資源簡介

(共49張PPT)
1.3.1　空間直角坐標(biāo)系
第一章 空間向量與立體幾何
1.3　空間向量及其運算的坐標(biāo)表示
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解空間直角坐標(biāo)系．(數(shù)學(xué)抽象)
2．能在空間直角坐標(biāo)系中寫出所給定點、向量的坐標(biāo)．(數(shù)學(xué)運算)
整體感知
(教師用書)
在直線上建立數(shù)軸后，就可以用一個數(shù)刻畫點在直線上的位置；平面向量中，我們借助平面向量基本定理以及兩個互相垂直的單位向量，引進了平面向量的坐標(biāo)．空間向量是否可以引進類似的坐標(biāo)？
[討論交流]　
問題1．如何類比平面直角坐標(biāo)系，理解空間直角坐標(biāo)系？
問題2．在空間直角坐標(biāo)系中，點和向量的坐標(biāo)是如何定義的？
問題3．在空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)有何特征？
問題4．在空間直角坐標(biāo)系中，點和向量的坐標(biāo)的求解步驟是什么？
[自我感知]　經(jīng)過認真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　空間直角坐標(biāo)系及點的坐標(biāo)
探究問題1　利用單位正交基底的概念，我們?nèi)绾卫斫馄矫嬷苯亲鴺?biāo)系？類似地，如何建立空間直角坐標(biāo)系？
探究建構(gòu)
[提示]　在平面內(nèi)選定一點O和一個單位正交基底{i，j}，以O(shè)為原點，分別以i，j的方向為正方向、以它們的長度為單位長度建立兩條數(shù)軸：x軸、y軸，這樣就建立了一個平面直角坐標(biāo)系．類似地，在空間中選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}來建立空間直角坐標(biāo)系．
[新知生成]
1．空間直角坐標(biāo)系
(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：________________，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系．
x軸、y軸、z軸
(2)有關(guān)概念
坐標(biāo)軸 __軸、__軸、__軸
原點 點__
坐標(biāo)向量 __，__，__
坐標(biāo)平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它們把空間分成__個部分
x
y
z
O
i
j
k
八
(3)建系的常用規(guī)則
①畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°．
②在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向____的正方向，食指指向____的正方向，如果中指指向____的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．
x軸
y軸
z軸
2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，
由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使＝___________．在單位正交基底{i，j，k}下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組__________，叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的______，y叫做點A的______，z叫做點A的______．
xi＋yj＋zk
(x，y，z)
橫坐標(biāo)
縱坐標(biāo)
豎坐標(biāo)
3．空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)的特點
點的位置 x軸上 y軸上 z軸上
坐標(biāo)的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)

點的位置 Oxy平面內(nèi) Oyz平面內(nèi) Ozx平面內(nèi)
坐標(biāo)的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
【教用·微提醒】　(1)基向量滿足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0．
(2)建立的坐標(biāo)系一般為右手直角坐標(biāo)系．
[典例講評]　1．在棱長均為2a的正四棱錐P-ABCD中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(1)寫出正四棱錐P-ABCD各頂點的坐標(biāo)；
(2)寫出棱PB的中點M 的坐標(biāo)．
[解]　如圖，連接AC，BD交于點O，連接PO．
∵四棱錐P-ABCD為正四棱錐，且棱長均為2a，
∴四邊形ABCD為正方形，且PO⊥平面ABCD．
∴OA＝a，
PO＝＝＝a．
∴以點O為坐標(biāo)原點，OA，OB，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
(1)正四棱錐P-ABCD中各頂點坐標(biāo)分別為A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，D(0，－a，0)，P(0，0，a)．
(2)∵M為棱PB的中點，
∴M，
即M．
[母題探究]　本例條件不變，寫出棱PD中點的坐標(biāo)，寫出AB中點的坐標(biāo)．
[解]　設(shè)PD的中點為N，由(1)知N，
即N，
設(shè)AB的中點為E，由(1)知E，
即E ．
反思領(lǐng)悟　1．若已給出坐標(biāo)系，不用再建系，若未給出坐標(biāo)系，建立空間直角坐標(biāo)系時應(yīng)遵循以下原則：
(1)讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)．
(2)充分利用幾何圖形的對稱性．
2．求某點的坐標(biāo)時，一般先找這一點在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個坐標(biāo)，再找出它在另一坐標(biāo)軸上的射影(或者通過它到這個坐標(biāo)平面的距離加上正負號)進而確定第三個坐標(biāo)．
[學(xué)以致用]　1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點M是點N(3，4，5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，則點M的坐標(biāo)是(　　)
A．(3，0，5)　　　　　 B．(0，4，5)
C．(3，4，0) D．(0，0，5)
C　[根據(jù)題意，點N(3，4，5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影為(3，4，0)，
結(jié)合空間中點的坐標(biāo)運算可得點M的坐標(biāo)是(3，4，0)．故選C．]
√
2．畫一個正方體ABCD-A1B1C1D1，以A為坐標(biāo)原點，棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，取正方體的棱長為單位長度．
(1)求各頂點的坐標(biāo)；
(2)求棱CC1的中點M的坐標(biāo)；
(3)求四邊形AA1B1B的對角線的交點N的坐標(biāo)．
[解]　(1)由題意可知，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)．
(2)由(1)可知棱CC1的中點M的坐標(biāo)為．
(3)由(1)可知四邊形AA1B1B的對角線的交點N的坐標(biāo)為．
探究2　空間點的對稱問題
[典例講評]　2．(多選)下列關(guān)于空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的一點P(1，2，3)的說法，正確的有(　　)
A．線段OP的中點的坐標(biāo)為
B．點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(－1，－2，－3)
C．點P關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點的坐標(biāo)為(1，2，－3)
D．點P關(guān)于Oxy平面對稱的點的坐標(biāo)為(1，2，－3)
√
√
AD　[由題意可知線段OP的中點的坐標(biāo)為，所以A中說法正確；
點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(1，－2，－3)，所以B中說法錯誤；
