二次方程的兩個根，，
由已知點的坐標滿足方程．
②當題設中的兩條互相垂直的切線有斜率不存在或斜率為時，可得點的坐標為或，此時點也在圓上．
綜上所述：橢圓兩條互相垂直的切線交點的軌跡是蒙日圓：．
2.蒙日圓的幾何性質
【結論1】過圓上的動點作橢圓的兩條切線，則．
證明：設點坐標，由，得
，由其判別式的值為0，
得，
，是這個關于的一元二次方程的兩個根，，，，．
【結論2】設為蒙日圓O：上任一點，過點作橢圓的兩條切線，交橢圓于點為原點，則的斜率乘積為定值．
【結論9】設為蒙日圓O：上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為原點，則的斜率乘積為定值，且的斜率乘積為定值（垂徑定理的推廣）．
【結論4】過圓上的動點作橢圓的兩條切線，O為原點，則平分橢圓的切點弦．
證明：點坐標，直線斜率，由切點弦公式得到方程，，，由點差法可知，平分，如圖是中點．
【結論5】設為蒙日圓上任一點，過點P作橢圓的兩條切線，交蒙日圓O于兩點C，D，則的斜率乘積為定值．
【結論6】設為蒙日圓上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為原點，則的斜率乘積為定值：．
【結論7】設為蒙日圓上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為原點，則的最大值為，的最小值為．
【結論8】設為蒙日圓上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，則的最大值為的最小值為．
【典例1】設，是平面上兩點，則滿足(其中為常數，且)的點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，已知，，且.
（1）求點所在圓的方程.
（2）已知圓與軸交于，兩點(點在點的左邊)，斜率不為0的直線過點且與圓交于，兩點，證明：.
【詳解】（1）解：由題意可得，，即，
則，整理得，即圓的方程為.
（2）證明：對于圓，令，得或，所以，.
設直線的方程為，，.
由得，
則，.
則直線與關于軸對稱，即.
【典例2】已知橢圓的一個焦點為，離心率為．
（I）求橢圓的標準方程；
（II）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程．
【詳解】（I）可知，又，故橢圓的標準方程為．
（II）設兩切線為，
①當軸或//軸時，對應//軸或軸，可知或．
②當與軸不垂直且不平行時，，設的斜率為，則的斜率為，的方程為，聯立，得，
∵直線與橢圓相切，∴，得
，整理得
（*），是方程（*）的一個根，同理是方程（*）的另一個根，其中，點的軌跡方程為，又或滿足上式．綜上知：點P的軌跡方程為．
【題型訓練-刷模擬】
1.阿波羅尼斯圓
一、單選題
1．（2029·全國·高三專題練習）我們都知道：平面內到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓．后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內有兩點和，且該平面內的點滿足，若點的軌跡關于直線對稱，則的最小值是（ ）
A．10 B．20 C．90 D．40
【答案】B
【分析】點的軌跡為圓，直線過圓心，得，利用基本不等式求的最小值.
【詳解】設點的坐標為，因為，則，
即，
所以點的軌跡方程為，
因為點的軌跡關于直線對稱，
所以圓心在此直線上，即，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值是.
故選：B.
2．（2029·全國·高三專題練習）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數且的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現有橢圓為橢圓長軸的端點，為橢圓短軸的端點，，分別為橢圓的左右焦點，動點滿足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題可得動點M的軌跡方程，可得，，即求.
【詳解】設，，
由，可得=2，
化簡得.
∵△MAB面積的最大值為面積的最小值為，
∴，，
∴，即，
∴．
故選：A．
9．（2029秋·江西宜春·高三江西省豐城中學校考期中）阿波羅尼斯是古希臘著名的數學家，對圓錐曲線有深刻而系統的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據點的軌跡方程可得，結合條件可得，即得.
【詳解】設，，所以，
又，所以．
因為且，所以，
整理可得，
又動點M的軌跡是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因為，
所以的最小值為．
故選：C．
4．（2029·廣西·統考模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他研究發現：如果一個動點到兩個定點的距離之比為常數（且），那么點的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點到，的距離比為，則點到直線：的距離的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由題意求出點的軌跡方程，再由直線和圓的位置關系求解即可.
【詳解】由題意，設點，則，
∴，化簡得點的軌跡方程為，
∴點的軌跡是以為圓心，半徑的圓.
圓心到直線：的距離，
∴點到直線最大距離為.
故選：A.
