資源簡介

課時分層作業(yè)(三)　空間向量的數(shù)量積運算
一、選擇題
1．對于空間任意兩個非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
2．已知空間向量a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，則cos 〈a，b〉＝(　　)
A． B．
C．－ D．
3．(多選)如圖所示，已知三棱錐A BCD的各棱長都為a，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是(　　)
A．2· B．2·
C．2· D．2·
4．(多選)已知四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，則以下結(jié)論中一定成立的是(　　)
A．＝
B．·＝0
C．＝
D．···
二、填空題
5．已知向量a，b滿足|a＋b|＝|a－2b|，其中b是單位向量，則a在b方向上的投影向量是________．
6．在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，則·＝________．
7．如圖，60°的二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD的長為 ________．
三、解答題
8．如圖，在平行六面體ABCD A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．求：
(1)·；
(2)AC′的長．
9．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足···＝0，則△BCD一定是(　　)
A．鈍角三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．等邊三角形
10．如圖，在三棱錐P ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于點E，M是AC的中點，PB＝1，則·的最小值為(　　)
A．－　　　B．－　　　C．－　　　D．－
11．(多選)在三維空間中，定義向量的外積：a×b叫做向量a與b的外積，它是一個向量，滿足下列兩個條件：
①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且a，b和a×b構(gòu)成右手系(即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致，如圖所示)；
②a×b的模|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉(〈a，b〉表示向量a，b的夾角)．
在正方體ABCD A1B1C1D1中，有以下四個結(jié)論，正確的有(　　)
A．＝
B．與共線
C．
D．6與正方體表面積的數(shù)值相等
12．已知空間四面體OABC各邊長都等于2，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點，則向量與向量的夾角的余弦值為________．
13．如圖，在正三棱柱ABC A1B1C1中，底面邊長為．
(1)設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥BC1；
(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為，求側(cè)棱的長．
14．如圖1，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD為∠ACB的平分線，AC＝4，BC＝2，過點B作BN⊥CD于點N，延長后交CA于點E，把圖形沿CD折起，使∠BNE＝120°，如圖2所示，求折起后所得線段AB的長度．
4/4(共54張PPT)
1.1.2　空間向量的數(shù)量積運算
第一章 空間向量與立體幾何
1.1　空間向量及其運算
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．掌握空間向量的夾角的概念．(數(shù)學(xué)抽象)
2．掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)
3．了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義．(數(shù)學(xué)抽象)
4．能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題．(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)
整體感知
(教師用書)
回憶平面向量數(shù)量積的概念與性質(zhì)，思考能否將它們從平面推廣到空間中，如果能，嘗試說出推廣后的不同之處，如果不能，說明理由．
[討論交流]　
問題1．空間向量的夾角的定義，數(shù)量積的定義、性質(zhì)和運算律與平面向量有區(qū)別嗎？
問題2．兩向量共線時，其夾角是多少？零向量與任意向量的數(shù)量積等于多少？
問題3．在空間中，向量a向向量b、直線l、平面α的投影分別有什么意義？
問題4．類比平面向量的數(shù)量積，用空間向量的數(shù)量積可解決哪幾類幾何問題？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　空間向量的夾角
探究問題1　我們在必修第二冊“第六章　平面向量及其應(yīng)用”中已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個平面向量a和b的夾角的定義，那么對于兩個空間向量a和b，它們的夾角又該如何定義呢？
探究建構(gòu)
[提示]　已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．
[新知生成]
定義 已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝b，則________叫做向量a，b的夾角，記作__________
范圍 __________________
向量垂直 如果〈a，b〉＝___，那么向量a，b互相垂直，記作a__b
∠AOB
〈a，b〉
0≤〈a，b〉≤π
⊥
【教用·微提醒】　(1)兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為π．故〈a，b〉＝0或π a∥b(a，b為非零向量)．
(2)由于零向量的方向是任意的，因此任意一個向量與零向量的夾角是不確定的，故零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定0與任何向量a都是共線的，即0∥a．
[典例講評]　1．如圖，在正四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點，則與的夾角為(　　)
A．30° B．60°　C．120°　　　D．150°
C　[由題意，可得＝，所以〈〉＝〈〉＝180°－〈〉＝180°－60°＝120°．]
√
反思領(lǐng)悟　1．求兩個空間向量的夾角時，要結(jié)合夾角的定義和圖形，以防出錯．
2．對空間任意兩個非零向量a，b，有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．
(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
[學(xué)以致用]　1．如圖，在正四棱臺ABCD -A1B1C1D1中，O，O1分別是對角線AC，A1C1的中點，則〈〉＝____，〈〉＝____．