點P關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點的坐標(biāo)為(－1，－2，－3)，所以C中說法錯誤；
點P關(guān)于Oxy平面對稱的點的坐標(biāo)為(1，2，－3)，所以D中說法正確．故選AD．]
發(fā)現(xiàn)規(guī)律　點P(x，y，z)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面對稱的點P′的坐標(biāo)與點P的坐標(biāo)有什么關(guān)系？
[提示]　關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反，如點(x，y，z)關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y，－z)，關(guān)于Ozx平面的對稱點為(x，－y，z)．
[學(xué)以致用]　3．點A(3，4，5)關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz對稱的點B的坐標(biāo)
為(　　)
A．(3，4，－5) B．(－3，4，5)
C．(－3，4，－5) D．(－3，－4，－5)
B　[關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz對稱的點，橫坐標(biāo)變換為其相反數(shù)，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變．
即點A(3，4，5)關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz對稱的點B的坐標(biāo)為(－3，4，5)．故選B．]
√
4．(多選)在空間直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為(－4，1，2)，則下列說法正確的是(　　)
A．點P關(guān)于原點對稱的點是(4，－1，－2)
B．點P關(guān)于x軸對稱的點是(4，1，2)
C．點P關(guān)于Ozx平面對稱的點是(－4，－1，2)
D．點P關(guān)于點(1，1，1)對稱的點是(－9，1，3)
√
√
AC　[在空間直角坐標(biāo)系中，點P(－4，1，2)，
對于A，點P關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是P1(4，－1，－2)，A正確；
對于B，點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是P2(－4，－1，－2)，B錯誤；
對于C，點P關(guān)于Ozx平面對稱的點的坐標(biāo)是P3(－4，－1，2)，C正確；
對于D，點P關(guān)于點(1，1，1)對稱的點的坐標(biāo)是P4(2－(－4)，2－1，2－2)＝(6，1，0)，D錯誤．故選AC．]
【教用·備選題】
1．已知點A(－2，3，4)，則點A關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為(　　)
A．(2，3，4)　　　　 B．(－2，－3，4)
C．(－2，3，－4) D．(2，－3，－4)
D　[在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點A(－2，3，4)關(guān)于原點的對稱點坐標(biāo)為(2，－3，－4)．故選D．]
√
2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(3，1，－2)關(guān)于Ozx平面的對稱點的坐標(biāo)為(　　)
A．(－3，1，2)　　　 B．(－3，－1，2)
C．(－2，1，3) D．(3，－1，－2)
D　[點(3，1，－2)關(guān)于Ozx平面的對稱點的坐標(biāo)為(3，－1，－2)．故選D．]
√
3．在空間直角坐標(biāo)系中，O為原點，已知點P(1，2，－1)，A(0，1，2)，則(　　)
A．點P關(guān)于點A的對稱點為(2，3，－4)
B．點P關(guān)于x軸的對稱點為(1，－2，－1)
C．點P關(guān)于y軸的對稱點為(－1，2，1)
D．點P關(guān)于Oxy平面的對稱點為(1，－2，1)
√
C　[由中點坐標(biāo)公式可知，點P(1，2，－1)關(guān)于A(0，1，2)的對稱點的坐標(biāo)是(－1，0，5)，所以A不正確；點P關(guān)于x軸的對稱點為(1，－2，1)，所以B不正確；
點P關(guān)于y軸的對稱點為(－1，2，1)，所以C正確；
點P關(guān)于Oxy平面的對稱點為(1，2，1)，所以D不正確．故選C．]
探究3　空間向量的坐標(biāo)
探究問題2　在平面直角坐標(biāo)系中，{i，j}為一個單位正交基底，＝xi＋yj，那么向量的坐標(biāo)為(x，y)，點A的坐標(biāo)為(x，y)；如果設(shè){i，j，k}為空間的單位正交基底，＝xi＋yj＋zk，猜想空間向量的坐標(biāo)是什么？點A的坐標(biāo)是什么？
[提示]　(x，y，z)　(x，y，z)
[新知生成]
向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，可簡記作a＝__________．
(x，y，z)
【鏈接·教材例題】
例1　如圖1.3-6，在長方體OABC-D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz．
(1)寫出D′，C，A′，B′四點的坐標(biāo)；
(2)寫出向量，，，的坐標(biāo)．
[解]　 (1)點D′在z軸上，且OD′＝2，所以＝0i＋0 j＋2k．所以點D′的坐標(biāo)是(0，0，2)．
同理，點C的坐標(biāo)是(0，4，0)．
點A′在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，D′，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，0，2，所以點A′的坐標(biāo)是(3，0，2)．
點B′在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，C，D′，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，4，2，所以點B′的坐標(biāo)是(3，4，2)．
(2)＝＝0i＋4 j＋0k＝(0，4，0)；
＝－＝0i＋0 j－2k＝(0，0，－2)；
＝＋＝－3i＋4 j＋0k＝(－3，4，0)；
＝＋＝－3i＋4 j＋2k＝(－3，4，2)．
[典例講評]　3．(源自湘教版教材)在長方體ABCD-A′B′C′D′中，已知AB＝4，AD＝2，AA′＝4，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(1)求點C′的坐標(biāo)； (2)求的坐標(biāo)．
[解]　(1)如圖所示，以點A為原點，分別以，的方向為正方向，均以1為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，則
＝2 j，＝4k，
又＝＋ ＝＋ ＝4i＋2 j＋4k，
所以點C′的坐標(biāo)為(4，2，4)．
(2)因為＝4k，
＝＋ ＝2 j＋4k，
所以 ＝ － ＝2 j＋4k－4k＝2 j，
因此＝(0，2，0)．
反思領(lǐng)悟　用坐標(biāo)表示空間向量的步驟
[學(xué)以致用]　5．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量的坐標(biāo)．
[解]　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)＝4i＋0 j＋0k＝(4，0，0)．
＝0i＋4 j＋4k＝(0，4，4)．
＝－4i＋4 j＋4k＝(－4，4，4)．
1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(1，－2，3)關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)
是(　　)
A．(－1，2，3) B．(－1，－2，－3)
C．(－1，2，－3) D．(1，－2，－3)
2
4
3
題號
1
應(yīng)用遷移
√
B　[在空間直角坐標(biāo)系中，點(1，－2，3)關(guān)于y軸對稱的點坐標(biāo)為(－1，－2，－3)．故選B．]
2
3
題號
1
4
√
2．如圖，在長方體OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，點P是B1C1的中點，則點P的坐標(biāo)為(　　)
A．(3，5，4) B．
C． D．