5．（2029·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是阿氏圓.若對任意實數，直線與圓恒有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設點，求出動點的軌跡圓的方程，再求出直線過定點坐標，依題意點在圓的內部，即可得到不等式，解得即可.
【詳解】設點，，，
所以動點的軌跡為阿氏圓：，
又直線恒過點，
若對任意實數直線與圓恒有公共點，
在圓的內部或圓上，所以，所以，解得，
即的取值范圍為.
故選：C
6．（2029·全國·校聯考模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得 阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值，且的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，，點滿足.設點的軌跡為曲線，則下列說法錯誤的是（ ）
A．的方程為
B．當三點不共線時，則
C．在C上存在點M，使得
D．若，則的最小值為
【答案】C
【分析】根據已知條件及兩點之間的距離公式，利用三角形的角平分線定理及圓與圓的位置關系，結合三點共線時線段取得最短即可求解.
【詳解】設，由，得，化簡得，故A正確；
當三點不共線時，，所以是的角平分線，所以，故B正確；
設,則，化簡得，因為，所以C上不存在點M，使得，故C錯
誤；
因為，所以，所以，當且僅當在線段上時，等號成立，故D正確.
故選：C.
7．（2029·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知平面上兩定點A，B，則所有滿足（且）的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓.已知動點P在棱長為6的正方體的一個側面上運動，且滿足，則點P的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據阿氏圓的定義分析得P點軌跡為球與側面的交線，計算其弧長即可
【詳解】在圖1中，以B為原點建立平面直角坐標系，如圖2所示，
設阿氏圓圓心為，半徑為r.因為，所以，
所以.
設圓O與AB交于點M.由阿氏圓性質，知.
又，所以.又，
所以，解得，所以，
所以點P在空間內的軌跡為以O為球心，半徑為4的球.
當點P在側面內部時，如圖2所示，截面圓與，分別交于點M，R，
所以點P在側面內的軌跡為.
因為在中，，，所以，
所以，所以點P在側面內部的軌跡長為.

故選：B.
二、多選題
8．（2029秋·云南保山·高三統考期末）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得 阿基米德齊名，他發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值且的點的軌跡是一個圓，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，點滿足，設點的軌跡為曲線，下列結論正確的是（ ）
A．曲線的方程為
B．曲線與圓外切
C．曲線被直線截得的弦長為
D．曲線上恰有三個點到直線的距離為1
【答案】ACD
【分析】對于A，設點，由兩點間距離公式代入化簡判斷；對于B，根據圓心距與兩半徑和的關系進行判斷；對于C，先求出點到直線的距離，再結合勾股定理求出弦長；對于D，結合點到直線的距離以及圓C的半徑分析判斷.
【詳解】對于A，設，由定義，得，化簡整理得，故A正確；
對于B，的圓心為，半徑；的圓心為，半徑；圓心距，故B錯誤；
對于C，圓心到直線的距離，
所以弦長為，故C正確；
對于D，圓心到直線的距離，半徑，所以圓上恰有三個點到直線的距離為1,故D正確.
故選：ACD.
9．（2024·全國·高三專題練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓．”后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系中，，，點滿足，點的軌跡為曲線，下列結論正確的是（ ）
A．曲線的方程為
B．直線與曲線有公共點
C．曲線被軸截得的弦長為
D．面積的最大值為
【答案】ACD
【分析】通過阿氏圓的定義結合，設，從而可以得到曲線C的方程；
通過計算圓心到直線的距離是否小于等于半徑，從而判斷B的正確性；
計算圓心到軸的距離，結合，得到曲線被軸截得的弦長，從而判斷C的正確性；
的長度確定，所以面積的最大值即為點到距離的最大值，從而判斷C的正確性.
【詳解】設，
對于選項A，因為，所以，化簡得，故A正確；
對于選項B，因為曲線C為，所以圓心為，半徑為，計算圓心到直線的距離為，
所以直線與曲線C沒有公共點，故B錯誤；
對于選項C，曲線的圓心在軸上，所以被軸截得的弦即為直徑，所以曲線被軸截得的弦長為，故C正確；
對于選項D，因為，，所以,故，
而曲線C為，所以，即的最大值為，故D正確.