0°　90°　[由題意得方向相同，故〈〉＝0°．
由題意知OO1是正四棱臺ABCD- A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以O(shè)O1⊥A1B1，故〈〉＝90°．]
0°
90°
探究2　空間向量的數(shù)量積運算
探究問題2　我們在必修第二冊“第六章　平面向量及其應(yīng)用”中已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個平面向量a和b的數(shù)量積的定義、性質(zhì)及運算．類比平面向量的數(shù)量積的定義，你能給出空間兩向量數(shù)量積的定義嗎？空間向量的數(shù)量積運算滿足哪些運算律？
[提示]　空間兩向量數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a，b，
則|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b．
即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．
空間向量的數(shù)量積運算滿足：(1)數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交換律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
[新知生成]
1．空間向量的數(shù)量積
(1)定義
已知兩個非零向量a，b，則________________叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b．即a·b＝__________________．
規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為__．
(2)空間向量的數(shù)量積的運算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R．
②a·b＝b·a(交換律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
|a||b|cos〈a，b〉
|a||b|·cos〈a，b〉
0
(3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì)
向量數(shù)量積的性質(zhì) 垂直 若a，b是非零向量，則a⊥b __________
共線 同向：則a·b＝|a||b|
反向：則a·b＝－|a||b|
模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝_____，|a|＝_______，
||≤|a||b|
夾角 θ為a，b的夾角，則cos θ＝
a·b＝0
2．向量的投影
(1)在空間，向量a向向量b投影：
如圖1，先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝ ，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a向直線l投影如圖2．
(3)向量a向平面β投影：
如圖3，分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量，向量_______稱為向量a在平面β上的投影向量．
【教用·微提醒】　(1)非零向量a，b的數(shù)量積記為a·b，而不能表示為a×b或ab．
(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實數(shù)，而不是向量，其符號由夾角θ的余弦值的符號決定：θ為銳角時，a·b＞0，但a·b＞0時，θ可能為0；θ為鈍角時，a·b＜0，但a·b＜0時，θ可能為π．
(3)向量數(shù)量積的運算不滿足消去律和乘法的結(jié)合律，即a·b＝
a·c 　 b＝c，(a·b)·c a·(b·c)．
【鏈接·教材例題】
例2　如圖1.1-12，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°．求：
(1)；(2)AC′的長(精確到0.1)．
[解]　(1)·＝＝5×3×cos 60°＝7.5；
(2)||2＝()2
＝·＋·＋·)
＝52＋32＋72＋2(5×3×cos 60°＋5×7×cos 45°＋3×7×cos 45°)
＝98＋56，
所以AC′≈13.3．
[典例講評]　2．如圖所示長方體ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中點，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)·；
(2)·．
[解]　(1)法一：因為是長方體，而且AA′＝AD＝2，
所以〈〉＝∠B′BC′＝45°，＝AA′＝1，
＝BC′＝，
因此＝＝2＝2．
法二：由題圖可以看出，上的投影向量是，而且＝AA′＝1，注意到的方向相同，所以等于的長，
即＝＝2．
(2)在長方體ABCD -A′B′C′D′中，，
，
∴＝
×22＝－2．
即＝－2．
反思領(lǐng)悟　空間向量的數(shù)量積運算的方法
(1)利用定義，直接利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，并結(jié)合運算律進行計算．
(2)利用圖形，計算兩個向量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點，利用圖形尋找夾角，再代入數(shù)量積公式進行運算．
(3)利用向量分解，在幾何體中進行向量的數(shù)量積運算時，要充分利用幾何體的性質(zhì)，把待求向量用已知夾角和模的向量表示后再進行運算．
[學(xué)以致用]　2．在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝2，AB＝CD＝1，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，則＝(　　)
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
√
B　[設(shè)H為BD的中點，連接FH，EH．如圖所示，
·＝·＝······＝＝1．故選B．]
3．若a，b，c為空間中兩兩夾角為的單位向量，＝b－c，求·的值．
[解]　由題意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos ＝，則＝2(a－b)·(b－c)＝2(a·b－a·c－b2＋b·c)＝2×＝
－1．
探究3　空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用
考向1　求夾角
[典例講評]　3．如圖，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求cos〈〉的值．
[解]　由已知得＝
〈〉＝〈〉＝〈〉＝90°，
所以＝0．
因為，
所以2＝＝2＝＝12＋22＋12＝6，＝，
2＝＝2＝＝12＋22＝5，＝，
＝＝＝22－12＝3，
所以cos 〈〉＝．
[母題探究]
1．若N為A1A的中點，其他條件不變，求夾角的余弦值．
[解]　由例題知，＝＝
＝×22－12＝1，
所以cos 〈〉＝．
2．本例中條件不變，求異面直線CA1與AB夾角的余弦值．
[解]　由已知得＝＝1，＝2，
＝0．
因為2＝＝2＝＝12＋22＝5，所以＝．
因為2＝＝2＝＝12＋12＝2，所以＝，
又因為＝＝＝－1，
所以cos 〈〉＝．
所以異面直線CA1與AB夾角的余弦值為．