C　[設(shè)點P在x軸、y軸、z軸上的射影分別為P1，P2，P3(圖略)，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別是，5，4，故點P的坐標(biāo)是．]
3．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知長方體OABC-O′A′B′C′，OA＝3，OC＝4，OO′＝2，則點O′的坐標(biāo)為________，點A′的坐標(biāo)為__________，點B′的坐標(biāo)為__________．
2
3
題號
4
1
(0，0，2)
(3，0，2)
(3，4，2)
(0，0，2)　(3，0，2)　(3，4，2)　[點O′在z軸上，且OO′＝2，則它的豎坐標(biāo)為2，又它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為0，所以點O′的坐標(biāo)為(0，0，2)．
點A′在Ozx平面內(nèi)，則它的縱坐標(biāo)為0．點A′在x軸、z軸上的射影依次為點A、點O′，又OA＝3，OO′＝2，所以點A′的橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)依次為3，2，即點A′的坐標(biāo)為(3，0，2)．
點B′在x軸、y軸和z軸上的射影依次為點A、點C和點O′，所以點B′的坐標(biāo)為(3，4，2)．]
2
3
題號
4
1
2
4
3
題號
1
4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長為1，則的坐標(biāo)為____________，的坐標(biāo)為____________．
(1，0，0)　(1，0，1)　[由題圖可知，設(shè){}為單位正交基底{i，j，k}，則＝1i＋0 j＋0k＝(1，0，0)，
＝1i＋0 j＋1 k＝(1，0，1)．]
(1，0，0)
(1，0，1)
1．知識鏈：(1)空間直角坐標(biāo)系的概念．
(2)空間點的坐標(biāo)．
(3)空間向量的坐標(biāo)．
2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合、類比聯(lián)想．
3．警示牌：混淆空間點的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)的概念．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．在空間幾何圖形中如何建立空間直角坐標(biāo)系？
[提示]　(1)觀察圖形，尋找兩兩垂直的三條直線，必要時作輔助線．
(2)讓盡量多的點落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面內(nèi)．
(3)充分利用幾何圖形的對稱性．
2．如何確定空間一點P的坐標(biāo)？
[提示]　先將P投射(沿與z軸平行的方向)到Oxy平面上的一點P1，由P1P的長度及與z軸正方向的異同確定豎坐標(biāo)z，再在Oxy平面上同平面直角坐標(biāo)系中一樣的方法確定P1的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，最后得出點P的坐標(biāo)(x，y，z)．
3．如何求空間向量的坐標(biāo)？
[提示]　在空間直角坐標(biāo)系中，把向量用單位正交基底{i，j，k}表示，從而求出空間向量的坐標(biāo)．
課時分層作業(yè)(五)
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空間直角坐標(biāo)系
（WORD版）
鞏固課堂所學(xué) · 激發(fā)學(xué)習(xí)思維
夯實基礎(chǔ)知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節(jié)課掌握了哪些考點？
本節(jié)課還有什么疑問點？
課后訓(xùn)練
學(xué)習(xí)反思
課時小結(jié)
THANKS1.3　空間向量及其運算的坐標(biāo)表示
1.3.1　空間直角坐標(biāo)系
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解空間直角坐標(biāo)系．(數(shù)學(xué)抽象)
2．能在空間直角坐標(biāo)系中寫出所給定點、向量的坐標(biāo)．(數(shù)學(xué)運算)
(教師用書)
在直線上建立數(shù)軸后，就可以用一個數(shù)刻畫點在直線上的位置；平面向量中，我們借助平面向量基本定理以及兩個互相垂直的單位向量，引進了平面向量的坐標(biāo)．空間向量是否可以引進類似的坐標(biāo)？
[討論交流]　
問題1．如何類比平面直角坐標(biāo)系，理解空間直角坐標(biāo)系？
問題2．在空間直角坐標(biāo)系中，點和向量的坐標(biāo)是如何定義的？
問題3．在空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)有何特征？
問題4．在空間直角坐標(biāo)系中，點和向量的坐標(biāo)的求解步驟是什么？
[自我感知]　經(jīng)過認真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　空間直角坐標(biāo)系及點的坐標(biāo)
探究問題1　利用單位正交基底的概念，我們?nèi)绾卫斫馄矫嬷苯亲鴺?biāo)系？類似地，如何建立空間直角坐標(biāo)系？
[提示]　在平面內(nèi)選定一點O和一個單位正交基底{i，j}，以O(shè)為原點，分別以i，j的方向為正方向、以它們的長度為單位長度建立兩條數(shù)軸：x軸、y軸，這樣就建立了一個平面直角坐標(biāo)系．類似地，在空間中選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}來建立空間直角坐標(biāo)系．
[新知生成]
1．空間直角坐標(biāo)系
(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系．
(2)有關(guān)概念
坐標(biāo)軸 x軸、y軸、z軸
原點 點O
坐標(biāo)向量 i，j，k
坐標(biāo)平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它們把空間分成八個部分
(3)建系的常用規(guī)則
①畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°．
②在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．
2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，
由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在單位正交基底{i，j，k}下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo)．
3．空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)的特點
點的位置 x軸上 y軸上 z軸上
坐標(biāo)的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
點的位置 Oxy平面內(nèi) Oyz平面內(nèi) Ozx平面內(nèi)
坐標(biāo)的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
【教用·微提醒】　(1)基向量滿足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0．
(2)建立的坐標(biāo)系一般為右手直角坐標(biāo)系．
[典例講評]　1．在棱長均為2a的正四棱錐P-ABCD中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(1)寫出正四棱錐P-ABCD各頂點的坐標(biāo)；
(2)寫出棱PB的中點M的坐標(biāo)．
[解]　如圖，連接AC，BD交于點O，連接PO．
∵四棱錐P-ABCD為正四棱錐，且棱長均為2a，
∴四邊形ABCD為正方形，且PO⊥平面ABCD．
∴OA＝a，
PO＝
＝＝a．
∴以點O為坐標(biāo)原點，OA，OB，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
(1)正四棱錐P-ABCD中各頂點坐標(biāo)分別為A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，D(0，－a，0)，P(0，0，a)．
(2)∵M為棱PB的中點，
∴M，
即M．
[母題探究]　本例條件不變，寫出棱PD中點的坐標(biāo)，寫出AB中點的坐標(biāo)．