故選：ACD
10．（2029·全國·高三專題練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系中，，，點滿足．設點的軌跡為，則（ ）．
A．軌跡的方程為
B．在軸上存在異于，的兩點，，使得
C．當，，三點不共線時，射線是的角平分線
D．在上存在點，使得
【答案】BC
【分析】利用求軌跡方程的方法確定軌跡的方程可判斷A；設，，由兩點間的距離公式結合軌跡的方程可判斷B；由角平分線的定義可判斷C；設，由求出點的軌跡方程與聯立，可判斷D.
【詳解】對于A，在平面直角坐標系中，，，點滿足，
設，則，化簡得，
即，所以A錯誤；
對于B，假設在軸上存在異于，的兩點，，使得，
設，，則，
化簡得，
由軌跡的方程為，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正確；
對于C，當，，三點不共線時，，
可得射線是的角平分線，所以C正確；
對于D，若在上存在點，使得，可設，
則，化簡得，
與聯立，方程組無解，故不存在點，所以D錯誤．
故選：BC．
11．（2029春·湖南長沙·高三湖南師大附中校聯考階段練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點，的距離之比為定值（，且）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，，，點滿足.設點的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（ ）
A．的方程為
B．當，，三點不共線時，則
C．在上存在點，使得
D．若，則的最小值為
【答案】ABD
【分析】對于A，通過直接法求出點的軌跡方程即可判斷；
對于B，由題意，結合三角形內角平分線定理進行判斷即可；
對于C，由“阿波羅尼斯圓”定義，求點軌跡方程，用圓與圓的位置關系進行判斷即可；
對于D，將轉化為進行判斷即可.
【詳解】設，（不與，重合）
∵，，∴，，
∴，得，化簡得，
∴點的軌跡曲線是以為圓心，半徑的圓，
對于A，曲線的方程為，故選項A正確；
對于B，由已知，，，∴，
∴當，，三點不共線時，由三角形內角平分線定理知，是內角的角平分線，
∴，故選項B正確；
對于C，若，則，由題意，點軌跡是圓，
設，由得，化簡得點軌跡方程為，
即點的軌跡是圓心為，半徑的圓，
圓與圓的圓心距，
∴圓與圓的位置關系為內含，圓與圓無公共點，
∴上不存在點，使得，故選項C錯誤；
對于D，∵，∴，
∴，
當且僅當在線段上時，等號成立，故選項D正確.
故選：ABD.
三、填空題
12．（2029·全國·高三專題練習）阿波羅尼斯（約前262—前190年）證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點，，動點P滿足，則點P的軌跡方程是 ．
【答案】
【分析】直接設點P的坐標，利用兩點間距離公式代入化簡整理可求點P的軌跡方程．
【詳解】設，即，整理得：即．
故答案為：．
19．（2029春·上海閔行·高三上海市七寶中學校考開學考試）阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點A，B間的距離為9，動點滿足，則的范圍為 .
【答案】
【分析】以中點為原點，以所在直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，則，.設，由題可得點P軌跡方程，后可得答案.
【詳解】以中點為原點，以所在直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，
因為，所以，.
設，因為，所以，
整理得，即.
.
又，
則，則.
故答案為：
14．（2029·全國·高三專題練習）阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現有，，當的面積最大時，則的長為 .
【答案】
【分析】利用正弦定理將角化邊，即可求得點的軌跡方程，然后確定三角形面積的最大值和點的坐標，最后求解的長度即可．
【詳解】解：因為，由正弦定理可得，即，因為，不妨令，，建立如圖所示的平面直角坐標系，
設點的坐標為，點的軌跡方程滿足：，
整理可得：，，
即點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓（除與軸兩交點外），
當點的坐標或時三角形的面積最大，其最大值為，
由勾股定理可得．
故答案為：．
15．（2029·河北衡水·校聯考二模）希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得 阿基米德齊名.他發現：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，點是滿足的阿氏圓上的任一點，若拋物線的焦點為，過點的直線與此阿氏圓相交所得的最長弦與最短弦的和為 .
【答案】
【分析】由阿氏圓的定義得到點的軌跡方程，即阿氏圓的方程，然后由圓的性質即可求解.
【詳解】設，由阿氏圓的定義可得，
即，化簡得.
所以，所以點在圓心為，半徑為的圓上，
因為拋物線的焦點為.所以，
因為.所以點在圓內，
因為點到與圓心的距離為，
所以過點的最短弦長為，過點的最長弦長為，
所以過點的最長弦與最短弦的和為.