反思領(lǐng)悟　利用向量求異面直線夾角的步驟
[學(xué)以致用]　4．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，則異面直線AE與A1C所成的角是(　　)
A．30°　B．45°　C．60°　　　D．90°
√
C　 [∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC．
∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB⊥AC．
又BC＝2AE＝2，∴E為BC的中點，∴．
∵AA1＝，∴A1C＝2．
∵＝2＝1，
∴cos 〈〉＝，∴〈〉＝60°，
即異面直線AE，A1C所成的角是60°．]
考向2　求距離(模)
[典例講評]　4．如圖，圓臺的高為4，上、下底面半徑分別為3，5，M，N分別在上、下底面圓周上，且〈〉＝120°，則＝(　　)
A． B．5 C． D．5
√
A　 [∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，
∴＝0，
又＝3×5×cos 60°＝，
∴＝2＝
＝9＋16＋25＋15＝65，∴＝．
故選A．]
反思領(lǐng)悟　求兩點間的距離或線段的長度的步驟
(1)將此線段用向量表示．
(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量．
(3)利用|a|＝|a| ，即得所求距離或長度．
[學(xué)以致用]　5．已知線段AB，BD在平面α內(nèi)，∠ABD＝120°，線段AC⊥α．若AB＝a，BD＝b，AC＝c，則線段CD的長為(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[如圖，．
∵線段AB，BD在平面α內(nèi)，∠ABD＝120°，
線段AC⊥α，AB＝a，BD＝b，AC＝c，
∴＝2
＝c2＋a2＋b2＋2ab cos 60°＝a2＋b2＋c2＋ab，
∴線段CD的長＝．故選A．]
考向3　證明垂直
【鏈接·教材例題】
例3　如圖1.1-13，m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線．如果l⊥m，l⊥n，求證：l⊥α．
[分析]　要證明l⊥α，就是要證明l垂直于α內(nèi)的任意一條直線g(直線與平面垂直的定義)．如果我們能在g和m，n之間建立某種聯(lián)系，并由l⊥m，l⊥n，得到l⊥g，那么就能解決此問題．
[證明]　在平面α內(nèi)作任意一條直線g，分別在直線l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g．
因為直線m與n相交，所以向量m，n不平行．由向量共面的充要條件可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使g＝xm＋yn．
將上式兩邊分別與向量l作數(shù)量積運算，得
l·g＝xl·m＋yl·n．
因為l·m＝0，l·n＝0(為什么？)，所以l·g＝0．
所以l⊥g．
這就證明了直線l垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線，所以l⊥α．
[典例講評]　5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．證明：PA⊥BD．
[證明]　由題意知，DA⊥BD，則·＝0．由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD，則·＝0．又，所以＝···＝0，所以⊥，所以PA⊥BD．
發(fā)現(xiàn)規(guī)律　用向量法證明垂直關(guān)系的步驟是什么？
[提示]　(1)把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
(2)用已知向量表示所證向量；
(3)結(jié)合數(shù)量積公式和運算律證明數(shù)量積為0；
(4)將向量問題回歸到幾何問題．
[學(xué)以致用]　6．如圖，在空間四邊形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求證：OA⊥BC．
[證明]　因為OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC＝∠AOB．又··＝··＝· cos ∠AOB＝0，所以⊥，即OA⊥BC．
【教用·備選題】　(源自北師大版教材)如圖所示，已知四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面ABCD是邊長為1的菱形，且∠C′CB＝∠C′CD＝∠BCD＝，DD′＝2．求：
(1)·；(2) ·；
(3)．
[解]　(1)因為∠D′DA＝∠C′CB＝，
所以·＝cos ∠D′DA＝1．
(2)因為＝，
而·＝cos ∠C′CD＝1，
·＝cos ∠C′CB＝1，
所以·＝·－·＝1－1＝0．
(3)
＝
＝
＝．
1．在正方體ABCD-A′B′C′D′中，〈〉＝(　　)
A．30° B．60° C．90° D．120°
2
4
3
題號
1
應(yīng)用遷移
√
D　[連接BD，A′D(圖略)，因為B′D′∥BD，△A′BD為正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夾角的定義可知〈〉＝120°，即〈〉＝120°．]
2
3
題號
1
4
√
2．已知空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，則cos 〈〉的值為(　　)
A． 　　 B． 　　C．－ 　　D．0
D　[∵OB＝OC，∴··＝··＝－＝
＝0，∴cos 〈〉＝0．故選D．]
3．如圖所示，在平行六面體ABCD -A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝60°，∠DAA1＝∠BAA1＝90°，則＝(　　)
A．2 　 B． 　C． 　　 D．1
2
3
題號
4
1
√
A　 [由題意，得＝＋，兩邊平方可得2＝＋2＋2··＋2·＝3＋2||·＋2|||||cos∠BAA1|＋2||·||·
cos ∠DAA1＝4，所以||＝2．故選A．]
4．如圖，正四面體A-BCD的棱長為1，
＝，則＝________．
2
4
3
題號
1
　[＝·＝·＝·＝·＋·＝×1×1×cos 60°＋×1×1×cos 60°＝．]
　
1．知識鏈：(1)空間向量的夾角、投影．
(2)空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運算律．
2．方法鏈：向量法、數(shù)形結(jié)合、類比．
3．警示牌：(1)當(dāng)空間向量a，b的夾角θ為銳角時，a·b＞0；但當(dāng)a·b＞0時，θ不一定為銳角，因為θ也可能為0．
(2)當(dāng)a≠0時，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．空間向量的夾角和數(shù)量積的定義與平面向量的夾角和數(shù)量積的定義是否一致？
[提示]　一致．
2．向量a在向量b上的投影向量為向量c，則如何求|c|？試列舉出你知道的方法．
[提示]　|c|＝||a|cos 〈a，b〉|或|c|＝．
3．利用空間向量的數(shù)量積可研究哪些問題？
[提示]　可以解決立體幾何問題中涉及垂直、距離、夾角的一些問題．
課時分層作業(yè)(三)
點擊頁面進入…
空間向量的數(shù)量積運算
（WORD版）
鞏固課堂所學(xué) · 激發(fā)學(xué)習(xí)思維
夯實基礎(chǔ)知識 · 熟悉命題方式