[解]　設(shè)PD的中點為N，由(1)知N，即N，
設(shè)AB的中點為E，由(1)知E，即E．
　1．若已給出坐標(biāo)系，不用再建系，若未給出坐標(biāo)系，建立空間直角坐標(biāo)系時應(yīng)遵循以下原則：
(1)讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)．
(2)充分利用幾何圖形的對稱性．
2．求某點的坐標(biāo)時，一般先找這一點在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個坐標(biāo)，再找出它在另一坐標(biāo)軸上的射影(或者通過它到這個坐標(biāo)平面的距離加上正負號)進而確定第三個坐標(biāo)．
[學(xué)以致用]　1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點M是點N(3，4，5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，則點M的坐標(biāo)是(　　)
A．(3，0，5)　　　　　 B．(0，4，5)
C．(3，4，0) D．(0，0，5)
C　[根據(jù)題意，點N(3，4，5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影為(3，4，0)，
結(jié)合空間中點的坐標(biāo)運算可得點M的坐標(biāo)是(3，4，0)．故選C．]
2．畫一個正方體ABCD-A1B1C1D1，以A為坐標(biāo)原點，棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，取正方體的棱長為單位長度．
(1)求各頂點的坐標(biāo)；
(2)求棱CC1的中點M的坐標(biāo)；
(3)求四邊形AA1B1B的對角線的交點N的坐標(biāo)．
[解]　(1)由題意可知，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)．
(2)由(1)可知棱CC1的中點M的坐標(biāo)為．
(3)由(1)可知四邊形AA1B1B的對角線的交點N的坐標(biāo)為．
探究2　空間點的對稱問題
[典例講評]　2．(多選)下列關(guān)于空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的一點P(1，2，3)的說法，正確的有(　　)
A．線段OP的中點的坐標(biāo)為
B．點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(－1，－2，－3)
C．點P關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點的坐標(biāo)為(1，2，－3)
D．點P關(guān)于Oxy平面對稱的點的坐標(biāo)為(1，2，－3)
AD　[由題意可知線段OP的中點的坐標(biāo)為，所以A中說法正確；
點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(1，－2，－3)，所以B中說法錯誤；
點P關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點的坐標(biāo)為(－1，－2，－3)，所以C中說法錯誤；
點P關(guān)于Oxy平面對稱的點的坐標(biāo)為(1，2，－3)，所以D中說法正確．故選AD．]
　點P(x，y，z)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面對稱的點P′的坐標(biāo)與點P的坐標(biāo)有什么關(guān)系？
[提示]　關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反，如點(x，y，z)關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y，－z)，關(guān)于Ozx平面的對稱點為(x，－y，z)．
[學(xué)以致用]　3．點A(3，4，5)關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz對稱的點B的坐標(biāo)為(　　)
A．(3，4，－5) B．(－3，4，5)
C．(－3，4，－5) D．(－3，－4，－5)
B　[關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz對稱的點，橫坐標(biāo)變換為其相反數(shù)，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變．
即點A(3，4，5)關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz對稱的點B的坐標(biāo)為(－3，4，5)．故選B．]
4．(多選)在空間直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為(－4，1，2)，則下列說法正確的是(　　)
A．點P關(guān)于原點對稱的點是(4，－1，－2)
B．點P關(guān)于x軸對稱的點是(4，1，2)
C．點P關(guān)于Ozx平面對稱的點是(－4，－1，2)
D．點P關(guān)于點(1，1，1)對稱的點是(－9，1，3)
AC　[在空間直角坐標(biāo)系中，點P(－4，1，2)，
對于A，點P關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是P1(4，－1，－2)，A正確；
對于B，點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是P2(－4，－1，－2)，B錯誤；
對于C，點P關(guān)于Ozx平面對稱的點的坐標(biāo)是P3(－4，－1，2)，C正確；
對于D，點P關(guān)于點(1，1，1)對稱的點的坐標(biāo)是P4(2－(－4)，2－1，2－2)＝(6，1，0)，D錯誤．故選AC．]
【教用·備選題】
1．已知點A(－2，3，4)，則點A關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為(　　)
A．(2，3，4)　　　　 B．(－2，－3，4)
C．(－2，3，－4) D．(2，－3，－4)
D　[在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點A(－2，3，4)關(guān)于原點的對稱點坐標(biāo)為(2，－3，－4)．故選D．]
2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(3，1，－2)關(guān)于Ozx平面的對稱點的坐標(biāo)為(　　)
A．(－3，1，2)　　　 B．(－3，－1，2)
C．(－2，1，3) D．(3，－1，－2)
D　[點(3，1，－2)關(guān)于Ozx平面的對稱點的坐標(biāo)為(3，－1，－2)．故選D．]
3．在空間直角坐標(biāo)系中，O為原點，已知點P(1，2，－1)，A(0，1，2)，則(　　)
A．點P關(guān)于點A的對稱點為(2，3，－4)
B．點P關(guān)于x軸的對稱點為(1，－2，－1)
C．點P關(guān)于y軸的對稱點為(－1，2，1)
D．點P關(guān)于Oxy平面的對稱點為(1，－2，1)
C　[由中點坐標(biāo)公式可知，點P(1，2，－1)關(guān)于A(0，1，2)的對稱點的坐標(biāo)是(－1，0，5)，所以A不正確；點P關(guān)于x軸的對稱點為(1，－2，1)，所以B不正確；
點P關(guān)于y軸的對稱點為(－1，2，1)，所以C正確；
點P關(guān)于Oxy平面的對稱點為(1，2，1)，所以D不正確．故選C．]
探究3　空間向量的坐標(biāo)
探究問題2　在平面直角坐標(biāo)系中，{i，j}為一個單位正交基底，＝xi＋yj，那么向量的坐標(biāo)為(x，y)，點A的坐標(biāo)為(x，y)；如果設(shè){i，j，k}為空間的單位正交基底，＝xi＋yj＋zk，猜想空間向量的坐標(biāo)是什么？點A的坐標(biāo)是什么？
[提示]　(x，y，z)　(x，y，z)
[新知生成]
向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，可簡記作a＝(x，y，z)．
【鏈接·教材例題】
例1　如圖1.3-6，在長方體OABC-D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz．
(1)寫出D′，C，A′，B′四點的坐標(biāo)；
(2)寫出向量，，，的坐標(biāo)．
[解]　(1)點D′在z軸上，且OD′＝2，所以＝0i＋0j＋2k．所以點D′的坐標(biāo)是(0，0，2)．
同理，點C的坐標(biāo)是(0，4，0)．