故答案為：
16．（2029·湖南長沙·長沙市實驗中學校考三模）已知平面上兩定點A、B，則所有滿足（且）的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為的圓．這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓．已知棱長為9的正方體ABCD-A1B1C1D1表面上動點P滿足，則點P的軌跡長度為 ．
【答案】
【分析】以為原點建立平面直角坐標系，結合題意可得點在空間內的軌跡為以為球心，半徑為2的球.再根據球的性質求解即可.
【詳解】在圖1中，以為原點建立平面直角坐標系如圖2所示，
設阿氏圓圓心為，半徑為，
因為，所以，所以，
設圓與交于點，由阿氏圓性質，知，
又，所以，
又，所以，解得，所以，
所以點在空間內的軌跡為以為球心，半徑為2的球，
當點在面內部時，如圖2所示，截面圓與分別交于點，
所以點在面內的軌跡為，
因為在中，，所以，
所以，所以點在面內部的軌跡長為，
同理，點在面內部的軌跡長為，
當點在面內部時，如圖9所示，因為平面，
所以平面截球所得小圓是以為圓心，以長為半徑的圓，
截面圓與分別交于點，且，
所以點在面內的軌跡為，且，
綜上，點的軌跡長度為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求球與平面公共點軌跡長度時先求出平面截球所得圓面的半徑，當截面為完整的圓時可直接求圓周長，當截面只是圓的一部分時先求圓心角的大小再計算弧長.
四、解答題
17．（2029·全國·高三專題練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得 阿基米德齊名，他發現：“平面內到兩個定點，的距離之比為定值且的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，，，動點滿足.設點的軌跡為.
(1)求曲線的方程；
(2)若曲線和無公共點，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，然后根據列方程化簡計算即可得曲線的方程，
（2）先求出兩圓的圓心和半徑，再由題意可得兩圓外離或內含，從而可得或，從而可求出的取值范圍
（1）
設，
因為，，動點滿足，
所以，
化簡得，即，
所以曲線的方程為，
（2）曲線的圓心為，半徑為4，
的圓心為，半徑為，
因為曲線和無公共點，所以兩圓外離或內含，
所以或，
所以或，
所以或，
所以的取值范圍為
18．（2029·全國·高三專題練面上兩點A、B，則所有滿足且k不等于1的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱阿氏圓.已知圓上的動點P滿足：其中O為坐標原點，A點的坐標為.
(1)直線上任取一點Q，作圓的切線，切點分別為M，N，求四邊形面積的最小值；
(2)在（1）的條件下，證明：直線MN恒過一定點并寫出該定點坐標.
【答案】(1)4；
(2)證明見解析，.
【分析】（1）設點P的坐標為，求出點P的軌跡方程為，求出，，求出最小值即得解；
（2）設，兩圓方程相減可得MN的方程為，即得解.
【詳解】（1）解：設點P的坐標為，根據題設條件有，
所以有，
化簡得.
所以
，
由題知，當時，此時， |QM|最小，
即四邊形面積取得最小值4.
（2）解；設，由幾何性質，可知M，N兩點在以為直徑的圓上，
此圓的方程為，
而直線MN是此圓與圓的相交弦所在直線，
相減可得MN的方程為，
所以直線MN恒過定點.
19．（2029秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點與兩定點，的距離之比，是一個常數，那么動點的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點分別為橢圓的右焦點與右頂點，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）如圖，過右焦點斜率為的直線與橢圓相交于，（點在軸上方），點，是橢圓上異于，的兩點，平分，平分．
①求的取值范圍；
②將點、、看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若外接圓的面積為，求直線的方程．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得橢圓方程，方法2，利用定義整理得，再根據條件列式求得橢圓方程；方法9，利用定義進行整理，由為常數，求得系數，得到橢圓方程；（2）①首先由面積比值求得，令，則，利用坐標表示向量，求得，再求范圍；②由阿波羅尼斯圓定義知，，，在以，為定點得阿波羅尼斯圓上，由幾何關系列式得，求得，再根據，求得，即可計算直線方程.
【詳解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得
∴，，橢圓的方程為
方法（2）設，由題意（常數），
整理得：，
故，又，解得：，．
∴，橢圓的方程為．
方法（9）設，則．
由題意
∵為常數，∴，又，解得：，，故
∴橢圓的方程為
（2）①由，又，
∴（或由角平分線定理得）
令，則，設，則有，
又直線的斜率，則，代入得：
，即，
∵，∴．
②由①知，，由阿波羅尼斯圓定義知，
，，在以，為定點得阿波羅尼斯圓上，設該圓圓心為，半徑為，與直線的另一個交點為，
則有，即，解得：．
又，故，∴
又，
∴，
解得：，，
∴，∴直線的方程為．
2.蒙日圓
一、單選題
1．（2029·全國·高三專題練習）加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓 的蒙日圓的半徑為（ ）
A．9 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點即可求出圓的半徑.