自我檢測提能 · 及時矯正不足
本節(jié)課掌握了哪些考點？
本節(jié)課還有什么疑問點？
課后訓(xùn)練
學(xué)習(xí)反思
課時小結(jié)
THANKS1.1.2　空間向量的數(shù)量積運算
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．掌握空間向量的夾角的概念．(數(shù)學(xué)抽象)
2．掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)
3．了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義．(數(shù)學(xué)抽象)
4．能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題．(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)
(教師用書)
回憶平面向量數(shù)量積的概念與性質(zhì)，思考能否將它們從平面推廣到空間中，如果能，嘗試說出推廣后的不同之處，如果不能，說明理由．
[討論交流]　
問題1．空間向量的夾角的定義，數(shù)量積的定義、性質(zhì)和運算律與平面向量有區(qū)別嗎？
問題2．兩向量共線時，其夾角是多少？零向量與任意向量的數(shù)量積等于多少？
問題3．在空間中，向量a向向量b、直線l、平面α的投影分別有什么意義？
問題4．類比平面向量的數(shù)量積，用空間向量的數(shù)量積可解決哪幾類幾何問題？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　空間向量的夾角
探究問題1　我們在必修第二冊“第六章　平面向量及其應(yīng)用”中已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個平面向量a和b的夾角的定義，那么對于兩個空間向量a和b，它們的夾角又該如何定義呢？
[提示]　已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．
[新知生成]
定義 已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉
范圍 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，記作a⊥b
【教用·微提醒】　(1)兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為π．故〈a，b〉＝0或π a∥b(a，b為非零向量)．
(2)由于零向量的方向是任意的，因此任意一個向量與零向量的夾角是不確定的，故零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定0與任何向量a都是共線的，即0∥a．
[典例講評]　1．如圖，在正四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點，則與的夾角為(　　)
A．30°　　　B．60°　　　　C．120°　　　　D．150°
C　[由題意，可得＝，所以〈〉＝〈〉＝180°－〈〉＝180°－60°＝120°．]
　1．求兩個空間向量的夾角時，要結(jié)合夾角的定義和圖形，以防出錯．
2．對空間任意兩個非零向量a，b，有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．
(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
[學(xué)以致用]　1．如圖，在正四棱臺ABCD A1B1C1D1中，O，O1分別是對角線AC，A1C1的中點，則〈〉＝________，〈〉＝________．
0°　90°　[由題意得方向相同，故〈〉＝0°．由題意知OO1是正四棱臺ABCD A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以O(shè)O1⊥A1B1，故〈〉＝90°．]
探究2　空間向量的數(shù)量積運算
探究問題2　我們在必修第二冊“第六章　平面向量及其應(yīng)用”中已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個平面向量a和b的數(shù)量積的定義、性質(zhì)及運算．類比平面向量的數(shù)量積的定義，你能給出空間兩向量數(shù)量積的定義嗎？空間向量的數(shù)量積運算滿足哪些運算律？
[提示]　空間兩向量數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b．即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．
空間向量的數(shù)量積運算滿足：(1)數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交換律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
[新知生成]
1．空間向量的數(shù)量積
(1)定義
已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b．即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．
規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0．
(2)空間向量的數(shù)量積的運算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R．
②a·b＝b·a(交換律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì)
向量數(shù)量積的性質(zhì) 垂直 若a，b是非零向量，則a⊥b a·b＝0
共線 同向：則a·b＝|a||b|
反向：則a·b＝－|a||b|
模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2，|a|＝≤|a||b|
夾角 θ為a，b的夾角，則cos θ＝
2．向量的投影
(1)在空間，向量a向向量b投影：
如圖1，先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a向直線l投影如圖2．
(3)向量a向平面β投影：
如圖3，分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量，向量稱為向量a在平面β上的投影向量．
【教用·微提醒】　(1)非零向量a，b的數(shù)量積記為a·b，而不能表示為a×b或ab．
(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實數(shù)，而不是向量，其符號由夾角θ的余弦值的符號決定：θ為銳角時，a·b＞0，但a·b＞0時，θ可能為0；θ為鈍角時，a·b＜0，但a·b＜0時，θ可能為π．
(3)向量數(shù)量積的運算不滿足消去律和乘法的結(jié)合律，即a·b＝a·c b＝c，(a·b)·ca·(b·c)．
【鏈接·教材例題】
例2　如圖1.1-12，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°．求：
(1)；(2)AC′的長(精確到0.1)．
[解]　(1)·＝
＝5×3×cos 60°＝7.5；
(2)||2＝2
＝2(·＋·＋·)
＝52＋32＋72＋2(5×3×cos 60°＋5×7×cos 45°＋3×7×cos 45°)