點A′在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，D′，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，0，2，所以點A′的坐標(biāo)是(3，0，2)．
點B′在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，C，D′，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，4，2，所以點B′的坐標(biāo)是(3，4，2)．
(2)＝＝0i＋4j＋0k＝(0，4，0)；
＝－＝0i＋0j－2k＝(0，0，－2)；
＝＋＝－3i＋4j＋0k＝(－3，4，0)；
＝＋＝－3i＋4j＋2k＝(－3，4，2)．
[典例講評]　3．(源自湘教版教材)在長方體ABCD-A′B′C′D′中，已知AB＝4，AD＝2，AA′＝4，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(1)求點C′的坐標(biāo)；
(2)求的坐標(biāo)．
[解]　(1)如圖所示，以點A為原點，分別以的方向為正方向，均以1為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，則
＝4k，
又＝4i＋2j＋4k，
所以點C′的坐標(biāo)為(4，2，4)．
(2)因為＝4k，
＝2j＋4k，
所以＝2j＋4k－4k＝2j，
因此＝(0，2，0)．
　用坐標(biāo)表示空間向量的步驟
[學(xué)以致用]　5．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量，AC1，BC1的坐標(biāo)．
[解]　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0)．
＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4)．
＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4)．
1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(1，－2，3)關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)是(　　)
A．(－1，2，3) B．(－1，－2，－3)
C．(－1，2，－3) D．(1，－2，－3)
B　[在空間直角坐標(biāo)系中，點(1，－2，3)關(guān)于y軸對稱的點坐標(biāo)為(－1，－2，－3)．故選B．]
2．如圖，在長方體OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，點P是B1C1的中點，則點P的坐標(biāo)為(　　)
A．(3，5，4) B．
C． D．
C　[設(shè)點P在x軸、y軸、z軸上的射影分別為P1，P2，P3(圖略)，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別是，5，4，故點P的坐標(biāo)是．]
3．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知長方體OABC-O′A′B′C′，OA＝3，OC＝4，OO′＝2，則點O′的坐標(biāo)為________，點A′的坐標(biāo)為________，點B′的坐標(biāo)為________．
(0，0，2)　(3，0，2)　(3，4，2)　[點O′在z軸上，且OO′＝2，則它的豎坐標(biāo)為2，又它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為0，所以點O′的坐標(biāo)為(0，0，2)．
點A′在Ozx平面內(nèi)，則它的縱坐標(biāo)為0．點A′在x軸、z軸上的射影依次為點A、點O′，又OA＝3，OO′＝2，所以點A′的橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)依次為3，2，即點A′的坐標(biāo)為(3，0，2)．
點B′在x軸、y軸和z軸上的射影依次為點A、點C和點O′，所以點B′的坐標(biāo)為(3，4，2)．]
4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中建立空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長為1，則的坐標(biāo)為 ________，的坐標(biāo)為 ________．
(1，0，0)　(1，0，1)　[由題圖可知，設(shè){}為單位正交基底{i，j，k}，則＝1i＋0j＋0k＝(1，0，0)，＝1i＋0j＋1k＝(1，0，1)．]
1．知識鏈：(1)空間直角坐標(biāo)系的概念．
(2)空間點的坐標(biāo)．
(3)空間向量的坐標(biāo)．
2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合、類比聯(lián)想．
3．警示牌：混淆空間點的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)的概念．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．在空間幾何圖形中如何建立空間直角坐標(biāo)系？
[提示]　(1)觀察圖形，尋找兩兩垂直的三條直線，必要時作輔助線．
(2)讓盡量多的點落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面內(nèi)．
(3)充分利用幾何圖形的對稱性．
2．如何確定空間一點P的坐標(biāo)？
[提示]　先將P投射(沿與z軸平行的方向)到Oxy平面上的一點P1，由P1P的長度及與z軸正方向的異同確定豎坐標(biāo)z，再在Oxy平面上同平面直角坐標(biāo)系中一樣的方法確定P1的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，最后得出點P的坐標(biāo)(x，y，z)．
3．如何求空間向量的坐標(biāo)？
[提示]　在空間直角坐標(biāo)系中，把向量用單位正交基底{i，j，k}表示，從而求出空間向量的坐標(biāo)．
課時分層作業(yè)(五)　空間直角坐標(biāo)系
一、選擇題
1．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空間向量的一個單位正交基底，則點A的坐標(biāo)為(　　)
A．(12，14，10) B．(10，12，14)
C．(14，10，12) D．(4，2，3)
A　[]
2．已知點N與點M(1，－2，3)關(guān)于x軸對稱，則點N的坐標(biāo)為(　　)
A．(1，2，－3) B．(－1，－2，3)
C．(－1，－2，－3) D．(1，－2，－3)
A　[依題意，點M(1，－2，3)關(guān)于x軸的對稱點N(1，2，－3)．故選A．]
3．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，M，N分別為A1C1，CD1的中點，如圖所示建系，則MN中點的坐標(biāo)為(　　)
A．(2，3，3) B．
C． D．(0，－1，－1)
B　[AB＝AD＝4，AA1＝2，M，N分別為A1C1，CD1的中點，
則A1(0，0，2)，C1(4，4，2)，C(4，4，0)，D1(0，4，2)，
故M(2，2，2)，N(2，4，1)，所以MN中點的坐標(biāo)為．故選B．]
4．已知A(1，2，－1)，B為A關(guān)于平面Oxy的對稱點，C為B關(guān)于y軸的對稱點，則C的坐標(biāo)為(　　)
A．(－2，0，－2) B．(2，0，2)
C．(－1，2，－1) D．(0，－2，－2)
C　[∵A(1，2，－1)，B為A關(guān)于平面Oxy的對稱點，C為B關(guān)于y軸的對稱點，
∴B(1，2，1)，C(－1，2，－1)，故選C．]
5．(多選)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直線DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則(　　)
A．點B1的坐標(biāo)為(4，5，3)
B．點C1關(guān)于點B對稱的點為(5，8，－3)
C．點A關(guān)于直線BD1對稱的點為(0，5，3)
D．點C關(guān)于平面ABB1A1對稱的點為(8，5，0)
ACD　[由題圖及其已知可得：點B1的坐標(biāo)為(4，5，3)，故A正確；
點C1(0，5，3)關(guān)于點B(4，5，0)對稱的點為(8，5，－3)，故B錯誤；
長方體中，AD1＝BC1＝＝5＝AB，
∴四邊形ABC1D1為正方形，AC1與BD1垂直且平分，即點A關(guān)于直線BD1對稱的點為C1(0，5，3)，故C正確；