【詳解】由蒙日圓的定義，可知橢圓 的兩條切線的交點
在圓上，
所以，
故選：A
2．（2029·全國·高三專題練習）畫法幾何創始人蒙日發現：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸 短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題可得，然后利用離心率公式即得.
【詳解】由題可得，
∴，即橢圓為，
∴.
故選：A.
9．（2029秋·新疆烏魯木齊·高三校考階段練習）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”．他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：（）的蒙日圓為，則橢圓Γ的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找過右頂點的切線和過上頂點的切線，得到這兩條切線的交點在蒙日圓上，再建立關于的方程，即可求解.
【詳解】
如圖，分別與橢圓相切，顯然.
所以點在蒙日圓上，
所以，所以，即，
所以橢圓的離心率.
故選：D
4．（2029·江西·統考模擬預測）定義：圓錐曲線的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是以坐標原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓的方程為，是直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線與橢圓相切于、兩點，是坐標原點，連接，當為直角時，則（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】求出蒙日圓的方程，求出直線與蒙日圓的交點、的坐標，求出直線、的斜率，分析可知當點與點、重合時，為直角，即可得出的值.
【詳解】根據蒙日圓定義，圓方程為，
因為直線與圓交于、兩點，聯立，可得或，
即點、，
當點與點或重合時，為直角，且，，
所以，直線的斜率為或.
故選：D.
5．（2029·海南·統考模擬預測）畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：過橢圓外一點作橢圓的兩條互相垂直的切線，那么這一點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓為圓，若圓不透明，則一束光線從點出發，經軸反射到圓上的最大路程是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【分析】由特殊切線求得蒙日圓方程，求出點關于軸對稱點坐標，求出過點的圓的切線長即可得．
【詳解】由題意直線和是橢圓的兩條相互垂直的切線，因此它們的交點在蒙日圓上，從而，即蒙日圓方程為，
設從點出發的光線在軸上反向點為，如圖，反射光線是圓的切線（在蒙日圓上此時為切點）時，路程為最大，
關于軸的對稱點為，由對稱性知在直線上，因此是圓的切線，，
．
故選：B．

6．（2029·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，其蒙日圓方程為，M為蒙日圓上的一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若面積的最大值為96，則橢圓的長軸長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由橢圓離心率，用半焦距c表示a，b，再利用橢圓蒙日圓的性質及面積最大值求出c即可求出結果.
【詳解】令橢圓的半焦距為c，
由橢圓的離心率，得，，
因此橢圓的蒙日圓方程為，由蒙日圓的性質得，
于是線段PQ是圓的直徑，即，
則面積的最大值為，即，，
所以橢圓的長軸長為.
故選：B
7．（2029·貴州畢節·校考模擬預測）加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（ ）

A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日圓方程為
C．若為正方形，則的邊長為 D．長方形的面積的最大值為18
【答案】D
【分析】由橢圓標準方程求得后再求得，從而可得離心率，利用特殊的長方形（即邊長與橢圓的軸平行）求得蒙日圓方程，從而可得長方形邊長的關系，結合基本不等式得面積最大值，并得出長方形為正方形時的邊長．
【詳解】由橢圓方程知，，則，離心率為，A正確；
當長方形的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為和4，其對角線長為，因此蒙日圓半徑為，圓方程為，B正確；
設矩形的邊長分別為，因此，即，當且僅當時取等號，所以長方形的面積的最大值是20，此時該長方形為正方形，邊長為，C正確，D錯誤．
故選：D．
8．（2029·全國·高三專題練習）研究發現橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，這個圓叫做橢圓的蒙日圓．設橢圓的焦點為，，為橢圓上的任意一點，為橢圓的蒙日圓的半徑．若的最小值為，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據橢圓的性質分析可得蒙日圓的圓心為坐標原點，半徑，設，根據平面向量的坐標運算可得，進而可得，代入運算即可得離心率.
【詳解】設橢圓的長軸、短軸、焦距分別為，
不妨設橢圓的焦點在x軸上，中心在坐標原點，顯然均為橢圓的切線，
即均在蒙日圓上，
根據對稱性分析可得：蒙日圓的圓心為坐標原點，半徑，
設橢圓方程為，橢圓上任一點，
∵，則，
可得
，
注意到，
故，當且僅當時，等號成立，
即的最小值為，故，
整理得，即，
整理得，即.