＝98＋56，
所以AC′≈13.3．
[典例講評]　2．如圖所示長方體ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中點，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)·；
(2)·．
[解]　(1)法一：因為是長方體，而且AA′＝AD＝2，
所以〈〉＝∠B′BC′＝45°，
＝AA′＝1，
＝BC′＝，
因此＝＝2＝2．
法二：由題圖可以看出，上的投影向量是，而且＝AA′＝1，
注意到的方向相同，所以等于的長，
即＝＝2．
(2)在長方體ABCD A′B′C′D′中，，
，
∴＝×22＝－2．
即＝－2．
　空間向量的數(shù)量積運算的方法
(1)利用定義，直接利用a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉，并結(jié)合運算律進行計算．
(2)利用圖形，計算兩個向量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點，利用圖形尋找夾角，再代入數(shù)量積公式進行運算．
(3)利用向量分解，在幾何體中進行向量的數(shù)量積運算時，要充分利用幾何體的性質(zhì)，把待求向量用已知夾角和模的向量表示后再進行運算．
[學(xué)以致用]　2．在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝2，AB＝CD＝1，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，則＝(　　)
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
B　[設(shè)H為BD的中點，連接FH，EH．如圖所示，
·＝·＝······＝＝1．故選B．]
3．若a，b，c為空間中兩兩夾角為的單位向量，＝b－c，求·的值．
[解]　由題意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos ＝，則＝2(a－b)·(b－c)＝2(a·b－a·c－b2＋b·c)＝2×＝－1．
探究3　空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用
　求夾角
[典例講評]　3．如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求cos 〈〉的值．
[解]　 由已知得＝
〈〉＝〈〉＝〈〉＝90°，
所以＝0．
因為，
所以2＝＝2＝＝12＋22＋12＝6，＝，
2＝＝2＝＝12＋22＝5，＝，
＝＝＝22－12＝3，
所以cos 〈〉＝．
[母題探究]
1．若N為A1A的中點，其他條件不變，求夾角的余弦值．
[解]　由例題知，＝＝＝×22－12＝1，
所以cos 〈〉＝．
2．本例中條件不變，求異面直線CA1與AB夾角的余弦值．
[解]　由已知得＝＝1，＝2，
＝0．
因為2＝＝2＝＝12＋22＝5，所以＝．
因為2＝＝2＝＝12＋12＝2，所以＝，
又因為＝＝＝－1，
所以cos 〈〉＝．
所以異面直線CA1與AB夾角的余弦值為．
　利用向量求異面直線夾角的步驟
[學(xué)以致用]　4．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，則異面直線AE與A1C所成的角是(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
C　[∵A1A⊥平面ABC，
∴A1A⊥AB，A1A⊥AC．
∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB⊥AC．
又BC＝2AE＝2，
∴E為BC的中點，∴．
∵AA1＝，∴A1C＝2．
∵＝2＝1，
∴cos 〈〉＝，
∴〈〉＝60°，
即異面直線AE，A1C所成的角是60°．]
　求距離(模)
[典例講評]　4．如圖，圓臺的高為4，上、下底面半徑分別為3，5，M，N分別在上、下底面圓周上，且〈〉＝120°，則＝(　　)
A． B．5 C． D．5
A　[∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴＝0，
又＝3×5×cos 60°＝，
∴＝2＝＝9＋16＋25＋15＝65，∴＝．
故選A．]
　求兩點間的距離或線段的長度的步驟
(1)將此線段用向量表示．
(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量．
(3)利用|a|＝，即得所求距離或長度．
[學(xué)以致用]　5．已知線段AB，BD在平面α內(nèi)，∠ABD＝120°，線段AC⊥α．若AB＝a，BD＝b，AC＝c，則線段CD的長為(　　)
A． B．
C． D．
A　[如圖，．
∵線段AB，BD在平面α內(nèi)，∠ABD＝120°，線段AC⊥α，AB＝a，BD＝b，AC＝c，
∴＝2
＝c2＋a2＋b2＋2ab cos 60°＝a2＋b2＋c2＋ab，
∴線段CD的長＝．故選A．]
　證明垂直
【鏈接·教材例題】
例3　如圖1.1-13，m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線．如果l⊥m，l⊥n，求證：l⊥α．
[分析]　要證明l⊥α，就是要證明l垂直于α內(nèi)的任意一條直線g(直線與平面垂直的定義)．如果我們能在g和m，n之間建立某種聯(lián)系，并由l⊥m，l⊥n，得到l⊥g，那么就能解決此問題．
[證明]　在平面α內(nèi)作任意一條直線g，分別在直線l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g．
因為直線m與n相交，所以向量m，n不平行．由向量共面的充要條件可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使
g＝xm＋yn．
將上式兩邊分別與向量l作數(shù)量積運算，得
l·g＝xl·m＋yl·n．
因為l·m＝0，l·n＝0(為什么？)，所以l·g＝0．
所以l⊥g．
這就證明了直線l垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線，所以l⊥α．
[典例講評]　5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．證明：PA⊥BD．
[證明]　由題意知，DA⊥BD，則·＝0．由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD，則·＝0．又，所以＝···＝0，所以⊥，所以PA⊥BD．
　用向量法證明垂直關(guān)系的步驟是什么？
[提示]　(1)把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
(2)用已知向量表示所證向量；
(3)結(jié)合數(shù)量積公式和運算律證明數(shù)量積為0；
(4)將向量問題回歸到幾何問題．
[學(xué)以致用]　6．如圖，在空間四邊形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求證：OA⊥BC．
[證明]　因為OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC＝∠AOB．又··＝··＝· cos ∠AOB＝0，所以⊥，即OA⊥BC．
【教用·備選題】　(源自北師大版教材)如圖所示，已知四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面ABCD是邊長為1的菱形，且∠C′CB＝∠C′CD＝∠BCD＝，DD′＝2．求：