點C(0，5，0)關(guān)于平面ABB1A1對稱的點為(8，5，0)，故D正確．故選ACD．]
二、填空題
6．已知{i，j，k}是空間的一個單位正交基底，向量b＝－5i＋2k用坐標(biāo)形式可表示為________．
(－5，0，2)　[因為{i，j，k}是空間的一個單位正交基底，則有b＝－5i＋2k＝(－5，0，2)．
所以向量b＝－5i＋2k用坐標(biāo)形式表示為(－5，0，2)．]
7．在長方體ABCD A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，連接A1B，B1C，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．則的坐標(biāo)為________，的坐標(biāo)為________．
(0，4，－3)　(－4，0，－3)　[設(shè)i，j，k分別為方向上的單位向量，則＝－4i－3k，
所以＝(0，4，－3)，＝(－4，0，－3)．]
8．三棱錐P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分別是PC，AC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則向量的坐標(biāo)為________．
　[＝－＝－，
故＝．]
三、解答題
9．如圖所示，AF，DE分別是⊙O，⊙O1的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8．BC是⊙O的直徑，AB＝AC＝6，OE∥AD，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出點A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)．
[解]　因為AD與兩圓所在的平面均垂直，OE∥AD，所以O(shè)E與兩圓所在的平面也都垂直．
又因為AB＝AC＝6，BC是⊙O的直徑，所以△BAC為等腰直角三角形，且AF⊥BC，BC＝6．所以以O(shè)為原點，OB，OF，OE所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A，B，C，D，E，F(xiàn)各個點的坐標(biāo)分別為A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(－3，0，0)，D(0，－3，8)，E(0，0，8)，F(xiàn)(0，3，0)．
10．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，若點M(a，b＋3，2c＋1)關(guān)于y軸的一個對稱點M′的坐標(biāo)為(－4，－2，15)，則a＋b＋c的值(　　)
A．10 B．－17 C．－9 D．2
C　[點M(a，b＋3，2c＋1)關(guān)于y軸的一個對稱點M′的坐標(biāo)為(－4，－2，15)，
則解得a＝4，b＝－5，c＝－8，故a＋b＋c＝－9．故選C．]
11．設(shè)點M為不在坐標(biāo)平面上的點．若點M關(guān)于坐標(biāo)平面Ozx的對稱點記為M1，M1關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為M2，則M關(guān)于以下哪條坐標(biāo)軸對稱可以得到M2(　　)
A．x軸 B．y軸
C．z軸 D．以上都不對
B　[設(shè)M(x，y，z)，點M關(guān)于坐標(biāo)平面Ozx的對稱點記為M1，
故M1(x，－y，z)，M1關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為M2，
則M2(－x，y，－z)，M關(guān)于y軸對稱得到M2，故ACD錯誤，B正確．故選B．]
12．(多選)已知單位向量i，j，k兩兩的夾角均為θ，若空間向量a滿足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)稱為向量a在“仿射”坐標(biāo)系Oxyz(O為坐標(biāo)原點)下的“仿射”坐標(biāo)，記作a＝(x，y，z)θ，則下列命題是真命題的有(　　)
A．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，則a·b＝0
B．已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z>0，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，向量a，b的夾角取得最小值
C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ
D．已知＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，則三棱錐O-ABC的表面積S＝
BC　[a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ，
因為0<θ<π，且θ≠，
所以a·b≠0，故A錯誤；如圖所示，設(shè)＝a，則點A在平面Oxy上，點B在z軸上，由圖易知當(dāng)x＝y(tǒng)時，∠AOB取得最小值，即向量a與b的夾角取得最小值，故B正確；根據(jù)“仿射”坐標(biāo)的定義可得，a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正確；由已知可得三棱錐O-ABC為正四面體，棱長為1，其表面積S＝4××12×＝，故D錯誤．故選BC．]
13．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(2，1，－1)，則p在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為________．
(1，1，1)　　[由題意知p＝2a＋b－c，則向量p在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為(1，1，1)．設(shè)向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc．又∵p＝2a＋b－c，∴解得x＝，y＝，z＝－1，∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為．]
14．如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量的坐標(biāo)．
[解]　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)＝k，則＝0i＋j＋0k＝(0，1，0)，＝i－j＋k＝(1，－1，1)．
＝i－j＋2k＝(1，－1，2)．
15．空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：i，j，k分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸(x軸、y軸、z軸)正方向的單位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，則n與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)相對應(yīng)，稱向量n的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作n＝[x，y，z]．
(1)若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐標(biāo)；
(2)在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，N為線段D1C1的中點．如圖，以{}為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．
①求的斜60°坐標(biāo)；
②若＝[2，－2，0]，求與夾角的余弦值．
[解]　(1)由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，得a＝i＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k，
所以a＋b＝(i＋2j＋3k)＋(－i＋j＋2k)＝3j＋5k，所以a＋b＝[0，3，5]．
(2)設(shè)i，j，k分別為與，同方向的單位向量，
則＝2j，＝3k，
①＋＋＝＋－＝2j＋3k－i＝－i＋2j＋3k，
所以＝[－1，2，3]．
②因為＝[2，－2，0]，所以＝2i－2j，
則||＝|2i－2j|＝＝＝＝2，因為||＝＝，所以·＝(－i＋2j＋3k)·(2i－2j)＝4i·j＋6i·k－2i2－4j2－6k·j＋2i·j＝－3，
所以cos 〈〉＝＝＝－，
所以的夾角的余弦值為－．