故選：D.
9．（2029秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學校聯考階段練習）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”．他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：的蒙日圓為C：，過C上的動點M作的兩條切線，分別與C交于P，Q兩點，直線PQ交于A，B兩點，則下列結論不正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B． 面積的最大值為
C．M到的左焦點的距離的最小值為
D．若動點D在上，將直線DA，DB的斜率分別記為，，則
【答案】B
【分析】根據特殊位置的切線可得交點，代入可得，即可判斷A，根據， PQ為圓C的直徑，即可求解B，根據兩點距離以及范圍即可判斷C，根據點差法即可判斷D.
【詳解】對于A，依題意，過橢圓的上頂點作y軸的垂線，過橢圓的右頂點作x軸的垂線，
則這兩條垂線的交點在圓C上，
∴，得，∴橢圓的離心率，故A正確；
對于B，∵點M，P，Q都在圓C上，且，∴PQ為圓C的直徑，∴，
當的高為半徑時，此時高最大，面積最大，最大值為，故B錯誤；
對于C，解法一：設，的左焦點為，連接MF，∵，
∴，
又，∴當時取得最小值，
則M到的左焦點的距離的最小值為，故C正確；
解法二：M為圓上的動點，M到左焦點的距離的最小值就是M到圓心O的距離減去O到左焦點的距離，
即為，故C正確；
對于D，由直線PQ經過坐標原點，易得點A，B關于原點對稱，
設，，則，，，
又，兩式相減得，∴，
又，，∴，故D正確．故選：B
二、多選題
10．（2029·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖乙）．已知長方形R的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的離心率為 B．橢圓C的蒙日圓方程為
C．橢圓C的蒙日圓方程為 D．長方形R的面積最大值為18
【答案】CD
【分析】由結合離心率公式判斷A；當長方體R的對稱軸恰好就是的對稱軸橢圓C時，求出蒙日圓的半徑，進而判斷BC；設長方體R的長為，寬為，由基本不等式判斷D.
【詳解】由題意可知，則橢圓C的離心率為，故A錯誤；
當長方體R的對稱軸恰好就是橢圓C的對稱軸時，其長為寬為，
所以橢圓C的蒙日圓的半徑為，即橢圓C的蒙日圓方程為，故C正確，B錯誤；
設長方體R的長為，寬為，則，長方形R的面積為，
當且僅當時，取等號，即長方形R的面積最大值為18，故D正確；
故選：CD
11．（2029·全國·高三專題練習）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”、“微分幾何之父”．他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則（ ）
A．橢圓的離心率為
B．面積的最大值為
C．到的左焦點的距離的最小值為
D．若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則
【答案】ABD
【分析】由條件可得，由此可求橢圓的離心率，由此判斷A，由條件可得為圓的直徑，確定面積的表達式求其最值，由此判斷B，由條件確定的表達式求其范圍，由此判斷C，結合點差法判斷D.
【詳解】依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓上，
所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；
因為點，，都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以，所以面積的最大值為，故B正確；
設，的左焦點為，連接，因為，所以，又，所以，
則到的左焦點的距離的最小值為，故C不正確；
由直線經過坐標原點，易得點，關于原點對稱，設，，則，，，又，所以，所以，所以，
故D正確
故選：ABD．
【點睛】橢圓的蒙日圓及其幾何性質
過橢圓上任意不同兩點，作橢圓的切線，若兩切線垂直且相交于，則動點的軌跡為圓，此圓即橢圓的蒙日圓．橢圓的蒙日圓有如下性質：
性質1：．
性質2：平分切點弦．
性質9：的最大值為，的最小值為．
12．（2029秋·重慶永川·高三重慶市永川北山中學校校考期末）在橢圓中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓.該圓由法國數學家最新發現.若橢圓，則下列說法中正確的有（ ）
A．橢圓外切矩形面積的最大值為
B．點為蒙日圓上任意一點，點，當最大值時
C．過橢圓的蒙日圓上一點，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于點，若存在，則為定值
D．若橢圓的左右焦點分別為，過橢圓上一點和原點作直線與蒙日圓相交于，且，則
【答案】BCD
【分析】先求得橢圓的蒙日圓，然后根據外切矩形的面積、兩角和的正切公式、根與系數關系、判別式、向量運算的指數對選項進行分析，從而確定正確選項.