(1)·；(2)·；(3)．
[解]　(1)因為∠D′DA＝∠C′CB＝，
所以·＝cos ∠D′DA＝1．
(2)因為＝，
而·＝cos ∠C′CD＝1，
·＝cos ∠C′CB＝1，
所以·＝·－·＝1－1＝0．
(3)
＝
＝
＝．
1．在正方體ABCD-A′B′C′D′中，〈A′B，B′D′〉＝(　　)
A．30° B．60° C．90° D．120°
D　[連接BD，A′D(圖略)，因為B′D′∥BD，△A′BD為正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夾角的定義可知〈〉＝120°，即〈〉＝120°．]
2．已知空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，則cos 〈〉的值為(　　)
A． B． C．－ D．0
D　[∵OB＝OC，∴··＝··＝－·＝·＝0，
∴cos 〈〉＝0．故選D．]
3．如圖所示，在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝60°，∠DAA1＝∠BAA1＝90°，則＝(　　)
A．2 B． C． D．1
A　[由題意，得＝＋，兩邊平方可得2＝＋2＋2··＋2·＝3＋2||·＋2|||||cos∠BAA1|＋2||·||·cos ∠DAA1＝4，所以||＝2.故選A．]
4．如圖，正四面體A-BCD的棱長為1，＝，則＝________．
　[＝·＝·＝·＝·＋·＝×1×1×cos 60°＋×1×1×cos 60°＝．]
1．知識鏈：(1)空間向量的夾角、投影．
(2)空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運算律．
2．方法鏈：向量法、數(shù)形結(jié)合、類比．
3．警示牌：(1)當(dāng)空間向量a，b的夾角θ為銳角時，a·b＞0；但當(dāng)a·b＞0時，θ不一定為銳角，因為θ也可能為0．
(2)當(dāng)a≠0時，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．空間向量的夾角和數(shù)量積的定義與平面向量的夾角和數(shù)量積的定義是否一致？
[提示]　一致．
2．向量a在向量b上的投影向量為向量c，則如何求|c|？試列舉出你知道的方法．
[提示]　|c|＝||a|cos 〈a，b〉|或|c|＝．
3．利用空間向量的數(shù)量積可研究哪些問題？
[提示]　可以解決立體幾何問題中涉及垂直、距離、夾角的一些問題．
課時分層作業(yè)(三)　空間向量的數(shù)量積運算
一、選擇題
1．對于空間任意兩個非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
B　[顯然〈a，b〉＝0 a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共線和反向共線兩種情況，即當(dāng)a∥b時，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b 〈a，b〉＝0．故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分條件．]
2．已知空間向量a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，則cos 〈a，b〉＝(　　)
A． B． C．－ D．
D　[空間向量a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，如圖，設(shè)＝c，
則△ABC中，＝2，＝3，＝4，
∴cos 〈a，b〉＝－cos ∠ABC＝－＝－＝．
故選D．]
3．(多選)如圖所示，已知三棱錐A-BCD的各棱長都為a，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是(　　)
A．2· B．2·
C．2· D．2·
BC　[對于A，2·＝2a2cos 120°＝－a2，A錯誤；
對于B，2··＝2a2cos 60°＝a2，B正確；
對于C，2··＝a2，C正確；
對于D，2···＝－a2，D錯誤．]
4．(多選)已知四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，則以下結(jié)論中一定成立的是(　　)
A．||＝||
B．·＝0
C．||2＝||2＋||2＋||2
D．···
ACD　[由題意可知，兩兩垂直，所以··＝0，
即·＝0．
對于A，2＝2＋＋2·＝2＋2＝2＋－2·＝2＋，所以2＝2，
即||＝||，故A正確；
對于B，·＝·＝，
當(dāng)時，＝0，否則不成立，故B錯誤；
對于C，||2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝||2＋||2＋||2＋2(0＋0＋0)＝||2＋||2＋||2，故C正確；
對于D，··＝0，同理可得··＝0，
所以···，故D正確．故選ACD．]
二、填空題
5．已知向量a，b滿足|a＋b|＝|a－2b|，其中b是單位向量，則a在b方向上的投影向量是________．
b　[因為b是單位向量，所以|b|＝1．
因為|a＋b|＝|a－2b|，所以(a＋b)2＝(a－2b)2，
化簡得2a·b＝b2＝1，即a·b＝，
所以a在b方向上的投影向量是·＝b．]
6．在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，則·＝________．
　[如圖所示，
連接AG并延長與BC相交于點D．
∵點G是底面△ABC的重心，
∴＝＝＝，
又＋＝，
則·＝·
＝2＝(||2＋||2＋||2＋2···)
＝(1＋4＋9)＝．]
7．如圖，60°的二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD的長為________．
2　[由條件，知··．
所以||2＝||2＋||2＋||2＋2···＝62＋42＋82＋2×6×8cos 120°＝68，所以CD＝2．]
三、解答題
8．如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．求：
(1)·；
(2)AC′的長．
[解]　(1)·＝||||·cos ∠A′AB＝5×4×＝10．
(2)∵＝＋＝＋，
∴2＝2＝＋2＋2··＋2·＝16＋9＋25＋0＋2×4×5×＋2×3×5×＝85，
∴||＝，即AC′的長為．
9．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足···＝0，則△BCD一定是(　　)
A．鈍角三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．等邊三角形
B　[因為···＝0，
所以·＝·＝···＞0，
所以cos ∠CBD＝＞0，故∠CBD是銳角．同理·＞0，·＞0，可得∠BCD，∠CDB都是銳角，故△BCD是銳角三角形．故選B．]
10．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于點E，M是AC的中點，PB＝1，則·的最小值為(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
A　[如圖，連接EC．∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，PB 平面PAB，∴BC⊥PB．
∵點M是AC的中點，∴＝＝＋，又AE⊥PB，
∴··＝·＋·＋·
＝·＝－|
≥－＝－，