13/17課時分層作業(yè)(五)　空間直角坐標(biāo)系
一、選擇題
1．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空間向量的一個單位正交基底，則點A的坐標(biāo)為(　　)
A．(12，14，10) B．(10，12，14)
C．(14，10，12) D．(4，2，3)
2．已知點N與點M(1，－2，3)關(guān)于x軸對稱，則點N的坐標(biāo)為(　　)
A．(1，2，－3) B．(－1，－2，3)
C．(－1，－2，－3) D．(1，－2，－3)
3．如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，M，N分別為A1C1，CD1的中點，如圖所示建系，則MN中點的坐標(biāo)為(　　)
A．(2，3，3) B．
C． D．(0，－1，－1)
4．已知A(1，2，－1)，B為A關(guān)于平面Oxy的對稱點，C為B關(guān)于y軸的對稱點，則C的坐標(biāo)為(　　)
A．(－2，0，－2) B．(2，0，2)
C．(－1，2，－1) D．(0，－2，－2)
5．(多選)如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直線DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則(　　)
A．點B1的坐標(biāo)為(4，5，3)
B．點C1關(guān)于點B對稱的點為(5，8，－3)
C．點A關(guān)于直線BD1對稱的點為(0，5，3)
D．點C關(guān)于平面ABB1A1對稱的點為(8，5，0)
二、填空題
6．已知{i，j，k}是空間的一個單位正交基底，向量b＝－5i＋2k用坐標(biāo)形式可表示為________．
7．在長方體ABCD A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，連接A1B，B1C，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．則的坐標(biāo)為________，的坐標(biāo)為________．
8．三棱錐P ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分別是PC，AC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則向量的坐標(biāo)為________．
三、解答題
9．如圖所示，AF，DE分別是⊙O，⊙O1的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8．BC是⊙O的直徑，AB＝AC＝6，OE∥AD，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出點A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)．
10．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，若點M(a，b＋3，2c＋1)關(guān)于y軸的一個對稱點M′的坐標(biāo)為(－4，－2，15)，則a＋b＋c的值(　　)
A．10　　　B．－17　　　C．－9　　　D．2
11．設(shè)點M為不在坐標(biāo)平面上的點．若點M關(guān)于坐標(biāo)平面Ozx的對稱點記為M1，M1關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為M2，則M關(guān)于以下哪條坐標(biāo)軸對稱可以得到M2(　　)
A．x軸 B．y軸
C．z軸 D．以上都不對
12．(多選)已知單位向量i，j，k兩兩的夾角均為θ，若空間向量a滿足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)稱為向量a在“仿射”坐標(biāo)系Oxyz(O為坐標(biāo)原點)下的“仿射”坐標(biāo)，記作a＝(x，y，z)θ，則下列命題是真命題的有(　　)
A．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，則a·b＝0
B．已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z>0，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，向量a，b的夾角取得最小值
C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ
D．已知＝(1，0，0)＝(0，1，0)＝(0，0，1)，則三棱錐O ABC的表面積S＝
13．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(2，1，－1)，則p在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為________．
14．如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量的坐標(biāo)．
15．空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：i，j，k分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸(x軸、y軸、z軸)正方向的單位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，則n與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)相對應(yīng)，稱向量n的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作n＝[x，y，z]．
(1)若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐標(biāo)；
(2)在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，N為線段D1C1的中點．如圖，以{}為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．
①求的斜60°坐標(biāo)；
②若＝[2，－2，0]，求與夾角的余弦值．
5/51.3　空間向量及其運算的坐標(biāo)表示
1.3.1　空間直角坐標(biāo)系
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．了解空間直角坐標(biāo)系．(數(shù)學(xué)抽象)
2．能在空間直角坐標(biāo)系中寫出所給定點、向量的坐標(biāo)．(數(shù)學(xué)運算)
[討論交流]　
問題1．如何類比平面直角坐標(biāo)系，理解空間直角坐標(biāo)系？
問題2．在空間直角坐標(biāo)系中，點和向量的坐標(biāo)是如何定義的？
問題3．在空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)有何特征？
問題4．在空間直角坐標(biāo)系中，點和向量的坐標(biāo)的求解步驟是什么？
[自我感知]　經(jīng)過認真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　空間直角坐標(biāo)系及點的坐標(biāo)
探究問題1　利用單位正交基底的概念，我們?nèi)绾卫斫馄矫嬷苯亲鴺?biāo)系？類似地，如何建立空間直角坐標(biāo)系？
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[新知生成]
1．空間直角坐標(biāo)系
(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：________，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系．
(2)有關(guān)概念
坐標(biāo)軸 ______軸、______軸、______軸
原點 點______
坐標(biāo)向量 ______，______，______
坐標(biāo)平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它們把空間分成____個部分
(3)建系的常用規(guī)則
①畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°．
②在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向________的正方向，食指指向________的正方向，如果中指指向________的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．