【詳解】解：由題意可知，圓，
對于選項A，橢圓的一個外切矩形可設為，
則其面積，
所以矩形的面積最大值為，故選項A錯誤；
對于選項B，由題意可知當與圓相切時最大，
此時，在Rt中，，
則，
且，所以，故選項B正確；
對于選項C，當的斜率存在時，可設直線的方程為，
由聯立，消去可得，
則，
則，
當直線與橢圓相切時，
由聯立，消去可得，
化簡得，
所以，
當的斜率不存在時，則或，
此時，故選項C正確；
對于選項D，
因為，
則，
所以，
由，
所以①，
②，
則①②，可得，解得，
所以，故選項D正確；
故選：BCD.
【點睛】本題解題的關鍵一方面結合題目要求求出蒙日圓方程，建立參數間的關系式來表示面積進而利用函數求最值問題，另一方面結合橢圓定義式，向量的運算推導的關系，體現了數形結合的思想.
19．（2029·江蘇鹽城·校考三模）畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓.分別為橢圓的左、右焦點，直線的方程為，為橢圓的蒙日圓上一動點，分別與橢圓相切于兩點，為坐標原點，下列說法正確的是（ ）
A．橢圓的蒙日圓方程為
B．記點到直線的距離為，則的最小值為
C．一矩形四條邊與橢圓相切，則此矩形面積最大值為
D．的面積的最小值為，最大值為
【答案】ACD
【分析】當斜率不存在時可得點坐標，斜率存在時，將切線方程與橢圓方程聯立，利用和垂直關系可構造等式求得點軌跡；結合兩種情況可知A正確；利用橢圓定義將轉化為，由平面幾何知識可知最小值為點到直線的距離，結合點到直線距離公式可求得B錯誤；根據矩形為蒙日圓的內接矩形，結合基本不等式可求得C正確；推導可得過橢圓外一點的橢圓的切點弦直線方程為，當時，可求得的值；當時，將直線與橢圓方程聯立可得韋達定理的結論，結合弦長公式和點到直線距離公式可化簡得到，結合二次函數最值的求法可求得結果，知D正確.
【詳解】
對于A，當直線一條斜率為，另一條斜率不存在時，則；
當直線斜率均存在時，設，切線方程為：，
由得：，
由整理可得：，，
又，，即，，
點軌跡為；
將檢驗，滿足，
蒙日圓的方程為，A正確；
對于B，為橢圓上的點，，
；
的最小值為點到直線的距離，又，
，，B錯誤；
對于C，矩形四條邊均與相切，該矩形為蒙日圓的內接矩形，
設矩形的長為，寬為，蒙日圓的半徑，，
（當且僅當時取等號），
此矩形面積最大值為，C正確；
對于D，設位于橢圓上半部分，即，，
在處的切線斜率，切線方程為：，
即，在處的切線方程為；
同理可得：當位于橢圓下半部分，即時，切線方程為：；
在點處的切線方程為，同理可知：在點處的切線方程為；
設，則，可知坐標滿足方程，
即切點弦所在直線方程為：；
當時，，此時所在直線方程為：，
，；
當時，由得：，
由A知：，，
設，則，，
，
又原點到直線的距離，
，
令，，，則，
為開口方向向下，對稱軸為的拋物線，
，，
，，
綜上所述：的面積的最小值為，最大值為，D正確.
故選：ACD.
三、填空題
14．（2029·全國·高三專題練習）法國數學家蒙日（Monge，）發現：橢圓的兩條互相垂直切線的交點的軌跡方程為：，這個圓被稱為蒙日圓．若某橢圓對應的蒙日圓方程為，則 ．
【答案】
【分析】根據題意寫出橢圓對應的蒙日圓方程，可得出關于的等式，即可求得正數的值.
【詳解】由已知可得橢圓對應的蒙日圓方程為，
所以，，，.
故答案為：.
15．（2029·全國·高三專題練習）若橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓中心，則稱這個圓為蒙日圓.若橢圓的蒙日圓的半徑為，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【分析】由蒙日圓定義可知在蒙日圓上，由此可根據半徑構造方程求得，由此可求得橢圓離心率.
【詳解】過可作橢圓的兩條互相垂直的切線和，在蒙日圓上，
，解得：，
橢圓的離心率.
故答案為：.