當(dāng)且僅當(dāng)||＝||＝時，等號成立，∴·的最小值為－．故選A．]
11．(多選)在三維空間中，定義向量的外積：a×b叫做向量a與b的外積，它是一個向量，滿足下列兩個條件：
①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且a，b和a×b構(gòu)成右手系(即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致，如圖所示)；
②a×b的模|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉(〈a，b〉表示向量a，b的夾角)．
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，有以下四個結(jié)論，正確的有(　　)
A．＝
B．與共線
C．
D．6與正方體表面積的數(shù)值相等
ABD　[對于A，設(shè)正方體的棱長為1，在正方體中，〈，〉＝60°，則||＝||||·sin 〈，〉＝＝，
因為BD∥B1D1，且∠AD1B1＝60°，所以〈，〉＝120°，
所以||＝||||sin 〈，〉＝＝，
所以||＝||，故A正確；
對于B，A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1 A1C1⊥平面BB1D1D，
BD1 平面BB1D1D BD1⊥A1C1，同理BD1⊥AD1，
由右手系知，與共線，故B正確；
對于C，由a，b和a×b構(gòu)成右手系知，a×b與b×a方向相反，由a×b模的定義知，
|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉＝|b||a|sin 〈a，b〉＝|b×a|，
所以a×b＝－b×a，則，故C錯誤；
對于D，設(shè)正方體棱長為1，6||＝6||·||·sin 45°＝6×1×＝6，
正方體表面積為6，故D正確．故選ABD．]
12．已知空間四面體OABC各邊長都等于2，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點，則向量與向量的夾角的余弦值為________．
－　[由已知得＝＝，
因此||＝＝＝，
||＝＝＝．
又因為·＝·＝×2－×2＋×2－2＝－2，所以向量與向量的夾角的余弦值為＝＝－．]
13．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長為．
(1)設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥BC1；
(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為，求側(cè)棱的長．
[解]　(1)證明：＝＋，＝＋．
因為BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0．
又△ABC為正三角形，
所以〈〉＝π－〈〉＝π－＝．
因為·＝·
＝·＋·＋2＋·
＝||·cos 〈〉＋2
＝－1＋1＝0，所以⊥，即AB1⊥BC1．
(2)結(jié)合(1)知·＝||·cos 〈〉＋2＝2－1．
又|AB1|＝＝＝|BC1|，
所以|cos 〈，〉|＝＝，
所以||＝2，即側(cè)棱長為2．
14．如圖1，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD為∠ACB的平分線，AC＝4，BC＝2，過點B作BN⊥CD于點N，延長后交CA于點E，把圖形沿CD折起，使∠BNE＝120°，如圖2所示，求折起后所得線段AB的長度．
[解]　如圖，過點A作AM⊥CD交CD的延長線于點M，
則CM＝AC·cos ∠ACM＝4×cos 30°＝2，CN＝CB·cos ∠BCD＝2×cos 30°＝，∴MN＝CM－CN＝．
易知AM＝AC·sin 30°＝2，BN＝BC·sin 30°＝1，且〈〉＝120°，∴〈〉＝60°．
∵⊥，∴·＝0．同理·＝0．
∵，
∴···＝4＋3＋1＋2·||cos 60°＝10．
∴||＝，即折起后所得線段AB的長度為．
14/211.1.2　空間向量的數(shù)量積運算
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1．掌握空間向量的夾角的概念．(數(shù)學(xué)抽象)
2．掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)
3．了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義．(數(shù)學(xué)抽象)
4．能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題．(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)
[討論交流]　
問題1．空間向量的夾角的定義，數(shù)量積的定義、性質(zhì)和運算律與平面向量有區(qū)別嗎？
問題2．兩向量共線時，其夾角是多少？零向量與任意向量的數(shù)量積等于多少？
問題3．在空間中，向量a向向量b、直線l、平面α的投影分別有什么意義？
問題4．類比平面向量的數(shù)量積，用空間向量的數(shù)量積可解決哪幾類幾何問題？
[自我感知]　經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認(rèn)識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．
探究1　空間向量的夾角
探究問題1　我們在必修第二冊“第六章　平面向量及其應(yīng)用”中已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個平面向量a和b的夾角的定義，那么對于兩個空間向量a和b，它們的夾角又該如何定義呢？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[新知生成]
定義 已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝b，則________叫做向量a，b的夾角，記作________
范圍 ________
向量垂直 如果〈a，b〉＝________，那么向量a，b互相垂直，記作a________b
[典例講評]　1．如圖，在正四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點，則與的夾角為(　　)
A．30°　　B．60°　　C．120°　　D．150°
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　1．求兩個空間向量的夾角時，要結(jié)合夾角的定義和圖形，以防出錯．
2．對空間任意兩個非零向量a，b，有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．
(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
[學(xué)以致用]　1．如圖，在正四棱臺ABCD A1B1C1D1中，O，O1分別是對角線AC，A1C1的中點，則〈〉＝________，〈〉＝________．
探究2　空間向量的數(shù)量積運算
探究問題2　我們在必修第二冊“第六章　平面向量及其應(yīng)用”中已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個平面向量a和b的數(shù)量積的定義、性質(zhì)及運算．類比平面向量的數(shù)量積的定義，你能給出空間兩向量數(shù)量積的定義嗎？空間向量的數(shù)量積運算滿足哪些運算律？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[新知生成]