2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，
由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使＝________．在單位正交基底{i，j，k}下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組________，叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的________，y叫做點A的________，z叫做點A的________．
3．空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)的特點
點的位置 x軸上 y軸上 z軸上
坐標(biāo)的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
點的位置 Oxy平面內(nèi) Oyz平面內(nèi) Ozx平面內(nèi)
坐標(biāo)的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
[典例講評]　1．在棱長均為2a的正四棱錐P ABCD中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(1)寫出正四棱錐P ABCD各頂點的坐標(biāo)；
(2)寫出棱PB的中點M的坐標(biāo)．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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[母題探究]　本例條件不變，寫出棱PD中點的坐標(biāo)，寫出AB中點的坐標(biāo)．
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　1．若已給出坐標(biāo)系，不用再建系，若未給出坐標(biāo)系，建立空間直角坐標(biāo)系時應(yīng)遵循以下原則：
(1)讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)．
(2)充分利用幾何圖形的對稱性．
2．求某點的坐標(biāo)時，一般先找這一點在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個坐標(biāo)，再找出它在另一坐標(biāo)軸上的射影(或者通過它到這個坐標(biāo)平面的距離加上正負號)進而確定第三個坐標(biāo)．
[學(xué)以致用]　1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點M是點N(3，4，5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，則點M的坐標(biāo)是(　　)
A．(3，0，5)　　　　　 B．(0，4，5)
C．(3，4，0) D．(0，0，5)
2．畫一個正方體ABCD A1B1C1D1，以A為坐標(biāo)原點，棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，取正方體的棱長為單位長度．
(1)求各頂點的坐標(biāo)；
(2)求棱CC1的中點M的坐標(biāo)；
(3)求四邊形AA1B1B的對角線的交點N的坐標(biāo)．
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探究2　空間點的對稱問題
[典例講評]　2．(多選)下列關(guān)于空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的一點P(1，2，3)的說法，正確的有(　　)
A．線段OP的中點的坐標(biāo)為
B．點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(－1，－2，－3)
C．點P關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點的坐標(biāo)為(1，2，－3)
D．點P關(guān)于Oxy平面對稱的點的坐標(biāo)為(1，2，－3)
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　點P(x，y，z)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面對稱的點P′的坐標(biāo)與點P的坐標(biāo)有什么關(guān)系？
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[學(xué)以致用]　3．點A(3，4，5)關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz對稱的點B的坐標(biāo)為(　　)
A．(3，4，－5) B．(－3，4，5)
C．(－3，4，－5) D．(－3，－4，－5)
4．(多選)在空間直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為(－4，1，2)，則下列說法正確的是(　　)
A．點P關(guān)于原點對稱的點是(4，－1，－2)
B．點P關(guān)于x軸對稱的點是(4，1，2)
C．點P關(guān)于Ozx平面對稱的點是(－4，－1，2)
D．點P關(guān)于點(1，1，1)對稱的點是(－9，1，3)
探究3　空間向量的坐標(biāo)
探究問題2　在平面直角坐標(biāo)系中，{i，j}為一個單位正交基底，＝xi＋yj，那么向量的坐標(biāo)為(x，y)，點A的坐標(biāo)為(x，y)；如果設(shè){i，j，k}為空間的單位正交基底，＝xi＋yj＋zk，猜想空間向量的坐標(biāo)是什么？點A的坐標(biāo)是什么？
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[新知生成]
向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，可簡記作a＝________．
[典例講評]　3．(源自湘教版教材)在長方體ABCD A′B′C′D′中，已知AB＝4，AD＝2，AA′＝4，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(1)求點C′的坐標(biāo)；
(2)求的坐標(biāo)．
[嘗試解答]___________________________________________________________
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　用坐標(biāo)表示空間向量的步驟
[學(xué)以致用]　5．已知在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量的坐標(biāo)．
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1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(1，－2，3)關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)是(　　)
A．(－1，2，3) B．(－1，－2，－3)
C．(－1，2，－3) D．(1，－2，－3)
2．如圖，在長方體OABC O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，點P是B1C1的中點，則點P的坐標(biāo)為(　　)
A．(3，5，4) B．
C． D．
3．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知長方體OABC O′A′B′C′，OA＝3，OC＝4，OO′＝2，則點O′的坐標(biāo)為________，點A′的坐標(biāo)為________，點B′的坐標(biāo)為________．
4．如圖所示，在正方體中建立空間直角坐標(biāo)系，若正方體的棱長為1，則的坐標(biāo)為 ________，的坐標(biāo)為 ________．
1．知識鏈：(1)空間直角坐標(biāo)系的概念．
(2)空間點的坐標(biāo)．
(3)空間向量的坐標(biāo)．
2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合、類比聯(lián)想．
3．警示牌：混淆空間點的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)的概念．
7/7

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