【點睛】思路點睛：求解圓錐曲線離心率或離心率取值范圍問題的基本思路有兩種：
（1）根據已知條件，求解得到的值或取值范圍，由求得結果；
（2）根據已知的等量關系或不等關系，構造關于的齊次方程或齊次不等式，配湊出離心率，從而得到結果.
16．（2029春·吉林長春·高三長春十一高校考開學考試）“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓中心，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓C：的蒙日圓方程為，則橢圓C的離心率為 ．
【答案】
【分析】取橢圓的右頂點和上頂點作橢圓的兩條切線，求出交點坐標，又因為在，代入可求出，再由離心率的公式即可得出答案.
【詳解】由橢圓C：知，橢圓的右頂點為，
上頂點為，過作橢圓的切線，
則交點坐標為，
因為橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，
所以在，
所以，解得：，
則橢圓C的離心率為.
故答案為：
17．（2029·全國·高三專題練習）畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓方程為，橢圓的離心率為，為蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于、兩點，則面積的最大值為 .（用含的代數式表示）
【答案】
【分析】由橢圓的離心率可得出，根據已知條件推導出為圓的一條直徑，利用勾股定理可得出，再利用三角形的面積公式結合基本不等式可求得面積的最大值.
【詳解】因為，所以，，
所以，蒙日圓的方程為，
由已知條件可得，則為圓的一條直徑，
由勾股定理可得，
所以，，
當且僅當時，等號成立，
因此，面積的最大值為.
故答案為：.
四、解答題
18．（2029秋·浙江寧波·高三期末）法國數學家加斯帕爾·蒙日被譽為畫法幾何之父.他在研究橢圓切線問題時發現了一個有趣的重要結論：一橢圓的任兩條互相垂直的切線交點的軌跡是一個圓，尊稱為蒙日圓，且蒙日圓的圓心是該橢圓的中心，半徑為該橢圓的長半軸與短半軸平方和的算術平方根.已知在橢圓中，離心率，左、右焦點分別是、，上頂點為Q，且，O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程，并請直接寫出橢圓C的蒙日圓的方程；
(2)設P是橢圓C外一動點（不在坐標軸上），過P作橢圓C的兩條切線，過P作x軸的垂線，垂足H，若兩切線斜率都存在且斜率之積為，求面積的最大值.
【答案】(1)橢圓C的方程為，蒙日圓的方程為
(2)
【分析】（1）根據橢圓離心率結合題設求得，即得橢圓方程，進而寫出蒙日圓的方程；
（2）設，設過點P的切線方程為，聯立橢圓方程結合判別式確定點的軌跡方程，進而利用基本不等式求得，即可求得答案.
【詳解】（1）設橢圓方程為，焦距為2c.
由題意可知，
所以，橢圓C的方程為，
且蒙日圓的方程為；
（2）設，設過點P的切線方程為，
由，消去y得①，
由于相切，所以方程①的，可得：，
整理成關于k的方程可得：，
由于P在橢圓外，故，
故，
設過點P的兩切線斜率為，
據題意得，，，
又因為，所以可得，
即點的軌跡方程為：，
由不等式可知：，
即，當且僅當時取等號，此時，
所以，即的面積的最大值為.
【點睛】關鍵點點睛：求解面積的最大值時，設出過點P的切線方程并聯立橢圓方程，利用判別式為0結合根與系數的關系求得點P的軌跡方程后，關鍵要利用基本不等式求出，即可求解.
19．（2029·河南·校聯考模擬預測）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓過，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的蒙日圓上一點，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點，若，存在，證明：為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）將坐標代入橢圓方程求出，即可得解；
（2）根據題意求出蒙日圓方程為：，當直線斜率不存在時，易求出；當直線斜率存在，設直線的方程為：，與橢圓方程聯立，根據判別式等于求出，聯立直線方程與蒙日圓方程，得、，利用、、可求出為定值.
【詳解】（1）將，代入到，
可得，解得，，
所以橢圓的方程為：.
（2）由題意可知，蒙日圓方程為：.
（ⅰ）若直線斜率不存在，則直線的方程為：或.
不妨取，易得，，，，
.
（ⅱ）若直線斜率存在，設直線的方程為：.
聯立，化簡整理得：，
據題意有，于是有：.
設（），（）.
化簡整理得：，
，
，.
則
，
，所以.
綜上可知，為定值.

【點睛】難點點睛：聯立直線與圓錐曲線方程時，字母運算較難，容易出錯，需仔細運算.
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