1．空間向量的數(shù)量積
(1)定義
已知兩個非零向量a，b，則________叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b．即a·b＝________．
規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為________．
(2)空間向量的數(shù)量積的運算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R．
②a·b＝b·a(交換律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì)
向量數(shù)量積的性質(zhì) 垂直 若a，b是非零向量，則a⊥b ____
共線 同向：則a·b＝|a||b|
反向：則a·b＝－|a||b|
模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝__，|a|＝___，|a|·b≤|a||b|
夾角 θ為a，b的夾角，則cos θ＝____
2．向量的投影
(1)在空間，向量a向向量b投影：
如圖1，先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝________，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a向直線l投影如圖2．
(3)向量a向平面β投影：
如圖3，分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量，向量________稱為向量a在平面β上的投影向量．
[典例講評]　2．如圖所示長方體ABCD A′B′C′D′中，E是AA′的中點，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)·；
(2)·．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　空間向量的數(shù)量積運算的方法
(1)利用定義，直接利用a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，并結(jié)合運算律進行計算．
(2)利用圖形，計算兩個向量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點，利用圖形尋找夾角，再代入數(shù)量積公式進行運算．
(3)利用向量分解，在幾何體中進行向量的數(shù)量積運算時，要充分利用幾何體的性質(zhì)，把待求向量用已知夾角和模的向量表示后再進行運算．
[學(xué)以致用]　2．在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑A BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝2，AB＝CD＝1，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，則·＝(　　)
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
3．若a，b，c為空間中兩兩夾角為的單位向量，＝b－c，求·的值．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
探究3　空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用
　求夾角
[典例講評]　3．如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求cos 〈〉的值．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[母題探究]
1．若N為A1A的中點，其他條件不變，求夾角的余弦值．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2．本例中條件不變，求異面直線CA1與AB夾角的余弦值．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　利用向量求異面直線夾角的步驟
[學(xué)以致用]　4．如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，則異面直線AE與A1C所成的角是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
　求距離(模)
[典例講評]　4．如圖，圓臺的高為4，上、下底面半徑分別為3，5，M，N分別在上、下底面圓周上，且〈〉＝120°，則＝(　　)
A． B．5 C． D．5
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　求兩點間的距離或線段的長度的步驟
(1)將此線段用向量表示．
(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量．
(3)利用|a|＝，即得所求距離或長度．
[學(xué)以致用]　5．已知線段AB，BD在平面α內(nèi)，∠ABD＝120°，線段AC⊥α．若AB＝a，BD＝b，AC＝c，則線段CD的長為(　　)
A． B．
C． D．
　證明垂直
[典例講評]　5．如圖，在四棱錐P ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．證明：PA⊥BD．
[嘗試解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　用向量法證明垂直關(guān)系的步驟是什么？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[學(xué)以致用]　6．如圖，在空間四邊形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求證：OA⊥BC．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．在正方體ABCD A′B′C′D′中，〈〉＝(　　)
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．已知空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，則cos 〈〉的值為(　　)
A． B． C．－ D．0
3．如圖所示，在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝60°，∠DAA1＝∠BAA1＝90°，則＝(　　)
A．2 B． C． D．1
4．如圖，正四面體A BCD的棱長為1，，則·＝________．
1．知識鏈：(1)空間向量的夾角、投影．
(2)空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運算律．
2．方法鏈：向量法、數(shù)形結(jié)合、類比．
3．警示牌：(1)當(dāng)空間向量a，b的夾角θ為銳角時，a·b＞0；但當(dāng)a·b＞0時，θ不一定為銳角，因為θ也可能為0．
(2)當(dāng)a≠0時，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0．
5/9

展開更多......

收起↑